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拓展提升课 6 波的图像与振动图像的综合及波的多解性问题
要点一　波的图像与振动图像的关联分析
　振动图像与波的图像的对比
项目 振动图像 波的图像
研究对象 一个振动质点 沿波传播方向的所有质点
研究内容 某一质点的位移随时间的变化规律 某时刻所有质点的空间分布规律
图像
物理意义 表示某一质点在各时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
图像信息 (1)质点振动周期; (2)质点振幅; (3)某一质点在各时刻的位移; (4)各时刻速度、加速度的方向 (1)波长、振幅; (2)任一质点在该时刻的位移; (3)任一质点在该时刻加速度的方向; (4)传播方向、振动方向的互判
图像变化 随时间推移图像延续,但已有形状不变 随时间推移,图像沿传播方向平移
比喻 单人舞的录像 抓拍的集体舞照片
【例1】　(多选)图甲为一列简谐横波在t=0时的波形图,图乙为介质中平衡位置在x=2.5 m处的质点的振动图像,下列说法正确的是 (　ACD　)
A.该波的波速为0.5 m/s
B.该波的传播方向为x轴正方向
C.当t=5 s时,平衡位置在x=2 m处的质点恰好经平衡位置向y轴正方向运动
D.从t=2 s到t=4 s的时间内,平衡位置在x=0.7 m处的质点通过的路程为8 cm
【解析】　由题图甲可知波长为2 m,由题图乙可知周期为4 s,则波速为v== m/s=0.5 m/s,故A正确;由题图乙可知,t=0时刻,x=2.5 m处的质点向y轴正方向运动,根据波形平移法可知,该波的传播方向为x轴负方向,故B错误;由于t=5 s=T,可知当t=5 s时,平衡位置在x=2 m处的质点恰好经平衡位置向y轴正方向运动,故C正确;从t=2 s到t=4 s的时间内,由于Δt=2 s=,可知平衡位置在x=0.7 m处的质点通过的路程为s=2A=8 cm,故D正确。
分析波的图像与振动图像的综合问题,主要有以下两个方面:
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期),由波的图像确定波长,进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向,然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意:分清波的图像与哪一时刻对应,振动图像与哪一质点对应。
【例2】　一列沿x轴传播的简谐横波,t=0时刻的波形图如图甲所示。图乙表示x=1.0 m处的质点的振动图像。
(1)求简谐横波传播速度的大小。
(2)在图丙中画出平衡位置为x=2.0 m处质点的振动图像(从t=0时刻开始计时,至少画出一个周期)。
(3)在图丁中画出简谐横波t=0.3 s时的波形图(至少画出一个波长)。
【答案】　(1)5 m/s　(2)见解析图甲
(3)见解析图乙
【解析】　(1)由题图甲可知波长λ=2.0 m,由题图乙可知周期T=0.4 s,则v==5 m/s。
(2)根据题图甲和题图乙判断可知简谐波向x轴正方向传播,则x=2.0 m处质点在t=0时刻运动方向为y轴负方向,振幅、周期与x=1.0 m处的质点相同,则振动图像如图甲所示。
(3)当t=0.3 s时,波向前传播的距离x=vt=5 m/s×0.3 s=1.5 m,根据题图甲和题图乙判断可知简谐波向x轴正方向传播,则波的图像如图乙所示。
Δt后波形图的画法
(1)特殊点法:找出波形图一个波形中相邻的几个特殊点(如波峰、波谷、平衡位置等点),画出这些特殊点在Δt时刻的位置,然后用正、余弦曲线连起来画出波形图,如果Δt较长,可先表示为Δt=nT+Δt'。由于时间的周期性,可以去整留零,只需画出特殊点在Δt'时刻的波形图。特殊点法适用于特殊时间,Δt或Δt'必须为T的整数倍才好确定特殊点的位置来画波形。特殊点法画波形图较为简单易行。
(2)平移法:算出波在Δt时间内传播的距离Δx=vΔt,把波形沿波的传播方向平移Δx。如果Δx较大,可化为Δx=nλ+Δx',由于波的空间周期性,可以去整留零,只需平移Δx'即可,平移波形后一定要注意把图像补画完整。
要点二　波的多解问题
1.波的传播方向的双向性形成多解
只要没有指明机械波沿哪个方向传播,就要讨论两个方向的可能性。
2.波的周期性形成多解
(1)时间周期性
t时刻与t+nT(n=1,2,…)时刻的波形图完全重合,即同一波形图可能对应不同的时刻,时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
(2)空间周期性
平衡位置相距nλ(n=1,2,…)的两点振动步调相同,将某一波形沿波的传播方向平移nλ距离,平移后的波形与原波形完全重合,若题中没有给定传播距离与波长的确切关系,则会引起答案的不确定性。
