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北京理工大学附属中学2025—2026学年度第二学期初一年级期末
数学练习
一、选择题
1.下面的四个图形中，能由图形经过平移得到的图形是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列各数是无理数的是( )
A. B. C. D.
4.若，则下列各式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.下列调查中，最适合采取全面调查的是( )
A. 调查全市中学生的身高与体重情况
B. 质检部门对一批新款学习平板进行防摔性能检测
C. 了解某市初中生的课外阅读情况
D. 民航部门对客机起飞前各部件的安全检查
6.每年的农历五月初五是端午节，某校开展了丰富多彩的传统文化活动．初一年级举行“端午文化知识竞赛”，一共有道题，规定：答对一道题得分，答错一道题或不答扣分．小舟回答了全部道题，最终得分为分．设小舟答对了道题，答错或不答道题，则根据题意可列出二元一次方程组( )
A. B. C. D.
7.如图，点在直线上，，平分若，则的大小为( )
A. B. C. D.
8.关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是( )
表 表
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，已知正方形的边长为，两个顶点的坐标为，，平行于轴，则顶点的坐标是( )
A. B. 或
C. D. 或
10. 年 月 日，国家统计局发布中华人民共和国 年国民经济和社会发展统计公报下图为公报中 年至 年全国快递业务量及其较上年增长量的统计图．
根据统计图中的信息，下列推断中正确的结论有( )
年全国快递业务量约 亿件，比 年增加了约 亿件；
快递业务量的增长量在 年和 年出现下降；
年较上年增长约 亿件，增长量为七年来最高；
年至 年快递业务量的增长率先上升后下降．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题
11.的平方根是 ．
12.如图，直线是起跳线，脚印是小明跳入沙坑时留下的痕迹，体育老师测得线段 的长度作为小明此次的跳远成绩．
13.将点向左平移个单位长度后落在轴上，则的值为 ．
14.如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则 ．
15.对于实数，用表示不超过的最大整数，如：，，．
；
若，则满足条件的实数的值是 ．
16.在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为的点称为“和谐点”．
若点是“和谐点”，则的值为 ；
下列结论正确的是 写出所有正确结论的序号．
第一象限内有无数个“和谐点”；
已知点，，若点是“和谐点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为；
已知点，，若点是第一象限内的“和谐点”，三角形的面积记为，则．
三、解答题
17.计算：．
18.解方程组：
19.解不等式组：，并写出满足条件的整数解．
20.在平面直角坐标系中，，，三点的坐标分别为，，．
若三角形平移后得到三角形，点的对应点的坐标为，请画出平移后的三角形．
若三角形内部一点的坐标为，则平移后点的对应点的坐标是 ；
已知点在轴上，且三角形的面积为，直接写出点的坐标为 ．
21.如图，已知，，于点，为上的一点，于点求的度数．
22.某校七年级有名学生、八年级有名学生，为调查学生劳动教育实践知识的掌握情况，学校分别对七、八年级学生进行了抽样测试测试成绩为百分制，成绩为优秀，为基本达标，为需要关注
七年级的频数分布直方图和扇形图如下：
从八年级随机抽取名学生的测试成绩如下：


八年级的频数分布表如下：
分组 频数
根据以上信息，回答下列问题：
七年级共随机抽取了 名学生的测试成绩；补全七年级频数分布直方图；
， ；
若七、八年级学生都参加了测试：
填“七”或“八”年级的优秀率更高；
请估计七、八年级成绩达标的总人数为 人．
23.竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．
24.当时，若关于的不等式组的解集为，规定：为此不等式组的一次中点解集，为此不等式组的二次中点解集．如不等式组的解集为，则为其一次中点解集，为其二次中点解集．
不等式组的二次中点解集是 ，二次中点解集中包含的整数解为 ；
已知关于的不等式组的一次中点解集中有且仅有个整数解，二次中点解集中有且仅有个整数解，求的取值范围．
25.【问题背景】光线照射到镜面上会发生反射现象，当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面的夹角对应相等，如在图中，．
【数学探究】镜面、的一端重合放置，表示入射光线，表示入射光线两次反射后的反射光线．

如图，当镜面、的一端、重合放置时，若镜面夹角，求证：；
如图，固定镜面，若，调整镜面的位置，使得，画出满足条件的图形，并直接写出此时镜面夹角的大小．
26.在平面直角坐标系中，对于任意两点与的特征值给出如下定义：记，，规定：当时，点与点的特征值为；当时，点与点的特征值为．
已知点，在点、、、中，点 与点的特征值为；
对于平面内的定点与动点，当点与点的特征值取得最小值时，称点为点的最佳特征值点；
已知原点与动点，若，直接写出点的最佳特征值点的一个坐标 ；
已知正方形中，轴，、交于点，，点的坐标为已知定点，若正方形的边上存在点的最佳特征值点，直接写出实数的取值范围 ．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】【小题】

【小题】

16.【答案】【小题】

【小题】

17.【答案】解：原式 ．
18.【答案】解：
由得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
所以原方程组的解为．

19.【答案】解：解第一个不等式 ，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
解第二个不等式 ，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为得：，
不等式组的解集为，
这个范围内的整数解只有和．

20.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
或

21.【答案】解：于点，于点．
，
，
，
，
，

22.【答案】【小题】
；
【小题】

【小题】
七

23.【答案】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为．
依题意，得．
解得．
所以．
答：这个竹节人的总高度为．

24.【答案】【小题】

【小题】
解：
解不等式得，，
解不等式得，，
原不等式组的解集为，
原不等式组的一次中点解集为，即，
一次中点解集中有且仅有个整数解，
整数解为，，，
，
解得：，
原不等式组的二次中点解集为，即，
二次中点解集中有且仅有个整数解，
整数解为，
，
解得：，
的取值范围为．

25.【答案】【小题】
证明：如图所示，过点作，
，
，
，
，
；
由题意得，
，
，
，
，
；
【小题】
；

26.【答案】【小题】
、
【小题】
答案不唯一

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