资源简介

目 录
第一章 集合与逻辑用语
模型 1 已知集合关系求参数模型 2
模型 2 德·摩根定律 4
模型 3 容斥原理模型 6
模型 4 小充大必要模型 8
第二章 不等式
基本不等式七大解题模型
模型 5 直接法求最值模型 11
模型 6 配凑法求最值模型 12
模型 7 整体换元法求最值模型 14
模型 8 消元法求最值模型 16
模型 9 乘 1 法模型 17
模型 10 连续使用基本不等式模型 19
模型 11 基本不等式链模型 20
模型 12 柯西不等式模型 22
模型 13 权方和不等式模型 24
第三章 函数
模型 14 函数的理解及定义域与求值问题模型 27
模型 15 函数解析式求解模型 29
模型 16 分段函数模型 31
模型 17 脱“ ”解不等式模型 33
模型 18 对勾函数与飘带函数模型 35
值域求解模型
模型 19 直接法模型 37
模型 20 数形结合法模型 39
模型 21 换元法模型 41
模型 22 分式类函数值域求解模型 43
模型 23 反表示法与判别式法模型 46
模型 24 二次方程实根分布模型 48
模型 25 三个二次关系的应用模型 51
函数图象的四大变换模型
模型 26 平移变换模型 54
模型 27 伸缩变换模型 55
模型 28 对称变换模型 56
模型 29 翻折变换模型 58
指对幂比大小解题模型
模型 30 单调性法和中间值法模型 60
模型 31 构造函数法模型 63
模型 32 数形结合法与特殊值法模型 64
模型 33 同构法模型 66
模型 34 放缩法模型 68
模型 35 函数图象与表达式的匹配模型 70
模型 36 函数三大性质解题模型 72
模型 37 函数不等式的恒成立(存在性)问题 77
函数零点问题
模型 38 交点法处理零点问题 81
模型 39 复合函数零点问题 83
模型 40 根据零点求参数问题 85
模型 41 多零点求范围问题 87
模型 42 抽象函数模型 90
第四章 三角函数
模型 43 三角恒等变换公式基础模型 93
模型 44 齐次化切求值模型 96
三角函数中的三大求值模型
模型 45 给角求值模型 98
模型 46 给值求值模型 100
模型 47 给值求角模型 101
模型 48 三角函数中的值域模型 104
模型 49 根据图象求三角函数解析式模型 106
模型 50 三角函数中的 求解模型 108
第五章 平面向量
模型 51 等和线模型 113
三角形的四心模型
模型 52 重心模型 116
模型 53 内心模型 118
模型 54 垂心模型 120
模型 55 外心模型 122
模型 56 奔驰定理模型 125
模型 57 极化恒等式模型 128
模型 58 向量中的建系模型 130
模型 59 数量积的最值模型 132
第六章 解三角形
模型 60 解三角形的基本模型 136
模型 61 三角形形状判断模型 138
模型 62 三角形边角互化模型 140
模型 63 角平分线模型 143
模型 64 中线模型 146
模型 65 三角形中的两圆模型 149
解三角形中的两类面积模型
模型 66 面积定值问题 151
模型 67 面积范围问题 153
解三角形中的两类周长模型
模型 68 周长定值问题 156
模型 69 周长范围问题 158
模型 70 解三角形中的其他范围问题 160
第七章 数系的扩充与复数
模型 71 复数模的几何意义模型 163
模型 72 复数的旋转模型 165
第八章 立体几何
球的切接模型
模型 73 立方体外接球模型 168
模型 74 柱体、锥体和台体的外接球模型 169
模型 75 二面角外接球模型 172
模型 76 坐标法模型 174
模型 77 内切球模型 175
模型 78 求几何体的表面积、体积模型 178
模型 79 立体几何交线与截面模型 182
第九章 统计与概率
模型 80 分层随机抽样计算模型 186
模型 81 频率分布直方图的应用模型 188
模型 82 随机事件基础概念模型 190
第十章 空间向量
模型 83 巧解平面法向量模型 194
模型 84 空间几何量的计算模型 196
模型 85 立体几何动点模型 200
模型 86 立体几何翻折模型 203
模型 87 立体几何中的探索性问题 205
第十一章 直线与圆
模型 88 直线的四大对称模型 208
模型 89 直线系方程 210
模型 90 含参直线过定点模型 212
模型 91 圆的切线模型 214
模型 92 圆的最值模型 217
模型 93 隐圆模型 221
第十二章 圆锥曲线
模型 94 圆锥曲线求轨迹模型 225
模型 95 利用圆锥曲线定义求最值模型 228
圆锥曲线第三定义与点差法模型
模型 96 第三定义模型 230
模型 97 点差法模型 232
模型 98 离心率的求解模型 235
模型 99 圆锥曲线基础 一直曲联立硬解定理 238
模型 100 圆锥曲线中的面积计算模型 241
模型 101 非对称韦达定理模型 244
模型 102 圆锥曲线的定点定值定直线模型 248
模型 103 焦点三角形两类模型 252
模型 104 抛物线中的“焦准直梯”模型 256
模型 105 圆锥曲线切线模型 259
模型 106 阿基米德三角形模型 264
模型 107 先猜后证模型 268
模型 108 设点不设线模型 271
模型 109 极点极线模型 276
第十三章 数 列
数列求通项八大核心模型
