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同步探究学案
课题 25.3 实际问题与一元二次方程 （第1课时） 单元 第二十五章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．梳理矩形、正方形、道路边框等图形的边长、面积等量关系，建立一元二次方程模型． 2．能结合图形示意图，准确提取长、宽、面积之间的数量关系，列出方程． 3．求解方程后，结合线段长度为正数的实际意义，舍去不符合题意的负根．
重点 从几何实际情境中挖掘等量关系，建立一元二次方程模型，解方程后结合实际意义检验、舍去不合题意的根．
难点 多角度合理设元，准确利用周长、面积、勾股定理列出方程，理解不同设元方法的优劣与内在联系．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：上节课我们学习了一元二次方程根与系数的关系，请说一说它们之间的关系？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助一元二次方程解决实际问题。 例1：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个 归纳：列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： （1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． （2）设：恰当地设未知数． （3）列：根据（1）中的相等关系列出一元二次方程． （4）解：正确地解一元二次方程． （5）验：检验解是不是原方程的解且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一． 例2：用一根长为的细绳，能否围成一个面积为的矩形区域 如果能围成，这样的矩形是否唯一 分析：假设细绳能围成面积为的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为，由周长为，可用含的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 想一想：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种. 例如: (1)可设一边长为，那么其邻边长为; (2)可设一边长为，那么其邻边长为. 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 归纳：已知图形的面积列一元二次方程，除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长的计算方法外，关键是能用未知数表示相关的长度，从而列方程求解．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（ ） A． B． C． D． 2．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 3．某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原长方形的空地长的一边减少了2m，短的一边减少了1m，剩余空地的面积为，求原长方形空地的周长． 选做题： 4．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． 2．如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 3．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 选做题： 4．如图，在一块长12m、宽8m的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 【综合拓展类作业】 5．如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积．
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同步探究学案
课题 25.3 实际问题与一元二次方程 （第1课时） 单元 第二十五章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．梳理矩形、正方形、道路边框等图形的边长、面积等量关系，建立一元二次方程模型． 2．能结合图形示意图，准确提取长、宽、面积之间的数量关系，列出方程． 3．求解方程后，结合线段长度为正数的实际意义，舍去不符合题意的负根．
重点 从几何实际情境中挖掘等量关系，建立一元二次方程模型，解方程后结合实际意义检验、舍去不合题意的根．
难点 多角度合理设元，准确利用周长、面积、勾股定理列出方程，理解不同设元方法的优劣与内在联系．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：上节课我们学习了一元二次方程根与系数的关系，请说一说它们之间的关系？ 答案：一元二次方程的两个根与其系数有如下关系:
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助一元二次方程解决实际问题。 例1：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为，其中为正整数. 由勾股定理，得 解方程，得 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. 归纳：列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： （1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． （2）设：恰当地设未知数． （3）列：根据（1）中的相等关系列出一元二次方程． （4）解：正确地解一元二次方程． （5）验：检验解是不是原方程的解且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一． 例2：用一根长为的细绳，能否围成一个面积为的矩形区域 如果能围成，这样的矩形是否唯一 分析：假设细绳能围成面积为的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为，由周长为，可用含的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 解：设矩形的一边长为，由矩形的周长为，可得此边的邻边长为; 再由矩形的面积为，得 解方程，得 因此，用一根长为的细绳可以围成面积为的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为. 想一想：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 预设：不可以. 当x=12时，邻边长20-12=8；当x=8时，邻边长 20-8=12. 两种情况描述的是同一个矩形，只是长和宽互换位置，矩形形状没有发生改变，因此只能围成一个满足条件的矩形区域. 思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种. 例如: (1)可设一边长为，那么其邻边长为; (2)可设一边长为，那么其邻边长为. 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 预设：方法（1）设一边长为，邻边长 由周长可得： ， 整理： ， 解得： . 对应边长为12m、8m. 特点：直接利用面积表达邻边，列出的是分式方程，需要化为整式方程求解. 方法（2）设一边长，邻边长 周长40m，则半周长为20m，两条边长之和恒为20；以平均值10为基准设元. 由面积列方程： 解得. 边长分别为，. 特点：利用和为定值，构造平方差形式，计算最为简便. 教材解法特点：思路直观，最容易理解，是常规解法. 归纳：已知图形的面积列一元二次方程，除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长的计算方法外，关键是能用未知数表示相关的长度，从而列方程求解．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 答案： 3．某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原长方形的空地长的一边减少了2m，短的一边减少了1m，剩余空地的面积为，求原长方形空地的周长． 解：设原来长方形的宽为米，则长为米． 由题意可得：． 解之得：，（不符合题意，舍去）． ∴原长方形的宽为4米，长为8米． ∴原长方形的周长（米）． 答：原长方形的周长为24米． 选做题： 4．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（ ） A． B． C． D． 答案：B 【综合拓展类练习】 5．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 解：②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____． 答案： 3．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 解：（1）∵装裱后左右两边的边宽分别是，右边宽与天头长的比为， ∴天头长和地头长分别是； 故答案为： （2）由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：装裱后右边宽是． 选做题： 4．如图，在一块长12m、宽8m的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：______． 答案： 【综合拓展类作业】 5．如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 解：（1）设，由得， 扩建后矩形的长为，宽为， 根据总面积列方程：，整理得：， 解得：，（长度不能为负，舍去）， 因此，， 即长增加了，宽增加了； （2）由（1）得，扩建后矩形的长为，宽为， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度， 因此试验园地面积为：．
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