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4.1　二项式定理的推导
一、基础巩固
1.设n∈N＋，化简61＋62＋63＋…＋6n＝(　　)
A.6n B.6n－1
C.7n D.7n－1
2.的展开式中的常数项为(　　)
A.60 B.－60
C.250 D.－250
3.(5－1)5的展开式中x的二项式系数为(　　)
A.－250 B.10
C.20 D.250
4.若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
5.(多选)若的展开式中含x2项，则n的值可能是(　　)
A.6 B.9
C.12 D.14
6.(多选)关于(x)8的展开式，下列说法正确的有(　　)
A.系数为有理数的项有5项
B.系数为无理数的项有3项
C.第5项为2 520x4
D.第6项为1 008x5
7.展开式中的第4项是　　　　.
8.若二项式(1＋2x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝　　　　.
9.若的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则n＝　　　　；该展开式中的系数为　　　　.
10.已知的展开式中，前三项的二项式系数之和为37.
(1)求n的值；
(2)求展开式中的系数.
二、综合运用
11.(多选)对于二项式(n∈N＋)，以下判断正确的是(　　)
A.存在n∈N＋，使展开式中有常数项
B.对任意n∈N＋，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N＋，使展开式中有x的一次项
12.已知在的展开式中，第9项为常数项，则:
(1)n的值为　　　　；
(2)含x的整数次幂的项有　　　　个.
13.某二项展开式中，相邻a(a≥3，a∈N＋)项的二项式系数之比为1∶2∶3∶…∶a，求二项式的次数n及a的值.
三、拓展提高
14.已知f(x)＝(1＋ax)m＋(1＋bx)n(m，n是正整数).
(1)若a＝－2，b＝－5时，f(x)展开式中含x的一次项的系数为－16，求m，n的值；
(2)若a＝2，b＝4时，f(x)展开式中含x的一次项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值.
4.1　二项式定理的推导
一、基础巩固
1.设n∈N＋，化简61＋62＋63＋…＋6n＝(　　)
A.6n B.6n－1
C.7n D.7n－1
答案　C
解析　61＋62＋63＋…＋6n＝(1＋6)n＝7n，故选C.
2.的展开式中的常数项为(　　)
A.60 B.－60
C.250 D.－250
答案　A
解析　的展开式通项为Tk＋1＝(－2)k，令＝0，得k＝2，故常数项为(－2)2＝60，故选A.
3.(5－1)5的展开式中x的二项式系数为(　　)
A.－250 B.10
C.20 D.250
答案　B
解析　因为展开式的通项为
(－1)k，
由＝1得k＝3，
则x的二项式系数为＝10，故选B.
4.若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
答案　B
解析　(1－2x)n的展开式的通项为·(－2x)k＝(－2)kxk，
又因为展开式中x3的系数为－160，则(－2)3＝－160，则＝20，解得n＝6.故选B.
5.(多选)若的展开式中含x2项，则n的值可能是(　　)
A.6 B.9
C.12 D.14
答案　BD
解析　的展开式的通项为
Tr＋1＝()n－r，
令＝2，可得n＝5r＋4，
当r＝0时，n＝4；当r＝1时，n＝9；
当r＝2时，n＝14，故选BD.
6.(多选)关于(x)8的展开式，下列说法正确的有(　　)
A.系数为有理数的项有5项
B.系数为无理数的项有3项
C.第5项为2 520x4
D.第6项为1 008x5
答案　ACD
解析　因为(x)8的展开式的通项为×(×(x)r，
所以T5＝×()4×(x)4＝2 520x4，故C中说法正确；
T6＝×()3×(x)5＝1 008x5，故D中说法正确；
当r＝0，2，4，6，8时，系数为有理数，所以A中说法正确，B中说法错误.故选ACD.
7.展开式中的第4项是　　　　.
答案　84x3
解析　T4＝x6＝84x3.
8.若二项式(1＋2x)n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝　　　　.
答案　8
解析　(1＋2x)n的展开式的通项为(2x)k＝2kxk，又因为x3的系数等于x2的系数的4倍，所以23＝422，所以n＝8.
9.若的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则n＝　　　　；该展开式中的系数为　　　　.
答案　6　15
解析　∵的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，∴，∴n＝6，则的展开式中的通项为:Tr＋1＝·x6－r·x－r＝·x6－2r，令6－2r＝－2，解得r＝4，∴该展开式中＝15.
10.已知的展开式中，前三项的二项式系数之和为37.
(1)求n的值；
(2)求展开式中的系数.
解　(1)由题意得＝37，n≥2，n∈N，
即1＋n＋＝37，所以n＝8.
(2)当n＝8时，的展开式的通项为Tk＋1＝x8－k，
令8－＝－1，解得k＝6，
故展开式中.
二、综合运用
11.(多选)对于二项式(n∈N＋)，以下判断正确的是(　　)
A.存在n∈N＋，使展开式中有常数项
B.对任意n∈N＋，展开式中没有常数项
C.对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项
D.存在n∈N＋，使展开式中有x的一次项
答案　AD
解析　二项式的展开式的通项为Tk＋1＝x4k－n，可知，当n＝4k(k∈N＋)和n＝4k－1(k∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和x的一次项.
12.已知在的展开式中，第9项为常数项，则:
(1)n的值为　　　　；
(2)含x的整数次幂的项有　　　　个.
答案　(1)10　(2)6
解析　二项展开式的通项为
Tk＋1＝·
＝(－1)k.
(1)因为第9项为常数项，
所以当k＝8时，2n－k＝0，解得n＝10.
(2)要使20－k为整数，需k为偶数，
由于k＝0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项.
13.某二项展开式中，相邻a(a≥3，a∈N＋)项的二项式系数之比为1∶2∶3∶…∶a，求二项式的次数n及a的值.
解　不妨设相邻a项的二项式系数为，…，.
由题意知∶＝1∶2，
化简得∶＝1∶2，
即n－3r＝5. ①
由∶＝2∶3，
化简得∶＝2∶3，
即2n－5r＝13. ②
联立①②可得
此时∶∶＝1∶2∶3.
又∶≠3∶4，所以a＝3.
故二项式的次数n的值为14，a的值为3.
三、拓展提高
14.已知f(x)＝(1＋ax)m＋(1＋bx)n(m，n是正整数).
(1)若a＝－2，b＝－5时，f(x)展开式中含x的一次项的系数为－16，求m，n的值；
(2)若a＝2，b＝4时，f(x)展开式中含x的一次项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值.
解　(1)由于多项式(1－2x)m＋(1－5x)n中含x的一次项的系数为(－2)＋(－5)＝－16，可得2m＋5n＝16，又m，n为正整数，可得m＝3，n＝2.
(2)由于多项式(1＋2x)m＋(1＋4x)n中含x的一次项的系数为·2＋·4＝36，可得m＋2n＝18，多项式(1＋2x)m＋(1＋4x)n中含x2的系数为
t＝·22＋·42＝2m2－2m＋8n2－8n，
又m＋2n＝18，
所以m＝18－2n，
则t＝2m2－2m＋8n2－8n＝16n2－148n＋612，
因为n∈N＋，所以当n＝5，m＝8时展开式中含x2项的系数最小，且最小值为272.

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