模型 110 由 和 关系求通项 279
模型 111 一阶线性递推模型 281
模型 112 同型构造模型 285
模型 113 取倒数法 287
模型 114 取对数法 288
模型 115 不动点法 290
模型 116 二阶递推型特征根法 291
模型 117 周期数列问题 293
模型 118 数列裂项模型 296
数列求和五大核心模型
模型 119 公式法 300
模型 120 一次倍差法 301
模型 121 二次倍差法 303
模型 122 倒序相加法 305
模型 123 分组求和与并项求和法 307
数列不等式证明模型
模型 124 裂项放缩模型 310
模型 125 等比放缩模型 312
模型 126 函数型放缩模型 313
第十四章 导 数
四大切线模型
模型 127 直接求切线模型 317
模型 128 切线的条数问题 319
模型 129 公切线模型 320
模型 130 与切线有关的距离最值模型 322
模型 131 导数基础 一函数单调性的分析 324
模型 132 含参不等式三类处理模型 327
模型 133 洛必达法则模型 330
模型 134 隐零点问题 333
模型 135 端点效应模型 337
模型 136 必要性探路模型 339
极值点偏移模型
模型 137 对称构造法 342
模型 138 比值代换法 344
模型 139 对数均值不等式法 345
双变量模型
模型 140 韦达定理代换法 348
模型 141 差值代换法 350
模型 142 同构法 351
模型 143 构造函数模型大全 353
模型 144 变更主元法 356
模型 145 降低求导次数模型 358
模型 146 指对同构模型 361
模型 147 切线放缩模型 365
模型 148 三角函数与导数模型 368
第十五章 计数原理
排列组合解题模型
模型 149 特殊优先十正难则反模型 374
模型 150 分组分配模型 376
模型 151 隔板法模型 378
模型 152 定序模型 379
模型 153 染色模型 380
模型 154 信封错装模型 382
模型 155 多面手模型 384
二项式定理四大解题模型
模型 156 系数最值模型 385
模型 157 二项展开求系数和模型 386
模型 158 复杂二项展开模型 388
模型 159 二项式中的整除和求余数模型 390
第十六章 随机变量与概率统计
模型 160 条件概率、全概率公式与贝叶斯定理模型 393
概率统计中的四大分布模型
模型 161 超几何分布模型 397
模型 162 几何分布模型 398
模型 163 二项分布模型 400
模型 164 正态分布模型 402
模型 165 线性回归模型 406
模型 166 独立性检验模型 410
模型 167 概率最值模型 413
模型 168 枚举问题 416
模型 169 马尔科夫链模型 419
模型 170 概率递推模型 422
第一章
集合与逻辑用语
模型 1 已知集合关系求参数模型
模型综述
已知含参集合间关系(相等、子集等)求参数是集合部分的必考题型，处理此类问题首先需辨别集合形式(数集、方程 / 不等式解集、点集等), 然后采取对应做法. 对于列举型集合, 直接按照集合互异性分类讨论求解; 对于方程 1 不等式型, 则需先讨论空集, 然后在数轴上表示解集, 并处理端点关系. 重点关注 “元素互异性”“集合运算的转化”“空集特殊性”“数轴端点”四个要点，即可掌握已知关系求参问题的核心解法.
逢考必用·学模型
一、问题概述
已知两个集合(常含参数)的关系(如子集、真子集、相等), 求参数的取值范围.
常见集合形式:
1. 数集 (如 ,含参数 );
2. 方程或不等式的解集 (如 ,参数为 ;
3. 函数定义域或值域相关集合 (如 ,参数在函数表达式中).
二、已知集合关系求参模型解题思路
已知两个集合 与 的运算结果为集合 .
1. 若 与 均不相等,则将 与 化为区间的形式, 通过列方程(组)或不等式(组)运算求解参数.
2. 若 与 中之一相等,则转化为两个集合的包含关系(如 ,则有 ).
(1)若集合元素是一一列举的,则 中的元素全在 中, 因此列方程 (组) 依据互异性计算即可;
(2)若集合表示的是不等式的解集,则首先判断 是不是空集, 然后利用数轴转化为不等式 (组) 进行求解.
【源于教材】
(人教 A 必修第一册第 9 页 习题 1.2 · T5(1))设 ,若 ,求 的值.
集合中求参问题的四个注意点:
1. 注意两个转化: .
2. 注意空集的特殊性
(1)若 ，则分 和 两类进行讨论.
(2)若 ，则集合 ， 可能的情况有:
① 均为空集；② 与 中只有一个空集；
③ 均为非空集但无公共元素.
3. 注意结合数轴分析端点值的大小和取舍.
4. 注意对结果进行检验，避免集合中元素重复.
触类旁通 套模型
模型运用
【例1】(2023 年新高考全国Ⅱ卷)设集合 ，若 ，则 ()
A. 2 B. 1 C. D. -1
①模型分析 观察题中所给信息，有两个需要注意的地方:①两集合中所给元素是一一列举的，且带有参数，因此需要进行互异性讨论和检验; ②出现了 ，因此 中要包含所有的 的元素，以此为标准进行分类讨论.
②模型解答 ，且 ， 一定有 . 因此对 中的元素进行分类讨论: 若 ,解得 ,此时 ,显然不满足 ,不符合题意,因此舍去;
若 ,解得 ,此时 ,满足 ,符合题意 . 故选 B.
