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七下期末数学复习题
如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数是_____ .
540°
E
C
A
G
F
B
D
如图：△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部.
(1)若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠A的度数；
2
1
B
C
A′
E
D
A
如图：△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部.
(2)探索∠A与∠1＋∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由.
(2)2∠A＝ ∠1＋∠2
在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°①
在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝180 °②
由①、②，得∠B＋∠C＝∠ADE＋∠AED
又在四边形BCDE中
∠B＋∠C＋∠1＋∠2 ＋∠ADE＋∠AED＝360 °，
所以 ∠1＋∠2 ＋2(180°－∠A)＝360 °，
即 2∠A＝ ∠1＋∠2.
2
1
B
C
A′
E
D
A
考点分析
类型之六　反证法
证明：设这个数为m，假设m的个位数是5，则m可以表示为10n＋5
(其中n是整数)，
m2＝(10n＋5)2＝100n2＋100n＋25＝20(5n2＋5n＋1)＋5，
∵20(5n2＋5n＋1)能被10整除，
∴20(5n2＋5n＋1)＋5的个位数字是5，与条件矛盾.
∴假设不成立，即m的个位数不是5.
证明: 如果一个数的平方的个位数不是5,那么这个数的个位数也不是5．
巩固练习
已知：m是正整数，且m2是偶数. 求证：m是偶数.
证明：假设m是奇数，则m可表示为2k＋1 (k为整数).
代入m2，得m2＝(2k＋1)2＝4k2＋4k＋1＝2(2k2＋2k)＋1，
∵k为整数，
∴2k2＋2k为整数，
∴2(2k2＋2k)＋1是奇数. 即m2是奇数.
这与已知条件m2是偶数矛盾，
因此假设不成立，即m是偶数.
当堂检测
证明：一个数加上一个负数比原来的数小．
证明：设原数为a，负数为b(b＜0)，
∵ b＜0，
∴ a＋b＜0＋b，
∴ a＋b＜b，
∴一个数加上一个负数比原来的数小.
巩固练习
(1)已知：如图，直线AB，CD，EF被直线BF所截，∠B＋∠1＝180°，∠2＝∠3．
求证：∠B＋∠F＝180°．
(2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？
∵∠B＋∠1＝180°（已知），
∴AB ∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴AB∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
A
B
C
D
E
1
G
F
2
3
(2) 解：在(1) 的证明过程中应用了“同旁内角互补，两直线平行”和“两直线平行，同旁内角互补”这两个互逆的真命题．
(1) 证明：
证明：“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行．”
A
B
C
D
E
F
M
N
G
H
∵ AB∥CD
∴∠EMB＝∠END
∴∠EMG＝∠ENH（等量代换）.
∴MG∥NH（同位角相等，两直线平行）.
（已知）,
（两直线平行，同位角相等）.
解：已知：如图所示，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，
MG平分∠BME，NH平分∠MND．
求证：MG∥NH．
证明：
新知巩固
证明：“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．”
已知：如图，已知AB∥CD ，直线AB，CD被直线
EF所截，EG平分∠AEF ，FH平分∠EFD.
求证：EG∥FH ．
A
B
C
D
E
F
G
H
新知巩固
证明：
∵ AB∥CD
∴∠AEF ＝∠DFE
（已知）,
证明：“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．”
A
B
C
D
E
F
G
H
∴∠GEF＝∠EFH（等量代换）.
∴ EG∥FH（同位角相等，两直线平行）.
（两直线平行，内错角相等）
证明：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直．
解：已知：如图所示，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，
MG平分∠BMN，NG平分∠MND．
求证：MG⊥NG．
证明：∵AB∥CD (已知)，
∴∠BMN＋∠MND＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵MG平分∠BMN，NG平分∠MND(已知)，
∴2∠NMG＝∠BMN，2∠MNG＝∠MND(角平分线的定义)，
∴2∠NMG＋2∠MNG=180°(等量代换)，
∴∠NMG＋∠MNG＝90°．
又∵∠NMG＋∠G＋∠MNG＝180°(三角形内角和定理)，
∴∠G＝90°，
∴MG⊥NG(垂直的定义)．
B
C
A
D
E
F
M
N
G
求一元一次不等式10(x＋4)＋x ≤73的非负整数解．
解： 10x＋40＋x≤73
11x≤33
x≤3
x的非负整数解是0，1，2，3.
0
2
3
1
当x取何非负整数值时，代数式2x－4的值不大于2？
解: 2x－4 ≤ 2
2x ≤ 2＋4
2x ≤ 6
x ≤ 3.
∴非负整数值为0，1，2，3.
0
2
3
1
已知y＝1－2x.
