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专题　 求函数解析式的方法
　　解析法是函数最主要的表示法,求函数的解析式是函数知识的命题热点. 结合所给条件,灵活选择求解方法是解题关键.
　　常见以下四种方法:(1)待定系数法;(2)换元法;(3)方程组法;(4)赋值法.
类型1 待定系数法
【典例1】已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.
【解析】令f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(0)=1,所以c=1,则f(x)=ax2+bx+1.
由题意可知:f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
即2ax+a+b=2x,可得,解得,所以f(x)=x2-x+1.
【解题有招】
关于待定系数法求解析式
如果已知函数的类型,则先设出函数的解析式,再确定系数即可.除了一次函数、反比例函数外,注意一元二次函数的以下几种形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c;
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k;
(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2).
其中a≠0,顶点为(h,k),根为x1,x2.
【即学即练】
若一次函数f(x)满足f(f(x))=4x-3,则f(0)=　　　　　.
【解析】设f(x)=ax+b,则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=4x-3,
所以,解得或,
当时,f(x)=2x-1,此时f(0)=-1,
当时,f(x)=-2x+3,此时f(0)=3.
答案:-1或3
类型2 换元法(配凑法)
【典例2】(一题多解)已知f(+1)=x+2,求f(x).
【解析】方法一(换元法):令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
方法二(配凑法):f(+1)=x+2=(+1)2-1.因为+1≥1,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
【解题有招】
已知f(g(x))的解析式,求f(x)的解析式的方法
(1)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可.
(2)换元法:对于形如f(g(x))的解析式求f(x),设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.
【即学即练】
(2026·宜春高一检测)若函数f()=-+1,则f(x)= (　　)
A.　 B.(x≠1)
C.x2　 D.x2(x≠1)
【解析】选D.令=t(t≠1),可得=1-t,则f(t)=(1-t)2-2(1-t)+1=t2,t≠1.
即f(x)=x2,x≠1.
类型3 方程组法(或消去法)
【典例3】(2026·郑州高一检测)已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=2x+11,则f(x)=　　　　.
【解析】因为f(x)+2f(3-x)=2x+11,所以f(3-x)+2f(x)=2(3-x)+11,
即,解得f(x)=-2x.
答案:-2x
【解题有招】
解方程组法求解析式
已知关于f(x) 与f()或f(-x) 的解析式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x) 的解析式.
【即学即练】
已知f(x)+2f(-x)=9x+2,求f(x)的解析式.
【解析】因为f(x)+2f(-x)=9x+2①,
所以f(-x)+2f(x)=9(-x)+2②,
②×2-①得3f(x)=-27x+2,
即f(x)=-9x+.
类型4 赋值法
【典例4】写出一个满足f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy的函数解析式:　　　　　.
【解析】在f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy中,令x=y=0,得f(0)=0;
令y=x得f(x-x)=f(x)+f(x)-2x2,故f(x)+f(x)=2x2,故f(x)=x2,满足要求.
答案:f(x)=x2(答案不唯一)
【解题有招】
赋值法求解析式
利用恒等式将特殊值代入,求出特定函数的解析式.这种方法灵活性强,必须针对不同的类型选取不同的特殊值.
【即学即练】
设f(x)是R上的函数,f(0)=1,并且对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+y(2x+1),求f(x).
【解析】由已知条件得f(0)=1,又f(x+y)=f(x)+y(2x+1),设y=-x,则f(x-x)=f(x)-x(2x+1),所以f(x)=2x2+x+1.

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