模型进阶 - 提技能
【例2】(多选)已知集合 ,则下列说法正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
1)摸型分析 观察各选项中的条件，选项 A，B，D 属于集合的运算关系转化为包含关系求参；选项 C 属于集合包含关系求参，求解时根据题意将集合 ， 用数轴表示出来，找准端点值之间的关系.
② 模型解答 先看集合 因式分解得到 (看到一元二次不等式,首先想能不能因式分解).
对于 ,由 ,得 ,且 (1 是集合 的一个端点, 所以为了保证 是 的子集, 一定不能小于等于 1,否则二者就没有包含关系了),
由图 1 可得 解得 ,故 正确.
对于 ,由 ,得 . 因此需要对 是不是空集进行讨论:
若 ,则 ,满足题意;
若 ,则由集合 可知 由图 2 可得 解得 . 综上, 应满足 ,故 B 正确.
图 1
图 2
图 3
对于 ,由 ,且 ,此时 为 的真子集,因此 与 不能相等,结合 的分析及图 2 可得 或 ,故 错误.
对于 ,则分情况讨论,首先 不可能为空集, 主要研究对象为集合 :
当 ,即 时满足题意;
当 时, 必须要小于 1,否则一定会和 有交集,如图 时满足题意,此时 .
综上, 应满足 ,故 错误. 故选 .
模型 2 德·摩根定律
模型综述
在集合运算里,德·摩根定律是重要规律. 当 为全集, 是 的子集时,有 ,还能用 “交的补等于补的并,并的补等于补的交” 口诀记忆. 借助体育课同学活动的场景, 能直观理解这些公式, 帮你轻松掌握集合补集运算的逻辑, 是剖析集合关系、简化运算的实用工具.
逢考必用·学模型
一、德·摩根定律
设集合 为全集, 为 的子集,则有
(1) ，
简记为“交之补等于补之并”.
(2) ，
简记为 “并之补等于补之交”.
二、图形解释
公式(1):利用 Venn 图表示为如图所示的阴影部分.
U U U
U
公式(2):利用 Venn 图表示为如图所示的阴影部分.
三、案例理解
假设同学在体育课上参加活动, 代表“全体”同学, 代表“去跑步”的同学， 代表“打篮球”的同学，于是我们有 代表“去跑步或者打篮球”的同学; 代表“既参加跑步也参加打篮球”的同学; 代表“不参加跑步”的同学; 代表“不参加打篮球”的同学.
公式(1)理解:
代表“所有不是跑步和篮球都参与的同学”, 即包含只打篮球的同学、只跑步的同学和什么都不参加的同学; 而 则代表 “不参加跑步或者不参加打篮球的同学”, 即包含不参加跑步只打篮球的同学、不参加打篮球只跑步的同学、两项运动都不参加的同学，因此， 与 等价.
公式(2)理解:
代表“所有不去跑步或打篮球”的同学; 而 (Cu ) 则代表“既不参加跑步又不参加打篮球的同学”，不参加跑步的同学可能只打篮球或者都不参与，不参加打篮球的同学可能只跑步或者都不参与，因此它们的公共部分就是什么都不参加的同学，故 与 等价.
【源于教材】
(人教 B 必修第一册第 21 页 习题 1-1B T3) 已知全集 .
(1)求 ， ， ， ；
(2)验证 ， ( ).
学长叮嘱德·摩根定律和概率之间紧密关联，其实, 德 · 摩根定律是概率的另一种表达形式. 如果学生在必修第一册的时候就把这些学懂了, 那么必修第二册的内容就会水到渠成.
触类旁通 · 套模型
马模型运用 过基础
【例1】已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
1 模型分析 这道题通过 简化运算.
② 模型解答 先求集合 :对于集合 ，借助二次函数解此不等式，得 ，故 .
再求集合 : 集合 ,即解不等式 ,解得 ,所以 .
求 : 由 ,可得 .
求 :根据德·摩根定律 ,其在实数集 中的补集为 . 故选 C.
【例2】已知全集 ,则( )
A. B. C. D.
①模型分析 利用德·摩根定律，结合 Venn 图，可以很便捷地分析集合 ， 与全集 的关系.
②模型解答 根据德·摩根定律可得 , ,此处已经能够判断选项 是正确的,下面我们继续分析集合 中的元素.
元素 在集合 中,但不在集合 中.
元素 在集合 中,但不在集合 中.
结合 ,可知集合 ,集合 ,由以上结论画出 Venn 图如图.
可以看出 . 故选 D.
模型 3 容斥原理模型
模型综述
计数时为避免重复或遗漏，容斥原理应运而生. 它先算各集合对象数，再排除重复部分，实现“既无遗漏又无重复”计数. 二元、三元容斥公式，对应不同集合组合的计数，通过 Venn 图、区域法可直观理解，是排列组合、 概率统计中排重补漏的关键工具, 帮你在复杂计数场景中理清逻辑.
逢考必用·学模型
公式解读
若用 表示有限集合 中元素的个数,则有如下结论:
1. .
证明:二元容斥原理很简单,直观理解即可, 与 的公共元素出现了两次,因此需要减去重复的一次.
2. .
证明:三元容斥原理直观上较难理解,我们采用区域法帮助大家说明，如下图所示:
该 Venn 图中,区域 构成 ,区域 6 构成 ,区域 构成 ,
对三元容斥原理右边进行调整得到
,
前三项的运算结果为区域 ,第四项与第五项运算结果为区域 ，所以前五项的运算结果为区域 ,第六项代表区域 , 二者运算消去一个区域 4 , 但也漏了区域 5 , 因此需要补一个区域 5 , 即第七项,因此最终得到区域 .