(2) 当y为何值时，x≤－1？
解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．
解不等式①得x≤1，
解不等式②得x＞－3，
在数轴上表示出来，如图．
所以不等式组的解集是－3＜x≤1，
已知关于x，y的方程组 的解满足－1＜x＋y＜1，
求k的取值范围．
已知关于x，y的方程组 的解满足－1＜x＋y＜1，求k的取值范围．
(方法2)将方程组中的两式左右两边分别相加，
得4x＋4y＝k＋4，
即x＋y＝ ＋1.
又因为－1＜x＋y＜1，
所以－1＜ ＋1＜1，
解得－8＜k＜0.
已知二元一次方程3x＋2y＝18．
(1) 用含x的代数式表示y；
(2) 写出此方程的非负整数解．
巩固练习
①
②
巩固练习
①
②
①
②
巩固练习
已知x与y互为相反数，且2x－y＝3．求x，y的值．
题型七：旋转的性质
如图，把△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△AB'C'. 已知∠BAC＝50°，求∠CAB'，∠BAC′的大小.
A
B
C
C′
B'
解：根据题意，点B，C的对应点分别为B'，C'，
所以∠BAB'＝60°.
因为∠CAB′＝∠BAB'－∠BAC，∠BAC＝50°，
所以∠CAB′＝60°－50°＝10°.
因为∠BAC′＝∠BAB'＋∠B'AC，
∠B'AC′＝∠BAC＝50°，
所以∠BAC′＝60°＋50°＝110°.
如图，已知O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，MN与PA，PB分别相交于点E，F，已知MN＝5 cm.
(1)求△OEF的周长；
解：(1)∵点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，
∴ME＝EO，FN＝FO.
∴△OEF的周长为
OE＋EF＋OF＝ME＋EF＋FN
＝MN
＝5(cm)．
A
B
P
M
E
N
F
O
(2)若∠APB＝α，求∠MPN的度数．(用含α的代数式表示)
A
B
P
M
E
N
F
O
解：(2)∵点M，N分别是O点关于PA，PB的对称点，
∴∠APO＝∠APM，∠BPO＝∠BPN，
∵∠APO＋∠BPO＝∠APB＝α，
∴∠APM＋∠BPN＝∠APO＋∠BPO
＝∠APB＝α，
∴∠MPN＝∠MPA＋∠APO＋∠BPO＋∠BPN
＝α＋α＝2α.
12. 如图，P是∠AOB外的一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关
于OA的对称点Q落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上.若MN＝a，QR＝b，其中a＜b，试用含a，b的代数式表示PN－PM.
解：因为点P关于OA的对称点Q落在线段MN上，点P关于OB的对称
点R落在线段MN的延长线上，所以RN＝PN，MQ＝MP.
所以PN－PM＝RN－MQ
＝（RN＋NQ）－（MQ＋NQ）
＝QR－MN＝b－a.
4. 如图，四边形ABCD为一长方形纸带，点E，F分别在边AB，CD
上，将纸带沿EF折叠，点A，D的对应点分别为A'，D'.若∠2＝α，则
∠1的度数为__________
115
3
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－ (4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，代入
原式＝5×12－5×22＝－15.
【变式】(1)如图①,可以求出阴影部分的面积是　　　 (写成两数平方差的形式);
(2)若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,如图②,则这个长方形的宽是　　　　,长是　　　,面积是　　　　　 (写成多项式乘法的形式);
(3)比较图①②中阴影部分的面积,
可以得到什么结论
a2－b2
a－b
a+b
(a+b)(a－b)
结论:(a+b)(a-b)=a2-b2.
如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(　　)
A.a(a－b)＝a2－ab
B.(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C.(a－b)2＝a2－b2
D.a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D
（m+n）2-4mn
（m-n)2
（m+n)2-4mn=（m-n)2
（2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2
已知(a＋b)2＝19，ab＝2.
(1)求a2＋b2的值； (2)求(a－b)2的值.
解：(1)(a＋b)2＝19
则a2＋b2＋2ab＝19
将ab＝2代入，得
a2＋b2＋2×2＝19
则a2＋b2＝15
(2)(a－b)2＝a2＋b2－2ab
＝15－2×2
＝11
解：∵16x2＋(m＋1)xy＋1y2
＝(±4x)2＋(m＋1)xy＋(±y)2，
∴(m＋1)xy＝±2·4x·y，
∴m＋1＝±8，
∴m＝7或－9.
如果16x2＋(m＋1)xy＋y2是一个完全平方式，求m的值．
如果16x2＋8xy＋（ky)2是一个完全平方式，求k的值．
下 课
Thanks!
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