【例3】　一列简谐横波沿直线方向由a向b传播,a、b两质点的平衡位置相距3 m,a、b两质点的振动图像如图所示。则该波的传播速度大小可能为 (　C　)
A.2.0 m/s B.1.5 m/s
C.1.0 m/s D.0.5 m/s
【解析】　根据图像可知,t=0时刻,a质点位于平衡位置向上振动,b质点位于波峰,又由于简谐横波沿直线方向由a向b传播,画出a、b间的波形图,如图所示,则有Δxab=3 m=nλ+λ(n=0,1,2,3,…),根据振动图像可知T=4 s,该波的传播速度v=,解得v= m/s(n=0,1,2,3,…),n=0时,v=1.0 m/s;n=1时,v= m/s;n=2时,v= m/s,…,对照选项只有C符合题意。
【例4】　一列简谐横波图像如图所示,t1时刻的波形如图中实线所示,t2时刻的波形如图中虚线所示,已知Δt=t2-t1=0.5 s,
(1)这列波的周期可能是多大
(2)这列波可能的波速表达式是怎样的
(3)若波向左传播,且3T<Δt<4T,波速为多大
(4)若波速v=68 m/s,则波向哪个方向传播
【答案】　(1)(2)见解析　(3)60 m/s
(4)向右传播
【解析】　(1)(2)由题图可知波长λ=8 m,当波向右传播时Δt=nT1+,
T1= s(n=0,1,2,…),
v右==4(4n+1) m/s(n=0,1,2,…);
当波向左传播时Δt=nT2+T2,
T2= s(n=0,1,2,…),
v左==4(4n+3) m/s(n=0,1,2,…)。
(3)若波向左传播,且3T<Δt<4T,
则Δt=3T,得T= s,v1==60 m/s。
(4)Δt内波传播的距离为
x=vΔt=68×0.5 m=34 m=4λ,
故波向右传播。
解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑传播方向的双向性:如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示,应首先按波传播方向的可能性进行讨论。
(2)对设定的传播方向,首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系,一般先确定最简单的情况,即一个周期内(或一个波长内)的情况,然后在此基础上加nT(或nλ)。
(3)应注意题目是否有限制条件,如有的题目限制波的传播方向,或限制时间Δt大于或小于一个周期等。所以解题时应综合考虑,加强多解意识,认真分析题意。
1.如图实线是某时刻波的图像,虚线是经过0.4 s时波的图像,下列判断正确的是 (　B　)
A.周期一定是1.6 s
B.波长一定为2 m
C.波一定向左传播
D.x=1 m的质点沿x轴方向移动
解析:若该波沿x轴正方向传播,则其周期应满足T+nT=0.4 s(n=0,1,2,3,…),解得T= s(n=0,1,2,3,…),若该波沿x轴负方向传播,则其周期应满足+nT=0.4 s(n=0,1,2,3,…),解得T= s(n=0,1,2,3,…),故A、C错误;由题图知λ=2 m,故B正确;质点只在平衡位置附近上下振动,不会随波迁移,故D错误。
2.(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播,在t1=0和t2=0.2 s时的波形分别如图中实线和虚线所示,已知该波的周期T>0.2 s,下列说法正确的是 (　AD　)
A.该波的波速一定为0.4 m/s
B.该波的振幅一定为0.04 m
C.该波的波长可能为0.08 m
D.该波的周期为0.4 s
解析:因为t1=0和t2=0.2 s时的波形分别如题图中实线和虚线所示,二者最少相差半个周期,故0.2 s=+nT(n=0,1,2,…),而T>0.2 s,故周期为T=0.4 s,由题图可知,波长为16 cm,即λ=0.16 m,波速为v===0.4 m/s,故A、D正确,C错误;振幅为质点离开平衡位置的最大距离,从题图上看出振幅是0.02 m,故B错误。
3.(多选)一列简谐横波沿x轴传播,图(a)是t=0时刻的波形图,P是介质中位于x=2 m处的质点,其振动图像如图(b)所示。下列说法正确的是 (　ABD　)
A.波速为2 m/s
B.波向左传播
C.波的振幅是10 cm
D.质点P在0~7 s时间内运动的路程为70 cm
解析:由波的图像可知该波的波长λ=4 m,由振动图像可知该波的周期T=2 s,所以该波的传播速度v==2 m/s,故A正确;由振动图像可知质点P在t=0时刻经平衡位置向y轴负方向运动,结合波形图由“同侧法”可知波沿x轴负方向传播,即向左传播,故B正确;振幅为质点离开平衡位置的最大距离,由波的图像可知波的振幅A=5 cm,故C错误;质点P在0~7 s时间内,即3.5个周期内通过的路程为s=3.5×4A=70 cm,故D正确。