【源于教材】
(人教 A 必修第一册第 35 页 T11)学校举办运动会时, 高一(1)班共有 28 名同学参加比赛，有 15 人参加游泳比赛，有 8 人参加田径比赛，有 14 人参加球类比赛， 同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛. 同时参加田径和球类比赛的有多少人 只参加游泳一项比赛的有多少人
高考一般不会直接考查容斥原理, 往往作为基础工具与高二所学的排列组合、概率统计综合考查,并且一般最多考查到三元互斥,不会涉及三元以上.
触类旁通 · 套模型
马模型运用 - 过基础
【例1】某班级有学生 46 人，其中会骑自行车的有 17 人，会游泳的有 14 人，既会骑自行车又会游泳的有 4 人，则两样运动都不会的同学有_____人。
1)模型分析 本题模型是二元容斥原理，较为简单，翻译题目条件解答即可.
②模型解答 由容斥原理可得骑自行车和游泳至少会一种的同学有 (人).
全班有 46 人, 两样运动都不会的同学共有 (人). 故答案为 19.
【例2】某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13 , 同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有_____人.
1)模型分析 本题模型是三元容斥原理，题目思路较简单，最重要的是理清楚“谁是谁”，做题最好在草稿纸写出参加数学的同学是集合 (草稿纸简写“数: ”)，参加物理的同学是集合 等，都表示出来后列容斥原理公式，代入求解即可.
②模型解答 根据题意，可得如图所示的 Venn 图，
所求的同时参加数学和化学小组的人数即 .
根据题目信息,有参加数学、物理和化学小组的人数分别对应 , ,
同时参加数学和物理小组对应 ,同时参加物理和化学小组对应 .
又因为全班人数总共为 36,于是有 .
又因为题中说每个同学至多参加两个小组,因此没有同时参加三个小组的,即 ,
因此由容斥原理可得 ,即同时参加数学和化学小组的有 8 人. 故答案为 8 .
模型 4 小充大必要模型
习题册 P3
模型综述
小充大必要模型是解决充要条件判断和求参范围问题的重要模型, 此类题型往往与集合、方程/不等式等知识点结合在一起考查, 因此借助小充大必要模型可以将问题快速转化为在数轴上画解集或利用集合的 Venn 图反映各集合之间的关系, 直观简洁, 是每个高中生都应该掌握的解题技巧与能力.
逢考必用·学模型
充要条件的判断方法
1. 定义法
对于命题“若 ，则 ”，其条件 与结论 之间的逻辑关系有以下四种情况:
(1)若 ，但 ，则 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件；
(2)若 ，但 ，则 是 的必要不充分条件， 是 的充分不必要条件；
(3)若 ，且 ，即 ，则 互为充要条件；
(4)若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件.
【说明】这是判断充要条件的基础概念法, 很多题目的初始分析都需要定义法, 而且对于上述四个命题的条件部分 (如 “若 ,但 ”) 更多是以范围或者集合的形式呈现, 因此我们做题时主要使用小充大必要模型判断.
2. 小充大必要模型
小范围为充分条件,大范围为必要条件,即为小充大必要. 若 以集合 的形式出现, 以集合 的形式出现, 即 ,则有以下结论成立:
关系
图示
直观解读 集合 范围始终不大于集合 集合 范围始终不大于集合 集合 范围小于集合
续表
关系
结论 是 的充分条件 是 的必要条件 是 的充分不必要条件
关系 且
图示
直观解读 集合 范围小于集合 二者范围相同 二者范围无直接大小关系
结论 是 的必要不充分条件 是 的充要条件 是 的既不充分也不必要条件
【源于教材】
(人教 A 必修第一册第 23 页 习题 1.4 T4) 已知 满足条件 满足条件 ,
(1)如果 ，那么 是 的什么条件？
(2)如果 ，那么 是 的什么条件
(3)如果 ，那么 是 的什么条件
记住“小充大必要”五个字，以后再也不用担心充分必要分不清楚. 但要注意 的两种等价表述: ① 是 的充分条件， 是 的必要条件； ② 的充分条件是 的必要条件是 .
触类旁通·套模型
模型运用 过基础
【例 1】已知集合 或 ，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
① 模型分析 由题目信息得“ 是“ 的充分不必要条件，根据小充大必要可知一定有 .
② 模型解答 由题意可知， 或 ，则 ， “ ”是 “ ” 的充分不必要条件,
有 ,则对集合 进行讨论.
当 为空集时,有 ,即 ; 当 不为空集时,需要保证 的左右两端点与 的左右两端点满足不等
关系 解得 . 综上所述,满足要求的 的取值范围为 .
【例 2】命题“ 恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. B.
C. D.
①模型分析 根据题目信息，要求已知命题的必要不充分条件，则根据小充大必要可知，设目标范围为集合 ，已知命题的范围为集合 ，那么一定有 ，所以这道题的思路就很清晰了，先求出已知集合 ，然后从四个选项中寻找谁的范围比其大即可.
