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习题课　排列、组合的综合应用
一、基础巩固
1.某学校要求错峰有序吃饭，高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有(　　)
A.120种 B.156种
C.192种 D.240种
2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有(　　)
A.140种 B.80种
C.70种 D.35种
3.若将9名成员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有(　　)
A. B.
C. D.
4.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有(　　)
A.56种 B.68种
C.74种 D.92种
5.已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形个数为(　　)
A. B.()()
C.－9 D.
6.(多选)下列说法正确的为(　　)
A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，有种不同的分法
B.6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，有540种不同的分法
C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少1本，有10种不同的分法
D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法
7.某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为　　　　.
8.将6位志愿者分配到广交会的5个不同场馆服务.若每个场馆至少有1位志愿者，则不同的分配方案的种数为　　　　.
9.把8个相同的小球放入4个不同的盒子中，有　　　　种不同的放法.
10.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求
(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法
(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法
二、综合运用
11.(多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加且不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　　)
A.若1班不再分配名额.则共有种分配方法
B.若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法
C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
12.将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，每所大学至少保送一人.
(1)有　　　　种不同的保送方法；
(2)若甲不能被保送到北大，有　　　　种不同的保送方法.
13.某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习，实习前在学院门口合影留念，实习结束后四名实习生就被安排在三所中学任教，请回答以下问题.(用数字作答)
(1)若站成两排合影，两名教授站在前排，四名实习学生站在后排，则共有多少种不同的排法
(2)若站成一排合影，两名教授必须相邻，则共有多少种不同的排法
(3)实习结束后，四名实习生被安排在三所中学任教，若每个中学至少一人去且甲、乙两人不能去同一学校，则共有多少种不同的安排方法
三、拓展提高
14.(1)如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法
(2)如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，已知C地(十字路口)在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法
(3)如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条(注意有一段DE不通)，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法
(4)如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知C地(十字路口)在修路，无法通行，且有一段路程DE无法通行，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，有多少种不同的走法
习题课　排列、组合的综合应用
一、基础巩固
1.某学校要求错峰有序吃饭，高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有(　　)
A.120种 B.156种
C.192种 D.240种
答案　C
解析　丙、丁捆绑在一起看作一个班，变成5个班进行排列，然后在后面4个位置中选1个排甲，这样可得排法为＝192(种).
2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有(　　)
A.140种 B.80种
C.70种 D.35种
答案　C
解析　在被取出的3台中，若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合题意，故符合题意的取法有＝70(种)，故选C.
3.若将9名成员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　此题为平均分组问题，有种分法.
4.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有(　　)
A.56种 B.68种
C.74种 D.92种
答案　D
解析　根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类:划左舷中没有“多面手”的选派方法有种，有一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有种，即共有20＋60＋12＝92(种)不同的选派方法.
5.已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形个数为(　　)
A. B.()()
C.－9 D.
答案　A
解析　可以分为两类:a上取两点，b上取一点，则可构成三角形个数为；a上取一点，b上取两点，则可构成三角形个数为.利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为.
6.(多选)下列说法正确的为(　　)
A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，有种不同的分法
B.6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，有540种不同的分法
C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少1本，有10种不同的分法
D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法
答案　AC
解析　对于A，从6本不同的书中，先取2本给甲，再从剩余的4本中取2本给乙，最后2本给丙，共有种不同的分法，故A正确；
对于B，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，有1种分法，故B错误；
对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少1本，可利用挡板法，有＝10(种)不同的分法，故C正确；
对于D，从6本不同的书中，先取1本作为一组，再从剩余的5本中取2本作为一组，最后3本作为一组，共有种分组方法，再将三组分给甲、乙、丙三人，共有种不同的分法，故D错误.
7.某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为　　　　.
答案　80
解析　先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有＝80(种)抽派方法.
8.将6位志愿者分配到广交会的5个不同场馆服务.若每个场馆至少有1位志愿者，则不同的分配方案的种数为　　　　.