4.“重”情七运会,“合”你共精彩,2024年9月20日,重庆市第七届运动会开幕式在合川区体育中心如期举行,众多文体节目轮番呈现在观众面前;在现场的观众自发玩起了如图甲所示的“人浪”游戏。人浪可简化为沿x轴方向上传播的简谐横波,图乙为t=1 s时的波形图,此时质点P在平衡位置,质点Q在波谷位置,图丙为质点P的振动图像,则 (　D　)
A.该波沿x轴负方向传播
B.该波传播速度为9 m/s
C.t=0.7 s时,质点P的加速度正在增大
D.t=2.4 s时,质点Q的振动方向沿y轴负方向
解析:由题图丙可知t=1 s时,质点P向y轴正方向运动,结合题图乙可知该波沿x轴正方向传播,故A错误;由题图乙可知,波长为λ=6 m,由题图丙可知,周期为T=2.0 s,则该波传播速度v== m/s=3 m/s,故B错误;由题图丙可知t=0.7 s时,质点P从负向位移向平衡位置靠近,加速度正在减小,故C错误;因Δt=2.4 s-1 s=1.4 s,则T<Δt课时作业18
(总分:65分)
1.(5分)一列简谐横波沿x轴正方向传播,a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置。某时刻的波形如图甲所示,从该时刻计时,则图乙描述的可能是 (　C　)
A.a处质点的振动图像
B.b处质点的振动图像
C.c处质点的振动图像
D.d处质点的振动图像
解析:因该简谐横波沿x轴正方向传播,该时刻处于平衡位置且向y轴负方向振动的是c处的质点,故题图乙可能为平衡位置在c处的质点的振动图像,故选C。
2.(5分)一列简谐横波沿直线传播,某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m,且这两质点之间的波峰只有一个,则该简谐波的波长可能为 (　C　)
A.4 m、6 m和8 m B.6 m、8 m和12 m
C.4 m、6 m和12 m D.4 m、8 m和12 m
解析:由于该波上两质点处于平衡位置且相距6 m,且两质点间波峰只有一个,故6 m与波长λ的关系有三种可能:6 m=,6 m=λ,6 m=λ,故波长的可能值为12 m、6 m、4 m,C正确。
3.(5分)一列简谐横波某时刻波形如图甲所示,由该时刻开始计时,质点N的振动情况如图乙所示,下列说法正确的是 (　A　)
A.该横波沿x轴负方向传播
B.该时刻质点L向y轴正方向运动
C.该时刻质点K与M的速度、加速度都相同
D.质点N经半个周期将沿x轴移动到L点
解析:结合波形图和质点N的振动图像可知,该时刻质点N在平衡位置向上振动,可知该横波沿x轴负方向传播,故A正确;由于该横波沿x轴负方向传播,根据“上下坡法”,可知该时刻质点L向y轴负方向运动,故B错误;该时刻质点K与M的速度均为0,加速度大小相等,方向相反,故C错误;质点只能在平衡位置附近振动,而不随波迁移,故D错误。
4.(5分)(2023·北京卷)位于坐标原点处的波源发出一列沿x轴正方向传播的简谐横波。t=0时波源开始振动,其位移y随时间t变化的关系式为y=Asin,则t=T时的波形图为 (　D　)
A B
C D
解析:由于t=0时波源从平衡位置开始振动,由振动方程可知,波源起振方向沿y轴正方向,且t=T时波源处质点的位移和振动方向应与t=0时相同,根据上下坡法可知t=T时的波形图为D图,故选D。
5.(5分)位于坐标原点的波源的振动图像如图所示,形成的简谐波沿着x轴向两侧传播,已知波的传播速度为2 m/s,则t=1 s时波的图像为 (　C　)
A B
C D
解析:根据波源的振动图像可知,波源的振动周期为T=2 s,那么从波源开始振动到t=1 s的时间里,波沿x轴向两侧传播应分别产生了半个波形。已知波沿x轴向两侧传播的速度为v=2 m/s,则波长为λ=vT=4 m,那么波形相对于y轴应是镜像对称的,且传播到x轴±2 m的位置。根据波源的振动图像可知,在t=1 s时,波源经过平衡位置向下振动。综合判断,C正确,A、B、D错误。
6.(5分)(多选)一列简谐横波在t=0时刻的波形如图中的实线所示,t=0.02 s时刻的波形如图中的虚线所示。若该波沿x轴负方向传播,则该波的传播速度可能是 (　AD　)
A.3 m/s B.6 m/s
C.4 m/s D.15 m/s
解析:波沿x轴负方向传播,则Δx=nλ+λ=0.08n+0.06 (m)(n=0,1,2,…),则该波的传播速度为v== m/s=4n+3(m/s)(n=0,1,2,…),当n=0时,v=3 m/s;当n=3时,v=15 m/s,故选A、D。
7.(5分)如图甲为一列简谐横波在t=0.2 s时刻的波形图,P、Q为介质中的两个质点,图乙为质点P的振动图像,则 (　C　)
A.简谐横波沿x轴负方向传播
B.简谐横波的波速为0.2 m/s
C.t=0.3 s时,质点Q的加速度小于质点P的加速度
D.t=0.5 s时,质点Q到平衡位置的距离大于质点P到平衡位置的距离
