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湖南永州市第八中学2025-2026学年高一上学期入学检测数学试卷
一、单选题
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．估计的值在（ ）
A．1 和 2 之间 B．2 和 3 之间
C．3 和 4 之间 D．4 和 5 之间
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．2025 年大年初一上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》的中国票房收入 2 月 13 日夜间突破 100 亿元人民币.该片是首部单一市场票房过 10 亿美元、首部全球票房超 10 亿美元的非好莱坞影片.它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度.将 100 亿用科学记数法表示应为（ ）
A．1×108 B．1×109 C．1×1010 D．1×1011
5．如图，两张宽为 3 的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，，为的弦，连接，若，，则的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
8．某超市在端午节当天举办购物满 68 元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为 1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉.小明和小刚购物都满 68 元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将一副三角尺的直角顶点重合放置则下列结论不正确的是（ ）
A．若∠2=30°，则 AC∥DE
B．若 BC∥AD，则 ∠2=45°
C．∠BAE+∠CAD=180°
D．若 ∠CAD=140 ，则 ∠4=∠C
10．如图，，，…（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，2n，顶点…，均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心（等边三角形各内角角平分线的交点），点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
二、填空题
11．分解因式：__________.
12．不透明袋子中装有 13 个球，其中有 3 个红球、4 个黄球、6 个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出 1 个球，则它是绿球的概率为__________.
13．已知 x1 、x2分别是一元二次方程 x2 3x+1=0 的两个根，则 的值为__________.
14．一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则它的顶角为__________.
15．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，甲纸条的与乙纸条的叠合在一起形成长为的纸条，则__________.
16．如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角即平行于的光线与的切线所成的锐角的大小为__________
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，顶点 在轴上，，与反比例函数的图象交于点 ，且，过点 作 轴,交轴于点,若,为四边形的面积，则 的值为__________.
18．对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于 b，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为 " b 级收缩数 ".例如正整数 2634 中，因为 ，，所以 2634 是 "8 级收缩数"，其中.最小的 "4 级收缩数" 是______；若一个 "6 级收缩数" 的千位数字与十位数字之积为 6，且这个数能被 19 整除，则满足条件的数是 _________ .
三、解答题
19．计算：
20．先化简，再求值：，其中.
21．某综合实践小组学习了 "勾股定理" 之后，设计方案测量风筝的垂直高度 .测得水平距离的长为米；风筝线的长为米；牵线放风筝的小明的身高为 米.
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿 方向下降 米，则他应该往回收线多少米？
22．小华外出旅游时打算从汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程为 420km.该汽车租赁公司有三种车型可供选择，每天的租金分别为 300 元 / 辆，380 元 / 辆，500 元 / 辆.为了选择合适的车型，小华对三种纯电动汽车满电续航里程进行了调查，信息如下：
【整理数据】
(1)补全上述条形统计图；
(2)在 A 型车满电续航里程的扇形统计图中，"390km" 对应的圆心角度数为__________.
(3)【分析数据】
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
400 400 410
432 440
453 450
填空： ， .
(4)【作出决策】
综合上述信息，你认为小华选择哪个车型较为合适？说明理由.
23．某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某品牌火腿的市场行情.下表是 "智多星" 小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题.
某校社会实践调查记录表
团队名称 智多星 活动时间 2024.10.2 活动地点 某火腿销售店
实践内容 调查火腿市场行情，帮助店家解决销售问题，让顾客得到更大的实惠
调研信息 火腿的进价为40元/千克.
当火腿售价为50元/千克时，每天可销售100千克.
若每千克火腿涨价1元，销售量每天就会减少2千克.
解决问题 问题1 涨价后，若该店某天销售火腿获利1600元，则火腿的售价为多少元/千克？
问题2 当火腿的售价定为多少元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大？
24．如图，AB 是的直径，点 C 是劣弧中点，AC 与 BD 相交于点 E，连接 BC，，CF 与 AB 的延长线相交于点 F.
(1)求证：CF 是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求 AD 的长.
25．在 中，，，点 D 在射线上，连接，将线段绕点 A 逆时针旋转 得到线段（点 E 不在直线上），过点 E 作 ，交直线于点 F.
(1)如图 1，，点 D 与点 C 重合，求证: ；
(2)如图 2，点 D、F 都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明.
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为 P，抛物线经过点，两条抛物线在第一象限内的部分分别记为.
(1)求b，c的值及点P的坐标；
(2)点D在上，到 x 轴的距离为，判断 L2能否经过点D，若能，求 a 的值；若不能，请说明理由；
(3)直线交于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一半.
① 若点E与点P重合，点M恰好落在上，求a的值；
② 若点M为直线与的唯一公共点，请直接写出 k 的值.
参考答案
1．B
【详解】选项A中的图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
选项B中的图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B正确；
选项C中的图是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
选项D中的图是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误.
2．C
【详解】注意到，则.
3．D
【详解】同底数幂相乘，底数不变、指数相加，，故A错误；
积的乘方，每个因式分别乘方，，故B错误；
完全平方公式展开得，故C错误；
将看作整体，用平方差公式计算： ，故D正确.
4．C
【详解】100亿=10000000000=1×1010.
