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四川省彭州中学2025-2026学年高二上学期期中质量监测数学试题
一、单选题
1．已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线+=0与直线2+3+5=0平行，的值为（ ）
A．-6 B．6 C． D．
3．已知事件A，B相互独立，且，，则（ ）
A． B． C． D．
4．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．在空间直角坐标系中，点到平面yOz的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
6．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B．2 C． D．
7．若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、多选题
9．甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则（ ）
A．甲得分的极差大于乙得分的极差
B．甲得分的平均数大于乙得分的平均数
C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
10．(多选题)在正方体中，有下列说法，其中正确的有（ ）
A． B．
C．的夹角为60° D．正方体的体积为
11．在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”，则下列说法中正确的是（ ）
A．若点C在线段AB上，则有
B．若A，B，C是三角形的三个顶点，则有
C．到，两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线
D．若O为坐标原点，点B在直线上，则d（O，B）的最小值为
三、填空题
12．定义行列式运算，设向量，，．已知，，则_________．
13．一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为，，，当且仅当，时称为“凹数”如，等，若，，，且，，互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是__________．
14．“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系中的两条直线，若，则，之间的距离为_____.
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求：
(1)平面的一个法向量
(2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量．
16．已知直线与直线．
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．
17．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝，PA＝2.
(1)取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB；
(2)求直线AC与PD所成角的余弦值；
(3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由．
18．甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的类问题以及难度系数较高的类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题．甲遇到每类问题的概率均为，甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到类问题时回答正确的概率为，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立．
(1)当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望．
(2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为．
（ⅰ）证明：为等比数列．
（ⅱ）求的最大值以及对应n的值．
19．已知点，向量，点在一条直线上，且满足.
(1)求；
(2)证明在同一个圆上，并求该圆的圆心和半径；
(3)过引圆的切线，记切线与轴的交点为，求证：.
参考答案
1．C
【详解】因为直线的倾斜角为，所以，
又，所以.
故选：C.
2．B
【详解】直线(-2)+-1=0与直线2+3+5=0平行,
,
解得，
故选：B
3．A
【详解】解：由，得，
则.
故选：A.
4．B
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

5．A
【详解】点到平面yOz的距离是,
故选：A.
6．D
【详解】依题意，，所以点P到平面的距离为.
故选：D
7．A
【详解】将方程配方得
所以圆心坐标为,
又因为方程表示圆，且圆心位于第四象限，
所以，解得.
故选：A
8．B
【详解】选项A：，所以，若，则，
故选项A正确.
选项B：
，
所以
,不妨令则
，
故选项B错误.
选项C：若，则故选项C正确.
选项D:若，
因为，所以，
则．
又，
所
故选项D正确.
故选：B.
9．BC
【详解】甲场比赛得分由低到高分别为，
乙场比赛得分由低到高分别为，
则甲的极差为，乙的极差为，
故甲得分的极差小于乙得分的极差，故A错误；
甲的平均数，乙的平均数，
则甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故B正确；
甲的中位数为，乙的中位数为，
则甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确；
甲的方差，
乙的方差，
故甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误.
故选：BC
10．AB
【详解】如图所示，
，故A正确；
，故B正确；
与的夹角是夹角的补角，
而的夹角为，故的夹角为，所以C错误；
正方体的体积为.
故选：AB.
11．ACD
【详解】对A，若点在线段上，设，
则在之间，在之间，
则
，故A正确；
对B，在中，
，故B错误；
对C，设到两点的“折线距离”相等的点的坐标为，
则，解得，故C正确；
对D，设，则，即的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】由
可得：
所以，
故答案为：
13．
【详解】组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点共有个，
而满足三位数是“凹数”的有，，，，，，，共个，
所以这个三位数为“凹数”的概率为．
14．4
【详解】不妨设，，
因为，所以，所以，由题意，所以或，
不妨设，此时，即，由于的常数项为，而，故两直线不重合，
所以，之间的距离为.
故答案为：4
15．(1)
(2)方向向量，法向量为
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
因为底面为矩形，所以两两垂直，
以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
则平面的一个法向量为；
（2）直线的一个方向向量为.
设平面的法向量为.
因为，
由，得，令，则.
所以平面的一个法向量为.
16．(1)
(2)或
【详解】（1）因为，所以，且，
由，得，解得或（舍去）
所以.
（2）因为点在直线上，
所以，得，所以点的坐标为，
所以设直线的方程为（），
令，则，令，则，
因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.
17．(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【详解】（1）取的中点，连接，则，，
所以四边形为矩形，所以，
以A为原点，AE所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，
取中点，则，，
所以，故，又平面，平面，
所以DN∥平面PAB.
（2）由（1）知，，，
.
故直线AC与PD所成角的余弦值为.
（3）假设存在，且，
则点为，所以，
设平面的法向量是，
，
令，，（易知t=1不合题意）
又是平面的一个法向量，
，
解得(舍去)，则．
此时平面的一个法向量可取，，
设与平面所成的角为，
则，
由知，.
与平面所成角的大小为．
18．(1)分布列：
X 0 1 2 3 4
P
数学期望为1
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）当时，取到最大值为
【详解】（1）X可以取0，1，2，3，4，
每次回答A类问题且回答正确的概率为，
回答A类问题且回答不正确的概率为，
每次回答B类问题且回答正确的概率为，
回答B类问题且回答不正确的概率为，
，
，
，
；，
X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
；
（2）（ⅰ），，
由题意得甲累计得分为n分的前一轮得分只能为分或分，
故当时，，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（ⅱ）根据（ⅰ）可知，①，
易得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以②，
令②－①可得，
所以，
经检验，时均满足上式，故，
所以，
而显然随着n的增大而减小，
故，
又因为，所以当时，取到最大值为.
19．(1)；
(2)和；
(3)证明：由（2），解方程得，
则，
所以处的切线方程斜率为，
则切线方程为，
令得，即，
易知，
则
，证毕.
【详解】（1）设，则由题意可知，
所以，即分别成公差为1的等差数列，
由已知，
则，即，所以；
（2）设，即，
因为共线，且满足，
则有，
当时，易知，即，
此时，
即，
当时，解方程组可得，也满足上式，
所以在以为圆心，为半径的圆上，
圆心和半径；
（3）略

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