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高考数学基础知识&重要结论自查手册
函数 小 课 堂
第一部分 集合与逻辑用语
集 合
1、元素与集合的概念
集合中元素的特性：
元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.
确定性、互异性、无序性
集合：把一些元素组成的总体叫做集合 (简称集 ).用大写拉丁字母A、B、C…表示.
2、元素与集合的关系
关系 概 念 记法 读法
属 于 a是集合A的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
不属于 a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a不属于集合A
3、集合的表示方法
(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“ ”括起来表示集合的方法.
(2)描述法： 设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征 p(x)的元素 x所组成
的集合表示为 x∈A|p(x) ，这种表示集合的方法称为描述法.
★ 4、常用数集
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记 法 N N 或N+ Z Q R
★ 5、集合间的关系
空 集 : 把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集是任何集合的子集.
子 集：A中的任一元素都属于B,记做：A B
真子集：如果A B，且B中至少有一元素不属于A.记作：A B
※ 6、含n个元素的集合
集合 子集个数 真子集个数 非空子集个数 非空真子集个数
{a1,a2, ,a } 2n 2n 1 2n 1 2nn 2
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★ 7、集合的运算
小 课 堂
运算 交 集 并 集 补 集
语言 属于集合A且属于集合B 所有属于集合A或属于集 全集中集合A以外的部
描述 的元素组成的集合 合B的元素的组成的集合 分称为A的补集.
表示 A∩B={x x∈A且 x∈B} A∪B={x x∈A或 x∈B} CUA={x x∈U且 x A}
veen U
A A∩B B A B A
图 A B C A
逻辑用语
四种命题的真假性之间的关系：
1、命题：可以判断真假的陈述语句称为命题.
两个命题互为逆否命题， 2、真值表
它们有相同的真假性；
p q 非 p p或 q p且 q
两个命题为互逆命题或互否
真 真 假 真 真
命题，它们的真假性没有关系 真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
充要条件应用说明： 假 假 真 假 假
①唯一性：给定条件 p,由 p推 ★ 3、四种命题
原命题：若 p则 q 逆命题：若 q则 p 否命题：若 p则 出 q成立时，q推出的结果不是 q 逆否命题：若
q则
唯一的 p，则必要性不成立。 原命题 逆命题 否命题 逆否命题
eg : x= 1 x = 1， x = 1 真 真 真 真
x=± 1 x= 1 x = 1 真 假 假 真，则 是 的
假 真 真 假
充分不必要条件。
假 假 假 假
②不等式推论：小范围不等式
★ 4、 充要条件成立 大范围不等式成立，反
充分条件：若 p q，则 p是 q充分条件.
之不成立。小推大，大不可推小
必要条件：若 q p，则 p是 q必要条件.
充要条件：若 p q，且 q p，则 p是 q充要条件.
命题的否定与否命题：
★ 5、全称量词与存在量词
(1)命题“ x∈R，3x2- 2x (1)全称量词与全称命题：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，
+1> 0”的否定是 x0∈R， 并用符号“ ”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.
3x20- 2x0+ 1≤ 0。 (2)存在量词与特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量
(2)命题“若 a、b都是正数， 词，并用符号“ ”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.
则 a+ b≥ 2 ab”的否命题 (3)全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题 p： x∈Μ,p(x)，它的否定 p： x0∈Μ, p(x0).其否定是特称命题．是若 a、b不都是正数，
②特称命题 p： x0∈Μ,p(x0),它的否定 p： x∈Μ, p(x).其否定是全称命题.
则 a+ b< 2 ab。
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第二部分 函数概念与性质
小 课 堂
函数三要素
1、 函数的概念
函数概念通俗易懂的理解为：
设A，B是两个非空的数集，如果按某种确定的对应关系 f，使对于集合A中的
唯一的自变量 x有唯一的因
任意一个元素 x，在集合B中都有唯一确定的元素 f(x)和它对应，那么称 f :A B 变量 y与之对应。
为从集合A到集合B的一个函数，记作：y= f(x)，x∈A.其中所有输入值 x组成的集
合A叫作函数 y= f(x)的定义域；所有输出值 y组成的集合叫作函数 y= f(x)的值域.
★ 2、函数的定义域（自变量的取值范围）
定义域的约束： 1 分式的分母不能为零； 2 对数的真数大于零；
函数问题，定义域优先
3 根号下被开方数大于等于零． 4 零指数幂底数不为零
3、函数的值域（因变量的取值范围）
y
函数值域要综合函数定义域和函数单调性.
f(x)
如图，函数 f(x)是定义在 [a,b]上的函数
由图可知：f(x)的值域是 [ f(m),f(n)]. a m n b x
★ 4、求函数值域的几种方法
(1)函数定义域直接制约着函数的值.对于比较简单的单调函数可通过定义域求得值域．
(2)换元法求解函数值域（：换元后自变量取值范围改变，函数值域不会变化）
二次函数型可通过换元法转化为二次函数，进而求解函数值域．
分子、分母是一次函数或二次齐次式有理函数用换元法转化为常见初等函数求值域；
分子、分母中含有二次项的有理函数，用换元法转化为基本不等式求值域．
(3)导数方法求值域：通过求解函数极值和端点值来确定函数的最值.
★ 5、含参问题与最值
（1）若：λ≥ f(x)恒成立，则 λ≥ f(x)max； λ≥ f(x)成立，则 λ≥ f(x)min
（2）若：λ≤ f(x)恒成立，则 λ≥ f(x)min； λ≤ f(x)成立，则 λ≥ f(x)max
y y f(x)
y= λ
y= λ
f(x)
x0 x x0 x
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小 课 堂 函数单调性与奇偶性
★ 1、函数单调性的定义：设任意实数 x1、x2∈ [a,b],且 x1< x2.那么：
f(x ) f(x )< 0 1 2 f(x)在 [a,b]上是增函数；
f(x ) f(x )> 0 1 2 f(x)在 [a,b]上是减函数.
y y
函数单调性的性质运算： f(x ) f(x1)2
1 增函数+增函数=增函数 f(x1) f(x2)
减函数+减函数=减函数
2 添加根号单调性不改变 x1 x2 x x1 x2 x
变倒数、加负号单调性改变
※ 2、斜率式判断单调性：设 x1 x2∈ a,b ,x1≠ x2那么
(x - x ) f(x ) - f(x ) > 0 f( x1 ) f( x2 ) 1 2 1 2 x x > 0 f(x)在 a,b 上是增函数；1 2
( - ) ( ) - ( ) < f( x1 ) f( x2 )x 1 x2 f x1 f x2 0 x x < 0 f(x)在 a,b 上是减函数.1 2
复合函数：设 y是 μ的函数 ★ 3、导数法判断单调性：设函数 y= f(x)在某个区间内可导.
y= f(μ),μ是 x的函数 μ= φ(x) 若 f (x)> 0，则 f(x)为增函数 ；若 f (x)< 0，则 f(x)为减函数.
如果 φ(x)的值全部或部分在 ※ 4、复合函数单调性：同增异减.复合函数 f g x 有：
f(μ)的定义域内，则 y通过 μ 当 f x 与 g x 的增减性相同时，复合函数就是增函数 (同增 )；
成为 x的函数，记 y= f(φ(x)) 当 f x 与 g x 的增减性相反时，复合函数就是减函数 (异减 ).
★ 5、函数的奇偶性：
eg : y= x2+ 2、y= sin(x- 1)2 奇 函 数 偶 函 数
y= tan(3x+ 1)都是复合函数 前 提 定义域关于原点对称
而 y= log(cosx- 3)就不是复合
y
函数 , ∵ x都不能使 y有意义 y
图 示
判断复合函数的单调性步骤： x
⑴求复合函数的定义域； x
⑵将复合函数分解为常见函数
（一次、二次、幂、指、对函数）； 计算式 f( -x) =-f(x) f( -x) = f(x)
⑶判断每个常见函数的单调性 对称性 f(x)关于原点对称 f(x)关于 y轴对称
⑷将中间变量的取值范围转化
特点 在 x= 0处有定义，则：f(0) = 0 对任意的 x，都有 f(x) = f( x )
为自变量的取值范围；
⑸求出复合函数的单调性。 6、多项式函数P(x) = a
n n-1
nx + an-1x + +a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数 P(x)偶次项的系数全为零. (常数按偶次项看待 )
多项式函数P(x)是偶函数 P(x)奇次项的系数全为零.
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函数周期性与对称性
小 课 堂
★ 1、周期性定义：
函数 f x 定义域内任意的 x，存在一个不等于 0的常数T，使得 f x+T = f x
恒成立，则称 f x 是周期函数，T是它的一个周期.一般T是 f x 的周期，则 kT k∈ Z 周期性是对称性的一种体现
也是 f x 的周期.
※ 2、函数周期推导
(1) f(x) = f(x+ a)，则 f(x)的周期T = a；
(2) f(x a) = f(x+ a)，或 f(x+ a) =± 1 ( ) ( f(x) ≠ 0)，则 f(x)的周期T = 2a；f x
(3) f(x) = 1 1 ( + ) ( f(x) ≠ 0)，则 f(x)的周期T = 3a；f x a
(4) f(x+ a) = f(x) f(x+ a)，则 f(x)的周期T = 6a.
(5) 若 f(x+ a) = f(x+ b)或 f(x- a) = f(x- b) ，则T = b- a
※ 3、 函数 y= f(x)的图象的对称性
（1）轴对称(自对称)：A(a- x，f a- x )，A'(a+ x，f a+ x ).
① f a+ x = f a- x y= f(x)图象关于直线 x= a对称；
② f a+ x = f b- x y= f x 图象关于直线 x= a + b2 对称．
恒等式特征：函数值相等，左右两边的 x的系数相反，可联想偶函数 f -x = f x ．
（2）中心对称(自对称)：A(a- x，f a- x )，A'(a+ x，f a+ x ).
① f a+ x + f a- x = 0 函数 y= f(x)图象关于点 (a，0)成中心对称；
② f a+ x + f a- x = 2b 函数 y= f(x)图象关于点 (a，b)成中心对称；
③ f a+ x + f b- x = c 函数 y= f(x)图象关于点 ( a + b， c2 2 )成中心对称．
恒等式特征：函数值的和为常数，所含 x的两个系数相反，可联想奇函数 f -x + f x = 0．
更一般的：y= f(x)图象关于 x= a + b2 对称 f(a+mx) = f(b-mx)
4、两个函数图象的对称性
(1)函数 y= f(x)与函数 y= f( -x)的图象关于直线x= 0(即 y轴 )对称.
(2)函数 y= f(x)和 y= f 1(x)的图象关于直线 y= x对称.
※ 5、周期性与对称性的关系
若函数 y= f(x)的图像关于直线 x= a，x= b都对称，则 f(x)为周期函数且 2 b- a
是它的一个周期．
推论：偶函数 y= f(x)图像关于 x= a对称，则 f(x)为周期函数且 2 a 是它的一个周期．
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小 课 堂 第三部分 初等函数、方程与不等式
函数图像与变换
1、五点法画图：
函数化简→定义域→讨论性质 (奇偶性、单调性 )→算零点、最值点→光滑曲线作图.
★ 2、图象变换
左
（1）平移变换：自变量“左加右减”：y= f(x) （ 右 ） 平 移 a 个 单 位 y= f(x± a)
y y= f(x) y y= f(x- a)
左右平移
x x
x1 x2 x1+ a x2+ a
因变量“上加下减”：y= f(x) 上 （ 下 ） 平 移 b 个 单 位 y= f(x) ± b
y
y y= f(x) y2+ b y= f(x) + b
y2
上下平移
x
y y1+ b1
x
横坐标变为原来的ω倍
（2）伸缩变换：y= f(x) y= f( 1ω x)
（3）对称变换：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”
= ( ) 关 于 x 轴 对 称 = ( ) = ( ) 关 于 y 轴 对 称y f x y f x y f x y= f( x)
关于原点对
y= f(x) 称 = ( ) = ( ) 关 于 x =y f x y f x a 对 称 y= f(2a x)
（4）翻折变换：
y= f(x)→ y= | f(x)|保留 x轴上方部分，并将下方部分沿 x轴对称翻折到上方
y y
y= f(x) y= f(x)
对
对称翻折
x 称翻 x
折
y= f(x)→ y= f(|x|)保留 y轴右边部分，并将右边部分沿 y轴对称翻折到左边
y y
y= f(x) y= f( x )
对称翻折 x ．
x
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附：几种常用初等函数图像
小 课 堂
1反比例型函数：
= ax+ b a b ky cx+ d (c≠ 0，

