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第二课时　排列的综合问题
一、基础巩固
1.将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，则不同的站法有(　　)
A.1 440种 B.2 880种
C.4 320种 D.3 600种
2.6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有(　　)
A.36种 B.72种
C.144种 D.720种3.某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加2名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有(　　)
A.12种 B.30种
C.36种 D.42种
4.元宵节灯展后，悬挂的8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有(　　)
A.32种 B.70种
C.90种 D.280种
5.(多选)《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《中华戏曲》7本书放在一排，则(　　)
A.戏曲书放在正中间的不同排法有种
B.诗集相邻的不同排法有2种
C.四大名著互不相邻的不同排法有种
D.四大名著不放在两端的不同排法有种
6.(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　)
A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有48种
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C.甲、乙不相邻的排法种数为72种
D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
7.高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有　　　　种不同的排法.
8.一排8个座位，安排4名同学间隔而座，共有　　　　种不同的安排方法.(用数字作答)
9.由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数.
(1)若x＝9，则其中能被3整除的共有　　　个；
(2)若x＝0，则其中的偶数共有　　　　　个.
10.4名男同学和3名女同学(其中含甲、乙、丙)站成一排.
(1)3名女同学必须排在一起，有多少种不同的排法
(2)任何两名女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法
(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法
二、综合运用
11.(多选)从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中 (　　)
A.偶数有60个
B.比300大的奇数有48个
C.个位和百位数字之和为7的数有24个
D.能被3整除的数有48个
12.六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空车位连在一起，则停放的方法数为　　　　；若三个空车位不连在一起，则停放的方法数为　　　　.
13.从集合A＝{1，3，5，7}中取三个数字，从集合B＝{0，2，4，6，8}中取两个数字，组成没有重复数字的五位数，分别求出满足下列条件的五位数个数，要求答案用数字表示.
(1)集合A中的数字必须在奇数位上；
(2)集合A中的数字必须相邻，且组成的五位数是偶数.
三、拓展提高
14.现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色路灯.如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法
第二课时　排列的综合问题
一、基础巩固
1.将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，则不同的站法有(　　)
A.1 440种 B.2 880种
C.4 320种 D.3 600种
答案　C
解析　7个人从左到右排成一排，共有＝5 040种不同的站法，其中甲、乙、丙3人都相邻有＝720种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻的不同站法有5 040－720＝4 320种不同的站法，故选C.
2.6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有(　　)
A.36种 B.72种
C.144种 D.720种
答案　C
解析　甲、乙、丙三人在一起，有＝6种不同的排法，把甲、乙、丙看成一个整体，与其余的3个人混排，共有＝24种不同的排法，故共有6×24＝144种，故选C.
3.某校高二学生进行演讲比赛，原有5名同学参加，后又增加2名同学，如果保持原来5名同学顺序不变，那么不同的比赛顺序有(　　)
A.12种 B.30种
C.36种 D.42种
答案　D
解析　法一　由于原来5名同学顺序不变，这5位同学共有6个空位，再增加2名同学时，可分为两步进行，第一步安排第一名同学，有6种不同的方法，此时变成7个空位，再把最后一名同学放进去，共有7种不同的方法，故共有6×7＝42(种)不同的排列数.
法二　先将所有同学重排，共有种方法，而原来5名同学共有种不同顺序，
因此共有÷＝42(种)顺序，故选D.
4.元宵节灯展后，悬挂的8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有(　　)
A.32种 B.70种
C.90种 D.280种
答案　B
解析　因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有＝70种.故选B.
5.(多选)《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《中华戏曲》7本书放在一排，则(　　)
A.戏曲书放在正中间的不同排法有种
B.诗集相邻的不同排法有2种
C.四大名著互不相邻的不同排法有种
D.四大名著不放在两端的不同排法有种
答案　BC
解析　对于A，戏曲书只有1本，将戏曲书放在正中间，其余6本书全排列，不同排法种数为，A错误；
对于B，诗集共2本，把2本诗集看为一个整体，则7本书的不同排法种数为＝2，B正确；
对于C，四大名著互不相邻，先将四大名著全排列，再在每种排列的中间3个空隙中放置其他书，共有种排法，则不同排法种数为，C正确；
对于D，在第2至第6这5个位置上任选4个位置放四大名著，共有种排法，其余3本书在剩下的3个位置上全排列，则不同排法种数为，D错误.故选BC.
6.(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　)
A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有48种
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C.甲、乙不相邻的排法种数为72种
D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
答案　BCD
解析　根据题意，依次分析选项:
对于A，甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲、乙看成一个整体，与丙、丁、戊全排列，有＝24种排法，A错误；
对于B，分2种情况讨论:若甲站在最左端，乙和丙、丁、戊全排列，有＝24 种排法，若乙站在最左端，则甲有3种站法，剩下3人全排列，有3×＝18种排法，则有24＋18＝42种不同的排法，故B正确；
对于C，先将丙、丁、戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有＝72种排法，C正确；
对于D，甲、乙、丙、丁、戊五人全排列有＝120种排法，甲、乙、丙全排列有＝6种排法，则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有＝20种，故D正确.故选BCD.
