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4.1 整式
第2课时 多项式和整式 学案
一、学习目标
1. 理解多项式的概念，知道多项式是几个单项式的和。
2. 理解多项式的项、常数项和次数的含义，能正确确定一个多项式的项数和次数。
3. 知道整式的概念，弄清整式与单项式、多项式的关系。
二、知识梳理
1. 多项式：几个______的______叫做多项式。
2. 多项式的项：每个______叫做多项式的项，______的项叫做常数项。
3. 多项式的次数：多项式里，______的项的次数，叫作这个多项式的次数。
4. 整式：______与______统称整式。
5. 多项式的命名规则：______次______项式。例如：是______次______项式。
6. 一个式子是多项式需具备两个条件：①式子中含有______或______；②分母中不含______。
三、课堂探究
探究1：多项式的概念
观察下列式子：，。
（1）可以看作单项式______与单项式______的和。
（2）可以看作单项式______、单项式______与单项式______的和。
（3）它们的共同特点是：都是几个______的______。
（4）由以上观察可得：几个单项式的______叫做多项式。
探究2：多项式的项和次数
分析多项式 的项和次数：
（1）这个多项式共有______项，分别是______、______、______。
（2）的次数是______，的次数是______，-8的次数是______。
（3）次数最高的项是______，次数为______。
（4）这个多项式的次数是______，它是______次______项式。
探究3：单项式、多项式、整式的关系
判断下列式子分别属于哪一类（单项式/多项式/不是整式）：
式子 类别 理由
-5
0
总结：整式包含______和______两大类。
探究4：用多项式表示数量关系
（1）长方形相邻两边长分别为a，b，则周长 = ______。项：______，______；次数：______。
（2）m的立方与2的差 = ______。项：______，______；次数：______。
（3）前两年每年投放a辆共享单车，第三年每月回收b辆，年底剩余 ______。项：______，______；次数：______。
四、巩固练习
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 不是单项式 B. 多项式的项是，，5
C. 单项式与多项式统称整式 D. 多项式的次数是3
2. 如果一个多项式是五次多项式，那么（ ）
A. 这个多项式最多有六项 B. 这个多项式只能有一项的次数是五
C. 这个多项式一定是五次六项式 D. 这个多项式最少有二项，最高次项的次数是五
3. 下列代数式：，，，3，中，单项式有______，多项式有______，不是整式的有______。
4. 填表：
多项式 项 次数 几次几项式
5. 一个多项式为，它的项分别是______，最高次项是______，次数是______。
6. 鲁班锁一个构件的一个面的面积为，请指出它的项和次数。
7. 有一个多项式+…，按规律写下去：
（1）写出它的第六项；
（2）这个多项式是几次几项式？
8. 已知多项式是关于x的二次三项式，求m的值。
9. 若多项式是关于x的三次三项式，求m的值。
10. 某商店进了一批商品，每件进价为a元，售价为b元。售出x件后，总利润为元。请判断是单项式还是多项式，并说明理由。
五、归纳总结
1. 多项式：几个单项式的和。它与单项式的区别在于是否含有加减号连接不同项。
2. 项：多项式中的每个单项式，要包含前面的符号。常数项是不含字母的项。
3. 次数：多项式的次数是次数最高的项的次数，不是各项次数的和。
4. 整式：单项式与多项式统称整式。分母中含字母的式子不是整式。
5. 命名：几次几项式——"几次"指次数，"几项"指项数。
易错提示：易错提醒：1. 多项式的项要包含前面的符号！如的三项是，，-8（不是，，8）。2. 多项式的次数是"最高次项的次数"，不是"各项次数的和"。3. 常数项的次数是0，不是1。4. 分母中含字母的式子（如）不是整式。5. 整式包含单项式和多项式，但单项式和多项式是两个不同的概念。
参考答案
二、知识梳理
1. 单项式；和 2. 单项式；不含字母 3. 次数最高 4. 单项式；多项式 5. 几；几；二；三 6. "+"；"-"；字母
三、课堂探究
探究1：（1）；-10（2）；；-8（3）单项式；和（4）和
探究2：（1）3；；；-8（2）2；1；0（3）；2（4）2；二；三
探究3：-单项式；-多项式；-5-单项式；-不是整式；-多项式；0-单项式。总结：单项式；多项式
探究4：（1）；；；1（2）；；-2；3（3）；；；1
四、巩固练习
1. C。解析：A中不是单项式（正确，但非最佳答案）；B中项应为，，5（漏了符号）；C正确；D中次数是2。
2. D。解析：五次多项式至少有一项五次+一项常数（两项），最高次项次数必须是5。
3. 单项式：，3；多项式：，；不是整式：。
4. ：项,,5；次数2；二次三项式：项,,；次数4；四次三项式：项,1；次数1；一次二项式：项,,；次数3；三次三项式
5. 项：，，5；最高次项：和（次数均为3）；次数：3。
6. 项：，；次数：2。解析：和的次数都是2，最高次项次数为2。
7. （1）第六项：（2）十次十一项式。解析：a的指数从10到0共11项，最高次项次数为10。
8. 。解析：二次三项式要求有三项，只要不为0即可保证有三项，。
9. 。解析：的次数为，最高次项次数为max(m+1, 2)。三次多项式要求，故（此时）。
10. 是单项式。解析：虽然是减法，但作为一个整体是系数，整个式子仍是系数与字母x的积，符合单项式的定义。

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