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章末检测卷(四)　第五章
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列选项错误的是(　　)
A.－3＝6 B.＝12
C.＝19 900 D.
2.7支不同的笔全部放入两个相同的笔筒中，每个笔筒至少放2支，则不同的方法有(　　)
A.56种 B.84种
C.112种 D.28种
3.(1＋x＋x2)·(x－2)5的展开式中x3的系数为(　　)
A.40 B.80
C.－40 D.－80
4.某社区开展志愿服务活动，活动期间，要安排5名志愿者完成A，B，C三项工作.已知每项工作至少有一人参加，每人只能参加一项工作，则不同的安排方式共有(　　)
A.150种 B.120种
C.90种 D.60种
5.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中夹角为60°的共有(　　)
A.24对 B.30对
C.48对 D.60对
6.若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是(　　)
A.第二项 B.第三项
C.第四项 D.第五项
7.某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　)
A.15 B.30
C.35 D.42
8.(a＋2x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂的系数之和为32，则a＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列四个关系式中，一定成立的是(　　)
A.3－2＝148
B.(n≥m≥2，m，n∈N)
C.＝n(n≥m≥2，m，n∈N)
D.＋…＋＝328
10.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　)
A.若任意选择三门课程，选法总数为
B.若物理和化学至少选一门，选法总数为
C.若物理和历史不能同时选，选法总数为
D.若政治必须选，选法总数为
11.设(3x－2)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a7x7，则下列结论正确的是(　　)
A.a0＝－2
B.a3＝85
C.a1＋a3＋a5＋a7＝32
D.a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋27a7＝2916
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.有5盆互不相同的菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花居中，白菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有　　　　种不同的摆放方法.(用数字作答)
13.(1－2x)4的展开式中含x3项的系数为　　　　.
14.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是(a＋b)n的展开式的二项式系数，直观解释了二项式系数规律.记第n行从左至右的第i个数为an，i，若2625被675除所得的余数为m，则m＝　　　　，am，25＝　　　　.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某消防部门计划从本单位挑选出5人组建一个消防知识宣讲团，到辖区内的四个社区进行消防知识宣讲，要求每个社区至少安排一个宣讲人，每个宣讲人只能到一个社区，记宣讲团的不同分组方法有N种.
(1)求N的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
16.(15分)(1)3名男生和4名女生站成一排，男生站在一起，女生站在一起，有多少种不同的排队方法
(2)3名男生和4名女生站成一排，男生彼此不相邻，有多少种不同的排队方法
(3)把6个人平均分成3个小组，有多少种不同的分法
17.(15分)从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法
(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒.
18.(17分)已知(1－x)6(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12.
(1)求＋…＋的值；
(2)求a2＋a4＋…＋a12的值；
(3)求展开式中的常数项.
19.(17分)已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.
(1)求展开式中的所有有理项；
(2)求展开式中系数的绝对值最大的项；
(3)求n＋9＋81＋…＋9n－1的值.
章末检测卷(四)　第五章
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列选项错误的是(　　)
A.－3＝6 B.＝12
C.＝19 900 D.
答案　B
解析　因为－3＝4－3＝6，所以A正确；
因为＝3＋3×2＋3×2×1＝15，所以B不正确；
因为＝19 900，所以C正确；
因为，
所以，故D正确.
2.7支不同的笔全部放入两个相同的笔筒中，每个笔筒至少放2支，则不同的方法有(　　)
A.56种 B.84种
C.112种 D.28种
答案　A
解析　如果两个笔筒放置笔的数目为2，5，则共有＝21种放法；
如果两个笔筒放置笔的数目为3，4，
则共有＝35种放法.故共有56种，故选A.
3.(1＋x＋x2)·(x－2)5的展开式中x3的系数为(　　)
A.40 B.80
C.－40 D.－80
答案　A
解析　因为(1＋x＋x2)(x－2)5
＝(1＋x＋x2)(－2＋x)5，
所以展开式中x3的系数为(－2)2＋(－2)3＋(－2)4＝40－80＋80＝40，故选A.
4.某社区开展志愿服务活动，活动期间，要安排5名志愿者完成A，B，C三项工作.已知每项工作至少有一人参加，每人只能参加一项工作，则不同的安排方式共有(　　)
A.150种 B.120种
C.90种 D.60种
答案　A
解析　先将5名志愿者分成3组，再分配到三项工作中，故不同的安排方式共有N＝··＝150种，故选A.
