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广东深圳市多校联考2025-2026学年第二学期高一期末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
3.从，，，，中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不超过的概率为( )
A. B. C. D.
4.在中，角、、所对的边分别为、、若，则该三角形一定是( )
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
5.已知函数，若存在互不相同的，，使得，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知向量，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.若样本数据，，，，的平均数为，则其方差为( )
A. B. C. D.
8.已知在直角梯形中，，，，，若将梯形绕所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校高一学生有男生人，女生人，为了解该校高一学生的身高信息，按性别采用样本量按比例分配的分层随机抽样，共抽取人，计算得到样本中男生、女生的平均身高分别为和单位：厘米，方差分别为和，则下列结论正确的是( )
A. 该校每一名高一学生被抽到的概率为
B. 男生、女生应抽取的人数分别为和
C. 样本的平均数为
D. 根据上述数据，估计该校高一学生身高的方差为
10.已知函数，则下列结论正确的有( )
A. 的一个周期是
B. 在上单调递增
C. 的最大值为
D. 方程在上有个解
11.已知正方体的棱长为，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则( )
A. 直线与所成角的正切值为
B. 三棱柱外接球的半径为
C. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某篮球运动员近场比赛的得分从低到高依次为，，，，，，，，则这个数据的上四分位数是 ．
13.已知正四面体的棱长为，若该正四面体的外接球表面积为，其内切球表面积为，则 ．
14.在棱长为的正方体中，点到平面的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，复数，，在复平面上对应的点分别为、、，为坐标原点．
求的取值范围；
当、、三点共线时，求实数的值．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求的值
若，，且的面积为，求的长度．
17.本小题分
如图，在矩形中，是线段上的一动点，如图，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面．
如图，当时，点是线段的中点，求证：平面；
如图，若点在平面内的射影落在线段上．
是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由；
当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知锐角满足．
求的值；
求的值．
19.本小题分
在某密码通信系统中，字母只通过符号“”和“”传输，每个符号或的传输可能出错，传输结果相互独立．系统只有两种传输模式：模式：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“”时，正确接收的概率为，错误接收的概率为；当发送“”时，正确接收的概率为，错误接收的概率为模式：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为，假设，已知字母的密码为“”，字母的密码为“”．
若，求字母正确接收的概率；
若，在字母接收的个符号中，记“收到的个数为”，“收到的个数为”，试比较和的大小．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：，
，当且仅当时取等号，
故的取值范围为．
由题意知，，
当、、三点共线时，直线斜率相等，
，，
则，，则，解得．

16.【答案】解：由及正弦定理，
得，
因为，且，
所以，即，
因为，所以
由的面积为，得，
所以，
又，所以，，
由正弦定理，得，
由可得，，
因为，所以，
在中，由余弦定理，得，
所以．
17.【答案】解：取的中点，连接和．
是的中位线，且，
又且．
，
所以四边形是平行四边形，
，平面，平面
平面；
存在点，当点与点重合，即时平面，
理由如下：
当点与点重合时，则，
面，面，，
又，且，平面，
平面，
平面，，
又，，，面，
当点与点重合，即时，平面；
在矩形中作，垂足为点，延长交于点，折起后得．
设，，，
由∽得即，，
，
要使得点的射影落在线段上，则，则，
在中，，
，
当且仅当即时，．
当时，，，是的中点，
所以点到平面的距离是点到平面距离的一半，
又由知，当，即点与点重合时，平面，
所以点到平面的距离是．
18.【答案】解：因为为锐角，所以，
，，
因为为锐角，所以，
，，
．
因为为锐角，，
所以，又，，
，
，所以．

19.【答案】解：字母的密码为“”，一共接收个符号，个都正确，
则字母正确接收，所以字母正确接收的概率为；
若字母接收的个符号中，收到“”的个数为，可分种情况：传输为“”或“”或“”，
所以，
同理，若字母接收的个符号中，收到“”的个数为，可分种情况：传输为“”或“”或“”，
所以，
当时，，
所以，
当时，，
所以，
所以，
若，则；
若，则；
若，则．

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