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习题课　二项式定理的综合应用
一、基础巩固
1.1.026的近似值为(精确到0.01)(　　)
A.1.12 B.1.13
C.1.14 D.1.20
2.(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数是(　　)
A.56 B.84
C.112 D.168
3.0.9910的第一位小数为n1，第二位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为(　　)
A.9，0，4 B.9，4，0
C.9，2，0 D.9，0，2
4.(x3－2x2＋x)3的展开式中x6的系数为(　　)
A.－1 B.1
C.－20 D.20
5.设n∈N＋，则1n80＋81＋82＋83＋…＋11108n除以9的余数为(　　)
A.0 B.8
C.7 D.2
6.(多选)已知展开式中的倒数第三项的系数为45，则(　　)
A.n＝9
B.二项式系数最大的项为第6项
C.系数最大的项为第6项
D.含x3的项是第6项
7.(1＋2x2)的展开式中常数项为　　　　.(用数字作答)
8.设a∈N，且0≤a<13，若512 026＋a能被13整除，则a＝　　　　.
9.已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，则展开式中系数最小的项为　　　　.
10.求(＋3x2)5的展开式中系数最大的项.
二、综合运用
11.(多选)已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则(　　)
A.n＝9
B.的展开式中的有理项有5项
C.的展开式中偶数项的二项式系数和为512
D.(7－a)n除以9余8
12.在的展开式中，已知前三项的二项式系数之和为22，则n的值为　　　　，展开式中系数最大的项为　　　　.
13.在(3x－2y)20的展开式中，求:
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项.
三、拓展提高
14.已知(x3＋3x2)(m∈R)的展开式中各项系数之和为0.
(1)求m的值以及该展开式中的常数项；
(2)求的展开式中系数最大的项.
习题课　二项式定理的综合应用
一、基础巩固
1.1.026的近似值为(精确到0.01)(　　)
A.1.12 B.1.13
C.1.14 D.1.20
答案　B
解析　1.026＝(1＋0.02)6＝1＋×0.02＋×0.022＋×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.
2.(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数是(　　)
A.56 B.84
C.112 D.168
答案　D
解析　在(1＋x)8展开式中含x2的项为x2＝28x2，(1＋y)4展开式中含y2的项为y2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168.
3.0.9910的第一位小数为n1，第二位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为(　　)
A.9，0，4 B.9，4，0
C.9，2，0 D.9，0，2
答案　A
解析　0.9910＝(1－0.01)10
＝×110×(－0.01)0＋×19×(－0.01)1＋×18×(－0.01)2＋…＝1－0.1＋0.004 5＋…≈0.904 5，则n1＝9，n2＝0，n3＝4，故选A.
4.(x3－2x2＋x)3的展开式中x6的系数为(　　)
A.－1 B.1
C.－20 D.20
答案　C
解析　(x3－2x2＋x)3＝x3(x－1)6，因此所求x6的系数即为(x－1)6的展开式中x3的系数，
由二项式定理知系数为(－1)3＝－20.
5.设n∈N＋，则1n80＋81＋82＋83＋…＋11108n除以9的余数为(　　)
A.0 B.8
C.7 D.2
答案　A
解析　因为1n80＋81＋82＋83＋…＋11108n＝(1＋8)n＝9n，所以除以9的余数为0.
6.(多选)已知展开式中的倒数第三项的系数为45，则(　　)
A.n＝9
B.二项式系数最大的项为第6项
C.系数最大的项为第6项
D.含x3的项是第6项
答案　BC
解析　的二项式通项为
·，
所以倒数第三项的系数为，故＝45，即＝45，所以＝45，
所以(n－10)(n＋9)＝0，得n＝10或n＝－9(舍).故A不正确；
因为n＝10，所以展开式共有11项，所以二项式系数最大的项为第6项，故B正确；
因为展开式中各项的系数与该项的二项式系数相等，所以系数最大的项为第6项，故C正确；
因为n＝10，
所以展开式的通项为，
令＝3，得k＝6，所以含x3的项是第k＋1＝6＋1＝7项，故D不正确.