5.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中夹角为60°的共有(　　)
A.24对 B.30对
C.48对 D.60对
答案　C
解析　正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有＝66对，同一面上的对角线不满足题意，一组平行平面共有12对不满足题意，不满足题意共有6＋12＝18(对).
故共有66－18＝48(对)，故选C.
6.若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是(　　)
A.第二项 B.第三项
C.第四项 D.第五项
答案　B
解析　因为的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，
所以＋1＝5，解得n＝8，则的展开式通项为Tk＋1＝×28－k×(－1)k×x16－3k(k＝0，1，2，3，4，5，6，7，8)，
当k为奇数时，系数为负数，当k为偶数时，系数为正数，所以展开式中系数最大时，k为偶数，
由展开式通项可知T1＝28x16＝256x16，T3＝26x10＝1 792x10，T5＝24x4＝1 120x4，
T7＝22x－2＝112x－2，T9＝20x－8＝x－8，所以展开式中系数最大的是第三项，故选B.
7.某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　)
A.15 B.30
C.35 D.42
答案　B
解析　由于甲有两个人参加会议需要分两类:含有甲的选法有种，不含有甲的选法有种，共有＝30种.故选B.
8.(a＋2x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂的系数之和为32，则a＝(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　法一　(a＋2x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝16×(a＋2)， ①
令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝0， ②
①－②得a1＋a3＋a5＝8(a＋2)，
因为(a＋2x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂的系数之和为32，
所以8(a＋2)＝32，解得a＝2.故选B.
法二　(1＋x)4的展开式的通项公式为Tk＋1＝xk，k＝0，1，2，3，4，则(a＋2x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂的系数和为a()＋2()＝8a＋16，故8a＋16＝32，a＝2，故选B.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列四个关系式中，一定成立的是(　　)
A.3－2＝148
B.(n≥m≥2，m，n∈N)
C.＝n(n≥m≥2，m，n∈N)
D.＋…＋＝328
答案　AC
解析　对于A中，由3－2＝3×－2×＝148，所以A正确；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，由＝n×＝n，所以C正确；
对于D中，由＋…＋＋…＋－1＝－1＝329，所以D错误.故选AC.
10.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　)
A.若任意选择三门课程，选法总数为
B.若物理和化学至少选一门，选法总数为
C.若物理和历史不能同时选，选法总数为
D.若政治必须选，选法总数为
答案　AC
解析　对于A，任意选择三门课程，选法总数为，A正确；
对于B，物理和化学至少选一门，分两类，第一类:物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选两门，有种方法，共有种选法；第二类:物理和化学都选有种方法，其余一门从剩余的五门中选一门，有种方法，共有种选法，由分类加法计数原理知，选法总数为，B错误；
对于C，物理和历史不能同时选，选法总数为，C正确；
对于D，政治必须选，另两门从余下六门中任选两门，选法总数为，D错误.故选AC.
11.设(3x－2)(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a7x7，则下列结论正确的是(　　)
A.a0＝－2
B.a3＝85
C.a1＋a3＋a5＋a7＝32
D.a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋27a7＝2916
答案　ACD
解析　(1＋x)6的展开式的通项为Tr＋1＝xr(r＝0，1，2，…，6)，所以a0＝－2×＝－2，故选项A正确；
又T4＝20x3，T3＝15x2，从而(3x－2)(1＋x)6的展开式中x3的系数为3×15＋(－2)×20＝5，故选项B错误；
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝64，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝0，
两式相减得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝64，
所以a1＋a3＋a5＋a7＝32，故选项C正确；
令x＝2得a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋27a7＝(3×2－2)(1＋2)6＝2 916，故选项D正确.故选ACD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.有5盆互不相同的菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花居中，白菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有　　　　种不同的摆放方法.(用数字作答)
答案　16
解析　由红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，红菊花两边各一盆白色菊花、黄色菊花，故有＝16.
13.(1－2x)4的展开式中含x3项的系数为　　　　.
