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专题　实系数二次方程实根(二次函数的零点)分布问题
类型1 R上根的分布情况
【典例1】(2026·淮安高一检测)如果二次函数y=x2+2mx+m+2有两个不同的零点,那么实数m的取值范围为 (　　)
A.{m|-2C.{m|m<-1或m>2} D.{m|m<-2或m>1}
【解析】选C.由二次函数y=x2+2mx+m+2有两个不同的零点,得Δ>0,即4m2-4(m+2)>0,解得m<-1或m>2,所以实数m的取值范围为{m|m<-1或m>2}.
【解题有招】
一元二次方程在R上根的分布情况
(1)表示出一元二次方程的判别式,若Δ>0,则方程有两个不相等的实数根;若Δ<0,则方程无实数根;若Δ=0,则方程有两个相等的实数根.
(2)如果二次项系数含有参数,需要考虑参数是否为0的情况.
【即学即练】
(2025·西安高一检测)已知二次函数y=(k-3)x2+2x+1有两个零点,则k的取值范围是(　　)
A.{k|k<4}　 B.{k|k≤4}
C.{k|k<4且k≠3}　 D.{k|k≤4且k≠3}
【解析】选C.因为二次函数y=(k-3)x2+2x+1有两个零点,所以方程(k-3)x2+2x+1=0有两个不等的根,所以解得k<4且k≠3.
类型2 根的“0”分布
【典例2】若关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(0,1)　 B.(0,+∞)
C.(1,+∞)　 D.(-∞,0)
【解析】选C.因为关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,
所以,解得a>1,
故实数a的取值范围是(1,+∞).
【解题有招】
一元二次方程根的“0”分布
一元二次方程根的“0”分布可以根据判别式,结合根与系数的关系列不等式(组)求参数的取值范围.
【即学即练】
1.设p:实数m满足-1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.命题q:一元二次方程有两个负数解,所以,
解得-12.若一元二次方程ax2-2x-4=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则实数a的取值范围为 (　　)
A.{a|a>0} B.{a|a>2}
C.{a|a>1} D.{a|a>-1}
【解析】选A.因为一元二次方程ax2-2x-4=0(a≠0)有一个正根和一个负根,设两根分别为x1,x2,
则解得a>0.
类型3 根的“k”分布
【典例3】已知方程x2+(m-2)x+5-m=0有两个不相等的实数根,且两个实数根都大于2,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-5,-4)∪(4,+∞)
B.(-5,+∞)
C.(-5,-4)
D.(-4,-2)∪(4,+∞)
【解析】选C.令f(x)=x2+(m-2)x+5-m,由题可知:

则-5【解题有招】
一元二次方程根的“k”分布
分布情况 两根都小于k即x1k,x2>k 一根小于k,一根大于k即x1大致图象 (a>0)
得出的 结论 f(k)<0
大致图象 (a<0)
得出的 结论 f(k)>0
【即学即练】
1.关于x的方程x2+(1+)x+9=0有两个不相等的实数根x1,x2且x1<1A.(-,) B.(,+∞)
C.(-∞,-) D.(-,0)
【解析】选D.设f(x)=x2+(1+)x+9,则解得-即a的取值范围为(-,0).
2.(2026·扬州高一检测)已知二次函数y=x2-5x+m的两个零点都在区间(1,+∞)内,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,)　 B.(-∞,]
C.(4,)　 D.(4,]
【解析】选C.二次函数y=x2-5x+m的图象是一条抛物线,开口向上,对称轴方程为x=,
若它的两个零点都在区间(1,+∞)内,只需满足,解得4所以m的取值范围为(4,).
类型4 根在区间上的分布
【典例4】若关于x的一元二次方程x2-2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是　　　　　.
【解析】设f(x)=x2-2ax+4,由题意,解得a>.
答案:(,+∞)
【解题有招】
一元二次方程根在区间上的分布
分布 情况 两根都在(m,n)内 两根仅有一根在(m,n)内(图象有两种情况,只画了一种) 一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,m大致图象 (a>0)
得出的 结论 f(m)·f(n)<0 或
大致图象 (a<0)
得出的 结论 f(m)·f(n)<0 或
【即学即练】
(2025·北京高一检测)关于x的方程x2-2ax+1=0的两个实数根x1,x2,满足0A.(0,1)　 B.(1,+∞)
C.(1,)　 D.(-∞,)
【解析】选C.因为y=x2-2ax+1=(x-a)2-a2+1,所以函数在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,由于0类型1 R上根的分布情况
【典例1】(2026·淮安高一检测)如果二次函数y=x2+2mx+m+2有两个不同的零点,那么实数m的取值范围为 (　　)
A.{m|-2C.{m|m<-1或m>2} D.{m|m<-2或m>1}
【解题有招】
一元二次方程在R上根的分布情况
(1)表示出一元二次方程的判别式,若Δ>0,则方程有两个不相等的实数根;若Δ<0,则方程无实数根;若Δ=0,则方程有两个相等的实数根.
(2)如果二次项系数含有参数,需要考虑参数是否为0的情况.
【即学即练】
(2025·西安高一检测)已知二次函数y=(k-3)x2+2x+1有两个零点,则k的取值范围是(　　)
A.{k|k<4}　 B.{k|k≤4}
C.{k|k<4且k≠3}　 D.{k|k≤4且k≠3}
类型2 根的“0”分布
【典例2】若关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(0,1)　 B.(0,+∞)
C.(1,+∞)　 D.(-∞,0)
【解题有招】
一元二次方程根的“0”分布
一元二次方程根的“0”分布可以根据判别式,结合根与系数的关系列不等式(组)求参数的取值范围.
【即学即练】
1.设p:实数m满足-1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若一元二次方程ax2-2x-4=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则实数a的取值范围为 (　　)
A.{a|a>0} B.{a|a>2}
C.{a|a>1} D.{a|a>-1}
类型3 根的“k”分布
【典例3】已知方程x2+(m-2)x+5-m=0有两个不相等的实数根,且两个实数根都大于2,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-5,-4)∪(4,+∞)
B.(-5,+∞)
C.(-5,-4)
D.(-4,-2)∪(4,+∞)
【解题有招】
一元二次方程根的“k”分布
分布情况 两根都小于k即x1k,x2>k 一根小于k,一根大于k即x1大致图象 (a>0)
得出的 结论 f(k)<0
大致图象 (a<0)
得出的 结论 f(k)>0
【即学即练】
1.关于x的方程x2+(1+)x+9=0有两个不相等的实数根x1,x2且x1<1A.(-,) B.(,+∞)
C.(-∞,-) D.(-,0)
2.(2026·扬州高一检测)已知二次函数y=x2-5x+m的两个零点都在区间(1,+∞)内,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,)　 B.(-∞,]
C.(4,)　 D.(4,]
类型4 根在区间上的分布
【典例4】若关于x的一元二次方程x2-2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是　　　　　.
【解题有招】
一元二次方程根在区间上的分布
分布 情况 两根都在(m,n)内 两根仅有一根在(m,n)内(图象有两种情况,只画了一种) 一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,m大致图象 (a>0)
得出的 结论 f(m)·f(n)<0 或
大致图象 (a<0)
得出的 结论 f(m)·f(n)<0 或
【即学即练】
(2025·北京高一检测)关于x的方程x2-2ax+1=0的两个实数根x1,x2,满足0A.(0,1)　 B.(1,+∞)
C.(1,)　 D.(-∞,)

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