资源简介

江西省上饶市婺源县2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题
一、单选题
1．下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．如图，边长为4的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（ ）
A．4 B． C． D．
4．若关于的方程的解为，，则方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
5．点、、均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间．有以下结论：①；②抛物线与轴的另一个交点是；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．②③④ C．①③④ D．②④
二、填空题
7．若是关于的方程的解，则多项式的值是_______．
8．若抛物线与x轴分别交于A、B两点，则线段的长为____________．
9．把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是______________________________．
10．已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮感染_____个人．
11．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上．若∠A＝25°，∠BCA′＝45°，则∠A′BA＝___________度
12．抛物线与x轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点D，E分别是直线与拋物线上的点，若点围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为_____________．
三、解答题
13．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
14．已知抛物线的解析式为．
(1)写出抛物线的对称轴及顶点的坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围．
15．已知关于的方程．
(1)取什么值时，方程有两个实数根；
(2)如果方程有两个实数根，，且，求的值．
16．如下图，已知为等腰三角形，．将绕点A逆时针旋转得到，连接交于点D．求的长度．
17．已知关于的二次函数图象经过．
(1)求的值；
(2)设抛物线与轴正半轴交于点，交轴于点，点是直线上的动点，求的最小值．
18．如图，一幅书画在装裱前的尺寸大小是，装裱后上下边衬等宽，左右边衬等宽，且上边衬宽度是左边衬宽度的一半．若装裱前的面积是装裱后面积的，求左边衬的宽度．
19．如图，已知的三个顶点坐标为．
（1）关于点O的中心对称图形为，画出图形，并写出点A的对应点的坐标______；
（2）将绕坐标原点O顺时针旋转直接写出点A的对应点的坐标________；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的所有可能的坐标．
20．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．且该抛物线的对称轴为直线．
(1)求该抛物线的表达式和顶点的坐标．
(2)连接交抛物线的对称轴于点，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量y（件数）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的几组对应值如下表所示：
销售单价x（元/件） 55 60 70 …
销售量y（件） 70 40 …
(1)直接写出y（件）与x（元/件）之间的函数表达式 ；
(2)求销售单价定为多少时，当天的销售利润是1050元？
(3)销售过程中要求走出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
22．一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
23．【活动背景】 在数学课上，同学们积极探讨了人教版第63页第10题：“如图1，都是等边三角形．与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？”(此问题无需作答)．在完成这个问题后，老师又带领学生们开展了一次更深入的数学探究活动．
【探究与思考】（1）如图1，在上述条件下，若，，，求的长;
【迁移与应用】（2）如图2，为等边三角形，，，，连接，求的长;
【拓展与创新】（3）如图3，在中，，，，以为斜边按逆时针方向作直角三角形，其中，，E为的中点，连接，直接写出的长为 ．
参考答案
1．C
【详解】
解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合；
不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合；
既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合，
故选：C．
2．B
【详解】解：由题意知，
解，得，
解，得，
因此m的值为，
故选：B．
3．C
【详解】解：如图所示，连接、，
∵四边形是四边形逆时针旋转得到的，
，
∴是等边三角形，
，
在中，，
，
故选：C．
4．B
【详解】解：设方程中，
则方程变为
∵关于的方程的解为，，
∴关于的方程的解为，，
∴对于方程，或，
解得：，，
故选B．
5．C
【详解】解：∵ 二次函数 中的
∴函数的图象开口向下，且对称轴为直线，
点 到对称轴的距离为，
点 到对称轴的距离为，
点到对称轴的距离为，
∵ 开口向下，
∴距离对称轴越远，函数值越小，
∵点、、均在二次函数的图象上，
∴ ，
故选：C．
6．B
【详解】二次函数的对称轴为，
，
，故①不正确；
二次函数图像与轴的一个交点为，对称轴，
设与轴的另一个交点的横坐标为，
，
，
与轴的另一个交点坐标为，故②正确；
由图可知，当时，，