c ≠ d )分子常数化y= x- x + y0的图像是双曲线，其对称中心为点0
(x0，y0)，
其图象可由 y= kx 变换得到．【可根据对称中心 (x0，y0)，先画出两条渐近线，再根据 k的
符号画出双曲线！】
事实上，x0=- dc ，y
a
0= c ；该函数定义域为 {x|x≠-
d
c }，值域为 {y|y≠
a
c }．
y y
O x O x
y= k kx- x + y k< 0
y= x- x + y0 k> 0 0
0 0
y
y
O x O x
y= x- k kx k> 0 y= x+

x k> 0
2．双勾函数：y= x+ kx (k> 0)，见上第四图；【更一般形式的双勾函数：y= ax+
b
x (a>
0，b> 0)】
可根据奇偶性和基本不等式 a+ b≥ 2 ab(a，b> 0)，或导数法确定极值点 x=± k．
【注意区别于 y= x- kx (k> 0)的图象，见上第三图．】
3．含绝对值的函数：f x = a1 x- x1 + a2 x- x2 + +an x- xn + b．
(会用零根分段去绝对值法变分段函数，显然每段均为一次函数或常数．也要会直接快速
作出函数图象．)
⑴ f(x) = k x- a + b的图象：顶点坐标为 (a，b)，当 k> 0时，正∨字形；当 k< 0时，倒∨
(即∧)字形；
y y a,b y y y
x
a,b x1 2
x x1 x2 x x2 x x1 xx
1 1 1 2 2
⑵① f x = x- x1 + x- x2 + b；② f x = x- x1 - x- x2 + b；
⑶ f x = a1 x- x1 + a2 x- x2 + +an x- xn + b的图象．用零根分段去绝对值法变
分段函数，显然每段均为一次函数或常数．
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4．如何作出 f x =max{f1 x ，f2 x ， ，fn x }或 f x =min{f1 x ，f2 x ， ，fn x }小 课 堂
的图象？(n≥ 2)
在同一坐标系中先分别作出函数 f1 x ，f2 x ， ，fn x 图象，再利用它们的交点分段
确定 f(x)的图象．
函数零点与基本不等式
1、方程与函数关系：
方程 f x = 0有实根 函数 y= f x 图象与 x轴有交点 函数 y= f x 有零点
★ 2、零点存在性定理：零点存在性定理不可逆
如果函数 y = f x 在区间 y a,b 上的图象是连续
f(b)
不断的一条曲线，并且有 f a 零点 f b < 0，那么函数
y = f x 在区间 a,b 内有零 a x x 点，即存在 c∈ a,b ，0 b
使得 f c = 0，这个 c也就是方 f(a) 程 f x = 0的根.
3、不等式的性质：
性质 1：(对称性 )如果 a> b，那么 b< a；如果 b< a，那么 a> b．
性质 2：(传递性 )如果 a> b，且 b> c，则 a> c．
性质 3：如果 a> b，则 a+ c> b+ c．
推论：(同向可加性 )如果 a> b，c> d，则 a+ c> b+ d．
性质 4：如果 a> b，c> 0，则 ac> bc；如果 a> b，c< 0，则 ac< bc．
★ 4、基本 (均值 )不等式：
对于任意两个正实数 a，b， a + b2 叫做 a，b的算术平均值， ab叫做 a，b的几何平均值.
则有： a + b2 ≥ ab，当且仅当 a= b时，等号成立.
证明 (几何解释 )如下：
H
C
作一圆，直径记为AB，过C作垂线，连接AC、BC.
设AD= a，BD= b，则圆的半径OH = a + b2 A D O B
由ΔACD~ΔBCD可得： A D = C D 2CD BD CD =AD BD，
∴CD= ab
由图可得到不等式：OH ≥CD恒成立，当且仅当CD=OH，即OA=OB时取等号.
所以： a，b∈R+，恒有 a + b2 ≥ ab成立，当且仅当 a= b时取等号.
※ 5、平均不等式：调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均.
2 2 2
-1+ -1 ≤ ab≤
a + b ≤ a + b +
a b 2 2
a，b∈R (当且仅当 a= b取 " = ")
a + b 2 a2 + b 2≤ ≤ 2+ 2≥ (a+ b)
2
变形公式：ab 2 2 a b 2
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附：基本不等式与柯西不等式
小 课 堂
基本不等式常用模型
模型一：mx+ n nx ≥ 2 mn(m> 0,n> 0)，当且仅当 x= m 时等号成立.
模型二：mx+ n x a =m(x a) +
n
x a +ma≥ 2 mn+ma(m> 0,n> 0)，
当且仅当 x a= nm 时等号成立.
模型三： x = 1 ≤ 1 2+ + + + c + (a> 0,c> 0)，ax bx c ax b x 2 ac b
当且仅当 x= ca 时等号成立.
mx(n
模型四：x(n mx) = m x ) ≤ 1 m x + n m x
2
2 n
m m （ 2 ) = 4m
(m> 0,n> 0,0< x< nm )， 当且仅当 x=
n
2m 时等号成立.
二维柯西不等式：
设 a，b，c，d∈R+，有 (a+ b) (c+ d)≥ ( ac+ bd)2 ，当且仅当 a = bc d 时等号成立．
模型一：(a+ b) ( m + na b )≥ ( m+ n)
2其中 a,b∈R+，
例如 (a+ b) ( 1a +
1 1 1 2
b )≥ ( a a + b b ) = 4；
模型二： a + b x 1 x =[(x) + (1 x)] (
a + b x 1 x )≥ ( a+ b)
2
模型三：一高一低和式配凑类型
已知 x2+ y2的值，求 x+ y的取值范围，或者已知 x+ y的值，求 2x2+ 3y2的最值
或者求 x+ y的最值。
即 (x2+ y2) (m2+n2)≥ (mx+ny)2，其中m，n∈R+
2 2
例 (a2+ b2) (1+ 1)≥ (a+ b)2或者写成 a + b ≥ a + b2 2
模型四：同次积式配凑类型
已知 xy的值，求 (x+m) (y+n) (m,n∈R )的最值，
利用 (x+m) (y+n)≥ ( xy+ mn)2求最值
柯西不等式变形式
2 2
对柯西不等式变形，易得 ( ax +
b
y ) (x+ y)≥ (a+ b)
2在 a,b,x,y> 0时，
a2 b2 (a+ b)2就有了 + ≥ 当 a bx y x+ y x = y 时，等号成立．
同理 a
2 2 2 2
x +
b + c ≥ (a + b+ c) a b cy z x+ y+ z ,当 x = y = z 时，等号成立．
权方和不等式运用
权方和不等式：若 ai> 0,bi> 0,m> 0.
(a 1)
m+1 (a )m+1 + 2 + + (a n )
m+1
≥ a 1 + a 2+
m+1
则 + a n (b )m (b )m (b )m b + b + +b m1 2 n 1 2 n
a
当仅当 1b =
a2
b = =
an
b 时，等号成立.m为该不等式的和，1 2 n
它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.
糖水不等式： 真分数越加越大，假分数越加越小
定理：若 a> b> 0，m> 0，则一定有 b + m ba+m > a，或者
a + m
b+m <
a
b
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小 课 堂 一次函数及其变换
★ 1、一次函数的图像性质
解析式 f(x) = kx+ b
y y
k代表直线的斜率，含义是直线的倾斜程度. k= tanα= 1 ox1 xo
参数
b代表直线的纵截距，含义是直线与 y轴相交的点的纵坐标.
k> 0,b> 0 k> 0,b< 0 k< 0,b> 0 k< 0,b< 0
y y y y
图 像
x x
x x
增减性 单调递增 单调递减
2、一次函数的平移变换：左加右减，上加下减
（1）f(x) = kx+ b图象向左 (右 )平移m个单位得到：f(x) = k(x±m) + b；
（2）f(x) = kx+ b图象向上 (下 )平移 h个单位得到：f(x) = kx+ b± h；
★ 3、一次函数的翻折变换
以 f(x) = 2x+ 1与 f(x) = 2x+ 1 、f( x ) = 2 x + 1为例：
(1) f(x) 图象是将 f(x)在 x轴上方图象保留，将 x轴下方的图象作 x轴翻折后得到.
(2)函数 f( x )图象是将函数 f(x)在 y轴右侧的图象不变，把 y轴左侧的图象去掉，再将 y
轴右侧图象作 y轴翻折到左侧得到.
y y y
对称翻折
对
翻折变换 称
翻 y= f(x x
x )
y= f(x) 折 y= f(x) x
★ 4、一次绝对值不等式 (还可以转化为一元二次不等式求解 )
(1)对于 f(x) ≤ a型不等式的解法：(以 2x+ 1 ≤ 5为例 ) y y= 2x+ 1
① 解出 y= f(x)的零点：令 y= 2x+ 1中 y= 0 x= 12 .
y= 5
② 在同一坐标系中画出 y= f(x) 与 y= a的图像：
③ 解出翻折前 f(x) = a实根，再根据对称得出翻折后的实根：
-3 - 1 2 x
根据图像，得出 f(x) 2 ≤ a的解集：
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反比例函数及其变换
小 课 堂
★ 1、反比例函数图像性质
解析式 f(x) = kx
k> 0 k< 0
y y
图 像
f(x) = kx
x
f(x) = kx x
当 x> 0时，y随 x的增大而减小； 当 x> 0时，y随 x的增大而增大；
增减性
当 x< 0时，y随 x的增大而减小； 当 x< 0时，y随 x的增大而增大；
★ 2、反比例函数的平移变换
y= kx k> 0 图像向右平移 a个单位，向上平移 b个单位可以转化为 y=
k
x- a + b k> 0 反比例函数 y= kx 具有两
y y
( ) = k + 条渐近线：x= 0，y= 0，f x x- a b
所以在研究反比例函数的
y= b
平移变换 平移变换时，要考虑到渐近
x
f(x) = kx x 线位置的改变。
x= a
※ 3、一次分式函数
形如 f(x) = cx + dax+ b 这样的函数称为“一次分式函数”.
c
( ) = a a x + b + c-
cb
① 在函数的分子上配出分母的形式：f x a ax+ b
( ) = c + c-
cb
② 列项：f x a a ax+ b .
③ 令 k= c- cb，t= ca a，则函数 f(x) = t+
k
ax+ b ,其图像如下：
④由图可得 f(x) = cx + dax+ b 的性质： y
f(x) = cx + d
f(x)定义域 -∞,- ba 、 -
b , +∞ ax+ ba y= c
f(x)值域 -∞, c 、 ca a , +∞
a
f(x)在 -∞,- ba 、 -
b
a , +∞ 上单调递减. x
x=- ba
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小 课 堂 二次函数及其变换
★ 1、函数图像与性质
一般式：y= ax2+ bx+ c
顶点式：y= a(x h)2+ k
解析式 交点式：y= a(x x1) (x x2)
2
一般式与顶点式互化：y= a(x+ b )2+ 4a c b 2a 4a
a> 0 a< 0
y y
图 象
x x
x =- b x =- b0 2a 0 2a
对称轴 直线 x=- b2a
顶 点 - b , 4a c - b
2
2a 4a
x<- b2a 时，y随 x增大而减小 x<-
b
2a 时，y随 x增大而增大
增减性
x>- b2a 时，y随 x增大而增大 x>-
b
2a 时，y随 x增大而减小．
最 值 当x=- b b2a 时，y有最小值， 当x=-