解析:由振动图像可知,在t=0.2 s时刻,质点P的振动方向向下,结合波形图可知,简谐横波沿x轴正方向传播,故A错误;简谐横波的波速为v== m/s=5 m/s,故B错误;t=0.3 s时,即在t=0.2 s再经过,则质点P到达波谷,而质点Q在波峰与平衡位置之间,则此时质点Q的加速度小于质点P的加速度,故C正确;t=0.5 s时,即在t=0.2 s再经过质点P到达波峰,质点Q在波谷和平衡位置之间,则质点Q到平衡位置的距离小于质点P到平衡位置的距离,故D错误。
8.(5分)(多选)如图所示,a、b是一列简谐横波上的两个质点,它们在x轴上的距离s=30 m,波沿x轴正方向传播。当a振动到最高点时,b恰好经过平衡位置向下振动,经过5 s波传播了30 m。下列判断正确的是 (　AC　)
A.该波的波速一定是6 m/s
B.该波的周期一定是12 s
C.该波的波长可能是40 m
D.该波的波长可能为24 m
解析:该波经过5 s,传播了30 m,则波速v==6 m/s,故A正确;由题意可知nλ+λ=30 m(n=0,1,2,…),可得波长λ= m(n=0,1,2,…),当n=0时λ=40 m,当λ=24 m时,n不是正整数,故C正确,D错误;周期T== m/s(n=0,1,2,…),则该波的周期不可能是12 s,故B错误。
9.(5分)(多选)一列简谐横波沿x轴传播,已知x轴上x1=1 m和x2=7 m处质点的振动图像分别如图甲、乙所示,则此列波的传播速率可能是 (　BC　)
A.7 m/s B.2 m/s
C.1.2 m/s D.1 m/s
解析:由两质点的振动图像可知,t=0时刻,x1=1 m处的质点处于平衡位置向下运动,x2=7 m处的质点位于波峰处,该波的周期为T=4 s。若该简谐横波沿x轴正方向传播,则两质点间的距离为λ=6 m(n=0,1,2,…),则λ= m(n=0,1,2,…),由波速的公式得v== m/s(n=0,1,2,…),n=0时,v=6 m/s;n=1时,v=1.2 m/s;n=2时,v= m/s,故C正确。若该简谐横波沿x轴负方向传播,则两质点间的距离为λ=6 m(n=0,1,2,…),则λ= m(n=0,1,2,…),由波速的公式得v== m/s(n=0,1,2,…),n=0时,v=2 m/s;n=1时,v= m/s,故B正确,A、D错误。
10.(15分)舞袖的波形可看成一列沿x轴传播的简谐横波,如图所示,实线是简谐横波在t1=0时刻的波形图,虚线是在t2=0.2 s时刻的波形图。
(1)求此列波传播速度的可能值。
(2)若波速为65 m/s,求x=3 m处的质点N在t1时刻的振动方向。
(3)在t1到t2时间内,x=5 m处的质点M通过的路程为1.8 m,求波的传播速度。
答案:(1)见解析　(2)沿y轴负方向振动　(3)45 m/s
解析:(1)从波的图像可以看出,波长λ=4 m,若波沿x轴正方向传播,则波传播的距离x1=λ(n=0,1,2,…),波传播的速度v1==5(4n+1) m/s(n=0,1,2,…),若波沿x轴负方向传播,则波传播的距离x2=λ(n=0,1,2,…),波传播的速度v2==5(4n+3) m/s(n=0,1,2,…)。
(2)由(1)知:若波沿x轴负方向传播,无论n取值多少,都不能求出波速为65 m/s,若波沿x轴正方向传播,n=3时,解得v1=65 m/s,波沿x轴正方向传播,根据“同侧法”可知,质点N沿y轴负方向振动。
(3)从波的图像可以看出振幅A=20 cm=0.2 m,质点M通过的路程为1.8 m,则经历的时间是2T,波传播的距离x3=2λ+λ=9 m,波速大小v3==45 m/s。
11.(5分)一列简谐横波沿x轴传播,在t=0.125 s时的波形如图甲所示,M、N、P、Q是介质中的四个质点,已知N、Q两质点平衡位置之间的距离为16 m,图乙为质点P的振动图像。下列说法正确的是 (　D　)
A.该波的波速为240 m/s
B.该波沿x轴正方向传播
C.质点P的平衡位置位于x=3 m处
D.从t=0.125 s开始,质点Q比质点N早 s回到平衡位置
解析:设该波的波长为λ,根据三角函数知识可知,N、Q两质点平衡位置间的距离为xNQ=-·λ=16 m,解得λ=24 m,由题图乙可知该波的周期为T=0.2 s,所以该波的波速为v==120 m/s,故A错误;由题图乙可知,t=0.125 s时刻,质点P沿y轴负方向运动,所以该波沿x轴负方向传播,故B错误;由题图乙可知,在t=0.125 s之后,质点P第一次位于波峰的时刻为t=0.25 s,易知此波峰为t=0.125 s时刻质点Q所在处的波峰传播来的,所以有=0.25 s-0.125 s,解得xP=1 m,故C错误;从t=0.125 s开始,质点Q第一次回到平衡位置所经历的时间为t1==0.05 s,题图甲中,质点Q左侧波形的第一个平衡位置处坐标为x1=xQ-=10 m,该振动状态第一次传播到质点N所经历的时间为t2== s,则Δt=t2-t1= s,即质点Q比质点N早 s回到平衡位置,故D正确。(共50张PPT)
