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4.2　二项式系数的性质
一、基础巩固
1.在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　)
A.第15项 B.第16项
C.第17项 D.第18项
2.的展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A.第3项 B.第6项
C.第6，7项 D.第5，7项
3.设(x2＋1)·(4x－3)8＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a10·(2x－1)10，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　)
A.2 B.
C. D.－
4.如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为(　　)
A.530 B.502
C.503 D.505
5.(多选)设(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，则下列结论正确的是(　　)
A.a2＋a5＝588
B.a1＋a2＋…＋a7＝1
C.a1＋a3＋a5＋a7＝
D.|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37－1
6.(多选)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得我们自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有 (　　)
A.由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想:
B.＋…＋＝165
C.第34行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3
D.由“第n行所有数之和为2n”猜想:＋…＋＝2n
7.设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则＝　　　　　.
8.设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为　　　　.
9.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如图)，记第2行的第3个数字为a1，第3行的第3个数字为a2，……，第n(n≥2)行的第3个数字为an－1，则a1＋a2＋a3＋…＋a9＝　　　　.
10.在下列三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.
条件①:展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②:展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；
条件③:展开式中的常数项为第三项.
问题:已知二项式，若　　　　，求:
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中所有的有理项.
二、综合运用
11.(多选)已知(a>0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为1，则(　　)
A.n＝10
B.a＝2
C.展开式中常数项为8 064
D.展开式中含x6的项为11 520x6
12.已知(2x－1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则＋…＋＝　　　　.
13.已知二项式(n∈N＋)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2∶5.
(1)求展开式中含x3的项；
(2)计算式子26＋25＋24＋23＋22＋21＋20的值.
三、拓展提高
14.已知(＋x2)2n(n∈N＋)的展开式的二项式系数和比(3x－1)n＋1的展开式的偶数项的二项式系数和大992，求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项.
4.2　二项式系数的性质
一、基础巩固
1.在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　)
A.第15项 B.第16项
C.第17项 D.第18项
答案　B
解析　第6项的二项式系数为，又，所以第16项符合条件.
2.的展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A.第3项 B.第6项
C.第6，7项 D.第5，7项
答案　C
解析　＋1项，即第6，7项的二项式系数相等，且最大.
3.设(x2＋1)·(4x－3)8＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a10·(2x－1)10，则a1＋a2＋…＋a10＝(　　)
A.2 B.
C. D.－
答案　C
解析　令x＝1，则原式化为2＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，令x＝，得a0＝，所以a1＋a2＋…＋a10＝2－.
4.如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为(　　)
A.530 B.502
C.503 D.505
答案　B
解析　由题意，得“上升”的正整数包含两位数有个，三位数有个，……，九位数有个，则所有“上升”的正整数的个数为＋…＋＝29－＝502.
5.(多选)设(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，则下列结论正确的是(　　)
A.a2＋a5＝588
B.a1＋a2＋…＋a7＝1
C.a1＋a3＋a5＋a7＝
D.|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37－1
答案　ACD
解析　因为(2x－1)7展开式的通项为·(2x(－1)k＝(－1)k，
又(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，所以a2＝·(－1)5·27－5＝－84，a5＝·(－1)2·27－2＝672，则a2＋a5＝588，故A正确；
令x＝1，则(2－1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7＝1，
令x＝0，则(0－1)7＝a0＝－1，故a1＋a2＋…＋a7＝1－a0＝2，故B错误；
令x＝－1，则(－2－1)7＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝－37，a1＋a3＋a5＋a7＝，故C正确；
|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7
＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7)＋a0＝37－1，故D正确.故选ACD.
6.(多选)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得我们自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有 (　　)
A.由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想:
B.＋…＋＝165
C.第34行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3
D.由“第n行所有数之和为2n”猜想:＋…＋＝2n
答案　ACD
解析　对于A，显然，故A正确；
对于B，＋…＋＋…＋－1＝－1＝164，故B错误；
对于C，第n行，第k个数是，则第34行中从左到右第14与第15个数分别为，所以，故C正确；
对于D，第n行所有数之和为2n，即＋…＋＝2n，故D正确.故选ACD.