2a 时，y有最大值，
※ 2、二次函数闭区间值域
二次函数 y= ax2+ bx+ c(a> 0)在闭区间 [p,q]上的最大值为M，最小值为m，
其中对称轴 x =- b0 2a ,区间 [p,q]上的中点 t=
1
2 (p+ q).
x0 p q x p x0 t q x p t x0 q x p q x0 x
(1) (2) (3) (4)
(1)若 x0< p，则 f(x)min= f(p) =m，f(x)max= f(q) =M；
(2)若 p≤- b2a < x0，则 f(x)min= f( -
b
2a ) =m，f(x)max= f(q) =M；
(3)若 x0≤- b2a < q，则 f(x)min= f( -
b
2a ) =m，f(x)max= f(p) =M；
(4)若 q≤- b2a，则 f(x)min= f(q) =m，f(x)max= f(p) =M.
·12·
3、二次函数的平移变换
小 课 堂
以二次函数 y= x2的图象为例：
(1)y= x2的图象向左平移 1单位长度后的解析式：y= x+ 1 2；
向右平移 1单位长度后的解析式：y= x- 1 2
(2)y= x2的图象向上平移 2单位长度后的解析式：y= x2+ 2；
向下平移 2单位长度后的解析式：y= x2- 2
y y
向
上
平
移
2
向 单
下 位
x 平 x
移
向左平移 1单位 向右平移 1单位 2
单
位
★ 4、函数图象的翻折变换
以 y= 2x2+ 2x- 1与 y= 2x2+ 2x- 1 、y= 2 x 2+ 2 x - 1图象间的关系为例：
(1)函数 y= 2x2+ 2x- 1 的图象是将函数 y= 2x2+ 2x- 1在 x轴上方的图象保留，
再将 x轴下方的图象作关于 x轴对称得到.
(2)函数 y= 2 x 2+ 2 x - 1对 x取绝对值的图象，是将函数 y= 2x2+ 2x- 1在 y轴右侧
的图象保持不变，y轴左侧的图象去掉，再将 y轴右侧的图象作关于 y轴对称得到.
第一步：画出原图 第二步：进行翻折
y
y= 2x2+ 2x- 1的图像
y
y= 2x2+ 2x- 1 的图像
x
x
y
y= 2 x 2+ 2 x - 1的图像
x
·13·
小 课 堂 二次方程与不等式
1、一元二次方程判别式：
一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0中 b2 4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用
“Δ”来表示，即Δ= b2 4ac.
当Δ> 0时，一元二次方程有 2个不相等的实数根；
当Δ= 0时，一元二次方程有 2个相等的实数根；
当Δ< 0时，一元二次方程没有实数根.
★ 2、公式法求解一元二次方程的根：
2
一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0，当Δ≥ 0时，x= b ± b 4 a c2a .
★ 3、韦达定理：如果一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0的两个实数根是 x1,x2，
那么 x + x =- b1 2 a， x1x2=
c
a .
★ 4、因式分解 (十字相乘法 )：mnx2+ (mp+nq)x+ pq= (nx+ p) (mx+ q)
举例： 3x2+ 11x+ 10= 0
x 2 3x2+ 11x+ 10= 0
∵ 5x+ 6x= 11x
3x 5 (x+ 2) (3x+ 5) = 0
判断方法：拆二次项与常数项，交叉相乘和刚好为一次项即可用该方法，横向书写结果.
★ 5、二次不等式的解集 (a> 0)
Δ= b2- 4ac Δ> 0 Δ= 0 Δ< 0
二次函数 y=
ax2+ bx+ c的
图象 x1 x2 x
x0 x
x
ax2+ bx+ c=
x = - b ± b
2 - 4 a c x = x =- b
1,2 1 22a 2a 无实根0的根
ax2+ bx+ c> {x|x< x1或 x> x2} {x|x≠-
b
2a } R0的解集
ax2+ bx+ c<
{x|x1< x< x2}
0的解集
·14·
幂函数
小 课 堂
★ 1、需实记的幂函数 y= xα(α≠ 0,1)
=
1 1 y= x3 y= x2解析式 y x 2= x y= x
y y y y
x
图 像 xx
x
定义域 [0, +∞) (-∞,0) ∪ (0, +∞) x/x R x/x R
值 域 [0, +∞) (-∞,0) ∪ (0, +∞) y/y R [0, +∞)
奇偶性 非奇非偶函数 奇函数 奇函数 偶函数
定 点 (1,1)
需实记幂函数的图像，然后根据函数图像变换画出其它初等函数图像，并
考 点 且得到其它初等函数的性质。例如：根据 y= x的图像画出 y= ωx± a
± b的图像，并且能得到它的性质。
※ 2、幂函数 y= xα(α= qp ,p,q∈ Z,p,q互质 )的性质：
（1）过定点：所有的幂函数在 (0, +∞)都有定义，并且图象都通过点 (1,1)．
（2）单调性：如果 α> 0，则幂函数的图象过原点，并且在 [0, +∞)上为增函数．
如果 α< 0，则幂函数的图象在 (0, +∞)上为减函数，在第一象限内
图象无限接近 x轴与 y轴．
（3）奇偶性：当 α是整数时，α为奇数，幂函数为奇函数，α为偶数，幂函数为偶函数．
q
当 α= p (其中 p,q互质，p和 q∈ Z)时
q
若 p为奇数 q为奇数时，则 y= x p是奇函数 (奇母奇子奇函数 )，
q
若 p为奇数 q为偶数时，则 y= x p是偶函数 (奇母偶子偶函数 )，
q
若 p为偶数 q为奇数时，则 y= x p是非奇非偶函数． (偶母奇子非奇偶 )
·15·
小 课 堂 幂函数的衍生函数
★（一）对勾函数 (双勾函数、耐克函数 )的图像与性质
解析式 f(x) = ax+ bx
a> 0,b> 0 a< 0,b< 0 a> 0,b< 0 a< 0,b> 0
y y y y
图 像 2 ab 2 ab
b x - b x
x x
y= x a a
y= x y=-x
y=-x
渐近线 y= x或 y=-x
定义域 x/x≠ 0
值 域 y -∞,-2 ab ∪ 2 ab, +∞ y -∞,+∞
单调增 -∞,- b , - b ,0) -∞,0) (0,+∞ a a 无
区 间


b
a , +∞ (0,
b a
单调减 - b ,0), -∞, - b -∞,0) (0,+∞ 无 a a
区 间
(0, b ba a , +∞
x> 0 时，f(x) = ax+ bx ≥ 2 ab；x< 0 时，f(x) = ax+
b
x ≤-2 ab.
不等式
均值不等式可以应用在对勾函数中，用来求解最值，但是在使用时要注意到均值不
性 质
等式的应用条件：“一正、二定、三相等”
※（二）三次函数的图像与性质
定义 形如 y= ax3+ bx2+ cx+ d(a≠ 0)的函数，称为“三次函数”.
Δ= 4b2- 12ac= 4(b2- 3ac)
a> 0 a< 0
Δ> 0 Δ≤ 0 Δ> 0 Δ≤ 0
图像
x0 x x1 x2 x xx x x 0
x
1 2
两个极值 x1、x2= 两个极值 x1、x2=
极值 - b ± b2 - 3 a c 无极值 - b ± b2 - 3 a c 无极值
点 3a 3a
1 f(x)不可能为偶函数；当且仅当 b= d= 0时是奇函数
性质
2 三次函数是中心对称曲线，且对称中心是 ( - b b3a ,f( - 3a ))
·16·
指数与指数函数
小 课 堂
★ 1、分数、指数、有理数幂
m
a n = n am(a> 0,m,n∈N ，且n> 1)； a-n= 1 nn ； ( a)n= aa
n n
a, a≥ 0
当 为奇数时， an= a n； 当n为偶数时， an= |a| = .-a, a< 0
2、指数幂的运算性质
r
ar as= ar+s(a> 0,r,s∈Q). as = ar s(a> 0,r,s∈Q)a
(ar)s= ars(a> 0,r,s∈Q). (ab)r= arbr(a> 0,b> 0,r∈Q).
★ 3、指数函数
函数名称 指数函数
定 义 形如 y= ax(a> 0且a≠ 1)的函数叫做指数函数
a> 1 0< a< 1
y y
图 象
f(x) = ax f(x) = ax
(0,1) (0,1)
x x
定义域 R
值 域 (0, +∞)
过定点 图象过定点 (0,1)，即当x= 0时，y= 1．
渐近线 y= 0即 x轴
奇偶性 非奇非偶
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
a变化对
a越大，开口越靠近 y轴 a越小，开口越靠近 y轴
图象影响
★ 4、指数型函数
（1）形如：y=Aax-n+B的函数称之为指数型函数.
（2）指数函数 y= ax经过平移变换和伸缩变换后可以得到指数型函数.
（3）指数型函数的渐近线为：x=B，恒过定点（：n,A+B）
·17·
※ 5、指数函数的翻折变换
小 课 堂
(1)函数 y= ax 与指数函数 y= ax图像一样，不需要进行翻折（函数值没有负的部分）
（2）函数 y= ax-n+m 的翻折变换 (以 y= 2x- 2 为例：)
1 先画出函数 y= 2x- 2的图像（上加下减，函数 y= 2x向下平移 2个单位可得）
y
y= 2x f(x) = 2x- 2
向下平移2个单位 x
渐近线： y=-2
2 将函数值为负的部分对称翻折到 y轴上方（去绝对值的原理）
y
渐近线： y=-2
f(x) = 2x- 2
x
对称翻折
f(x) = 2x- 2
（3）函数 y= a x-n +m的翻折变换以 y= 2 x-2 - 1为例：
1 先画出函数 y= 2 x-2 的图像（函数 y= 2x向右平移 2个单位）
y
向右平移2个单位
y= 2x f(x) = 2 x-2
x
2 函数 y= 2 x-2 向下平移 1个单位，可得到：y= 2 x-2 - 1
y
f(x) = 2 x-2 f(x) = 2 x-2 - 1
向下平移 1个单位 x
渐近线： y=-1
·18·
对数与对数函数
小 课 堂
★ 1、指数式与对数式的互化
logaN = b ab=N (a> 0,a≠ 1,N > 0).
※ 2、对数换底公式
log N
log N = m a logma
(a> 0,且 a≠ 1,m> 0,且m≠ 1, N > 0).
推论 log namb =
n
m logab(a> 0,且 a> 1,m,n> 0,且m≠ 1,n≠ 1, N > 0).
★ 3、对数四则运算法则
(1)loga(MN ) = logaM + logaN ; (2)log
M
a N = logaM - logaN ;
(3)logaM n=nlog M (n∈R). (4)log M na ab =
n
b logaM (b≠ 0,n∈R)
注：性质运算公式 : loga1= 0 log a= 1 alogaNa =N
★ 4、对数函数
函数名称 对数函数
定 义 形如 y= logax(a> 0且 a≠ 1)的函数叫做对数函数
图 象 a> 1 0< a< 1
y f(x) = log x ya f(x) = logax
（1，0） x x（1，0）
定义域 (0, +∞)
值 域 R
过定点 图象过定点 (1,0)，即当 x= 1时，y= 0．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在 (0, +∞)上是增函数 在 (0, +∞)上是减函数
a变化对
a越大，开口越靠近 x轴 a越小，开口越靠近 x轴
图象影响
★ 5、对数型函数
（1）形如：y=Aloga(x+n)+B的函数称之为指数型函数.
（2）指数函数 y= logax经过平移变换和伸缩变换后可以得到指数型函数.
（3）指数型函数的渐近线为：x= 0，恒过定点（：n,A+B）
·19·
※ 6、对数函数的变换
小 课 堂
(1)函数 y= loga(x+ b)由对数函数 y= logax经过平移变换可以得到.
eg : y= log2(x- 1)由对数函数 y= log2x向右平移 1个单位可以得到.
y y
平移变换 x= 1
1 x 2 x
y= log2x y= log2(x- 1)
（2）函数 f(x) = loga(x+ b) 的翻折变换 (以 f(x) = log2(x- 1) 为例：)
1 先画出函数 f(x) = log2(x- 1)的图像（左加右减，函数向右平移 1个单位），过程如上方
2 将 f(x) = log2(x- 1)负的部分沿 x轴对称翻折可得 f(x) = loga(x+ b) 图像与性质
f(x) = log2(x- 1)
对称翻折
f(x) = log2(x- 1)
渐近线 x= 1
★ 7、指数不等式与对数不等式
(1)当 a> 1时,
f(x)> 0
af(x)> ag(x) f(x)> g(x); loga f(x)> logag(x) g(x)> 0 .
f(x)> g(x)
(2)当 0< a< 1时,
f(x)> 0
af(x)> ag(x) f(x)< g(x); loga f(x)> logag(x) g(x)> 0
f(x)< g(x)
8、对数换底不等式及其推广
若 a> 0,b> 0,x> 0,x≠ 1a ,则函数 y= logax(bx)
(1)当 a> b时,在 (0, 1a )和 (
1
a , +∞)上 y= logax(bx)为增函数.
(2)当 a< b时,在 (0, 1a )和 (
1
a , +∞)上 y= logax(bx)为减函数.
推论 :设n>m> 1，p> 0，a> 0，且 a≠ 1，则
(1)logm+p(n+ p)< logmn． (2)logamlogan< log2
m + n
a 2 .
·20·
第四部分 导数与积分
小 课 堂
极限与导函数
1、极限
设函数 f(x)在点 x0的附近有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε，
一定存在 δ> 0,使不等式 f(x) -A < ε在 x- x0 0,δ 时恒成立，那么常数A
叫做函数 f(x)在点 x0处的极限，记作：lim f(x) =A
x→x0
2、几个常用极限
lim 1 = 0 lim ann = 0（1> a> 0） limx= xn→∞ n→+∞ x→x 00
lim 1 = 1 xx x lim
si n x
x = 1 lim 1+
1 = e
x→x 0 0 x→0 x→∞ x
3、导函数的定义：f x0 =
Δy = f x +Δx -lim lim 0 f x0
Δx→0 Δx Δx→0 Δx
求导数值的一般步骤：
①求函数的增量：Δy= f(x0+Δx) - f(x0)；
Δy f(x
②求平均变化率： 0 + Δ x )- f( x0 )Δx = Δx ；
'( ) = Δy = f( x0 + Δ x )- f( x )③求极限，得导数：f x0 lim Δx lim
0
Δx .Δx→0 Δx→0
★ 4、导函数的几何意义
' yf(x)在点 x0处导数 f (x0)表示：f(x)在点 x0处切线的斜率. Q
如图，当Δx→ 0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率. △y
= Δy
P
即：k lim = f(xlim 0 + Δ x ) - f (x ) = f (x ).
Δx→0 Δx 0Δx→0 Δx △x
x
★ 5、函数求导公式
(C) = 0(C为常数 ) (xn) =n xn 1 (ex) = ex
(lnx) = 1 x x 1 x (a ) = a lna (loga x ) = xlna
(sinx) = cosx (cosx) = sinx tanx = sec2x
★ 6、函数求导法则
(1)线性法则：(mf(x) ±ng(x)) =mf(x) ±ng(x)
(2)链式法则： f μ(x) = f μ(x) μ (x)
(3)积法则 : ( f(x) g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x)