7.(1＋2x2)的展开式中常数项为　　　　.(用数字作答)
答案　14
解析　展开式的通项为Tr＋1＝x4－rx4－2r，
则(1＋2x2)的展开式中常数项为
＋2＝14.
8.设a∈N，且0≤a<13，若512 026＋a能被13整除，则a＝　　　　.
答案　12
解析　因为512 026＋a＝(52－1)2 026＋a＝522 026－522 025＋522 024－…－521＋1＋a能被13整除，所以1＋a能被13整除，又a∈N，且0≤a<13，故a＝12.
9.已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，则展开式中系数最小的项为　　　　.
答案　－35x
解析　二项式的展开式的通项是Tr＋1＝xn－r＝(－1)rxn－2r，
则第3项的系数为(－1)2，第6项的系数为(－1)5＝－，
则，得n＝7.展开式中各项的系数为，－，－，－，－，
由二项式系数的性质知的值最大，
则展开式中各项的系数中－最小，
则系数最小的项为(－1)3x＝－35x.
10.求(＋3x2)5的展开式中系数最大的项.
解　设展开式中第(k＋1)项的系数最大，
又Tk＋1＝()5－k(3x2)k＝3k，
则
解得≤k≤.
又因为1≤k≤4，k∈N，所以k＝4，
所以展开式中第5项系数最大，
T5＝34＝405.
二、综合运用
11.(多选)已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则(　　)
A.n＝9
B.的展开式中的有理项有5项
C.的展开式中偶数项的二项式系数和为512
D.(7－a)n除以9余8
答案　ABD
解析　因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以，由组合数的性质知n＝9，故A正确；
因为的展开式的各项系数之和为0，令x＝1，得(1＋a)9＝0，所以a＝－1，
所以的展开式的通项为
Tk＋1＝(－1)k.
令18－k为整数，得k＝0，2，4，6，8，
所以展开式中的有理项有5项，故B正确；
展开式中偶数项的二项式系数和为＋…＋＝28＝256，故C错误；
因为n＝9，a＝－1，则(7－a)n＝(7＋1)9＝89＝(9－1)9＝99－98＋…＋9－1＝9(98－97＋…＋－1)＋8，
所以(7－a)n除以9余8，故D正确.
12.在的展开式中，已知前三项的二项式系数之和为22，则n的值为　　　　，展开式中系数最大的项为　　　　.
答案　6　96x5
解析　由题意可得＝1＋n＋＝22且n∈N＋，解得n＝6，所以二项式(1＋4x)6，则(1＋4x)6展开式的通项为Tr＋1＝(4x)r＝·4rxr，
设展开式的第k＋1项的系数最大，则
解得4.6≤k≤5.6，又k∈N＋，所以k＝5，所以展开式中系数最大的项为
T6＝··45x5＝96x5.
13.在(3x－2y)20的展开式中，求:
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项.
解　(1)二项式系数最大的项是第11项.
T11＝·310·(－2)10x10y10
＝·610x10y10.
(2)设系数绝对值最大的项是第k＋1项，
于是
化简得≤k≤.
因为k∈N＋，所以k＝8，即T9＝·312·28x12y8是系数绝对值最大的项.
(3)由于系数为正的项为奇数项，于是结合(2)可知系数最大的项为第9项，T9＝·312·28x12y8.
三、拓展提高
14.已知(x3＋3x2)(m∈R)的展开式中各项系数之和为0.
(1)求m的值以及该展开式中的常数项；
(2)求的展开式中系数最大的项.
解　(1)令x＝1，则有4(m－2)5＝0，可得m＝2.
展开式的通项为
Tk＋1＝25－k(－2)kxk－5.
令k－5＝－2，得k＝3；令k－5＝－3，得k＝2.
故展开式中的常数项为320－320×3＝－640.
(2)由(1)可知，
.
设其第k＋1项的系数最大，
则
即
整理得
解得2≤k≤3，因此k＝2或k＝3，
所以第3项或第4项系数最大，
故系数最大的项为＝7x2或＝7x.

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