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1.3　基本计数原理的简单应用
一、基础巩固
1.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生参赛的不同方法有(　　)
A.24种 B.48种
C.64种 D.81种
2.由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　)
A.25 B.20
C.16 D.12
3.如图，有4种不同的颜色可选择涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(　　)
A B
C
D
A.72种 B.48种
C.24种 D.12种
4.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，不同的选法种数为(　　)
A.9种 B.20种
C.10种 D.5种
5.若从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3整除的种数为(　　)
A.28 B.29
C.30 D.32
6.从红、黄、蓝三种颜色中选出若干种颜色，给如图所示的四个相连的正方形染色，若每种颜色只能涂一个正方形或两个正方形，且相邻两个正方形所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是(　　)
A.12 B.18
C.24 D.36
7.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成　　　　组.
8.将摆放在编号为1，2，3，4，5五个位置上的5件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为　　　　.
9.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有　　　　种.
10.某职业中学外贸专业高二①班、②班、③班分别有7，9，10人参加技能兴趣选拔赛.
(1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法
(2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法
(3)如果推选两名学生参加市技能大赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法
二、综合运用
11.(多选)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是 (　　)
A.所有可能的方法有34种
B.若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C.若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
12.甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京、上海、广州三个地方实习，每人只能去一个城市，北京一定要有人去，则不同的实习安排方案有　　　　种.
13.(链接教材P162习题5－1B组T1)“渐升数”是指每一位数字都比其左边的数字大的正整数(如236)，那么三位渐升数有多少个 其中比516小的三位渐升数共有多少个
三、拓展提高
14.一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N＋)等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.
(1)如图①，圆环分成3等份，分别为a1，a2，a3，则有多少种不同的种植方法
(2)如图②，圆环分成4等份，分别为a1，a2，a3，a4，则有多少种不同的种植方法
1.3　基本计数原理的简单应用
一、基础巩固
1.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生参赛的不同方法有(　　)
A.24种 B.48种
C.64种 D.81种
答案　A
解析　由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(种)不同的参赛方法.
2.由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　)
A.25 B.20
C.16 D.12
答案　C
解析　先排十位，十位不能为0，有4种选法，个位有4种选法，故有4×4＝16(种)选法.
3.如图，有4种不同的颜色可选择涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(　　)
A B
C
D
A.72种 B.48种
C.24种 D.12种
答案　A
解析　按A→B→C→D顺序涂色，由分步乘法计数原理得，4×3×2×3＝72(种).
4.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，不同的选法种数为(　　)
A.9种 B.20种
C.10种 D.5种
答案　B
解析　选男队员有5种选法，女队员有4种选法，故组成混合双打有5×4＝20(种)选法.
5.若从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3整除的种数为(　　)
A.28 B.29
C.30 D.32
答案　C
解析　被3除余1的数有1，4，7，被3除余2的数有2，5，8，被3整除的数有3，6，9，若要使选取的三个数字的和能被3整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，则取出的这三个数字的和能被3整除的种数为3×3×3＋1＋1＋1＝30.故选C.
6.从红、黄、蓝三种颜色中选出若干种颜色，给如图所示的四个相连的正方形染色，若每种颜色只能涂一个正方形或两个正方形，且相邻两个正方形所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是(　　)
A.12 B.18
C.24 D.36
答案　C
解析　正方形从左到右依次标号1，2，3，4.若使用2种颜色，则颜色的取法有3种，故正方形1，3颜色相同，2，4颜色相同，有2种涂法，共3×2＝6(种)方案；若使用3种颜色，则颜色的取法有1种，故四个正方形有两个不相邻必须同色，即1，3颜色相同，或者1，4颜色相同，或者2，4颜色相同，有3种方案，然后先涂相同色，再涂其余2个，共有3×2×1＝6(种)涂法.故共有1×3×6＝18(种)方案.
综上，符合要求的不同涂色方案有6＋18＝24(种).故选C.
7.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成　　　　组.
答案　60
解析　分两类:第一类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果；同理，第二类也有30组不同的结果，共可得到30＋30＝60(组).
8.将摆放在编号为1，2，3，4，5五个位置上的5件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为　　　　.