第三章　机械波
拓展提升课6　波的图像与振动图像的综合及波的多解性问题
核心要点 点点过
1
目录
即时演练 堂堂清
2
课时作业18
3
核心要点 点点过
　振动图像与波的图像的对比
要点一　波的图像与振动图像的关联分析
项目 振动图像 波的图像
研究对象 一个振动质点 沿波传播方向的所有质点
研究内容 某一质点的位移随时间的变化规律 某时刻所有质点的空间分布规律
图像
项目 振动图像 波的图像
物理意义 表示某一质点在各时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
图像信息 (1)质点振动周期; (2)质点振幅; (3)某一质点在各时刻的位移; (4)各时刻速度、加速度的方向 (1)波长、振幅;
(2)任一质点在该时刻的位移;
(3)任一质点在该时刻加速度的方向;
(4)传播方向、振动方向的互判
图像变化 随时间推移图像延续,但已有形状不变 随时间推移,图像沿传播方向平移
比喻 单人舞的录像 抓拍的集体舞照片
【例1】　(多选)图甲为一列简谐横波在t=0时的波形图,图乙为介质中平衡位置在x=2.5 m处的质点的振动图像,下列说法正确的是 (　　　　)
A.该波的波速为0.5 m/s
B.该波的传播方向为x轴正方向
C.当t=5 s时,平衡位置在x=2 m处的质点恰好经平衡位置向y轴正方向运动
D.从t=2 s到t=4 s的时间内,平衡位置在x=0.7 m处的质点通过的路程为8 cm
ACD
【解析】　由题图甲可知波长为2 m,由题图乙可知周期为4 s,则波速为v== m/s=0.5 m/s,故A正确;由题图乙可知,t=0时刻,x=2.5 m处的质点向y轴正方向运动,根据波形平移法可知,该波的传播方向为x轴负方向,故B错误;由于t=5 s=T,可知当t=5 s时,平衡位置在x=2 m处的质点恰好经平衡位置向y轴正方向运动,故C正确;从t=2 s到t=4 s的时间内,由于Δt=2 s=,可知平衡位置在x=0.7 m处的质点通过的路程为s=2A=8 cm,故D正确。
方法技巧
分析波的图像与振动图像的综合问题,主要有以下两个方面:
(1)由振动图像确定波的周期(质点振动周期),由波的图像确定波长,进而计算波速。
(2)先在振动图像中确定与波的图像对应时刻质点的振动方向,然后根据波的图像确定波的传播方向。
注意:分清波的图像与哪一时刻对应,振动图像与哪一质点对应。
【例2】　一列沿x轴传播的简谐横波,t=0时刻的波形图如图甲所示。图乙表示x=1.0 m处的质点的振动图像。



(1)求简谐横波传播速度的大小。
(2)在图丙中画出平衡位置为x=2.0 m处质点的振动图像(从t=0时刻开始计时,至少画出一个周期)。
(3)在图丁中画出简谐横波t=0.3 s时的波形图(至少画出一个波长)。
【答案】　(1)5 m/s　(2)见解析图甲　(3)见解析图乙
【解析】　(1)由题图甲可知波长λ=2.0 m,由题图乙可知周期T=0.4 s,则v==5 m/s。
(2)根据题图甲和题图乙判断可知简谐波向x轴正方向传播,则x=2.0 m处质点在t=0时刻运动方向为y轴负方向,振幅、周期与x=1.0 m处的质点相同,则振动图像如图甲所示。
(3)当t=0.3 s时,波向前传播的距离x=vt=5 m/s×0.3 s=1.5 m,根据题图甲和题图乙判断可知简谐波向x轴正方向传播,则波的图像如图乙所示。
方法技巧
Δt后波形图的画法
(1)特殊点法:找出波形图一个波形中相邻的几个特殊点(如波峰、波谷、平衡位置等点),画出这些特殊点在Δt时刻的位置,然后用正、余弦曲线连起来画出波形图,如果Δt较长,可先表示为Δt=nT+Δt'。由于时间的周期性,可以去整留零,只需画出特殊点在Δt'时刻的波形图。特殊点法适用于特殊时间,Δt或Δt'必须为T的整数倍才好确定特殊点的位置来画波形。特殊点法画波形图较为简单易行。
(2)平移法:算出波在Δt时间内传播的距离Δx=vΔt,把波形沿波的传播方向平移Δx。如果Δx较大,可化为Δx=nλ+Δx',由于波的空间周期性,可以去整留零,只需平移Δx'即可,平移波形后一定要注意把图像补画完整。
1.波的传播方向的双向性形成多解
只要没有指明机械波沿哪个方向传播,就要讨论两个方向的可能性。
2.波的周期性形成多解
(1)时间周期性
t时刻与t+nT(n=1,2,…)时刻的波形图完全重合,即同一波形图可能对应不同的时刻,时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
(2)空间周期性
平衡位置相距nλ(n=1,2,…)的两点振动步调相同,将某一波形沿波的传播方向平移nλ距离,平移后的波形与原波形完全重合,若题中没有给定传播距离与波长的确切关系,则会引起答案的不确定性。
要点二　波的多解问题