答案　1 800
解析　依题意，将6位志愿者分成5组有种分组方法，再将分成的5组分配到5个不同场馆有种分配方法，所以不同的分配方案的种数为＝15×120＝1 800.
9.把8个相同的小球放入4个不同的盒子中，有　　　　种不同的放法.
答案　165
解析　取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置，由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上挡板，共有＝165种排法.
10.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求
(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法
(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法
解　(1)有＝120(种)不同的方法.
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有＝24(种)不同的方法.
(3)按人数分配方式分类:
①3，1，1，有＝60(种)方法；
②2，2，1，有＝90(种)方法.
故共有60＋90＝150(种)分配方法.
二、综合运用
11.(多选)某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加且不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是(　　)
A.若1班不再分配名额.则共有种分配方法
B.若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法
C.若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D.若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
答案　BD
解析　对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误；
对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确；
对于CD，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有＝126(种)，故C错误，D正确.
12.将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读，每所大学至少保送一人.
(1)有　　　　种不同的保送方法；
(2)若甲不能被保送到北大，有　　　　种不同的保送方法.
答案　(1)150　(2)100
解析　(1)5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种组合，当5名学生分成2，2，1时，共有·＝90(种)方法；当5名学生分成3，1，1时，共有·＝60(种)方法.根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150(种)保送方法.
(2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2，2，1或3，1，1，所以有＝25(种)分组方法.因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种).
13.某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习，实习前在学院门口合影留念，实习结束后四名实习生就被安排在三所中学任教，请回答以下问题.(用数字作答)
(1)若站成两排合影，两名教授站在前排，四名实习学生站在后排，则共有多少种不同的排法
(2)若站成一排合影，两名教授必须相邻，则共有多少种不同的排法
(3)实习结束后，四名实习生被安排在三所中学任教，若每个中学至少一人去且甲、乙两人不能去同一学校，则共有多少种不同的安排方法
解　(1)先排2名教授，有＝2(种)不同的排法，再排4名实习学生，有＝24(种)不同的排法，故由分步乘法计数原理可得，共有2×24＝48(种)不同的排法.
(2)将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列有＝120(种)不同的排法.又2名教授有＝2(种)不同的排法，所以共有2×120＝240(种)不同的排法.
(3)因为甲、乙两人不能去同一所学校，
故分为三种情况:①甲、乙均单独去一个学校，另两人去一个学校有＝6(种)；②甲单独去一所学校，乙与另一人去一所学校有2＝2×6＝12(种)；③乙单独去一所学校，甲与另一人去一所学校有2＝2×6＝12(种).则共有6＋12＋12＝30(种)不同的安排方法.
三、拓展提高
14.(1)如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法
(2)如图2所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，已知C地(十字路口)在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法
(3)如图3所示，某地有南北街道5条，东西街道6条(注意有一段DE不通)，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，共有多少种不同的走法
(4)如图4所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，已知C地(十字路口)在修路，无法通行，且有一段路程DE无法通行，一邮递员从该地东北角的邮局A出发，送信到西南角的B地，要求所走的路程最短，有多少种不同的走法
解　(1)由题意，由A到B的最短距离需要9步完成，其中向下走5步，向左走4步，故不同的走法共有＝126(种).
(2)若由A先经过C再到B，则由A到C，需向下走3步，向左走2步，有种走法，再由C到B需向下运动2步，向左运动2步，有种走法，故先经过C再到B共有，所以不经过C共有＝126－60＝66(种)走法.
(3)经过ED，需要3步由A到D，再需要5步由E到B，由A到D共有种走法，由E到B共有种走法，所以经过ED的走法共有种，
故不经过ED的走法共有＝126－30＝96(种).
(4)由A经过DE到C的走法共有种，再由C到B需要向下、向左各2步共有种走法，故经过DE到C再到B的走法共有种，
所以不经过DE也不经过C的走法共有＝54(种).

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