(4)商法则 : f( x ) = f (x )g (x ) - f (x ) g (x )g(x) g2(x)
★ 7、导数应用
（1）研究函数单调性 : 若 f (x)> 0，则 f(x)为增函数；若 f (x)< 0，则 f(x)为减函数
（2）求函数极值：极大值：在 x0附近“左增右减↗↘”；极小值：在 x0附近“左减右增↘↗”
步骤：f(x)定义域→求导 f (x)→求 f (x)零点→列表→判断增减性→得极值：
（3）求函数在 [a,b]的值域：f(x)在 a,b 内极值与 f(a)、f(b)比较，最大的数为最大值，
最小的数为最小值
·21·
※ 8、同构母函数图像与性质
小 课 堂
解析式 f(x) = xex f(x) = x f(x) = e
x
ex x
y y y
1
f(x) = xex e e
图 像
1 x
-1
- 1 x f(x) = x 1 xe ex
f(x) = e
x
x
定义域 -∞，+∞ -∞，+∞ -∞， 0) ∪ (0+∞
① x+ 1 ex= e 1 x+ 1 ex+1= e 1 f x+ 1 ，即将 f x 向左平移1个单位，
再将纵坐标缩小为原来的 1e 倍，故可得 y= x+ 1 e
x在区间 ∞, 2
↓，在区间 2, +∞ ↑，当 x= 2时，y = 1 min 2 ．e
同 构 ② y= x 1x =
1
e x 1 e
(x 1)= 1e fe x 1 ，即将 f x 关于原点对称
后，向右移一个单位，再将纵坐标缩小 1e 倍，得到 y=
x 1 ，故可得 y=
ex
x 1
x 在区间 ∞,2 ↑，在区间 2, +∞ ↓，当 x= 2时，y =
1 ．
e max e2
解析式 f(x) = xlnx f(x) = x f(x) = ln xlnx x
y f(x) = xlnx y y
1
e
1 e
图 像 e 1 e x
- 1 x 1 e xe
x f(x) =
ln x
f(x) = xlnx
定义域 0，+∞ 0， 1 ∪ 1，+∞ 0，+∞
① ln x + 1 = e ln e xx ex = ef lnex ，当 lnex∈ ∞, 1 ，即 x∈ 1, +∞
↓，
当 lnex∈ 1, +∞ ，即 x∈ 0,1 ↑，ymax= 1．
同 构
② ln x = 1 ln x
2
2 2 2 =
1
2 f lnx
2 ，当 lnx2∈ ∞, 1 ，即 x∈ e, +∞x x
↓，
当 lnx2∈ 1, +∞ ，即 x∈ 0, e ↑，y 1max= 2e．
·22·
极限与定积分
小 课 堂
1、定积分概念： y
y= f(x)
设函数 f(x)在区间 [a,b]上连续，将区间 [a,b]等分成n个小区间，
每个小区间长度为D(D= b an )，对所有小区间作和式：
n n a x
Sn= D× f(i) = b a b
i=1 i=1 n
× f(i)
当D无限接近于 0时，Sn无限趋近于常数S.称S为函数 f(x)在 [a,b]上的定积分.
n
S= lim b
b
a
n × f(i)，记为：S= f(x)dxn→∞ i=1 a
2、定积分几何意义：定积分表示积分上下限与函数围成的几何图形的面积.
3、积分公式
α+1
∫0dx= c(c为常数 ) ∫1dx= x+ c ∫xαdx= x α+ 1 + c(α≠-1)
∫ 1 dx= ln x + c ∫exdx= ex+ c ∫axdx= a
x
x lna + c(a> 0,a≠ 1)
∫sinxdx=-cosx+ c ∫cosaxdx= 1a sinax+ c(a≠ 0)
∫cosxdx= sinx+ c ∫sinaxdx=- 1a cosax+ c(a≠ 0)
4、积分运算法则
b b
(1)线性运算： kf(x)dx= k f(x)dx(k为常数 )a a
b b b
f(x) ± g(x)dx= f(x)dx± g(x)dxa a a
b c b
(2)区间可加性： f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx(其中 a< c< b);a a c
5、微积分基本定理：牛顿莱布尼茨公式
b
若函数 f(x)在区间 a,b 上是连续的，且F (x) = f(x)，则有： f(x)dx=F(b) F(a)a
6、积分应用：
b
直线 x= a，x= b，x轴及曲线 y= f(x)围成曲边梯形面积S= f(x)dxa
b b
曲线 y= f x ,y= g x 在 a,b 上围成的图形面积S= f(x)dx- g(x)dxa a
y y
f(x) f(x)
g(x)
a b x a b x
·23·
小 课 堂 导数在函数中的应用
★ 1、切线问题：
(1)已知切点 x0,f(x0) ，求切线方程的解题步骤：
1 求导数值 f (x)； 2 切线方程为：y- f(x ) = f 0 (x) (x- x0)．
(2)过点 (a,b)的切线方程求解步骤：
, ( ) f( x0 ) - b1 设切点 x0 f x0 ； 2 切线斜率为： = f (x ) xx0- a 0 0
3 方程为：y- f(x0) = f (x) (x- x0)；
(3)求 y= f(x)与 y= g(x)的公切线的步骤：
①设切点 (x1,f(x1)), ( , ( ))
f(x1) - g(x2)x2 g x2 ；②求导列关系式 k= - = f
(x ) = g 1 (xx x 2)1 2
③根据上面的关系式解出 x1或 x2；④回代入②中求出 k，如 k= f (x1)；
⑤利用点斜式求出切线，如 y- f(x1) = f (x1) (x- x1)．
※ 2、参数取值范围：
(1)函数定义域：解决函数问题，定义域优先.
(2)分离参量：利用分离参量的思路将题目给的参数移到一边. a≤ h(x)
(3)恒成立和成立问题：
①恒成立：f(x)< a恒成立 f(x)max< a; f(x)> a恒成立 f(x)min> a;
②成立：f(x)< a成立 f(x)min< a f(x)> a成立 f(x)max> a
(4)导函数零点可求：导函数零点可求时，运用常规方法可求得函数最值，进而可得参数
取值范围.步骤：f(x)定义域→ f (x)→求 f (x)零点→列表→判断增减性→得最值.
※ 3、导函数零点不可求的处理方法：需要单独设分子为新函数，求导推出原函数单调性.
（1）分类讨论法 (证明不等式成立 )：通过对原函数或者导函数进行因式分解，对局部函数
进行研究，找出参数分界值，在分段区间上证明题意成立，从而印证该区间参数可以取到
单调性讨论：分离出参量后，构造新函数，求新函数最值，若新函数的导函数零点不可求
往往需要对分式分子进行求导 (整式直接进行二阶求导 )，若得到的式子不能比较直观的
判断正负则继续求导，直到得到的式子能比较直观判断正负，进而推出前面几阶导数的
增减和正负，直到可以确定原函数增减性.
（2）分离参量法：
(1)隐零点：通过虚设零点进行等量代换求解函数的最值.
“虚设代换 "法 :导函数 f (x)的零点无法求出显性的表达时，可以利用设而不求的思想.
① 在证明零点存在后，假设零点为 xo，则可得到一个关于 xo的方程 f (xo) = 0
② 根据 f (x)的单调性，得出 xo两侧的正负，进面得出原函数的单调性和极值 f(xo);
③ 将①式中关于 xo的方程整体或局部代入 f(xo)，从而求得 f(xo)，然后解决相关问题.
注意：使用 f (xo) = 0进行 "指幂代换 "(或 "对幂代换 ")，尽最转化为幂函数进行讨论.
·24·
(2)洛必达法则：在驻点不可求时，往往需要讨论函数的增减性，这时，函数的最值往往
在间断点处取得，所以需要通过极限计算的方法求出函数的最值.求极限时，函数的极 小 课 堂
限如果满足未定式 00 、
∞
∞ .则需通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值.
f( x)

即：lim f (x )
x→x0 g(x) = limx→x0 g (x)
※ 4、证明单变量不等式
(1)核心考点：主要思路是把问题转化为函数最值问题，譬如证明 f(x)> g(x)：
策略一：移项，构造函数，证明 f(x) - g(x) min> 0；
策略二：放缩，证明 f(x)≥ l(x)> g(x)，一般 l(x)为切线；
策略三：变形，证明 f(x)min> g(x)max，该法并非通法，但有时对证明有意想不到的效果.
(2)函数放缩化曲为直：在处理函数不等式或者求解函数近似解中，由于原函数比较复
杂，常用化曲为直的方法进行放缩，以曲线上某点处的切线进行放缩，前提条件是放缩对
象具有凹凸性 (二阶导恒大于或小于 0).
常见的化曲为直有：
基础 指数切线放缩：ex≥ x+ 1 对数切线放缩：lnx≤ x 1
① ex 1≥ x、ex≥ ex (切横 x= 1) ① lnx≤ x．(用 x 替换 x，切点横坐标
② ex+a≥ x+ a+ 1 (用 x+ e ea替
是 x= e)
换 x，切点横坐标是 x= a)，
1 1
引申 ③ xe
x≥ x + lnx + 1．(用 x + ② lnx≥ 1 － x．(用 x 替换 x，切点横
lnx替换 x，切点横坐标满足 x+ 坐标 x= 1)，或者记为 xlnx≥ x－ 1．
lnx= 0). ③ lnx≤ x2－ x．( ln xx ≤ x－ 1)．2
④ ex≥ e x24 > x
2(x> 0) (用 x2 ④ ln(x+ 1)≤ x，由 lnx≤ x 1向左平移
替换 x，切点横坐标是 x= 2)；有 一个单位，或者将 ex≥ x+ 1两边取对数
e
x
n≥ e xn (x> 0)
而来.
的构造模型．
x∈ 0, +∞ 1- 1x ≤ lnx≤ x- 1
x∈ x- 1, +∞ 2 ( 1 )< lnx< x- 1 < 1 x- 1x+ 1 x 2 x
x∈ 0,1 1 2 x-
1
x < x-
1 < lnx< 2 ( x - 1 )
x x+ 1
※ 5、证明双变量不等式
y f(x)
(1)利用变量之间的关系转化 (消元或捆绑换元 )为单变量的不等式证明；
①当 x1< x2时，令 t= x2- x1,t∈ (0, +∞) 0< x <
t
x t= 1； ②当 1 2，令 ∈ (0,1)．t2 x1 x0 x2 x
(2)分拆变量，证明极值点偏移
①极值点偏移：对 f(x)有 f(x1) = f(x2) (x1< x2)，x0是函数 f(x)的极值点，且 x0∈ (x1,x2) y f(x)
x1 + x 2 < x1+ xx 2若 2 0，称为极值点右偏； 若