【例3】　一列简谐横波沿直线方向由a向b传播,a、b两质点的平衡位置相距3 m,a、b两质点的振动图像如图所示。则该波的传播速度大小可能为 (　　)
A.2.0 m/s
B.1.5 m/s
C.1.0 m/s
D.0.5 m/s
C
【解析】　根据图像可知,t=0时刻,a质点位于平衡位置向上振动,b质点位于波峰,又由于简谐横波沿直线方向由a向b传播,画出a、b间的波形图,如图所示,则有Δxab=3 m=nλ+λ(n=0,1,2,3,…),根据振动图像可知T=4 s,该波的传播速度v=,解得v= m/s(n=0,1,2,3,…),n=0时,v=1.0 m/s;n=1时,v= m/s;n=2时,v= m/s,…,对照选项只有C符合题意。
【例4】　一列简谐横波图像如图所示,t1时刻的波形如图中实线所示,t2时刻的波形如图中虚线所示,已知Δt=t2-t1=0.5 s,
(1)这列波的周期可能是多大
(2)这列波可能的波速表达式是怎样的
(3)若波向左传播,且3T<Δt<4T,波速为多大
(4)若波速v=68 m/s,则波向哪个方向传播
【答案】　(1)(2)见解析　(3)60 m/s　(4)向右传播
【解析】　(1)(2)由题图可知波长λ=8 m,当波向右传播时Δt=nT1+,
T1= s(n=0,1,2,…),v右==4(4n+1) m/s(n=0,1,2,…);
当波向左传播时Δt=nT2+T2,T2= s(n=0,1,2,…),v左==4(4n+3) m/s(n=0,1,2,…)。
(3)若波向左传播,且3T<Δt<4T,则Δt=3T,得T= s,v1==60 m/s。
(4)Δt内波传播的距离为x=vΔt=68×0.5 m=34 m=4λ,故波向右传播。
方法技巧
解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑传播方向的双向性:如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示,应首先按波传播方向的可能性进行讨论。
(2)对设定的传播方向,首先确定Δt和T(或确定Δx和λ)的关系,一般先确定最简单的情况,即一个周期内(或一个波长内)的情况,然后在此基础上加nT(或nλ)。
(3)应注意题目是否有限制条件,如有的题目限制波的传播方向,或限制时间Δt大于或小于一个周期等。所以解题时应综合考虑,加强多解意识,认真分析题意。
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1.如图实线是某时刻波的图像,虚线是经过0.4 s时波的图像,下列判断正确的是 (　 　)
A.周期一定是1.6 s
B.波长一定为2 m
C.波一定向左传播
D.x=1 m的质点沿x轴方向移动
B
解析:若该波沿x轴正方向传播,则其周期应满足T+nT=0.4 s(n=0,1,2,3,…),解得T= s(n=0,1,2,3,…),若该波沿x轴负方向传播,则其周期应满足+nT=0.4 s(n=0,1,2,3,…),解得T= s(n=0,1,2,3,…),故A、C错误;由题图知λ=2 m,故B正确;质点只在平衡位置附近上下振动,不会随波迁移,故D错误。
2.(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播,在t1=0和t2=0.2 s时的波形分别如图中实线和虚线所示,已知该波的周期T>0.2 s,下列说法正确的是 (　 　)
A.该波的波速一定为0.4 m/s
B.该波的振幅一定为0.04 m
C.该波的波长可能为0.08 m
D.该波的周期为0.4 s
AD
解析:因为t1=0和t2=0.2 s时的波形分别如题图中实线和虚线所示,二者最少相差半个周期,故0.2 s=+nT(n=0,1,2,…),而T>0.2 s,故周期为T=0.4 s,由题图可知,波长为16 cm,即λ=0.16 m,波速为v===0.4 m/s,故A、D正确,C错误;振幅为质点离开平衡位置的最大距离,从题图上看出振幅是0.02 m,故B错误。
3.(多选)一列简谐横波沿x轴传播,图(a)是t=0时刻的波形图,P是介质中位于x=2 m处的质点,其振动图像如图(b)所示。下列说法正确的是 (　 　)

A.波速为2 m/s
B.波向左传播
C.波的振幅是10 cm
D.质点P在0~7 s时间内运动的路程为70 cm
ABD
解析:由波的图像可知该波的波长λ=4 m,由振动图像可知该波的周期T=2 s,所以该波的传播速度v==2 m/s,故A正确;由振动图像可知质点P在t=0时刻经平衡位置向y轴负方向运动,结合波形图由“同侧法”可知波沿x轴负方向传播,即向左传播,故B正确;振幅为质点离开平衡位置的最大距离,由波的图像可知波的振幅A=5 cm,故C错误;质点P在0~7 s时间内,即3.5个周期内通过的路程为s=3.5×4A=70 cm,故D正确。