7.高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有　　　　种不同的排法.
答案　3 600
解析　不同排法的种数为＝3 600.
8.一排8个座位，安排4名同学间隔而座，共有　　　　种不同的安排方法.(用数字作答)
答案　120
解析　将4个空座位排成一排，只有一种排法，有五个空，四个人插入五个空中，有＝120种方法.
9.由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数.
(1)若x＝9，则其中能被3整除的共有　　　个；
(2)若x＝0，则其中的偶数共有　　　　　个.
答案　(1)12　(2)14
解析　(1)因为各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，所以这种三位数只能由2，4，9或1，2，9排列组成，所以共有2×＝12(个).
(2)偶数数字有3个，个位数必是一个偶数，同时0不能在百位，可分两类考虑:①0在个位的，有＝6个.②个位是2或4的，有××＝8个.
所以偶数共有6＋8＝14(个).
10.4名男同学和3名女同学(其中含甲、乙、丙)站成一排.
(1)3名女同学必须排在一起，有多少种不同的排法
(2)任何两名女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法
(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法
解　(1)3名女同学是特殊元素，共有种排法；
由于3名女同学必须排在一起，则可视排好的女同学为一个整体，再与4名男同学排队，应有种排法.
由分步乘法计数原理得，有＝720(种)不同的排法.
(2)先将男同学排好，共有种排法，再在这4名男同学的中间及两头的共5个空当中插入3名女同学，则有种方法.
故符合条件的排法共有＝1 440(种).
(3)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有种排法；由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有种排法；
最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的共5个空当中，则有种排法.所以共有＝960(种)不同的排法.
二、综合运用
11.(多选)从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中 (　　)
A.偶数有60个
B.比300大的奇数有48个
C.个位和百位数字之和为7的数有24个
D.能被3整除的数有48个
答案　ACD
解析　对于A，其个位数字为2或4或6，有3种情况，在剩余5个数字中任选2个，安排在百位和十位，有＝20(种)情况，则有3×20＝60(个)三位偶数，A正确；
对于B，分2种情况讨论，若百位数字为3或5，有＝16(个)三位奇数，若百位数字为4或6，有＝24(个)三位奇数，则符合题意的三位数有16＋24＝40(个)，B错误；
对于C，个位和百位数字之和为7有(1，6)，(2，5)，(3，4)，共3种情况，则符合题意的三位数有3＝24(个)，故C正确；
对于D，能被3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有(1，2，3)，(1，2，6)，(1，3，5)，(1，5，6)，(2，3，4)，(2，4，6)，(3，4，5)，(4，5，6)八种选择，故能被3整除的数有8＝48个，故D正确.故选ACD.
12.六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空车位连在一起，则停放的方法数为　　　　；若三个空车位不连在一起，则停放的方法数为　　　　.
答案　24　96
解析　把三个空车位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有＝4×3×2×1＝24(种).不考虑任何限制，共有＝120(种)不同放车方法，若三个空车位不连在一起，则共有120－24＝96种停放方法.
13.从集合A＝{1，3，5，7}中取三个数字，从集合B＝{0，2，4，6，8}中取两个数字，组成没有重复数字的五位数，分别求出满足下列条件的五位数个数，要求答案用数字表示.
(1)集合A中的数字必须在奇数位上；
(2)集合A中的数字必须相邻，且组成的五位数是偶数.
解析　(1)依题意，集合A中的数字必须在奇数位上，则集合B中的数字只能在十位和千位，所以集合A中的数字必须在奇数位上的五位数个数是＝24×20＝480.
(2)因为集合A中的数字必须相邻，且组成的五位数是偶数，则此五位数的个位必须是集合B中的数字，当万位是集合A中取出的数字时，有个，
当万位是集合B中取出的数字时，排万位有种，排个位有种，排另3个数位有种，共有种，由分类加法计数原理得＝24×20＋4×4×24＝864，所以集合A中的数字必须相邻，且组成的五位数是偶数的个数是864.
三、拓展提高
14.现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色路灯.如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法
解　安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明三种颜色的路灯的分配情况只能是2，2，3盏的形式.
先讨论颜色，在选择颜色时有3种方法，选好了一种颜色后，安装时采用插空的方式.
下面不妨就选择的是两盏红灯、两盏黄灯、三盏蓝灯来讨论.
先排两盏红灯、两盏黄灯，若两盏红灯、两盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排法，共有6种不同的安装方法；
若两盏红灯、两盏黄灯分别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去有10种安装方法，所以有20种不同的安装方法；
若两盏红灯、两盏黄灯恰有一种颜色相邻，则有2×6＝12(种)不同的安装方法.
综上，共有3×(6＋20＋12)＝114(种)不同的安装方法.

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