2 > x0称为极值点左偏．
x1 x0 x2 x
·25·
②分拆变量利用单调性证明极值点偏移的思路 (以 x1+ x2< 2x0为例 )：
小 课 堂
ⅰ、将所证不等式中的变量分到不等式的两边 (x1< 2x0- x2);
ⅱ、构造对称函数 g(x) = f(x) - f(2x0- x2);
ⅲ、利用导数研究函数 g(x)的单调性 (单调递增 );
ⅳ、由函数 g(x)的单调性判断 g(x)与 g(x0)的大小 (g(x2)> g(x0) = 0)；
ⅴ、利用 f(x)的单调性反推变量大小关系，从而 ( f(x1) = f(x2)> f(2x 0- x2) x1+ x2<
2x0)
a - b (a≠ b)
③对数平均不等式：两个正数a和 b的对数平均定义：L(a,b) = lna- lnb ，对数a(a= b).
平均与算术平均、几何平均的大小关系： ab≤L(a,b)≤ a + b2 此式记为对数平均不等式.
取等条件：当且仅当a= b时，等号成立.
(3)双变量恒成立、能成立问题的最值等价条件：
① x1∈A, x2∈B,使得：f(x1)≥ g(x2),则：f(x)min≥ g(x)max；
② x1∈A, x2∈B,使得：f(x1)≥ g(x2),则：f(x)min≥ g(x)min；
③ x1∈A, x2∈B,使得：f(x1)≥ g(x2),则：f(x)max≥ g(x)max；
④ x1∈A, x2∈B,使得：f(x1)≥ g(x2),则：f(x)max≥ g(x)min；
⑤ x1,x2∈A,使得： f(x1) - f(x2) ≤ a,则：f(x)max- f(x)min≤ a；
⑥ x1,x2∈A,使得： f(x1) - f(x2) ≥ a,则：f(x)max- f(x)min≥ a；
※ 6、抽象函数的导函数构造
'
① xf '( ) + ( )> [ ( )]'> '( ) ( )> f( x )x f x 0 xf x 0；xf x f x 0

x > 0
'
当 x> f(x)0时，xf '(x) +nf(x)> 0 [xn f(x)]'> 0；xf '(x) nf(x)> 0 n > 0x
f(x) '
② f '(x) + f(x)> 0 [ex f(x)]'> 0；f '(x) f(x)> 0 ex > 0
'( ) + ( )> [ x( ( ) )]'> '( ) ( )> ( ff x f x a e f x a 0；f x f x a
(x ) + a ) '
x > 0e
sinxf '(x) + cosxf(x)> 0
③
x∈ π
[sinxf(x)]'> 0
2 ,
π
2 tanxf '(x) + f(x)> 0
sinxf x - cosxf(x)> 0 f(x) ′
x∈ - π π

2 , 2 ，tanxf x - f(x)> 0

sinx > 0
cosxf x - sinxf(x)> 0 ′
f cosxf(x) > 0 x - tanxf(x)> 0
cosxf x + sinxf(x)> 0 f( x ) ′
x∈ - π , π
> 0
2 2 ，f
x + tanxf(x)> 0 cosx
·26·
附：导数中常用不等式
小 课 堂
指数不等式
2 3 n
ex的泰勒公式：ex= 1+ x+ x x x2! + 3! + ...+ n! +Rn
x2 x3 ne x= 1 x+ 2! 3! + ...+ ( 1)
n x
n! +Rn
x 2
ex≥ x+ 1 ex 1≥ x（ ex≥ ex） e 2≥ e x2 e
x≥ e4 x
2（ x≥ 0）
反向不等式：e x≥ x+ 1 ex< 1 1 x （ x< 1）
2
ex≥ 1+ x+ x2 （ x≥ 0）
弱化不等式：ex> x； ex> x2 (取点)
同向相加理论：ex e x≥ 2x(x≥ 0)
对数不等式
ln(1+ x)的泰勒公式：
2 3 4 n
ln(1+ x) = x x + x x ...+ ( 1)n+1 x2 3 4 n +Rn
= x 1
2 x 3 4 n
lnx x 1 +
1 x 1 x 12 3 4 ...+ ( 1)
n+1
n +Rn
2
x≥ ln(x+ 1)≥ x x2
x 1≥ lnx≥ 1 1x
1
e x≥ lnx
弱化不等式：x> lnx (取点)
指对混合不等式
ex lnx> 2
加强不等式：ex lnx> 2.3
ex 1≥ lnx+ 1
xex≥ x+ lnx+ 1
ex 1≥ x2 xlnx
三角不等式
三角的泰勒公式：
x3 x5sinx= x + n 1 x
2n 1
3! 5! ...+ ( 1) +R 2n 1 ! n
2 4 6 2n
cosx= 1 x + x2! 4!
x ...+ ( 1)n 1 x 6! +R 2n ! n
3
x≥ sinx≥ x x6 （ x≥ 0）
2
1≥ cosx≥ 1 x2
tanx≥ x≥ sinx（ 0≤ x< π2 ）
si nx
2+ cosx ≤
1
3 x(x≥ 0)
·27·
对(指)数均值不等式
小 课 堂
对数均值不等式： 1 > ln m l n n > 2 m n m+n (m> 0,n> 0,m≠n)mn
m
指数均值不等式： e + e
n e m e n m + n
2 >
2
m n > e (m≠n)
2(x 1)
x∈ (0,1)时， > lnx> x 1 x+ 1 >
1
2 (x
1
x )x
2(x 1)
x∈ (1, +∞)时， < lnx< x 1 < 1 (x 1x+ 1 x 2 x )
(x 2)ex+ x+ 2> 0 ex< 2 + x2 x (0< x< 2)
ex e x≥ 2x(x≥ 0)
常见特殊值
ln2≈ 0.69 ln3≈ 1.1 ln5≈ 1.61
e≈ 2.718 e2≈ 7.39 e3≈ 20.1
1
e ≈ 0.37 e ≈ 1.65
·28·
第五部分 三角函数
小 课 堂
三角函数概念与计算
1、弧度制：半径长等于圆弧弧长的圆心角叫做 1弧度的角.用 rad表示，读作弧度,记 α .
α = l 1° = π r 180 rad1rad=
1 8 0
π °
★ 2、三角函数定义 :
y
正弦函数: sinθ= 对 边 = y
斜边 r
P(x,y)
余弦函数：cosθ= 邻 边 = x
斜边 r
r
α
y
正切函数：tanθ= 对 边 = x
邻边 x
★ 3、同角三角函数的关系：
sin2θ+ cos2θ= 1 tanθ= si n θcosθ tanθ cotθ= 1
★ 4、三角函数特殊值
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π π π 2π 3π 5π6 4 60° 2 3 4 6 π
3π
2 2π
sinα 0 1 2 3 1 3 2 12 2 2 2 2 2 0 1 0
cosα 1 3 2 1 12 2 2 0 2
2 32 2 1 0 1
tanα 0 33 1 3 — 3 1
3
3 0 — 0
还需实记的值：15o( π )：sin15o= 6 2 cos15o= 6 + 212 4 4 tan15
o= 2 3
★ 5、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.
口诀说明：奇指 (2 k + 1 ) π2 ，偶指 kπ；变与不变指三角函数名称的变化；符号是结果的符号；
看象限指看原式三角函数的角度所在的象限对应的三角函数符号.
公式一 sin 2kπ+ α = sinα cos 2kπ+ α = cosα tan 2kπ+ α = tanα
公式二 sin π+ α =-sinα cos π+ α =-cosα tan π+ α = tanα
公式三 sin -α =-sinα cos -α = cosα tan -α =-tanα
公式四 sin π- α = sinα cos π- α =-cosα tan π- α =-tanα
π
公式五 sin 2 - α = cosα cos
π
2 - α = sinα
公式六 sin
π π
2 + α = cosα cos 2 + α =-sinα
总结：正弦、余弦的诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限 )
n n
nπ (-

1) 2sinα, 2 nπ (-1) cosα,sin( 2 + α) = n - 1 cos( 2 + α) = n +(- ) , (- ) 11 2 cosα 1 2 sinα,
·29·
小 课 堂 三角函数图像与性质
★ 1、三角函数图像性质 (书写规律：基准 (离 y轴最近的正值 ) +周期 )
y= sinx y= cosx y= tanx
1 y 1 y y
图 象 π 2π x π 3π2 2 x
- -1 -π π1 π 3π π x
2 2 - 3π - π π 3π2 2 2 2
R R x x≠ kπ+ π定义域 2 ,k∈ Ζ
值 域 -1,1 -1,1 R
x= 2kπ+ π2 ，ymax= 1 x= 2kπ时，ymax= 1；
最 值
x= 2kπ- π
既无最大也无最小
,ymin=-1 x= 2kπ+ π，y2 min=-1
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

单增区间 2kπ-
π
2 ,2kπ+
π
2 [ π+ 2kπ,2kπ] kπ-
π ,kπ+ π2 2
π
单减区间 2kπ+ 2 ,2kπ+
3π
2kπ,2kπ+ π2 无
π
对称轴 x= kπ+ 2 k∈ Ζ x= kπ k∈ Ζ 无
对称中心 (kπ,0) ( π2 + kπ,0) (
kπ
2 ,0)
★ 2、三角函数的平移变换 (自变量左加右减，因变量上加下减 )
横坐标变为原来 1 倍
(1) 纵坐先伸缩后平移 : y= sinx 标 变 为 原 来 A 倍 y=Asinx ω
φ
向左 右 平移 个单位
y= ωAsinωx y=Asin ωx+ φ
( 纵坐标变为原来A倍
向左 右 平
2)先平移后伸缩 : y= sinx y=Asinx
移 φ 个 单 位
横坐标变为原来 1 倍
y= ωAsin x+ φ y=Asin ωx+ φ
定理：y=Asin(ωx+ φ )→ y=Asin(ωx+ φ )则平移单位为 φ 2- φ 1 1 2 ω (注意平移方向 )
※ 3、三角函数的翻折变换
（1）f(x) = sinx 的图像由 f(x) = sinx图像作 x轴的对称翻折得到.
f(x) = sinx y
1
对 对
称 称
-2π -π 翻 π 翻 2π x
折 π 折
2
-1
·30·
（2）f(x) = sin x 的图像由 f(x) = sinx图像作 y轴的对称翻折得到.
y 小 课 堂
1
f(x) = sin x
-2π -π π 2π x
对称翻折
-1
正余弦型三角函数
y
★ 1、正弦型三角函数 y=Asin(ωx+ φ) +B A
(1)A(振幅 )：振动物体离开平衡位置的最大距离.
ωx+ φ(相位 )：振动物体任意时刻的状态.
振幅 x
φ(初相 )：振动物体初始时刻的状态. B 周期T
T = 2π
f(x) =Asin ωx+ φ +B
ω (周期 )：振动物体往复一次的时间.
(2)待定系数法求正弦型函数解析式
2A= f(x)max f(x)min
2B= f(x)max+ f(x)min、
ω= 2π (从图中读出周期，一般是 1 T、 1T 2 4 T、
3
4 T)
φ最值点 (零点 )法：ωx π0+ φ= 2 (
3π
2 )
2、正 (余 )弦型三角函数性质 (运用换元法：令 θ=ωx+ φ转化为正 (余 )弦三角函数 )
y=Asin(ωx+ φ) + b y=Acos(ωx+ φ) + b
2π 2π周 期 ω ω
2kπ+ π φ 2kπ φ
最大值 A+ b，当 x= 2 A+ b，当 x= ω 取得 ω
取得
2k π +
3π 2kπ+ π φ
最小值 -A+ b，当 x= 2
φ
取得 -A+ b，当 x= ω ω
取得
2kπ π π
单调增区间 2
φ ,
2k π + 2 φ
2k π π φ , 2k π φ ω ω ω ω