②模型解答 先求已知命题的范围，观察题目结构， 是一个类一元二次不等式，首先对 进行讨论: ①当 时，原不等式变为 ，不可能在 上恒大于 0，舍去；
②当 时，原不等式对应开口向下的二次函数，当 趋于 时，函数值一定趋于 ，不可能在 上恒大于 0， 舍去;
③ 当 时，原不等式对应开口向上的二次函数，故要想在 上恒大于 0，则必须保证 ，即 ，故满足要求的 的范围为 . 依次判断选项, 选项范围更大, 明显是 的真子集,故 正确; 选项与我们所求的范围相同，是子集，但不是真子集，舍去；C选项与 无交集，舍去；D选项 明显为 的真子集，不符合要求, 舍去. 故选 A.
第二章
不等式
基本不等式七大解题模型
模型 5 直接法求最值模型
习题册 P4
模型综述
基本不等式 ,当且仅当 时取等号),关联算术与几何平均数,还有 等重要不等式辅助. 它以“一正、二定、三相等”为应用准则, 在和定求积最大、积定求和最小场景中, 成为向量、解析几何等模块求最值的底层工具, 筑牢高中数学最值求解的基础逻辑.
逢考必用·学模型
一、基本不等式基础内容
1. 基本不等式:对于 ，有 .
(1)基本不等式等号成立的条件:当且仅当 时， 等号成立.
(2)其中 叫做正数 的算术平均数， 叫做正数 的几何平均数.
(3)基本不等式的应用口诀可简记为“一正、二定、三相等”.
2. 几个重要的不等式
(1) .
(2) ( ， 同号).
(3) .
(4) .
以上不等式等号成立的条件均为 .
二、利用基本不等式求最值
已知 .
1. 如果 (定值),那么 (当且仅当 时取等). 即 “和为定值,积有最大值”.
2. 如果 (定值),那么 (当且仅当 时取等). 即“积为定值,和有最小值”.
注意:利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
【源于教材】
(人教 A 必修第一册第 46 页 T3) 当 取什么值时, 取得最小值 最小值是多少
在考试中,基本不等式一般是求最值的工具, 经常会在各种模型的题目(高一的向量最值、解三角形面积最值, 高二的解析几何、导数等) 中使用, 所以一定要打牢基础.
触类旁通·套模型
模型运用 - 过基础
【例1】若 且 ，则下列不等式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
①模型分析 首先知道基本不等式的前提是一正、二定、三相等，其次要熟悉 的变式.
② 模型解答 当 时， ，A错；当 时，满足 ，但 ，B错； 当 时,满足 , 错; ,则 ,当且仅当 时等号成立，D 正确. 故选 D. 对于这类证明题，举反例是一个很好的办法.
模型进阶 - 提技能
【例2】已知正实数 满足 ，求 的最小值.
0 模型分析 本题可先根据 对 进行化简,再利用基本不等式 ,当且仅当 时等号成立)求解最小值.
②模型解答 首先对 化简: 因为 ,且 是正实数,对 通分,可得
将 代入上式分子,得到 . 又因为 ,根据基本不等式 ,当且仅当 时等号成立),即 . 对 进行变形,两边同时平方 (因为 是正实数,平方后不等号方向不变) 可得 ,即 ,当且仅当 时等号成立.
最后求 的最小值:因为 ，所以 (不等式两边同时取倒数，不等号方向改变，因为 )，那么 . 所以 的最小值为 8,当且仅当 时取得最小值.
模型 6 配凑法求最值模型
模型综述
配凑法借代数式变形，以凑定(和或积为定值)为核心，衍生配项、配系数、先分离再配凑三类模型. 配项消分母、配系数凑可消结构、分离后分式配凑, 本质是基本不等式变形进阶, 在无直接定值条件时, 突破式子结构限制, 用基本不等式求最值, 适配高考中先变形再放缩的命题逻辑.
逢考必用·学模型
配凑法模型总结
模型一 “配项”为定值模型
形如 的函数处理如下 :
,当且仅当 时等号成立.
配项的主要目的一般都是将简单的项凑成与分式中的分母相乘能抵消的式子, 从而出现乘积为定值的情况便于使用基本不等式.
模型二 “配系数”为定值模型
形如 的函数处理如下 :
,当且仅当 时等号成立.
配系数的目的主要是配凑完系数之后要有能够抵消或者能够凑出要求解的式子.
模型三 “分离”构造出定值模型
形如 的函数,可以将分子配凑后分离成 的形式,然后运用基本不等式来求最值，要注意“一正、二定、三相等”的条件.
【源于教材】
(人教A必修第一册第 48 页 习题 2.2 · T1 ( 2 ))求 的最大值.
这三个模型的本质是基本不等式变形方式的进阶, 考题中更多的是这类先变形再用基本不等式放缩的模型.
触类旁通·套模型
模型运用
【例1】若 ，则 的最小值为_____.
1 模型分析 核心思路是把 配凑成 ，这样就可以构造出积定结构.
② 模型解答 因为 ，由基本不等式得 ，
当且仅当 ,且 ,即 时等号成立.
故答案为 3 .
【例2】已知实数 满足 ,则 的最大值为()
A. -4 B. 0 C. 4 D. 8
①模型分析 核心思路是把 配凑成 ，这样乘积的时候可以消掉。
②模型解答 由 得到 ，则 ，
,基本不等式的前提是一正、二定、三相等, 才是大于 0 的,这样才能使用基本不等式.
当且仅当 时上式取等号,则 的最大值为 0 . 故选 B.
