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江西省上饶市广信区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是方程的一个解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．方程的根是（ ）
A．1 B．0 C．0或1 D．0或
4．抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，对称轴是直线，顶点是
B．开口向上，对称轴是直线，顶点是
C．开口向上，对称轴是直线，顶点是
D．开口向下，对称轴是直线，顶点是
5．如图，是的直径，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．二次函数（）图象的一部分如图所示，顶点坐标为，与轴的一个交点的坐标为，给出以下结论：①；②；③、为函数图象上的两点，则；④当时方程有实数根，则的取值范围是，其中正确的结论的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
7．已知关于的一元二次方程有一个实数根是，则______．
8．点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为_____．
9．如图，是圆的直径，，点为弧的三等分点，则为______．
10．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染人，则可列方程是______．
11．在半径为8的圆形纸片上裁出一个边长最大的正六边形，则这个正六边形纸片的边长应为______．
12．已知在轴上有线段，且为个单位长度，以为边作等边，使点落在二次函数的图象上，则点的坐标为______．
三、解答题
13．解下列方程：
(1)（因式分解法）；
(2)（公式法）．
14．如图，已知抛物线经过A（-3，0）、C（0，-3）两点．
（1）求b，c的值；
（2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，并结合图象，写出当时，x的取值范围．
15．已知内接于，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图1，是边的中点；
(2)如图2，直线与相切于点，且．
16．已知关于x的方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设，是方程的两个实数根，是否存在实数m使得成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
17．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
18．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝4时，求方程的根．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A2B2C2；
（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．
20．如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的半径长．
21．为了响应党中央的扶贫政策，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
22．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：
（1）如图1，点是正方形内一点，，，，你能求出的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，可求出的度数；
思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，可求出的度数；
请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；
（2）如图2，若点是等边三角形内一点，若，则线段，，满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段，，满足的等量关系．
23．如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，-3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，使得△PBC的面积最大，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，符合题意．
故选D．
2．C
【详解】解：∵x=2是方程的一个解，
∴，
解得：a=3，
∴2a-1=5．
故选：C．
3．C
【详解】解：∵
∴ ，
∴ 或，
解得：或 ，
故选：C．
4．B
【详解】解：∵在中，，
∴ 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．
故选：B．
5．C
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故选：C．
6．C
【详解】解：由图象可知：抛物线开口向下，与轴交点在正半轴，
∴，，
∵顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，①正确；
∵与轴的一个交点的坐标为，
∴与轴的另一个交点的坐标为，
∴时，
∴，②正确；
∵、为函数图象上的点，且离对称轴较近，抛物线开口向下，
∴，③正确；
∵顶点坐标为，
∴当时，若方程有实数根，
则的取值范围是，④错误；
综上所述：正确的结论共个．
故选：C ．
7．1
【详解】解：将代入方程，得：
，
解得：．
故答案为：1．
8．（1，3）
【详解】解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．
故答案为：（1，3）．
9．或
【详解】解：∵是圆的直径，，
∴，
∵点为弧的三等分点，
∴当，即时，；
当，即时，．
故答案为：或．
10．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人．
第一轮传染后，患流感的人数为：．
第二轮传染时，第一轮后的每个患者传染x人，新增患病人数为：．
第二轮传染后，总患病人数为：．
因为经过两轮传染后总人数共有225人患了流感，
所以列方程：，整理得：．
故答案为：．
11．8
【详解】解：如图，
由题意：，，
∴为等边三角形，
∴，即这个正六边形纸片的边长是．
故答案为：8．
12．或或
【详解】解：作于点H，等边三角形的边长为，
，
则其高，
∵线段在轴上，
因此点C的纵坐标为3或，
当点C的纵坐标为时，代入得：，
整理得：，即，
解得，
此时点C坐标为，
当点C的纵坐标为时，代入得：，
整理得：，
解得或，
此时点C坐标为或，
故答案为：或或．
13．(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
，
则或，
解得，；
（2）解：整理为一般式，得：，
，，，
，
则，
即，．
14．（1）；（2）
【详解】解：（1）将（-3，0），（0，-3）代入得：
，
解得：，
∴b，c的值分别为2，-3；
（2）由（1）可知抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（1，0），
由图象可知当时，．
15．(1)
如图所示，即为所求；
(2)
如图所示，即为所求．
【详解】（1）略
（2）略
16．（1）；（2）存在，m=-1
【详解】解：（1）根据题意得△，
解得；
（2）存在．
根据题意得，，
，
，
即，
整理得，解得，，
；
的值为．
17．（1）60°；（2）5．
【详解】解：（1）∵∠BOD＝2∠DEB，∠DEB＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OD⊥AB，
∴＝，，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r 2，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r 2）2＋42＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径长为5．
18．（1）k＞﹣；（2）x1＝4，x2＝﹣1．
【详解】（1）∵方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k）＞0，
解得：k＞﹣；
（2）将k＝4代入方程，得：x2﹣3x﹣4＝0，
则（x+1）（x﹣4）＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1．
19．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（-1，0）．
【详解】解：（1）△A1B1C如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）如图所示，旋转中心为（﹣1，0）．
20．(1)
证明：连接、、、，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，即，
(2)的半径为5
【详解】（1）略
（2）解：设求的半径为，
由（1）可知，
∴为中点，为中点，
∴，
在中，，
在中，，，，
∵
∴，
解得，
∴的半径为5．
21．（1）；（2）该产品销售价定为每千克31元时，每天销售利润最大，最大利润为242元．
【详解】解：（1）由题得出：，
故与的函数关系式为：；
（2），
∵，抛物线开口向下，且，得
∴当时，有最大值，最大值为.
即该产品销售价定为每千克31元时，每天销售利润最大，最大利润为242元．
22．（1）
思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△，连接，
则
∴，
根据勾股定理得，，
∵AP=1， ∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
思路二： 将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到，连接，
∴
∴,
∵
∴
∴，
∴
∴；
（2），理由如下：
如图，由等边可得：
把绕点顺时针旋转得到
则
为等边三角形，
【详解】略
23．（1）抛物线的解析式为；（2）P点的坐标为（，）；（3）N的坐标为：（2，），（，3）或（，3）
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为（a≠0），
∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3）三点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为．
（2）如图1，作PE⊥AB于E交BC于D点，
设BC的解析式为，
把B（4，0）代入得，
解得：．
∴BC的解析式为，
设P点的坐标为（m，），D（m，），
∴，
∴
，
当时，S的值最大，此时，
∴P点的坐标为（，）．
（3）存在．如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线，且C（0，-3），CN1∥AM1，
∴N1（2，）；
②当点N在x轴上方时，过点N2作N2D⊥x轴于点D，
在△AN2D与△M2CO中，
∴△AN2D≌△M2CO，
∴，即N2点的纵坐标为3．
∴，
解得：，，
∴N2（，3），N3（，3）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为：
（2，），（，3）或（，3）．

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