2kπ+
π φ 2kπ+ 3π φ 2kπ 2 2
φ , 2k π + π φ 单调减区间 ω , ω ω ω
kπ+ π φ = kπ φ对称轴 x= 2 x ω ω
π
对称中心 kπ - φω ,b 2 + k π - φω ,b
·31·
小 课 堂 三角恒等变换
★ 1、和差角公式：
sin(α± β) = sinαcosβ± cosαsinβ
cos(α± β) = cosαcosβ sinαsinβ
tan( ± tanαα β) = ± t an β 1 tanαtanβ
★ 2、二倍角公式：
sin2α= 2sinαcosα
sinαcosα= 12 sin2α
1± sin2α= sin2α+ cos2α± 2sinαcosα= (sinα± cosα)2
cos2α= cos2α- sin2α= 2cos2α- 1= 1- 2sin2α
升幂公式 1+ cosα= 2cos2 α2 ,1 cosα= 2sin
2 α
2
降幂公式 cos2α= co s 2α + 1 ，sin2α= 1 - c os 2 α2 2 ．
tan2α= 2t a n α
1- tan2α
3、万能公式
sin2α= 2t a n α 1 t an
2
cos2α= α 2t a n α
1+ tan2α 1+ tan2 tan2α=α 1 tan2α
4、辅助角公式
★ (1)一次辅助角公式：
f(x) = asinωx± bcosωx
= a2+ b2sin(ωx± φ) tanφ= ba
(2)二次辅助角公式：
f x = asinωxcosωx± bcos2ωx a,b> 0
2 2
f x = a sin2ωx± b 2 2 cos2ωx+ 1 =
a + b
2 sin
b b
2ωx± φ ± 2 tanφ= a
5、正切恒等式 tanA+ tanB+ tanC = tanA tanB tanC (当A+B+C = kπ时)
6、f x = sinxcosx+msinx+ncosx的最值
定理：若m n> 0,则 f x 存在最大值；若m n< 0,则 f x 存在最小值；
若m n= 0,则 f x 最大值和最小值都可出现；
sinx m+ cosx
其中求最值的充要条件是： =
cosx n+ sinx
·32·
第六部分 数 列
小 课 堂
等差与等比数列
★ 1、等差与等比数列
等 差 数 列 等 比 数 列
后一项与前一项的差为常数 后一项与前一项的比为常数
定 义 a
- =
n+ 1
a = qn+1 an d an
通 项 an= a1+ n- 1 d= a + n-m d a = a qn-1= a qn-mm n 1 m
n(a + a )
求和 S =
1 n
n 2 na1(q= 1)
=na + 11 2 n(n 1)d
Sn= a1 (1 qn ) a 1 a n q1 q = 1 q (q≠ 1)
公式 = d2 n
2+ (a d1 2 )n
中 项 如果 a,b,c成等差数列，则 2b= a+ c 如果 a,b,c成等比数列，则 b2= ac
性 质 若m+n= p+ q，则 am+ an= ap+ aq 若m+n= p+ q,则 am an= ap aq
① an 为等差数列 ①若Sn=Aan+B，则 {an}是等比数列.
S = an2+ bn (无常数) ②若 Sn= Aan A≠ 0 ，则 an 是从第n
②若有S = an2n + bn+ c 二项 a2为首项的等比数列.充要

条件 an 是以 a2为首项的等差数列 ③ Sn= A q
n+ B，当且仅当 A = B
③若有S =Aa 2+ 1 a +C 时，{an}是等比数列；当且仅当A≠ Bn n 2 n
1 时，{an}是从第二项 a2为首项的等比数 an 是等差数列，且 d= 2A 列.
补充
S S 2n 1 mn=na n + 1 ； an= 2n 1 Sm+n=Sm+ q Sn=Sn+ q
nSm
公式 2
a > 0 a < 0
数列 ①Sn有最大值
n n
；Sn有最小值 an+1< 0 an+1> 0
Sn> 0 Sn< 0最值 ②Sn> 0，n的最大值 ；Sn< 0,n的最大值 .Sn+1< 0 Sn+1> 0
2、和数列与积数列
和数列 积数列
定 义 数列 an 满足 an+ an+1= f n 称和数列 数列 an 满足 anan+1= f n 称为积数列
an+ an+1= f n =An+B时， a nna n+1 = f n = q 时，则 a n 1a n =
则 an 1+ an=A n 1 +B，两式相 qn 1，通 项
减得：an+1 an 1=A，故 an 是隔 a两式相除得： n+ 1a = q，故 an 是隔
项的等差数列， n 1
a n + 1
项的等比数列，公比为 q；
1+A 2 1 n为奇数 n + 1公 式 an= 2 1 + n a q n为奇数a2 A 2 1 n为偶数 ∴ a = 1n na q 2 1 2 n为偶数
·33·
小 课 堂 数列通项公式
★ 1、Sn法求数列通项：
(1)适用条件：适用题目所给关系式中含有Sn的情况.
(2)核心步骤：① 当n= 1时，a1=S1
Sn法中题目所给有时是关系式
② 当n≥ 2时，an=Sn Sn 1
eg :S 2n= 2n + 1,有时是递推式
③检验，当n= 1时，a1=S1，是否满足 an
eg：Sn= 2an+ 1。关系式可
直接得到 an，而递推式只能
※ 2、构造法求数列通项：
得到方程型关系。
(1)适用条件：适用题目所给关系式为：an+1= pan+ q
(2)核心步骤：将题目的式子变形为：an+1= pan+ q
an+1+A= p(an+A)
an + 1+ A q
a +A = p A=

n p 1
所以 an+A 是以 a1+A为首项，以 p公比的等比数列
(3)构造法的引深
等差后缀 等比后缀
关系式 an+1= pan+ dn+ q an+1= pan+ q
n
an+1= pan+ dn+ q 左右两边同时除以 qn+1，
an+1+ x(n+ 1) + y= p[an+ xn+ y] a
得 n+ 1 p an 1
an + 1+ x ( n + 1 )+ y = qn+1
=
p q
×
qn
+ q
a
递推步骤 n
+ xn+ y
+ + + + = a
p
所以 an xn y
n
是以 a1 x y 令 bn n ，则有 b
1
q n+

1= q bn+

q
为首项，以 p公比的等比数列 p
对 b n+1= q bn+
1
q 运用基础构造法.
※ 3、倒数变换法求数列通项
( ) pa1 适用条件：适用题目所给关系式为 a + = n n 1 da + q (分子只有一项 ).n
(2)核心步骤：左对两边同时取分之一转化为新数列.
1 = d an + q 1 = q × 1 + dan+1 pan an+1 p an p
若 p= q，则数列 1 是以 1 为首项，以 d a a p 为公差的等差数列；n 1
若 p≠ q，令数列 b = 1n a ，上式转化为 bn+1= αbn+ β，继续运用构造法即可求出数列 an .n
※ 4、整体除法求数列通项
(1)适用条件：适用所给关系式中含有数列积的式子.例如 anan+1
(2)核心步骤：① 左对两边同时除以题目的数列积，转化为新数列.
② 新数列为等差数列，用等差数列求解方法求解
·34·
5、累 (叠 )乘法求数列通项
(1)适用条件：适用题目所给关系式为：an+1= f(n) × an(等比数列的广义形式 ) 小 课 堂
(2) a核心步骤：将题目的式子变形为： n+ 1a = f(n)n
a
类比： n a = f(n 1)n 1
....． ....
×) a2a = f(1)1

n 1 n 1
an
a = f(k) ∴ an= a1× f(k)1
k=1 k=1
6、累 (叠 )加法求数列通项
(1)适用条件：适用题目所给关系式为：an+1= f(n) + an(等差数列的广义形式 )
(2)核心步骤：将题目的式子变形为：an+1 an= f(n)
类比得：
an an 1= f(n 1)
............
+)a2 a1= f(1)

n 1 n 1
an a1= f(k) ∴ an= f(k) + a1
k=1 k=1
※ 7、数学归纳法 (先猜后证 )求数列通项
(1)数学归纳法：直接证明的方法，用于证明与正整数有关的数学命题.
概括起来就是“两个步骤，一个结论.
(2)核心步骤：
① 证明当 n取第一个值 n0(例如n0= 1或 2等 )时结论正确；
② 假设当n= k(k∈N *，且 k≥n0)时结论正确.证明当n= k+ 1 时结论也正确.
③ 由①和②可知命题对从 n0开始的所有正整数 n都成立.命题得证.
·35·
8、其它递推数列通项公式
小 课 堂
数 列 数列通项公式
不动点递推法.令：a 2n+1= an= x，即 cx a d x b= 0；解出
两个根为 α,β．
aa + b ≠ a n+ 1 α = a n (1)当 α β时， k
n α
a k=
a α c
n+ 1= ca + d an+1 β an β a βc
，数列
n

a n α a 1 α
an

β 是以 a β 为首项，k为公比的等比数列.1
(2)当 α = β 时， 1 = 1 c a α a α + k k= αc+ d ，数列n+1 n
1 1
a - α 是以 a - α 为首项，k为公差的等差数列.n 1
p+ = b a 1 q 1 q
n 1
(1)当 时，an= a+ 1+ q .
(2)当 p+ q≠ 1时，设 an+1 αan= β an αan 1 与 an+1= pan+
a + = pan+ qa - α β=-qn 1 n 1 qan 1比较，得
a = a,a = b ，可知：α， β是方程 x
2 px q= 0
1 2 α+ β= p
的两根，容易求得 α， β.
当 α≠ β时，特征根解方程法：令 an= x αn+ y βn，将 a1,a2
代入即可.
当 α= β时，特征根解方程法：令 a = xn+ y αnn ，将 a1,a2代
入即可.
Fn =Fn-1+Fn-2 (1)定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两
F 项之和.0 =F1 = 1
n n
斐波那契数列 (2)通项公式：F = 1 1 + 5n 5 2 -
1- 5
2
(黄金分割数列)
(3)性质：a21+ a22+ +a 2n= anan+1
(1)当 p + q= 1 时，an+1 an= q an an 1 + A，继续构造
法，迭加法求出 an.
(2)当 p+ q≠ 1时，设 an+1 αan= β an αan 1 +A
an+1= pan+ qan-1+A α， β是方程 x2 px q= 0的两根，容易求得 α， β．
a1= a,a2= b 当 α≠ β时，特征根解法：an= x αn+ y βn+ z，代入 a1，a2，a3
可解.
当 α= β时，特征根法：an= xn+ y αn+ z，代入 a1，a2，a3可
解.
数列 {a * a n- 1n}满足：an+2= an+1- an(n∈N )、an= a (n≥ 3)则 {a周期数列 n}n-2
是周期为6的数列，计算出前 6个数列值，整个数列就都知道了.
数列求和方法
★ 1、公式法求和
(1)适用条件：适用题目所求为等差或等比数列的直接求和.
(2) n(a + a ) n(n核心步骤：等差：S = 1 n = a n+ 1 )n 2 1 2 d
n
a1 (1 q ) = a 1 a n q 等比 :S = 1 q 1 q
q≠ 1
n
a1nq= 1
·36·
※ 2、需实记的数列和
自然数列的和：1+ 2+ 3+ 4+ +n= n( n + 1 ) 小 课 堂2
平方数列的和：1+ 22+ 32+ 42+ +n2= 16 n(n+ 1) (2n+ 1)
2
立方数列的和：1+ 23+ 33+ 43+ +n3=
n( n + 1 )
2
奇数列的和：1+ 3+ 5+ +(2n- 1) =n2
3、倒序相加法求和
Sn= a1+ a2+ a3+ +an 1+ an
+ ) S n= an + a n 1+ an 2 + + a 2+ a1
2Sn= (a1+ an) + (a1+ an) + +(a1+ an) + (a1+ an)
∴S = n (a 1+ an )n 2 ， ∵ an= a1+ (n 1) ∴ =
n(
d S a n+ n 1 )n 1 2 d
★ 4、错位相减法求和
(1)适用条件：适用于题目所给数列通项结构为等差×等比的数列求和.
(2)核心步骤：左边乘以公比，右边错开一位相减.
设数列为 an= an+ b qn，则Sn= a n + b a qn+1 b a q 1 q 1 (q 1)2 q 1 (q 1)2 q
设数列为 a an b a b an= an+ b qn-1，则S = + qn n q 1 q 1 (q 1)2 q 1 (q 1)2
(3)格式步骤如下：以 an= an+ b qn为例
①表示Sn： Sn= a1+ a2+ a3+ +an 1+ an
Sn= (a+ b)q+ (2a+ b)q2+ (3a+ b)q3+ +(an+ b)qn
②表示 qSn：qSn= (a+ b)q2+ (2a+ b)q3+ +(a(n 1) + b)qn+ (an+ b)qn+1
③相减式：(1 q)Sn= (a+ b)q+ aq2+ aq3+ aq4+ +aqn (an+ b)qn+1
④套公式：S = a n + b a qn+1 b a n q 1 q 1 ( )2 q 1 ( )2 qq 1 q 1
★ 4、裂项相消法法求和
(1)适用条件：适用于题目所给数列通项结构为分式形式的数列求和.
(2)核心步骤：需把题目所给数列通项结构进行裂项.其中：k= 1
大分母-小分母
列项公式： 1 = k( 1 ×
1 )
小分母 大分母 小分母 大分母
(3)常见放缩方式：
1 形如 1 ( + )2 ，常放缩为
1
( + ) >
1 1
n 1 n n 1 (n+ 1)2 ≥ (n+ 1) ( + )；n 2
2 形如 k ，常放缩为 k+ n n ，譬如
1 > 1 ≥ 1
a q q 3n 3n+ 1 4 3n-1
3 形如 1 ，常放缩为 1 ≥ 1
n+ 1 n+ 1 n+ n+ 1
·37·
小 课 堂
几何
第一部分 平面向量
向量数量积中的 不是乘法 向量及其运算
★ 1、向量的基本运算
运 算 图形语言 符号语言 坐标语言
B