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A.该波沿x轴负方向传播
B.该波传播速度为9 m/s
C.t=0.7 s时,质点P的加速度正在增大
D.t=2.4 s时,质点Q的振动方向沿y轴负方向
D
解析:由题图丙可知t=1 s时,质点P向y轴正方向运动,结合题图乙可知该波沿x轴正方向传播,故A错误;由题图乙可知,波长为λ=6 m,由题图丙可知,周期为T=2.0 s,则该波传播速度v== m/s=3 m/s,故B错误;由题图丙可知t=0.7 s时,质点P从负向位移向平衡位置靠近,加速度正在减小,故C错误;因Δt=2.4 s-1 s=1.4 s,则T<Δt课时作业18

1.(5分)一列简谐横波沿x轴正方向传播,a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置。某时刻的波形如图甲所示,从该时刻计时,则图乙描述的可能是(　 　)
A.a处质点的振动图像
B.b处质点的振动图像
C.c处质点的振动图像
D.d处质点的振动图像
C
解析:因该简谐横波沿x轴正方向传播,该时刻处于平衡位置且向y轴负方向振动的是c处的质点,故题图乙可能为平衡位置在c处的质点的振动图像,故选C。
2.(5分)一列简谐横波沿直线传播,某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m,且这两质点之间的波峰只有一个,则该简谐波的波长可能为 (　 　)
A.4 m、6 m和8 m B.6 m、8 m和12 m
C.4 m、6 m和12 m D.4 m、8 m和12 m
解析:由于该波上两质点处于平衡位置且相距6 m,且两质点间波峰只有一个,故6 m与波长λ的关系有三种可能:6 m=,6 m=λ,6 m=λ,故波长的可能值为12 m、6 m、4 m,C正确。
C
3.(5分)一列简谐横波某时刻波形如图甲所示,由该时刻开始计时,质点N的振动情况如图乙所示,下列说法正确的是 (　 　)
A.该横波沿x轴负方向传播
B.该时刻质点L向y轴正方向运动
C.该时刻质点K与M的速度、加速度都相同
D.质点N经半个周期将沿x轴移动到L点
A
解析:结合波形图和质点N的振动图像可知,该时刻质点N在平衡位置向上振动,可知该横波沿x轴负方向传播,故A正确;由于该横波沿x轴负方向传播,根据“上下坡法”,可知该时刻质点L向y轴负方向运动,故B错误;该时刻质点K与M的速度均为0,加速度大小相等,方向相反,故C错误;质点只能在平衡位置附近振动,而不随波迁移,故D错误。
4.(5分)(2023·北京卷)位于坐标原点处的波源发出一列沿x轴正方向传播的简谐横波。t=0时波源开始振动,其位移y随时间t变化的关系式为y=Asin,则t=T时的波形图为(　 　)
D
解析:由于t=0时波源从平衡位置开始振动,由振动方程可知,波源起振方向沿y轴正方向,且t=T时波源处质点的位移和振动方向应与t=0时相同,根据上下坡法可知t=T时的波形图为D图,故选D。
5.(5分)位于坐标原点的波源的振动图像如图所示,形成的简谐波沿着x轴向两侧传播,已知波的传播速度为2 m/s,则t=1 s时波的图像为 (　 　)
C
解析:根据波源的振动图像可知,波源的振动周期为T=2 s,那么从波源开始振动到t=1 s的时间里,波沿x轴向两侧传播应分别产生了半个波形。已知波沿x轴向两侧传播的速度为v=2 m/s,则波长为λ=vT=4 m,那么波形相对于y轴应是镜像对称的,且传播到x轴±2 m的位置。根据波源的振动图像可知,在t=1 s时,波源经过平衡位置向下振动。综合判断,C正确,A、B、D错误。
6.(5分)(多选)一列简谐横波在t=0时刻的波形如图中的实线所示,t=0.02 s时刻的波形如图中的虚线所示。若该波沿x轴负方向传播,则该波的传播速度可能是 (　 　)
A.3 m/s B.6 m/s
C.4 m/s D.15 m/s

解析:波沿x轴负方向传播,则Δx=nλ+λ=0.08n+0.06 (m)(n=0,1,2,…),则该波的传播速度为v== m/s=4n+3(m/s)(n=0,1,2,…),当n=0时,v=3 m/s;当n=3时,v=15 m/s,故选A、D。
AD

7.(5分)如图甲为一列简谐横波在t=0.2 s时刻的波形图,P、Q为介质中的两个质点,图乙为质点P的振动图像,则(　 　)

A.简谐横波沿x轴负方向传播
B.简谐横波的波速为0.2 m/s
C.t=0.3 s时,质点Q的加速度小于质点P的加速度
D.t=0.5 s时,质点Q到平衡位置的距离大于质点P到平衡位置的距离
C
解析:由振动图像可知,在t=0.2 s时刻,质点P的振动方向向下,结合波形图可知,简谐横波沿x轴正方向传播,故A错误;简谐横波的波速为v== m/s=5 m/s,故B错误;t=0.3 s时,即在t=0.2 s再经过,则质点P到达波谷,而质点Q在波峰与平衡位置之间,则此时质点Q的加速度小于质点P的加速度,故C正确;t=0.5 s时,即在t=0.2 s再经过质点P到达波峰,质点Q在波谷和平衡位置之间,则质点Q到平衡位置的距离小于质点P到平衡位置的距离,故D错误。
