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第二课时　组合数的性质及组合的应用
一、基础巩固
1.某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　　)
A.120种 B.84种
C.52种 D.48种
2.5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(　　)
A.种 B.45种
C.54种 D.种
3.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)
A.30种 B.35种
C.42种 D.48种
4.有一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，不同的选法种数是(　　)
A.9 B.24
C.84 D.288
5.(多选)在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有(　　)
A.“其中恰有2件次品”的抽法有8种
B.“其中恰有1件次品”的抽法有28种
C.“其中没有次品”的抽法有56种
D.“其中至少有1件次品”的抽法有56种
6.(多选)有13名医生，其中女医生6名，现从中抽调5名医生组成医疗小组，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式是(　　)
A.
B.
C.
D.
7.某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别人数比例抽取，则此考察团的组成的方法种数是　　　　.
8.若，则n＝　　　　.
9.某校开设9门课程供学生选修，其中3门课程由于上课时间相同，至多选1门，学校规定每位同学选修4门，则共有　　　　　种不同的选修方案.
10.一组学生共有7人.
(1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法
(2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有648种，问该组学生中男、女生各有多少人
二、综合运用
11.(多选)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
12.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数为　　　　，其中所拨数字小于600的有　　　　个.
13.有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数.
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.
三、拓展提高
14.证明:m!＋＋…＋＝m!.
第二课时　组合数的性质及组合的应用
一、基础巩固
1.某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　　)
A.120种 B.84种
C.52种 D.48种
答案　C
解析　间接法:＝52种.
2.5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(　　)
A.种 B.45种
C.54种 D.种
答案　D
解析　由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有种.
3.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)
A.30种 B.35种
C.42种 D.48种
答案　A
解析　法一　可分两种情况:A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有＝18＋12＝30种选法.
法二　总共有＝35种选法，减去只选A类的＝1种，再减去只选B类的＝4种，故有30种选法.
4.有一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，不同的选法种数是(　　)
A.9 B.24
C.84 D.288
答案　B
解析　由题意知选题可分三步，则＝4×3×2＝24，故选B.
5.(多选)在10件产品中，有两件次品，从中任取3件，则下列结论错误的有(　　)
A.“其中恰有2件次品”的抽法有8种
B.“其中恰有1件次品”的抽法有28种
C.“其中没有次品”的抽法有56种
D.“其中至少有1件次品”的抽法有56种
答案　BD
解析　抽到的3件产品中恰好有2件次品的抽法有＝8种，A选项正确；
抽到的3件产品中恰好有1件次品的抽法有＝56种，B选项错误；
抽到的3件产品中没有次品的抽法有＝56种，C选项正确；
抽到的3件产品中至少有一件次品的抽法有＝64种，D选项错误，故选BD.
6.(多选)有13名医生，其中女医生6名，现从中抽调5名医生组成医疗小组，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　BC
解析　13名医生，其中女医生6名，男医生7名.
利用直接法:2男3女:；3男2女:；4男1女:；5男:，
所以N＝；
利用间接法:13名医生，任取5人，减去4，5名女医生的情况，即N＝；所以能成为N的算式是BC，故选BC.
7.某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别人数比例抽取，则此考察团的组成的方法种数是　　　　.
答案　2 100
解析　由题意知需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有＝2 100(种)组成方法.
8.若，则n＝　　　　.
答案　9
解析　由＋1＝，
即，即，
所以×，
化简可得n2－3n－54＝0，
解得n＝9或n＝－6(舍去).
9.某校开设9门课程供学生选修，其中3门课程由于上课时间相同，至多选1门，学校规定每位同学选修4门，则共有　　　　　种不同的选修方案.
答案　75
解析　分两类:第一类，从6门不同时上课的课程中任选4门，有种选法；第二类，在不同时上课的6门课程中选3门，再从3门同时上课的课程中选1门，有×种选法.所以不同的选修方案共有×＝75(种).
10.一组学生共有7人.
(1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法
(2)如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有648种，问该组学生中男、女生各有多少人
解　(1)由题意，所有的不同选法种数，就是从7名学生中选出3人的组合数，所以共有＝35种不同的选法.
(2)设有男生x人，女生则有7－x人，从这7人中选出2名男生2名女生的方法有种，要求每人参加一项且每项活动都有人参加有种，根据分步乘法计数原理得
＝648，
所以x(x－1)(7－x)(6－x)＝72(x∈N＋且2≤x≤5)，解得x＝3或x＝4，所以该组学生中男生3人，女生4人或男生4人，女生3人.
二、综合运用
11.(多选)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　BD
解析　任意两位同学之间交换纪念品共要交换＝15(次)，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品.现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人，故选BD.
12.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数为　　　　，其中所拨数字小于600的有　　　　个.
答案　24　7
解析　(1)在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，所有的数有＝24(个).
(2)当下珠拨的是百位档时，上珠只能拨个位档和十位档，有1种情况；当下珠拨的个位档或十位档时，上珠可以从个、十、百位档中随机选择两个档位各拨一颗，有＝6(种)情况.所以所拨数字小于600的有1＋6＝7(个).
13.有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数.
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.
解　(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，有()种，后排有种，共有()·＝5 400(种)选法.
(2)除去该女生后，先选后排，有·＝840(种)选法.
(3)先选后排，先安排该男生 ，有··＝3 360(种)选法.
(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人，有种，再安排该男生有种，除该男生、该女生外其余3人全排列，有种，共有··＝360(种)选法.
三、拓展提高
14.证明:m!＋＋…＋＝m!.
证明　法一　原式左边＝m!(1＋＋…＋)
＝m!(＋…＋)
＝m!(＋…＋)
＝m!(＋…＋)
…
＝m!＝右边.
故原式成立.
法二　运用结论＋…＋.
原式左边＝m!(1＋＋…＋)
＝m!(＋…＋)
＝m!＝m!＝右边.

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