当时，，
，
，故③正确；
由题可得，当二次函数图像经过点，，时，
，
解得：，，；
当二次函数图像经过点，，时，
，
解得：，，，
与轴的交点在和之间，
，故④正确；
综上所述，正确的是②③④．
故选．
7．2025
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
则．
故答案为：2025．
8．4
【详解】解：当时，
∴，
∴，
解得：，，
∴两个交点的横坐标分别为，；
∴．
故答案是：4．
9．
【详解】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可知：把抛物线向下平移2个单位得，再向右平移1个单位，得．
10．5
【详解】解：设每个人传染x人，根据题意列方程得，
3（x+1）2=108，
解得：x1=5，x2=8（不合题意，舍去），
故答案为：5．
11．40
【详解】解：由旋转的性质可得：∠A′=∠A=25°，∠B′=∠ABC，CB=C B′
∴∠B′=∠B′BC
∵∠BCA′＝45°，
∴∠B′BC=∠BCA′＋∠A′=70°
∴∠ABC=∠B′=∠B′BC=70°
∴∠A′BA=180°－∠B′BC－∠ABC=40°
故答案为：40
12．或或
【详解】解：当时，解得，
∴抛物线与x轴的负半轴交于点，
当时，，
∴抛物线与轴交于点，
由题意知当为平行四边形的边时，，且，
∴线段可由线段平移得到.
∵点在直线上，
①当点的对应点为时，如图，需先将向左平移2个单位长度，
此时点的对应点的横坐标为，将代入，
得，
∴.；
②当点的对应点为时，同理，先将向右平移1个单位长度，可得点的对应点的横坐标为1，
将代入得，
∴；
③当为平行四边形的对角线时，可知的中点坐标为，
∵在直线上，
∴根据对称性可知的横坐标为，将代入
得，
∴
综上所述，点的坐标为或或．
13．(1)，
(2)，
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
14．(1)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
(2)当时，的取值范围为
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴图象开口向下，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∵当时，，当时，，当时，，
∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为．
15．(1)当时，方程有两个实数根；
(2)．
【详解】（1）解：，
∵方程有两个实数根，
∴，
解得：，
∴当时，方程有两个实数根；
（2）解：∵方程的两个实数根分别为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：．
16．
【详解】．
，
，
，
，
，
．
故答案为:的长度为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）把代入得，
解得，
．
（2）
抛物线解析式为
抛物线与轴的负半轴的交点为，连接交直线于点，如图，
当时，，
解得
，
当时，，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
此时的值最小，
，
的最小值为．
18．左边衬的宽度为
【详解】解：设左边衬的宽度为，则上边衬的等宽为，
根据题意得：，
整理得：，
解得：不符合题意，舍去，，
答：左边衬的宽度为．
19．（1）如图，
（2，-3）；
（2）（3，2）；
（3）（﹣5，﹣3）或（﹣7，3）或（3，3）．
【详解】解：（1）关于点O的中心对称图形为如图所示，点A′的对应点的坐标为（2，-3）；
故答案为：（2，-3）；
（2）△ABC绕坐标原点O顺时针旋转的三角形如图所示，点A′′的对应点的坐标为（3，2）；
故答案为：（3，2）；
（3）如图所示，D点坐标分别为：（﹣5，﹣3）或（﹣7，3）或（3，3）．
20．(1)，
(2)存在，或或或
【详解】（1）解：由题意，得解得
∴该抛物线的表达式为，
∴顶点的坐标为．
（2）存在．
设所在直线的表达式为，
将点，代入，得
解得
∴所在直线的表达式为．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即或．
解，得，；
解，得，，
∴点的坐标为或或或．
21．(1)
(2)元或元
(3)当销售单价为60时，利润最大，最大利润为1200元
【详解】（1）解：设，
由题意，得：，解得：，
∴；
（2）解：由题意，得：，
整理，得：，
解得：，
∴销售单价定为元或元时，当天的销售利润是1050元；
（3）解：设总利润为，由题意，得：
；
∵，对称轴为直线：，
∴抛物线开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，
∵销售过程中要求走出的商品数不少于60件，
∴，
即，
∴，
∴当时，利润最大为：；
答：销售单价定为元时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是元．
22．(1)，球不能射进球门
(2)当时他应该带球向正后方移动1米射门
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
23．（1）5；（2）2；（3）
【详解】解：【探究与思考】（1）∵都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
解：【迁移与应用】（2）将绕点A逆时针方向旋转至，连接，过点E作，交的延长线于点H．
则和都是等边三角形，同（1）可得．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
解：【拓展与创新】（3）将沿翻折得到，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接，过点G作交的延长线于点H，
则和都是等边三角形，由（1）可得．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∵是的中位线，
∴，
故答案为：．

展开更多......

收起↑