第二章 不等式
【例3】若 ,则 取最大值时 的值是( )
A. B. C. D. 10
1. 模型分析 关键操作在于 的变形，观察式子 ，发现 的系数为 1，而 中 的系数为 -4 . 为了使用基本不等式，我们把 前面的系数配凑成 4
模型解答 ,当且仅当 即 时等号成立. 故选 C.
模型进阶 - 提技能
【例4】当 时,函数 的最小值为( )
A. B. C. D. 4
①模型分析 先使用变量分离，将 化为 ，再使用基本不等式解决.
②模型解答 因为 ，所以 ，当且仅当 ,即 时,等号成立. 故选 B.
【例5】当 时, 恒成立,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
1. 模型分析 核心是深刻理解基本不等式,要在这里能看出来分子可以因式分解成 的形式. ② 模型解答 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,所以 的最大值为 . 所以 ,即 . 故选 A.
模型 7 整体换元法求最值模型
模型综述
针对 约束下， ， 多项式最值问题，换元法是破局关键. 通过因式分解消交叉项 ,设新元 转化为 的简洁形式,再用新元表示原变量,代入目标式结合基本不等式,将复杂二元二次约束转化为可解的新元关系, 高效攻克此类最值难题.
逢考必用·学模型
模型内容
已知形如 ,求关于 和 的多项式 (例如 ) 的最值问题.
换元法
解题步骤:
1. 将原式进行因式分解得到 的形式;
2. 令 ,则 ;
3. 用 和 分别表示 和 ;
4. 代入到目标式当中,则最终得到只含有 和 的多项式，结合 使用基本不等式进行求解.
这样因式分解操作就把交叉项 消掉了,从 的复杂形式变成 的简洁形式,便于后续使用基本不等式.
触类旁通·套模型
模型运用 过基础
【例 1】已知 ，且 ，则 的最小值为_____.
1 模型分析 先对已知条件进行因式分解并换元,用 分别表示 和 ,再将 代入目标式化简为含 的式子，最后使用基本不等式求最小值.
② 模型解答 由 ，将其变形为 ，因式分解可得 .
换元,令 .
解方程组 可得 ,则 ; 把 代入 可得
再求 的最小值,代入 :
此时 .
因为 ,根据基本不等式 ( ,当且仅当 时等号成立),这里 ,则 .
把 代入可得 .
当且仅当 时等号成立,联立 将 代入 得 ,因为 ,所以 ,则 .
再把 代入 ,可得 . 养成良好习惯,验证是否可以取等.
所以 的最小值为 8 . 故答案为 8 .
【例 2】已知实数 ,满足 ,则 的最小值是_____.
1)摸型分析 思路同上，但目标式更复杂，核心是要能够通过题目条件识别出这个模型.
② 模型解答 已知 ，根据十字相乘法因式分解可得 .
设 ,则 .
由 通过解方程组可得 . 用 分别表示 和 ,将 代入 得 .
第二章 不等式
根据 (当且仅当 时等号成立),对于 ,令 ,则有
(当且仅当 时等号成立). 因为 ,所以 .
综上, 的最小值是 4 . 故答案为 4 .
模型 8 消元法求最值模型
习题册
模型综述
针对 形式,求 的最值,消元法是有力方法. 换元分离配项,通过表达式变形、分离常数与配项, 让式子适配基本不等式; 因式分解整体换元, 借因式分解转化形式, 配凑后用基本不等式; 当求 的最值时,先用基本不等式放缩,再换元解二次不等式. 多思路适配不同结构,攻克约束条件下的最值难题.
逢考必用·学模型
模型内容
已知形如 ，求 的最值.
思路一:换元十分离+配项
由 得到 ，那么目标式等于 ,对分式部分的分子进行分离, 使其变为常数, 然后再对整式部分进行配项, 使其与分式部分的分母相同.
思路二:因式分解+整体换元
目标式为 ,因此对原式 进行因式分解得到 的形式,然后找到目标式与两因式的系数关系,对原式进行配凑得到 ,注意一定要验证基本不等式的取等条件.
1. 模型条件和整体换元法高度相似, 这里的 项与 项的次数是一次. 但处理方式不同.
2. 若要求 的最值问题,则先用基本不等式再换元. 由 得到 ,然后令 ,则原式化为 ,然后解该一元二次不等式即可.
触类旁通·套模型
模型运用
【例 1】若 ,且 ,则 的最小值是( )
A. 5 B. 8 C. 13 D. 16
1)模型分析 这道题采用了换元十分离十配项的思路.
② 模型解答 由 得 ,故 ,由于 0,故 ,当且仅当 ,即 时取等号,即 , 故 的最小值是 13,故选 C. 【例 2】若 ，且 ，则 的最小值是_____.
1 模型分析 这道题处理方式并不是思路一和思路二,而是正文讲解中的学长叮嘱部分,核心是要求解 的最值.
② 模型解答 因为 ,所以 ,即 ,解得 或 (舍去),这一步是利用基本不等式将 的和与积建立联系,从而得到关于 的不等式.
所以 ,当且仅当 时,等号成立,所以 的最小值为 9 .
故答案为 9 .
【例 3】已知 ，且 ，则 的最小值为_____.
1) 模型分析 这道题的处理方式是思路二,需要先变形成 的形式,再对目标式变形,最终使用基本不等式进行放缩.