OA+OB=OC 记OA= x1,y1 ，OB= x2,y2 C
则 OA+OB = x1+ y1,x2+ y2
O A OA-OB=BA OB -OA= x2- x1,y加减法 2- y1
设 a= x1,y1 ,b= x2,y2 ，则：B
OA+AB=OB a + b= x1+ x2,y1+ y2
O A a

b= x1 x2,y1 y2
实数与 a
向量的 AB= λa=
λ∈R 记 a= x,y ，则 λa= λx ,λyb λa 1 1
乘积

向量数 a b= a 记 a= (x1,y1)，b= (x2,y2)，则
量积
b cos a,b a b= x1x2+ y1y2
a

θ cosθ= a b

设 a= x1,y1 ,b= x2,y ，则：
向量夹角 a
2
b × b x x + y ycosθ= 1 2 1 2
x2+ y2 21 1 x2+ y22
|a | = (a )2

a a± b = a± 2b
向量模长
= |a
| = x2+ y2
a 2± 2a

b+ 2b
※ 2、极化恒等式
(1) a

b a b= 1 a
2 2
概念：设 、 是两个平面向量，则有恒等式： 4 + b - a
- b
(2)几何意义：向量的数量积为和对角线与差对角线平方差的 14 .

a b= 1 AD 24 - BC
2
(3)空间几何与极化恒等式：在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点
O，P为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：

①PA2+PC 2=PB2+PD2 ； ② PA PC =PB PD.
C D
M
A B
·38·
向量的位置关系
小 课 堂
★ 1、平面向量基本定理

如果两个向量 a、b不共线，那么向量 p与向量 a、b共面的充要条件是：存在唯一实

数对 x、y，使 p= xa+ yb。

由此，可得下列结论：对空间任意两个向量 a、b， a//b（共线） 存在实数 λ使 a= λb．
2、共线问题

（1）P、A、B三点共线 AP AB AP= tAB OP= (1- t)OA+ tOB.
证明方法：

坐标方法：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x,y)三点共线，则：AP= λPB，
x= x1+
λx 2 1+ λ O A + λO B + OP= 1+ λ OP= tOA+ (1 t)OB 其中：t=
1
y
y= 1 λy 2 1+ λ
.
1+ λ
(2)定理应用：平面上O，A，B三点不共线，D在直线AB

O
上，且AD= λAB,令OA= a，OB= b，OD= x ，则有
a

x b
x = λb+ (1- λ)a .其表达意思就是从一个顶点O引出三
λ 1- λ
个向量，且它们共线，每一个向量 a，b分别乘它对面的比值. A D B
※ 3、等和线

平面内一组基底OA, OB 及任一向量OP,OP= λOA OB , R ，
若点 P在直线 AB 上或平行于AB的直线上，则 k (定值 ) ,反之也成立，

O Q 把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为等和线. k=
OP
①当等和线恰为直线 AB 时， k 1 ；
B
②当等和线在O 点和直线 AB 之间时,k 0,1 ； B
P
③当直线 AB 在O 点和等和线之间时,k 1, ； P
O A A
④当等和线过O 点时， k 0；
★ 4、平面向量的平行与垂直
位置关系 平行（共线） 垂 直

a a
图 示
b b

符号语言 =

b λa a b= 0
坐标语言 x1y2 x2y1= 0 x1x2+ y1y2= 0
记忆口诀 交叉相乘差为零 对应相乘和为零
·39·
小 课 堂 向量法研究三角形性质 A
c b
1、三角形基础知识：在△ABC中，记角A、B、C所对的边长为：a、b、c
（1）内角和定理：A+B+C = π B a C
(2)大边对大角，大角对大边，即：A>B a> b,等边对等角，即B=C b= c
a+ b> c
(3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即： a- b< c
2、三角形常用三心：设O为ΔABC所在平面上一点，角A、B、C所对边长分别为 a,b,c，则
★ (1)重心：
①概念：三角形三条边中线的交点. A

②重心向量表达：O为ΔABC的重心 OA+OB+OC = 0. c b
③重心的性质： O
B a C
1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2︰ 1.
2)重心和三角形 3个顶点组成的 3个三角形面积相等.
) x + x + x
y + y + y
3 ΔABC中A(x ,y )、B(x ,y )、C(x ,y ),重心的坐标是G( 1 2 3 , 1 2 31 1 2 2 3 3 3 3 )
★ (2)内心： A
①概念：三角形内切圆圆心.三内角角平分线交点. c b

②内心向量表达：O为ΔABC的内心 aOA+ ObOB+ cOC = 0.
B a C
③内心的性质：1)内心到三角形边的距离相等
2)三角形面积与内切圆半径关系：SΔ= 12 Cr=
1
2 (a+ b+ c)r
★ (3)外心：
A
①概念：三角形外接圆圆心.三条边垂直平分线交点.
2 2 ②外心向量表达：O为ΔABC的外心 OA =OB =OC2. c b
O
③外心的性质：1)外心到三角形三顶点的距离相等 B a C
2)三角形面积与外接圆半径关系：S = a b cΔ 4r
3、特殊三角形
（1）等腰等边三角形
A
等腰等边三角形三线合一：中线、高线、角平分线合为一条线。
α α
（2）直角三角形
1 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2 在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长 B 中点 C
的平方。
45°
60°
2 1 2 3 5 1 1
1
3 30° 1 45° 4 30° 30°
3
·40·
附：奔驰定理与向量四心 :
奔驰定理：已知点 小 课 堂O是 ΔABC 中的任意一点，则 :

SΔBOC OA+SΔAOC OB+S△AOB OC = 0
三角形的四心向量表达：(旁心不做要求 )

(1)已知点 O为 △ABC 的重心，则 OA+OB+OC = 0

(2)已知点 O为 ΔABC 的外心，则 sin2A OA+ sin2B OB+ sin2C OC = 0

(3)已知点 O为 △ABC 的内心，则 a OA+ b OB+ c OC = 0

(4)已知点 O为 △ABC 的垂心，则 tanA OA+ tanB OB+ tanC OC = 0

极化恒等式 : a b= 1 (a + b)2- (a - b)24

(1)平行四边形模式 : a b= 1 |AC|2- |DB|24 D C
(2)三角形模式 : b M
在右上图的三角形 ABD中 (M 为BD中点 ).

A B
因为AC = a2AM， 所以 a b= |AM |2- 1 24 |DB|
极化恒等式之矩形大法
如图，在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点O，P为平面内任意一点，
有以下两个重要的向量关系：
①PA2+PC 2=PB2+PD2 ；

② PA PC =PB PD.
2
证明：①连接PO，根据极化恒等式 a2+ b2= 2 a + b + a - b
2
2 2 ，
2
可得PA2+PC 2= 2 PO2+ A C 2 24 =PB +PD ；
2
②根据极化恒等式 a b= a + b - a - b
2
2 2 ，
2
可得PA PC =PO2- A C 4 =PB PD
推广到空间，得到的结论就是：
底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积均相等．
·41·
小 课 堂 第二部分 解三角形
A
★ 1、正弦定理
a b c c b
sinA = sinB = sinC = 2R. (R为外接圆半径 ) O
B a C
★ 2、余弦定理
2 2 2
a2= b2+ c2- 2bccosA cosA= b + c a 2bc A
2
b2= c2+ a2- 2cacosB cosB= a + c
2 b 2
2ac c b
2 2
c2= a2+ b2- 2abcosC cosC = a + b c
2
2ab B a C
★ 3、面积定理
直接求解式： S= 1 1 1 12 ×底× h= 2 aha= 2 bhb= 2 chc
坐标运算式： S= 12 ×水平宽×铅锤高
三角运算式： S= 1 absinC = 1 bcsinA= 12 2 2 casinB.
海伦公式： S= p(p a) (p b) (p c)p= a + b + c2

向量运算式： AB= a= (x1,y1)，AC = b= (x2,y2)
S= 1

2 a
2 b 2 (a b)2= 12 x1y2 x2y1
※ 4、三角形内角和定理
C = π- (A+B)
在ΔABC中，有A+B+C = π

C π
A + B
2 = 2 - 2 .
2C = 2π- 2(A+B)
互补关系：sin(A+B) = sin(π-C) = sinC cos(A+B) = cos(π-C) =-cosC
互余关系：sin A + B 2 = sin(
π
2 -
C
2 ) = cos
C
2 cos
A + B = cos( π - C ) = sin C2 2 2 2
※ 5、两个重要模型
（1）三角形周长的求解：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化。
周长= a+ b+ c= (a+ b) + c= a+ (b+ c) = (a+ c) + b
2 2 2
a = b + c 2bccosA 模型： (b+ c)2= a2+ 2bc+ 2bccosA(b+ c)2= b2+ 2bc+ c2
(2)三角形面积最值：均值不等式求面积：均值不等式结合完全平方公式运算
2 2 2
a = b + c - 2bccosA 模型： b
2+c2= a2+ 2bccosA
c2+ b2≥ 2bc
2
等量代换：a2+ 2bccosA≥ 2bc bc≤ a 2- 2cosA
S= 1
2
bcsinA ∴S = 1 × a 2 max 2 2- 2cosA × sinA
6、射影定理：在ΔABC中，a= bcosC + ccosB，
b= ccosA+ acosC，
c= acosB+ bcosA.
·42·
A
N
7、米勒定理：已知点M，N 是∠AOB的边OA上的两个 小 课 堂
定点，点P是边OB上的一动点，则当且仅当三角形
M
MPN 的外接圆与边OB相切于点P时，∠MPN 最大． C
B
8、张角定理：如图，在ΔABC O P中，D为BC边上的一点，连
A
接AD，
设AD= l，∠BAD= α，∠CAD= β， α βc b
si n α+ β
l

则有： = si n α + si n βl b c ．
B D C
托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
设四边形ABCD内接于圆O，则有AB CD+AD BC =AC BD，
广义托勒密定理：在四边形ABCD中，有AB CD+AD BC≥AC BD，
当且仅当四边形ABCD四点共圆时，等号成立.
第二部分 复 数
复数概念与计算
1、概念
复数：把形如 z= a+ bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中 a称为实部，b称为虚部，i称
为虚数单位.当 z的虚部等于零时，常称 z为实数；当 z的虚部不等于零时，实部等于零

时，常称 z为纯虚数.称复数 z= a bi为 Z的共轭复数. 共轭复数的性质:
(1) x+ yi = x- yi
复平面：记复数 z= a+ bi对应的坐标为（a,b).用水平的实 (2) x+ yi x- yi = x2+ y2
y
轴与垂直的虚轴建立起来的坐标系称为复平面.复数 z= a+ bi可以 z= a+ bi
b Z
表示为向量OZ = (a,b).复平面上的点与复数一一对应.
模运算：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数 O a x
的模，记作 z .
即对于复数 z= a+ bi，它的模： z = a2+ b2
★ 2、复数运算
加减法则： a+ bi ± c+ di = a± c + b± d i；
乘法法则： a+ bi c+ di = ac- bd + bc+ ad i；
a + b i = a + b i c- di 除法法则： = a c + b d + b c - a d ic+ di c+ di c- di c2+ d2
乘方法则：i2= 1，in= i4k+r= ir
幂运算：zm zn= zm+n; (zm)n= zmn; (z1 z2)m= zmzm1 2 (m,n∈N );
·43·
小 课 堂
3、几个重要的结论：
(1) (1± i)2=± 2i 1 + i1 i = i
1 i
1+ i = i;
(2) i性质：T = 4；i4n= 1,i4n+1= i,i4n+2= 1,i4n+3= i；i4n+ i4n+1+ i4+2+ i4n+3= 0;
复数的三角表示
1、概念 -般地，任何一个复数 x = a + bi都可以表示成 r(cosθ +
y
isinθ)的形式.其中，r是复数的模;θ是以 x轴的非负半轴为始边，向量 Z = a+ bi
b
OZ 所在射线 (射线 OZ )为终边的角，叫做复数 z = a +bi的辐角. r
r
(cosθ+ isinθ)叫做复数 z= a+ bi的三角表示式，简称三角形式.为了
与三角形式区分开来，a+ bi θ叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
O a x
※ 2、棣莫佛定理
对于复数Z = r(cosθ+ isinθ)有 z的n次幂：Z = rn cos nθ + isin nθ （ n∈N+）
Z = r(cosθ+ isinθ) = reiθ 若：Z1= r1 (cosθ1+ isinθ1) Z2= r2 (cosθ2+ isinθ2)
ZZ 1 r1则 1 Z2= r1r2 cos θ1+ θ2 + isin θ1+ θ2 = cos θ1- θ2 + isin θZ r 1- θ2 2 2
※ 3、复数的开方运算
1
( 1- 1 ± 3 1)

