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第一课时　组合与组合数
一、基础巩固
1.给出下面几个问题，其中是组合问题的有(　　)
①由1，2，3，4构成的两个元素的集合；②五个队进行单循环比赛的分组情况；③由1，2，3组成的两位数；④由1，2，3组成无重复数字的两位数.
A.①③ B.②④
C.①② D.①②④
2.已知集合M＝{x|x＝，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是(　　)
A.M∪Q＝{0，1，2，3，4} B.Q M
C.M Q D.M∩Q＝{1，4}
3.从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有(　　)
A.60种 B.36种
C.10种 D.6种
4.从2，3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c且aA.35组 B.42组
C.105组 D.210组
5.若3－6＝4，则n＝(　　)
A.8 B.7
C.6 D.5
6.现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是(　　)
A.90 B.115
C.210 D.385
7.若已知集合P＝{1，2，3，4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数为　　　　.
8.若＝120，则n＝　　　　.
9.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答).
10.袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球.
(1)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个
(2)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个
二、综合运用
11.(多选)下列各式成立的有(　　)
A.
B.＝n2
C.＝n
D.n＋k
12.五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成　　　　条线段；如果是有向线段，共有　　　　条.
13.某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜品中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同(包含200种)的选择，则餐厅至少还需准备多少种不同的素菜
三、拓展提高
14.某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行.
(1)小组赛:经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
(2)半决赛:甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
(3)决赛:两个胜队参加决赛一场，决出胜负.
问:全部赛程共需比赛多少场
第一课时　组合与组合数
一、基础巩固
1.给出下面几个问题，其中是组合问题的有(　　)
①由1，2，3，4构成的两个元素的集合；②五个队进行单循环比赛的分组情况；③由1，2，3组成的两位数；④由1，2，3组成无重复数字的两位数.
A.①③ B.②④
C.①② D.①②④
答案　C
解析　对于①，两个元素的集合与元素的顺序无关，是组合问题；
对于②，单循环比赛，只需两个队比赛一场，与两个队的顺序无关，是组合问题；
对于③，组成的两位数，若取出的是同一个数字，则与顺序无关，是组合问题；若两次取出的不是同一数字，则是排列问题；对于④，由③可知是排列问题，故选C.
2.已知集合M＝{x|x＝，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是(　　)
A.M∪Q＝{0，1，2，3，4} B.Q M
C.M Q D.M∩Q＝{1，4}
答案　D
解析　由知n＝0，1，2，3，4，因为＝1，＝4，＝6，＝4，＝1，所以M＝{1，4，6}.故M∩Q＝{1，4}，故选D.
3.从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有(　　)
A.60种 B.36种
C.10种 D.6种
答案　D
解析　甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有＝6(种)不同的选法.
4.从2，3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c且aA.35组 B.42组
C.105组 D.210组
答案　A
解析　由题知不同的数组有＝35(组).故选A.
5.若3－6＝4，则n＝(　　)
A.8 B.7
C.6 D.5
答案　D
解析　因为3－6＝4，
所以3n(n－1)(n－2)－6n(n－1)＝，
即3(n－1)(n－2)－6(n－1)＝2(n＋1)，
即3n2－17n＋10＝0，
解得n＝5或n＝(舍去).
6.现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是(　　)
A.90 B.115
C.210 D.385
答案　B
解析　依题意根据取法可分为三类:两个黑球，有＝90(种)；三个黑球，有＝24(种)；四个黑球，有＝1(种).
根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115.
7.若已知集合P＝{1，2，3，4}，则集合P的子集中含有2个元素的子集数为　　　　.
答案　6
解析　由于集合中的元素具有无序性，因此含2个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有＝6(个).
8.若＝120，则n＝　　　　.
答案　3
解析　2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)＝，化简得n2－2n－3＝0，
解得n＝3或n＝－1(舍去)，
所以n＝3.
9.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答).
答案　64
解析　由题意，可分三类:
第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选1门，有种方案；
第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；
第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案.
综上，不同的选课方案共有＝64(种).
10.袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球.
(1)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个
(2)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个
解　(1)从4个白球中取2个，有＝6种方法，从5个黑球中取1个，有＝5种方法，故取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有6×5＝30(种).
(2)取出的3球中至少有2个白球，包括有2个白球1个黑球及3个白球两种情况，故有＝6×5＋4＝34(种)不同的结果.
二、综合运用
11.(多选)下列各式成立的有(　　)
A.
B.＝n2
C.＝n
D.n＋k
答案　BC
解析　对于选项A，·
·≠，故A错误.
对于选项B，＝n2，故B正确.
对于选项C，n，故C正确.
对于选项D，＋k＋k＋k＋k≠n，故D错误.故选BC.
12.五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成　　　　条线段；如果是有向线段，共有　　　　条.
答案　10　20
解析　从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有＝10(条).再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是＝20.所以有向线段共有20条.
13.某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜品中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同(包含200种)的选择，则餐厅至少还需准备多少种不同的素菜
解　设餐厅至少还需准备x种不同的素菜.
由题意，得·≥200，从而有≥20，
即x(x－1)≥40.
又x≥2且x∈N＋，所以x的最小值为7.
故餐厅至少还需准备7种不同的素菜.
三、拓展提高
14.某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行.
(1)小组赛:经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
(2)半决赛:甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；
(3)决赛:两个胜队参加决赛一场，决出胜负.
问:全部赛程共需比赛多少场
解　(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2＝30(场).
(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场).
(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负.所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场).

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