7.设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则＝　　　　　.
答案　－
解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，两式相减，得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故＝－.
8.设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为　　　　.
答案　150
解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，所以展开式的通项为Tk＋1＝(5x)4－k·＝
(－1)k54－k，令4－＝1，得k＝2，
所以展开式中x的系数为(－1)2×52＝150.
9.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如图)，记第2行的第3个数字为a1，第3行的第3个数字为a2，……，第n(n≥2)行的第3个数字为an－1，则a1＋a2＋a3＋…＋a9＝　　　　.
答案　165
解析　由题意得，a1＝，a2＝，a3＝，…，a9＝，
则a1＋a2＋a3＋…＋a9＝＋…＋＝165.
10.在下列三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.
条件①:展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②:展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；
条件③:展开式中的常数项为第三项.
问题:已知二项式，若　　　　，求:
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中所有的有理项.
解　若选①:由＝22，
解得n＝6或n＝－7(舍去).
若选②:由2n－0＝64，解得n＝6.
若选③:设第(k＋1)项为常数项，
Tk＋1＝(－1)k，
当k＝2时，＝0，得n＝6.
(1)由n＝6，得展开式中二项式系数最大的项为T4＝(－1)3＝－20.
(2)设第k＋1项为有理项，
Tk＋1＝(－1)k，
因为0≤k≤6，k∈N，所以k＝0，2，4，6，
则有理项为T1＝x3＝x3，T3＝x0＝15，
T5＝x－3＝15x－3，T7＝x－6＝x－6.
二、综合运用
11.(多选)已知(a>0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为1，则(　　)
A.n＝10
B.a＝2
C.展开式中常数项为8 064
D.展开式中含x6的项为11 520x6
答案　ABD
解析　由题意知:当x＝1时(a－1)n＝1，
又展开式中只有第6项的二项式系数最大，即可得9所以(a－1)10＝1且a>0，则a＝2，B正确；
的展开式通项为
(2x
＝(－1)r，
故当r＝5时常数项为T6＝(－1)525＝－8 064，C错误；
当r＝2时T3＝(－1)228x6＝11 520x6，D正确.故选ABD.
12.已知(2x－1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则＋…＋＝　　　　.
答案　255
解析　设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则A＝a1＋a3＋a5＋…，
B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….
由已知可知，B－A＝38.令x＝－1，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，
即B－A＝(－3)n，
∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.
由二项式系数的性质，可得
＋…＋＝2n－＝28－1＝255.
13.已知二项式(n∈N＋)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2∶5.
(1)求展开式中含x3的项；
(2)计算式子26＋25＋24＋23＋22＋21＋20的值.
解　(1)由题意知∶＝2∶5，
即5n＝n(n－1)，解得n＝6.
∴Tr＋1＝(2x)6－r26－r，
由6－r＝3，得r＝2，
∴展开式中含x3的项为26－2x3＝240x3.
(2)令x＝1得
26＋·25＋·24＋·23＋·22＋·21＋·20＝36.
三、拓展提高
14.已知(＋x2)2n(n∈N＋)的展开式的二项式系数和比(3x－1)n＋1的展开式的偶数项的二项式系数和大992，求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项.
解　(＋x2)2n的展开式的二项式系数和为22n，(3x－1)n＋1的展开式的偶数项的二项式系数和为2n＋1－1＝2n.
由题意得22n－2n＝992，解得n＝5，
所以.
(1)的展开式中二项式系数最大的项为第51项，即(2x)50＝250.
(2)的展开式的通项为
Tr＋1＝(2x)100－r·
＝·2100－r·(－1)r·x100－2r，其系数的绝对值为·2100－r，
设系数的绝对值最大的项是第k＋1项，
则
解得≤k≤，
∵k≤100，k∈N，∴k＝33，
∴系数的绝对值最大的项为第34项，
即T34＝·(2x)67·
＝－·267·x34.

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