②模型解答 由题意知, ，对该式进行变形得到 ，考虑该式的两个因式 与 和目标表达式的关系,有 ,符合“积定和最小”原则,因此可得 ,当且仅当 时等号成立,此时 ,有 0,符合条件,故 的最小值为 . 故答案为 .
模型 9 乘 1 法模型
模型综述
针对含 或 条件,求分式和或整式和的最值问题,“乘 1 法”是解题密钥. 借“ 1 ”的等价变形，将目标式与已知条件构造相乘，让交叉项凑出可直接用基本不等式的定值形式. 遇“1”直接乘，无“1”先化 “1”, 通过等量代换、式子相乘，把复杂最值转化为基本不等式能解的模型，精准突破这类条件约束下的最值求解.
逢考必用·学模型
模型一
已知形如 ，求 的最小值，则利用式子乘 1 仍等于本身的特性得到 当且仅当 时等号成立.
模型二
已知形如 ，求 的最小值，则先对条件进行变形再使用模型一求解.
学长叮嘱当题干中出现“1”的时候, 直接将条件 “1” 相乘与要求的式子相乘 (除)，因为任何数与 “ 1 ” 相乘 (除)结果都是其本身; 当题干中没有出现 “ 1 ”时要先转化为数值是 “ 1 ” 或常数的形式，然后再与要求的式子相乘(除)或对待求式中的常数作等量代换.
乘 1 法不管是哪种模型, 最终目的都是希望出现两括号交叉相乘之后的结果可以直接使用基本不等式.
触类旁通·套模型
模型运用
【例 1】已知正实数 满足 ，则 的最小值是()_____)
A. 9 B. C. D.
①模型分析 这道题的核心是 变形成 的形式,然后把这个 1 式乘在目标式上.
2. 模型解答 因为 ,所以 ,变成 的原因是 和 相乘可以约掉, 同理,当且仅当 时取等号,所以 的最小值是 . 故选 D.
模型进阶
【例 2】已知 ,且 ,那么 的最小值为 ( )
A. B. 2 C. D. 4
1 模型分析 这道题要变形的不是条件,而是所求目标式,通过给 凑上 再减去 2,构造出可以使用 “乘 1 法”的形式,即乘 (其值为 1 ) 为后续使用基本不等式创造条件.
模型解答 因为 ,所以 ,当且仅当 即 时取等号. 故选 C.
【例 3】已知正实数 满足 ，则 的最小值为_____.
1. 模型分析 这道题的解题思路在于能看出 ,如果确实看不出来,有一种无脑的解法: 待定系数法. 操作为令 前面的系数一一对应, 前面的系数一一对应,即 . 即出现了 的式子.
模型解答 因为 ,所以 ,所以 ,当且仅当 ,即 , 即 时取 “ ”,所以最小值为 9 . 故答案为 9 .
模型 10 连续使用基本不等式模型
习题册 P8
模型综述
处理多元变量最值, 当变量独立无约束时, 可尝试连续用基本不等式放缩. 但关键是每一步放缩都要单独验证等号成立的条件, 且所有步骤等号成立条件必须一致. 若各步取等条件冲突, 就不可连续使用. 牢记“变量独立为基，等号一致为纲”，精准求解多元式子最值.
逢考必用·学模型
连续使用基本不等式的理解
连续使用基本不等式求最值问题一般是求多元变量的最值问题,且目标式中变量之间彼此独立,相互之间没有制约条件, 则可以连续使用基本不等式. 当面对多元 (两个及以上)变量的最值求解问题时, 若目标式子中各变量间相对独立, 不存在相互限制、约束的关联 (比如变量间没有等式、不等式等强制限定关系)，就可尝试连续用基本不等式放缩来求最值.
但有关键前提: 每次用基本不等式 , ,当且仅当 时取等) 放缩时,都要单独验证 “等号成立条件”, 并且所有步骤里等号成立的条件要完全一致.
举个简单例子,若第一步放缩是当 时取等,第二步放缩须是当 (和第一步同一组取值) 时也能取等,这
样连续放缩后,最终最值才能真正取到; 要是各步放缩取等条件不同 (比如第一步要 ,第二步要 ),那么整个放缩过程就“矛盾”了，求不出实际能达到的最值, 相当于“白放缩”.
简单说,连续用基本不等式放缩,要保证 “每次放缩等号能同时满足”, 变量独立是基础, 等号条件一致是关键, 这样才能一步一步缩小范围, 求出多元变量式子的最值.
当多次使用基本不等式时一定要每次都验证等号成立的条件, 并且所有等号成立的条件必须一致. 如果多次放缩中取等所需的条件不一样, 那么就取不到最值.
触类旁通·套模型
模型运用 - 过基础
【例 1】若 ，则 的最小值为_____.
1)模型分析 连续使用两次基本不等式即可求出，一定要确保两次取等的条件相同最值才能取到。
② 模型解答 ,
,当且仅当 且 ,即 时等号成立, 的最小值为 . 故答案为 .
模型进阶. 提技能
【例 2】已知 ,则 的最小值是_____.
第二章 不等式
①模型分析 利用基本不等式先对 进行放缩，再整体求 的最小值.
②模型解答 根据基本不等式得 ,两边同时取倒数,不等号方向改变,可得 . 由 ,在不等式两边同时加上 ,可得 . 对于 ,再次利用基本不等式,则 . 确定等号成立的条件,当且仅当 时,等号成立. 解方程组 由 得 ; 由 得 . 所以 的最小值是 . 故答案为 .