若：n z= r(cosθ+ isinθ) n,则：ω = r n cos θ + 2 k π θ + 2 k π1 1 i k n + isin n

的三次方根： 、 2 2
2kπ(2)1的n次方根：1的n次方根在复数域内是 e n i
·44·
第三部分 立体几何与空间向量
小 课 堂
空间几何体的结构特征
★ 1、空间几何体的结构和计算
结 构 特 征 图 示 表面积体积
两底面相互平 E
A
F
行，其余各面都 S柱表= 2S底面积+S侧面积
侧棱 B
D
C
棱柱 是平行四边形；
侧面 F E
侧棱平行且相 底面
A D V柱=S底h
等. B C
柱体
两底面相互平行； S柱表= 2S底面积+S侧面积
以矩形一边所在
侧面 = 2πrl+ 2πr2
直线为旋转轴，其
圆柱 轴
余三边旋转形成 = 2πr(r+ l)
母线
的曲面所围成的 底面 V柱=S底h
几何体.
底面是多边形，
顶点 S 侧棱
各侧面均是三 S锥表=S底面积+S侧面积
侧面
棱锥 角形； D C
各侧面有一个
底面 V = 1锥 Sh
公共顶点. A B 3
锥体
底面是圆；以直角
顶点 S S 1 1 2扇形=
三角形的一直角 母线 2
lr= 2 α r
边所在的直线为 S锥表= πrl+ πr2
圆锥 旋转轴，其余两边 高 h = πr(r+ l)
旋转形成的曲面 1
所围成的几何体. VA O 锥
= 3 ShB
两底面相互平 侧棱
行；是用一个平 侧面 S台表=S底面积+S侧面积
棱台 行于棱锥底面的 D
平面去截棱锥， C
底面
底面和截面之间 A V=
1
3 (S上+ S上S下+S下)hB
的部分.
台体
两底面相互平 A O B
圆台 S = π(R+ r)l行；用一平行圆 母线 侧侧面
锥底面的平面截 高 h
S = πrl+ πr2+ πRl+ πR2
圆锥，底面和截 台表
面之间的部分.
A O B V=
1
3 (S上+ S上S下+S下)h
球心到球面上各点的 C
球心 球面 S球表= 4πR2
距离相等；是以半圆的
直径所在直线为旋转
球 A O B 4 3
轴，半圆面旋转一周形 R V球体= 3 πR
轴
成的几何体.
D 球半径
·45·
★ 2、三视图
小 课 堂
（1）三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何
体的图形，包括：
主视图：物体前后方向投影所得投影图，反映物体的高度和长度
左视图：物体左右方向投影所得投影图，反映物体的高度和宽度
俯视图：物体上下方向投影所得投影图，反映物体的长度和宽度
3、直观图
（1）概念：一个物体，从直观看上去的图形，叫做直观图.分为平行投影下画出的直观图和
中心投影画出的直观图，画直观图的方法叫做斜二测画法.
（2）作图规则：
1 在已知图像中取互相垂直的 x轴和 y轴，两轴相交于点O，画直观图时，画出相应的
x′ 轴和 y′ 轴，两轴相交于O′，且使∠x′O′y′ = 45° 或 135° ，它们确定的平面表示水平面.
2 图形中平行于 x轴或 y轴的线段，在直观图中分别画出平行于 x′ 轴和 y′ 轴的线段.
3 原图形中平行于 x轴的线段在直观图中长度不变，平行于 y轴线段变成原来的一半.
4、三视图之俯视图拔高：
三视图可以从俯视图开始，采用画弧、连线、拔高这三步去还原直观图
画弧与连线：长对正，宽平齐，高相等
找点：在俯视图中，依次标好“长对正，宽平齐”的交汇点，
拔高：各点找好后，在俯视图上能拔高的点是在正视图和侧视图中有“公共高”的点，
此点能拔立起来，俯视图转化成斜二测图形，并形成直观图．
如下图（3），点1处在正视图中有“高”，在侧视图中无“高”，故不能拔高
点2处在正视图和侧视图中有“公共高”，故此点应该拔高。
？ ×
1 1
？ ？ √ ×
2 3 2 3
※ 5、正四面体的性质 (棱长为 a)
①全面积S= 3a2； ②体积V= 2 a3；
12
③对棱间的距离 d= 2 a； ④相邻面所成二面角 α= arccos 1
2 3
⑤外接球半径R= 6 a； ⑥内切球半径 r= 6 a；
4 12
⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值 h= 6 a.
3
·46·
空间点线面位置关系
小 课 堂
★ 1、线面平行
文字语言 图形语言 符号语言
平面外一条直线与此
判定 a a α
平面内的一条直线平行， b α a//α
b
定理 则直线与此平面平行. α a//b
如果一条直线和一个 a//α
a
性质 平面平行，经过这条直线 a β a//b
定理 的平面和这个平面相交， b α β= b α
则直线就和交线平行. β
2、面面平行
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面内有两条 a P b a α
判定 相交直线与另一个平面 α b α α//β
定理 平行，则这两个平面平 a b=P
行. β a//β,b//β
如果两个平行平面 a//β
性质 时与第三个平面相交，那 a
α α γ= a
a//b
定理 么它们的交线平行 b β γ= b

β
γ
★ 3、线面垂直
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与平面内的 l a b=O
判定 两条相交直线都垂直，则 a、 b α
O b l⊥ α
定理 该直线与此平面垂直. aα a⊥ l
b⊥ l
如果在两条平行直线
a
中，有一条垂直于平面，那 b a//b
推论 b⊥ α
么另一条直线也垂直这个 α a⊥ α
平面.
直线垂直于平面，则， l l⊥ α l a
性质 直线与平面内任意一条直 a α
a l b
定理 线垂直. α b b α

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★ 4、面面垂直
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文字语言 图形语言 符号语言
一个平面过另一 β
判定 个平面的一条垂 l l⊥ α
α⊥ β定理 线，则这两个平 α l β
面互相垂直
两个平面互相垂 β α β= a
直，则一个平面 l l⊥ a
性质 内垂直于交线的 α a l⊥ αα⊥ β
定理 直线垂直于另一
l β
个平面
几何法求空间角与距
★ 1、几何法求异面直线夹角：
(1)异面直线所成角的范围 (00,900]
（2）平移法求异面直线夹角：通过平移将问题转化到三角形中，用正余弦定理解三角形
几何方法一般有三种类型：
①利用图中已有的平行线进行平移；
②利用特殊点作平行线进行平移；
③利用异面直线所在几何体的特点，补形平移.
※ 2、空间余弦定理求异面直线夹角：
设直线AB、CD的夹角为 θ，则有：
cosθ= cos AB,CD =
2 2 A
A D + B C AC
2
+ BD
2

2AB CD

推导：AB CD=AB AD AC =AB AD AB AC

= AB AD cos AB,AD AB AC cos AB,AC B D
A 2 B + A D
2
BD
2
= AB AD AB AC 2 AB AD C
A B
2
+ A C
2
BC
2
= A
2 2 2 2 2 2
B + A D BD A B + A C BC
2 AB AC 2 2
( AD 2= + B C
2) ( BD
2 2
+ A C )
2

∴ cos AB,CD = A B C D
AD2+BC 2 AC 2+BD2 =
AB CD 2AB CD
头尾 2 2 2 2
记忆：cosθ= + 头 尾 头 头 + 头 头 2AB CD
※ 3、面积射影法求解二面角
（1）二面角：范围 [00,1800]定义法：作出二面角的平面角，转化为解三角形
在平面 α上取一块区域，面积记为S原，该区域投影至平面 β，投影面积记为S射，
S
平面 α与平面 β所成二面角记为 θ，则：cosθ= 射S原
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立体几何的空间向量方法
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★ 1、空间向量的相关概念与运算
(1)概念：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.用有向线段表示.
(2)空间向量的运算：
运 算 图形语言 符号语言 坐标语言
B z
记OA= x1,y1,z1 ，OB= x2,y ,z1
C OA+OB=
2
OC
则 OA+OB =
加减法 x OA-OB=BAO x1+ y1,x2+ y2,z1+ z2
y A

OB -OA= x2- x1,y2- y1,z2- z1
a

设 = x1,y1,z1 ,b= x ,y ,z2 ，z 2 2

B OA+AB=OB
则：a+ b=

AB=OB-OA x1+ x2,y1+ y2,z1+ z2
O x
A a
b=
y
x1 x2,y1 y2,z2- z1
实数与 z
向量的 a 记 a
= x,y,z
乘积 b= λa λ∈R
O
x 则 b= λa
= λx1,λy1,λz
y b= λa

向量数 a b= a 记 a= (x1,y1,z1)，b=
量积 z ( , ,z )

b cos a,b x2 y2 2 ，则 a b= x1x2+ y1y2+
a z1z2

向量夹 O θ
x cosθ= a b 设 a= (x1,y1,z1),b= (x2,y2,z2)，
角 y b

a × b 则：cosθ=
x 1x 2+ y1 y2 + z 1z 2
x2+ y2+ z2 x2+ y2+ z21 1 1 2 2 2

向量模 a z ± b
长 a
=
2
a ± b 2 2 2
O a
|a| = x + y + z
x = a 2± 2a b+ b 2
y
★ 2、平面法向量：
(1) 定义：如果表示向量m的有向线段所在直线垂直于平面 α，则称这个向量垂 z
直于平面 α ，记作m⊥ α，如果m⊥ α，那么向量m叫做平面 α的法向量. m
(2) 法向量求法：设平面ABC的法向量m= (x,y,z) O B
x
m AC =
α
0

A
则： m= (x y
C
0,y0,z0)
m AB= 0

快速解法：把AC = (a,b,c)、AB= (d,e,f)坐标写两遍，划掉收尾，十字相乘求差，结果为法
向量.若结果有公因式，可以把公因式约去.
a b c a b c
法向量n = (bf ec,cd af,ae bd).
d e f d e f
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★ 3、向量方法下的位置关系
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位置关系 图示 向量关系 向量表达 向量坐标运算
线线平行 a a xa= λxb
a

//b a

= λb ya= λyb
(a b) b b za= λzb
线线垂直
b a

b a b a

b= 0 xaxb+yayb+zazb= 0
(a b) a

线面平行 m a a
b a m a m= 0 xaxm+yaym+zazm= 0
(a α) α
x = λx
线面垂直 a m
a m
// a m a = yλm a= λym
α za= λzm
(a α) a
x = λx
面面平行 n mα
n m // = yn m n λm n= λym
(α β) β
zn= λzm

面面垂直 β n
m n m n m= 0 xnxm+ynym+znzm= 0
(α β) α
★ 4、向量方法下的空间角与空间距
空间角 图 示 向量方法

线异面 a a 设θ为异面直线a,b

所成角，a、 b分别表
直线夹 示异面直线a,b的方向向量
b b
角 α
cosθ= cos< a ,b>= a b
a b

线面角 l m m l 设m是平面α的法向量，a是 l的方向向量，l
a a
φ φ 与平面α所成的角为
α α
sinθ= cos< m, a>= a m
a m

二面角 设n,m是面α,β的法向量，二面角 α- l- ββ m
n 的大小为 θ，二面角大小等于或π-

α
= <

cosθ cos n, m>= n m
n m
点面距 m 若n是平面 α的法向量，AB是平面 α的一条
B 斜线段，且B∈ α.
d
AB n
αA d= n
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三余弦定理与三正弦定理
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三余弦定理(又叫最小角定理或爪子定理)
(1)定理：设点A为平面 α上一点，过A点的斜线在平面 α上的射影为BO，BC为平面 α上
的任意直线，那么∠ABC，∠OBC，∠OBA三角的余弦关系为：
cos∠ABC = cos∠OBC cos∠OBA
即斜线与平面一条直线夹角 β的余弦值等于斜线与平面所成角 α的余弦值乘以射影与平面
内直线夹角 θ的余弦值。
cosβ= cosα cosθ (为了便于记忆，我们约定：β为斜线角，α为线面角，θ为射影角)
(2)定理证明：如上图，ΔOAB、

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