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1.1　分类加法计数原理1.2　分步乘法计数原理
一、基础巩固
1.某电视台节目报名即将开始，选手可通过拨打热线电话或登录官网两种方式之一报名.现有甲、乙、丙三人均要报名参加活动，则不同的报名方法有(　　)
A.4种 B.6种
C.8种 D.9种
2.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)
A.40 B.16
C.13 D.10
3.有序数对(a，b)满足a，b∈，且使关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则这样的有序数对(a，b)的个数为(　　)
A.15 B.14
C.13 D.10
4.已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，则xy不同值的个数为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
5.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 022是“六合数”)，则首位数字为2的“六合数”共有(　　)
A.18个 B.15个
C.12个 D.9个
A.组成可以有重复数字的四位数有500个
B.组成无重复数字的四位数有96个
C.组成无重复数字的四位偶数有66个
D.组成无重复数字的四位奇数有28个
7.某小区有4个门，规定只能从主门进，从任一个门出，共有不同走法　　　　种.
8.商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有　　　　种不同的选法；要买上衣、裤子各一件，共有　　　　种不同的选法.
9.如图所示，在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有　　　　　个.
10.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法
二、综合运用
11.(多选)高二年级安排甲、乙、丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行活动，且多名同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有(　　)
A.如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B.如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
12.已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b，c∈M，则y＝ax2＋bx＋c可以有　　　　个不同的二次函数，表示　　　　个图象开口向上的二次函数.
13.用1，2，3，4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一列.
(1)写出排列后的第11个数；
(2)这些三位数有多少个
(3)若第n个数为341，求n.
三、拓展提高
14.若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么共有凸数多少个
1.1　分类加法计数原理1.2　分步乘法计数原理
一、基础巩固
1.某电视台节目报名即将开始，选手可通过拨打热线电话或登录官网两种方式之一报名.现有甲、乙、丙三人均要报名参加活动，则不同的报名方法有(　　)
A.4种 B.6种
C.8种 D.9种
答案　C
解析　由题意，每人选择的方式有2种，根据分步乘法计数原理，可得共有2×2×2＝8(种)，故选C.
2.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)
A.40 B.16
C.13 D.10
答案　C
解析　分两类情况讨论:
第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；
第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.
根据分类加法计数原理知，
共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面.
3.有序数对(a，b)满足a，b∈，且使关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则这样的有序数对(a，b)的个数为(　　)
A.15 B.14
C.13 D.10
答案　A
解析　(1)当a＝0时，有x＝－为实根，
则b＝－，－1，0，2，有4种可能；
(2)当a≠0时，方程有实根，所以Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.
当a＝－时，b＝－，－1，0，2，有4种.
当a＝－1时，b＝－，－1，0，2，有4种.
当a＝2时，b＝－，－1，0，有3种.
所以有序数对(a，b)的个数为4＋4＋4＋3＝15.
4.已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，则xy不同值的个数为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
答案　C
解析　问题分为两步:第一步在集合{2，3}中任取一个值，有2种不同取法，第二步在集合{－4，8}中任取一个值，有2种不同取法，故xy可表示2×2＝4(个)不同的值.
5.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 022是“六合数”)，则首位数字为2的“六合数”共有(　　)
A.18个 B.15个
C.12个 D.9个
答案　B
解析　设满足题意的“六合数”为2abc，则a＋b＋c＝4，于是满足条件的a，b，c可分以下四种情形:
(1)一个为4，两个为0，共有3种；
(2)一个为3，一个为1，一个为0，共有3×2×1＝6种；
(3)两个为2，一个为0，共有3种；
(4)一个为2，两个为1，共有3种.
则“六合数”中首位为2的“六合数”共有3＋6＋3＋3＝15(个)，故选B.
6.(多选)已知数字0，1，2，3，4，由它们组成的四位数，下列说法正确的有(　　)
A.组成可以有重复数字的四位数有500个
B.组成无重复数字的四位数有96个
C.组成无重复数字的四位偶数有66个
D.组成无重复数字的四位奇数有28个
答案　AB
解析　对于A，四位数的首位不能为0，有4种情况，其他数位有5种情况，则组成可以有重复数字的四位数有4×5×5×5＝500个，故选项A正确；
对于B，四位数的首位不能为0，有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3 个数位，有4×3×2＝24种情况，则组成无重复数字的四位数有4×24＝96个，故选项B正确；
对于C，若0在个位，有4×3×2＝24个四位偶数，若0不在个位，有2×3×3×2＝36个四位偶数，则组成无重复数字的四位偶数共有24＋36＝60个，故选项C错误；
对于D，组成无重复数字的四位奇数有2×3×3×2＝36个，故选项D错误.
7.某小区有4个门，规定只能从主门进，从任一个门出，共有不同走法　　　　种.
答案　4
解析　由分步乘法计数原理得共有1×4＝4(种)走法.
8.商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有　　　　种不同的选法；要买上衣、裤子各一件，共有　　　　种不同的选法.
答案　33　270
解析　买一件上衣有15种选法，买一条裤子有18种选法，故买一件上衣或一条裤子共有15＋18＝33(种)不同选法；要买上衣、裤子各一件，共有15×18＝270(种)不同选法.
9.如图所示，在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有　　　　　个.
答案　40
解析　满足条件的有两类:
第一类:与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8(个)；第二类:与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32(个).所以满足条件的三角形共有8＋32＝40(个).
10.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法
解　从O型血的人中选1人，有28种不同的选法；
从A型血的人中选1人，有7种不同的选法；
从B型血的人中选1人，有9种不同的选法；
从AB型血的人中选1人，有3种不同的选法.
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，故有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法.
(2)从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，故有28×7×9×3＝5 292种不同的选法.
二、综合运用
11.(多选)高二年级安排甲、乙、丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行活动，且多名同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有(　　)
A.如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B.如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种
C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
答案　ABC
解析　安排甲、乙、丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，
选项A.共有选法53种，都不选社区A共有43种，则社区A必须有同学选择，不同的安排方法有53－43＝61(种)，正确；
选项B.如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52＝25(种)，正确；
选项C.如果三名同学选择的社区各不相同，
则不同的安排方法共有5×4×3＝60(种)，正确；
选项D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则甲、乙有5种选择，丙有5种选择，则不同的安排方法共有5×5＝25(种)，错误.故选ABC.
12.已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，若a，b，c∈M，则y＝ax2＋bx＋c可以有　　　　个不同的二次函数，表示　　　　个图象开口向上的二次函数.
答案　180　72
解析　y＝ax2＋bx＋c表示二次函数时，a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数.当y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数.
13.用1，2，3，4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一列.
(1)写出排列后的第11个数；
(2)这些三位数有多少个
(3)若第n个数为341，求n.
解　(1)排列的第11个数为133.
(2)每个数位上都有4种排法，
则共有4×4×4＝64(个).
(3)比341小的数有两类:
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4＋1×3×4＝44(个).
所以n＝44＋1＝45.
三、拓展提高
14.若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么共有凸数多少个
解　共分8类，当中间数为2时，有1×2＝2(个)；
当中间数为3时，有2×3＝6(个)；
当中间数为4时，有3×4＝12(个)；
当中间数为5时，有4×5＝20(个)；
当中间数为6时，有5×6＝30(个)；
当中间数为7时，有6×7＝42(个)；
当中间数为8时，有7×8＝56(个)；
当中间数为9时，有8×9＝72(个).
故共有凸数2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).

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