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湖北中部地区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.数据，，，，，，，，，的上四分位数为( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则( )
A. B. 或 C. D. 或
6.已知，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值为( )
A. B. C. D.
8.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知，，分别是三个内角，，的对边，且，点为的费马点．若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，为实数，则( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，都大于，则
D. 若，，，则
10.已知内角，，的对边分别为，，，外接圆半径为若，且，则( )
A. B. 面积的最大值为
C. D. 边上的高的最大值为
11.如图，已知正方体的棱长为，是正方形包括边界底面内的一动点，则下列结论正确的有( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得
C. 若，则点在正方形内的运动轨迹长度为
D. 若点为的中点，点为的中点，过，作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，为两个随机事件，，，若，则 ．
13. __________．
14.四面体中，，，，且异面直线与所成角为若四面体的体积为，则四面体的外接球半径的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
若且，求在方向上的投影向量；
若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数的一部分图象如图所示，如果，，．
求函数的解析式；
当时，求函数的最大值与最小值，并写出对应的值．
17.本小题分
国务院年印发的关于推进服务业扩能提质的意见，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值百分制按照，分成组，制成如图所示的频率分布直方图．
求图中的值；
估计这组数据的众数与平均数同一组数据用该组数据区间的中点值代替；
已知这名业主中满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为若在满意度评分值为的人中随机抽取人进行座谈，求恰有名女性的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在平面四边形中，，且．
中，设角的对边分别为，若．
当时，求的值；
当时，求的最大值．
若，且，将沿翻折成，使得平面平面，在四面体中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为，试比较的大小．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为，，所以，，
即，解得或，又因为，故．
此时，，，，
所以在方向上的投影向量为．
因此在方向上的投影向量为．
因为与夹角为钝角等价于且与不反向共线．
所以，解得．
若，则，即，解得或．
当时，，，，与同向，与的夹角为，舍去；
当时，，，，与反向，与的夹角为，非钝角，舍去．
综上，实数的取值范围为．

16.【答案】解：由图象可知，，，
设最小正周期为，，，
，
又，且，
，，，
函数的解析式为．
当时，，，
故当，即时，有最小值；
当，即时，有最大值．

17.【答案】解：由．
估计众数为，
估计平均数为：．
由题意，满意度评分值为的人有人，
其中男性人，记为，，；
女性有人，记为，．
从这人中随机抽取人进行座谈，所有的样本点有：，，，，
，，，，，，共个．
记“恰有名女性”为事件，则事件包含：，，，，，个样本点．
所以．

18.【答案】解：证明：取棱的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，
又，，，平面，所以平面．
连接，
由中平面，所以为直线与平面所成的角．
因为为等边三角形，，且为的中点，所以，
又，在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
取中点，连接，，
在中，，
因为平面，又平面，所以，
在中，，所以，所以，
又点为中点，所以，
同理，
所以为二面角的平面角，
设，
在中，，
在中，，
在中，，，，
由余弦定理可得，即，
化简得到，解得或舍去，
即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时．

19.【答案】解：，由正弦定理得，
由余弦定理得，化简得：，
当时，，
．
当时，，
当且仅当即时取等号，
的最大值为．
由，，
由余弦定理得，
即，所以，
又平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
所以在四面体中，任取两条棱，共有种情况，其中相互垂直的棱有对：
，
故，
由平面，平面，所以平面平面，
又，平面平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，
所以个面任选个面，共有种情况，其中相互垂直的面有对：
平面平面，平面平面，平面平面，
故．
任选个面和不在此面上的条棱，先从个平面任选个平面，共有种情况，
再从不在此面上的条棱中选条，有种情况，故共有种情况，其中满足垂直关系的有种，
分别为平面和棱，平面和棱，故，
所以．

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