5．A
【详解】如图，作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，
，四边形是平行四边形，
，，，
，，同理可得，
，∴四边形是菱形，，
则阴影部分的面积是 .
6．B
【详解】由题意得，解得，故B正确.
7．C
【详解】因为，由图知，，
又因为，所以.
8．D
【详解】列树状图如下：
由树状图可知：两人恰好得到不同馅的粽子的概率是 .
9．D
【详解】由题意可得.
对于A，，所以此选项正确，不符合题意；
对于B，，所以此选项正确，不符合题意；
对于C，，所以此选项正确，不符合题意；
对于D，，则和不平行，从而，所以此选项错误，符合题意.
10．A
【详解】∵，∴点和点在同一个象限，在第个三角形中.
∵，，，，它们的边长依次是，，，，，
∴第个三角形的边长为，
∴点的横坐标为，（附坐标轴及点示意图）.
如图，连接，作轴于点，则，
由题意得，
∴，
∴点的坐标为.
11．
【详解】.
12．
【详解】袋子中绿球的个数为6，球的总数为，
根据概率计算方法用绿球的个数除以总球的个数可知：抽到绿球的概率为.
13．3
【详解】由题意，，
.
14．
或
【详解】①如图2，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，，
∵是边上的高，∴，
∴，
∴，
②如图1所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，，
又∵是边上的高，∴，
∴，
故顶角为：或.
15．
【详解】根据题意得，，解得：，
所以.
16．
【详解】，，
，，
是的切线，
，则，
则.
17．
【详解】因为，
所以，
因为，,
所以,
所以
所以,
所以,
所以，
又因为,
所以，
即，，
因为该反比例函数的图像的一支位于第二象限，
所以.
18． 1303 2432
【详解】因为是“4级收缩数”，所以.
因为求最小的“4级收缩数”，所以千位数字可选数字1，百位数字为3.
因为十位与个位数字的和为3，所以十位可选最小的数字0，个位数字为3.
所以最小的“4级收缩数”为；
设“6级收缩数”的千位数字为x，十位上的数字为y，则百位数字为，个位上的数字为.
因为千位数字与十位数字之积为6，
所以（不合题意，舍去）或或，
所以“6级收缩数”为6014或2432或3323.
因为这个数能被19整除，所以上述3个数只有2432是19的整数倍，
则“6级收缩数”为2432.
19．
【详解】原式 .
20．
【详解】由，
当时，原式.
21．(1)（米）
(2)米
【详解】（1）由题意得：米，
在中，由勾股定理得：(米)，
（米）；
（2）如图，在上截取米，连接，
则（米），
在中，
由勾股定理得：（米），
所以（米），
所以他应该往回收线米.
22．(1)
(2)
(3)，
(4)选择型号的纯电动汽车，理由如下：
小华租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程为，
∵型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求；型号符合要求，
但型号的租金比型号的租金优惠，
∴选择型号的纯电动汽车较为合适.
【详解】（1）设车辆总数为，
由扇形图续航车辆数所占百分比可得：，
解得：，
故续航的车辆数为：，
故条形图如下：
（2）由（1）可得续航车辆数所占比例为，
所以"390km" 对应的圆心角度数为；
（3）型数据如下：
，
共20个数据，故中位数第10个数和第11个数的平均数：，
即，
由型纯电动汽车统计图可得：众数为，
即；
（4）略
23．问题1：60元/千克；
问题2：当火腿的售价定为70元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大.
【详解】问题1：设火腿的售价为x元/千克，
由题意得： ，
解得：或，
∵要让顾客得到更大的实惠，∴，
答：火腿的售价为60元/千克；
问题2：设该店当日销售火腿所获利润为y元，
由题意得：
∵，
∴当x=70时，y最大，最大值为1800，
答：当火腿的售价定为70元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大.
24．(1)连接OC，AB是直径，，，
，，
，，，
，是的切线.
(2)点C是中点，，，
，，
（同一段弧所对的圆周角相等），，
，；
(3)
【详解】（1）略
（2）略
（3）如图：设交于点，
，，，
，，
是线段的中点，是的中位线，；
设，则，，
在中由勾股定理可得，，解得，，
.
25．(1)证明：∵，，∴，∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，
点D与点C重合，∴，，
∴，∴，又∵，
∴四边形是平行四边形，∴，∴.
(2)，
证明：如图，在上取一点G，使得，
∵，∴，
在和中，，
∴，∴，
∴，∴，
∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，∴,
∴，∴（SAS），
∴，,
又∵，∵，
∵， ∴,∴，
∴， ∴，∴.
【详解】（1）略.
（2）略.
26．(1)，
(2)不能，因为点D在（第一象限）上，到x轴的距离为，则，
当时，，解得或，则或，
因为抛物线经过点，对称轴为，
所以经过点和，故不能经过点D.
(3)①；②
【详解】（1）因为抛物线经过点，顶点为 P，
所以，得，
则，顶点；
（2）略
（3）①因为，当重合时，
因为M是的中点，所以，
因为点恰好落在上，且经过点，
所以，得；
②因为直线过点，所以，则，
因为经过点，所以，即，
则，
联立，得，
因为点M为直线与的唯一公共点，
所以，，
则，即，
将点坐标代入中得，
令，则，且，
得或，得或，
因为，所以.

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