答案　－70
解析　要得到(1－2x)4的展开式中含有x3的项，分以下两种情形:
情形一:先在第一个括号中选取“2”，然后在后面四个括号中选取3个“－2x”和1个“1”，
由分步乘法计数原理可知此时“x3”的系数为2××(－2)3×1＝2×4×(－8)＝－64；
情形二:先在第一个括号中选取“－”，然后在后面四个括号中选取2个“－2x”和2个“1”，
由分步乘法计数原理可知此时“x3”的系数为－××(－2)2×12＝－×6×4＝－6.
综上所述，(1－2x)4的展开式中含x3项的系数为(－64)＋(－6)＝－70.
14.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第n行是(a＋b)n的展开式的二项式系数，直观解释了二项式系数规律.记第n行从左至右的第i个数为an，i，若2625被675除所得的余数为m，则m＝　　　　，am，25＝　　　　.
答案　26　325
解析　因为2625＝26×2624＝26×67612＝26(1＋675)12＝26(675＋6752＋…＋67512)＝26＋26(675＋6752＋…＋67512)，
所以2625被675除所得的余数为26，所以am，25＝＝325.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某消防部门计划从本单位挑选出5人组建一个消防知识宣讲团，到辖区内的四个社区进行消防知识宣讲，要求每个社区至少安排一个宣讲人，每个宣讲人只能到一个社区，记宣讲团的不同分组方法有N种.
(1)求N的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
解　(1)由条件5人分成四组，每组至少一人，则必有两人一组，另外三人自成一组，
从而不同的分组方法有N＝＝10.
(2)由(1)N＝10，则最大时，r＝5，
也即二项式展开式中的第六项的二项式系数最大，
从而T6＝(－x)5＝－x5，
所以展开式中二项式系数最大的项为－x5.
16.(15分)(1)3名男生和4名女生站成一排，男生站在一起，女生站在一起，有多少种不同的排队方法
(2)3名男生和4名女生站成一排，男生彼此不相邻，有多少种不同的排队方法
(3)把6个人平均分成3个小组，有多少种不同的分法
解　(1)先把男生看成一个整体，男生全排列的排法有种，再把女生看成一个整体，女生全排列的排法有种，再把这两个整体全排列，共有＝288(种)排法.
(2)先排女生，有种排法，排好后有5个空位，让男生插入5个空位中，有种排法，故共有＝1 440(种)排法.
(3)把6个人平均分成3个小组，有＝15(种)不同的分法.
17.(15分)从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法
(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒.
解　(1)甲、乙2人必须跑中间两棒，则他们本身有一个全排列，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为＝60.
(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒，则需要从甲、乙2人中选出1人，有种选法，然后在第一棒和第四棒中选一棒，有种选法，从另外6人中选3人在剩余的三个位置上排列，根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为＝480.
(3)甲、乙作为一个整体，从余下的6人中选2人，相当于3个人在三个位置上排列，则不同的排法种数为＝180.
18.(17分)已知(1－x)6(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12.
(1)求＋…＋的值；
(2)求a2＋a4＋…＋a12的值；
(3)求展开式中的常数项.
解　(1)因为(1－x)6(1＋x)6＝(1－x2)6，所以a1＝a3＝…＝a11＝0，
所以＋…＋＝0.
(2)令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a12＝0，
令x＝0得a0＝1，又因为a1＝a3＝…＝a11＝0，
所以a2＋a4＋…＋a12＝－1.
(3)由题意可知，(1－x)6(1＋x)6＝(1－x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，
则a4＝＝15，所以，其通项为Tr＋1＝x15－r·
＝(－1)r，
令15－＝0，得r＝12，
所以(－1)12＝＝455.
19.(17分)已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.
(1)求展开式中的所有有理项；
(2)求展开式中系数的绝对值最大的项；
(3)求n＋9＋81＋…＋9n－1的值.
解　(1)由(－2)4∶(－2)2＝56∶3，
解得n＝10(负值舍去)，
通项为Tk＋1＝()10－k
＝(－2)k，
当5－为整数时，k可取0，6，
于是有理项为T1＝x5和T7＝13 440.
(2)设第k＋1项系数的绝对值最大，则
解得≤k≤，
又因为k∈N，所以k＝7，
当k＝7时，T8＝－15 360，
又因为当k＝0时，T1＝x5，
当k＝10时，T11＝(－2)10＝1 024，
所以系数的绝对值最大的项为
T8＝－15 360.
(3)原式＝10＋9＋81＋…＋910－1
＝
＝
＝
＝.

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