答案　45
解析　根据题意，分2步进行:
(1)从5件不同商品中选出1件，放回原来的位置，有5种情况，假设编号为5的位置不变；
(2)剩下四件都不在原来位置，即编号为1，2，3，4的四件商品都不在原来位置，
编号为1的商品有3种放法，假设其放在了2号商品原来的位置，则2号商品有3种放法，
剩下编号为3，4的两件商品只有1种放法，则其余四件商品的放法有3×3＝9种.
故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有5×9＝45种.
9.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有　　　　种.
答案　72
解析　①当使用4种颜色时，先着色第1区域，有4种方法，剩下3种颜色涂其他4个区域，即有1种颜色涂相对的2块区域(2，4或3，5)，有2×3×2×1＝12(种)，由分步乘法计数原理得，共有4×12＝48(种).②当使用3种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色第1区域，有3种方法，剩下2种颜色涂4个区域，只能是一种颜色涂第2，4区域，另一种颜色涂第3，5区域，有2种着色方法，由分步乘法计数原理得有4×3×2＝24(种).综上，共有48＋24＝72(种).
10.某职业中学外贸专业高二①班、②班、③班分别有7，9，10人参加技能兴趣选拔赛.
(1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法
(2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法
(3)如果推选两名学生参加市技能大赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法
解　(1)分三类:选出的是高二①班的学生，有7种选法；
选出的是高二②班的学生，有9种选法；
选出的是高二③班的学生，有10种选法.
由分类加法计数原理，得不同的选法种数为7＋9＋10＝26.
(2)每班选一名副组长为一步，所以共有三步.由分步乘法计数原理，得不同的选法种数为7×9×10＝630.
(3)分三类，高二①班和高二②班，或高二①班和高二③班，或高二②班和高二③班，每类又分两步，故不同的选法种数为7×9＋7×10＋9×10＝223.
二、综合运用
11.(多选)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是 (　　)
A.所有可能的方法有34种
B.若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C.若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
答案　BCD
解析　A，B，C三名同学各有4种选择，则所有可能的方法有43种，A错误.
对于B，分三种情况，第一种:若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为3种，另外两名同学的安排方法有3×3＝9(种)，此种情况共有3×9＝27(种)；第二种:若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有3种，另外一名同学的安排方法有3种，此种情况共有3×3＝9(种)；第三种:若三名同学都去工厂甲，此种情况唯一，则共有27＋9＋1＝37(种)安排方法，B正确.
对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有4×4＝16种安排，C正确.
对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有4×3×2＝24(种)安排，D正确.故答案为BCD.
12.甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京、上海、广州三个地方实习，每人只能去一个城市，北京一定要有人去，则不同的实习安排方案有　　　　种.
答案　65
解析　根据题意，甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京、上海、广州三个地方实习，每人只能去一个城市，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3＝81种选择；若北京没人去，即四位实习生选择了去上海、广州，每人有2种选择，则4人一共有2×2×2×2＝16种选择，即北京一定要有人去的实习安排方案有81－16＝65(种).
13.(链接教材P162习题5－1B组T1)“渐升数”是指每一位数字都比其左边的数字大的正整数(如236)，那么三位渐升数有多少个 其中比516小的三位渐升数共有多少个
解　由题意，三位渐升数可分类如下:
所以由分类加法计数原理得，三位渐升数共有28＋21＋15＋10＋6＋3＋1＝84(个)，其中比516大的三位渐升数有567，568，569，578，579，589，678，679，689，789，故比516小的渐升数有84－10＝74(个).
三、拓展提高
14.一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N＋)等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.
(1)如图①，圆环分成3等份，分别为a1，a2，a3，则有多少种不同的种植方法
(2)如图②，圆环分成4等份，分别为a1，a2，a3，a4，则有多少种不同的种植方法
解　(1)先种植a1部分，有3种不同的种植方法，再种植a2，a3部分.
因为a2，a3与a1的颜色不同，a2，a3的颜色也不同，所以由分步乘法计数原理，
不同的种植方法有3×2×1＝6(种).
(2)当a1，a3不同色时，
有3×2×1×1＝6(种)种植方法；
当a1，a3同色时，
有3×2×1×2＝12(种)种植方法.
由分类加法计数原理得，共有6＋12＝18(种)种植方法.

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