8.(5分)(多选)如图所示,a、b是一列简谐横波上的两个质点,它们在x轴上的距离s=30 m,波沿x轴正方向传播。当a振动到最高点时,b恰好经过平衡位置向下振动,经过5 s波传播了30 m。下列判断正确的是 (　 　)
A.该波的波速一定是6 m/s
B.该波的周期一定是12 s
C.该波的波长可能是40 m
D.该波的波长可能为24 m
AC
解析:该波经过5 s,传播了30 m,则波速v==6 m/s,故A正确;由题意可知nλ+λ=30 m(n=0,1,2,…),可得波长λ= m(n=0,1,2,…),当n=0时λ=40 m,当λ=24 m时,n不是正整数,故C正确,D错误;周期T== m/s(n=0,1,2,…),则该波的周期不可能是12 s,故B错误。
9.(5分)(多选)一列简谐横波沿x轴传播,已知x轴上x1=1 m和x2=7 m处质点的振动图像分别如图甲、乙所示,则此列波的传播速率可能是 (　 　)
A.7 m/s
B.2 m/s
C.1.2 m/s
D.1 m/s
BC
解析:由两质点的振动图像可知,t=0时刻,x1=1 m处的质点处于平衡位置向下运动,x2=7 m处的质点位于波峰处,该波的周期为T=4 s。若该简谐横波沿x轴正方向传播,则两质点间的距离为λ=6 m(n=0,1,2,…),则λ= m(n=0,1,2,…),由波速的公式得v== m/s(n=0,1,2,…),n=0时,v=6 m/s;n=1时,v=1.2 m/s;n=2时,v= m/s,故C正确。若该简谐横波沿x轴负方向传播,则两质点间的距离为λ=6 m(n=0,1,2,…),则λ= m(n=0,1,2,…),由波速的公式得v== m/s(n=0,1,2,…),n=0时,v=2 m/s;n=1时,v= m/s,故B正确,A、D错误。
答案:(1)见解析　
解析:(1)从波的图像可以看出,波长λ=4 m,若波沿x轴正方向传播,则波传播的距离x1=λ(n=0,1,2,…),波传播的速度v1==5(4n+1) m/s(n=0,1,2,…),若波沿x轴负方向传播,则波传播的距离x2=λ(n=0,1,2,…),波传播的速度v2==5(4n+3) m/s(n=0,1,2,…)。
10.(15分)舞袖的波形可看成一列沿x轴传播的简谐横波,如图所示,实线是简谐横波在t1=0时刻的波形图,虚线是在t2=0.2 s时刻的波形图。
(1)求此列波传播速度的可能值。
(2)若波速为65 m/s,求x=3 m处的质点N在t1时刻的振动方向。
答案:(2)沿y轴负方向振动　
解析:(2)由(1)知:若波沿x轴负方向传播,无论n取值多少,都不能求出波速为65 m/s,若波沿x轴正方向传播,n=3时,解得v1=65 m/s,波沿x轴正方向传播,根据“同侧法”可知,质点N沿y轴负方向振动。
(3)在t1到t2时间内,x=5 m处的质点M通过的路程为1.8 m,求波的传播速度。
答案:(3)45 m/s
解析:(3)从波的图像可以看出振幅A=20 cm=0.2 m,质点M通过的路程为1.8 m,则经历的时间是2T,波传播的距离x3=2λ+λ=9 m,波速大小v3==45 m/s。
11.(5分)一列简谐横波沿x轴传播,在t=0.125 s时的波形如图甲所示,M、N、P、Q是介质中的四个质点,已知N、Q两质点平衡位置之间的距离为16 m,图乙为质点P的振动图像。下列说法正确的是 (　 　)
A.该波的波速为240 m/s
B.该波沿x轴正方向传播
C.质点P的平衡位置位于x=3 m处
D.从t=0.125 s开始,质点Q比质点N早 s回到平衡位置
D
解析:设该波的波长为λ,根据三角函数知识可知,N、Q两质点平衡位置间的距离为xNQ=-·λ=16 m,解得λ=24 m,由题图乙可知该波的周期为T=0.2 s,所以该波的波速为v==120 m/s,故A错误;由题图乙可知,t=0.125 s时刻,质点P沿y轴负方向运动,所以该波沿x轴负方向传播,故B错误;由题图乙可知,在t=0.125 s之后,质点P第一次位于波峰的时刻为t=0.25 s,易知此波峰为t=0.125 s时刻质点Q所在处的波峰传播来的,所以有=0.25 s-0.125 s,解得xP=1 m,故C错误;从t=0.125 s开始,质点Q第一次回到平衡位置所经历的时间为t1==0.05 s,题图甲中,质点Q左侧波形的第一个平衡位置处坐标为x1=xQ-=10 m,该振动状态第一次传播到质点N所经历的时间为t2== s,则Δt=t2-t1= s,即质点Q比质点N早 s回到平衡位置,故D正确。
本课结束

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