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3.1 等量关系和 方程
一次方程（组）
第3章
（湘教版）七年级
上
学习目标
1. 理解方程、一元一次方程及方程的解的概念；
2. 会根据具体问题中的等量关系列出一元一次方程；
3. 感受数学建模的过程，体会一元一次方程模型在生活中的应用，通过观察、思考等过程，培养归纳总结的能力。
新知导入
（1）为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛，比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分，若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分．问：其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量关系，列出相等式？
（2）如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为
1.2m，高为1m，表面积为6.8m 。其中蕴含怎样的等
量关系？如何根据等量关系，列出相应等式？
思考
新知探究
（1）中蕴含以下等量关系：
胜的场数得分＋输的场数得分＝总得分。
（1）中还有其他等量关系吗？
（2）中蕴含以下等量关系：
（长 × 宽＋宽×高＋长×高） × 2＝表面积。
想一想
胜的场数＋输的场数＝总场数。
新知探究
前面我们已经学习了用字母表示数，是否可以先将问题中的未知量用字母表示，然后再探索解决办法。
对于（1），设该队胜了x场，则该队输了（14 x ）场。
又由于胜一场得2分，输一场得1分，总共得了26分，因此可得以下等式：
对于（2），若设包装盒底面的宽是 y m ，则根据题意可得以下等式：
即
新知探究
我们刚刚列出的等式有什么特点？
思考
未知数
未知数
两式中的 x, y 叫作未知数，含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程。
像所示方程这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程。
新知探究
是一元一次方程吗？
想一想
的分母中含有未知数，不是一元一次方程。
一元一次方程
等号两边都是整式（分母中不含未知数）
只含有一个未知数
未知数的次数是1
新知探究
《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元400年前后，传本共有上、中、下三卷，下卷有许多著名数学题，如第31题就是有趣的"鸡兔同笼"问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有多少只鸡和兔？
（1）找出上述趣题中的等量关系；
（2）适当设未知数，列出一元一次方程。
《孙子算经》书影
做一做
新知探究
上述趣题中存在以下等量关系：
（1）兔的只数＋鸡的只数＝35 ; （2）兔的脚数＋鸡的脚数＝94 。
设兔有 x 只，则鸡有（35 - x ）只。
由于每只兔有4只脚，每只鸡有2只脚，并且笼子里总共有94只脚，因此，可得如下一元一次方程：
将方程左边多项式整理得
从而方程变成
做一做
新知探究
列一元一次方程的一般步骤：
1 . 找等量关系
2 . 设未知数
3 . 列方程
如果要求上述问题中兔的只数，则需要找到一个数，将这个数代入方程④后，能使左、右两边的值相等，则这个数就是所求兔的只数。
做一做
新知探究
如何找到一个数，使方程左、右两边的值相等？
分析：对于方程，就是要找出一个数，使得它的2倍与70的和等于94。
x是否有取值范围，为什么？
x 一定是正整数，因为x 表示兔子的数量，不可能为小数和负数。
议一议
新知探究
估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94相比较
第1次估算 10 90 小了
第2次估算 15
第3次估算 13
第4次估算 12
第5次估算 11
100
大了
94
92
96
大了
相等
小了
因此，只有一个数12符合条件。
议一议
新知探究
对于含有一个未知数 x 的方程，若 x 用一个数 c 代入能使方程左、右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解。习惯上记作 x = c。
由上可知，12是方程的唯一解。于是上述趣题中兔有12只，鸡有23只。
议一议
知识应用
例：分别检验 x 的下列值是否是方程的解。
（1） ; （2） 。
（1）把 x 用300代入原方程得，
左边＝,
左边＝右边，
所以 x =300是方程的解。
（2）把 x 用330代入原方程得，
左边＝,
左边≠右边，
所以 x =330不是方程的解。
解：
对于一些较简单的方程，可以先确定未知数的一个较小的取值范围，然后在此范围内估算出方程的解。这种方法是解决问题的一种重要策略.
课堂练习
1. 排球场的长比宽多9m，周长是54m，排球场的宽为多少？列出方程。
2. 估计方程的解。
解：设排球厂宽为x m,则长为（x+9）m
由题意得
化简得
当9时，等式左边
所以排球场的宽为27。
解：当x=15时，等式左边
此时左边=右边
所以方程的解为x=15。
课堂练习
3. 对于方程，分别检验 和 是不是它的解。
解：（1）把 x 用2代入原方程得，
左边 , 右边
左边≠右边，
所以 x 2不是方程的解。
（2）把 x 用2代入原方程得，
左边 , 右边
左边右边，
所以 x 2是方程的解。
课堂总结
1. 方程：含有未知数的等式叫作方程。
2. 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫 作一元一次方程。
4. 方程的解：能使方程左、右两边相等的未知数的值，叫方程的解。
5. 解方程：求方程的解的过程叫解方程。
3. 列一元一次方程的一般步骤：
1 . 找等量关系
2 . 设未知数
3 . 列方程
作业布置
1.必做题：教材P99学而时习之1--4
2.选做题：教材P99温故而知新5--6
谢谢观看
Thank you

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