模型 11 基本不等式链模型
模型综述
基本不等式链 ,串联调和、几何、算术、平方平均数. 从 出发，经变量代换、式子变形,构建起完整不等式链. 它为多元 (二元为主) 变量最值求解,提供不同均值关联的路径，依据条件选合适基本不等式，精准突破最值难题，是基本不等式知识体系的进阶延伸.
逢考必用·学模型
一、基本不等式链
对于任意的正实数 和 ，有以下式子成立:
(当且仅当 时等号
成立).
上式中的四个部分分别叫做 和 的调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数. 因此记忆基本不等式链的口诀为“调几算方”.
二、基本不等式的各类变形
触类旁通·套模型
马模型运用 过基础
【例 1】甲、乙两人同时从 地到 地，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步. 如果两人步行速度、跑步速度均相同，那么( )
A. 甲先到达 地 B. 乙先到达 地 C. 两人同时到达 地 D. 不确定
①模型分析 这道题目以物理为背景考查,在构建出数学模型之后,要识别出调和平均数和算术平均数的不等式模型.
② 模型解答 设从 地到达 地的路程是 ，两人跑步和步行的速度分别为 ， ，甲、乙两人所用时间分别为 ， ， 则 (甲: 两段路程除以各速度再相加等于总时间),
总路程等于两段时间乘速度 ,
所以 ,由不等式得 ,所以 ,故选 B.
模型进阶 - 提技能
【例 2】(多选)若 满足 ,则( )
A. B. C. D.
①模型分析 这道题目综合考查了基本不等式链，链中的 4 项两两组合起来可以组合出 6 个不等式，核心要对这些不等式都很熟悉.
②模型解答 1. 分析 的取值范围
根据基本不等式链 ,已知 ,将其变形为 .
因为 ,所以 .
设 ,则 ,移项可得 ,即 ,解得 ,也就是 .
当且仅当 时, ; 当且仅当 时, ,所以 错误, 正确.
2. 分析 的取值范围
方法一: 由 可得 .
根据基本不等式 (由基本不等式链 ，这里 )，则 .
移项可得 ,即 ,所以 ,当且仅当 时取等号.
方法二: 根据基本不等式 (由基本不等式链 ),且 ,
则 . 又因为 ,所以 ,即 .
方法三: 由 ,再根据 ,可得 . 因为 ,所以 ,即 .
综上,故选 .
模型 12 柯西不等式模型
模型综述
柯西不等式为 . 虽高考不强制考查,但作为“方和积 积和方”的工具,能简化复杂式子最值求解. 从教材向量证明溯源, 它是拓展解题思路的 “利剑”, 让你面对多元不等式问题, 多一种高效解法选择.
逢考必用·学模型
柯西不等式
1. 柯西不等式的内容
,当且仅当 时,等号成立)
【口诀记忆】方和积 积和方.
【适用情况】
关于柯西不等式求最值的常见模型:
(1) ，适用于 和 的高次幂与低次幂相关的问题;
(2) ，适用于求分式和类型的最值问题;
(3) ，适用于求根式和类型的最值问题;
(4) 适用于绝对值类型的最值问题.
2. 二维柯西不等式的向量形式
. (当且仅当 是零向量,或存在实数 , 使 时，等号成立)
3. 柯西不等式的多维形式
,当且仅当 , 或 时,等号成立.
【源于教材】
(人教 A 必修第二册第 37 页 习题 6.3 T16)用向量方法证明: 对于任意的 ,恒有不等式
这一节建议高二、高三的同学学习，高考对柯西不等式不做考查要求，但柯西不等式的使用范围较广，如例 1 题目可以用基本不等式做，也可以使用柯西不等式. “可以有剑不用，但不能没有剑”.
触类旁通·套模型
模型运用
【例 1】实数 满足 ，则 的最大值是_____.
①模型分析 这道题可以采用基本不等式求解，但结构同样符合柯西不等式.
②模型解答 方法一 (柯西不等式): ,则 ,所以 ,当且仅当 时等号成立.
方法二(基本不等式):因为 ，所以 ，当且仅当 时，取等号,此时 有最大值为 8 . 故答案为 .
模型进阶 - 提技能
【例 2】(2021 年浙江卷) (学过平面向量之后再来看这道题) 已知平面向量 满足 . 记平面向量 在 方向上的投影分别为 在 方向上的投影为 ,则 的最小值是_____.
1). 4(00·00·45·44·45·44·45·44·45·44·45·44·45·45·45·45·46·45·46·45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45
② 模型解答 方法一:设 ，则 . 设 . 因为 ，所以 ，所以 ，则 ，所以
方法二: 令 . 因为 ,所以 ,故 . 因为 在 方向上的投影分别为 ,故可设 . 因为 在 方向上的投影 ,所以 . 故 ,当且仅当 即 故答案为 .
模型 13 权方和不等式模型
模型综述
权方和不等式,以 时取等) 为基础,分子幂比分母幂高一次,适配“已知和或倒数和，求分式和最值”场景. 通过柯西不等式变形或直接构造证明，还可推广到多元、更一般形式. 记“分子先和再方，分母直接相加”口诀，为分式和最值求解，提供简洁、定向的解题路径.
逢考必用·学模型
权方和不等式
1. 权方和不等式的内容
若 ,则 ,当且仅当 时,等号成立.
【口诀记忆】分子先和再方, 分母直接相加.
【适用情况】已知两数的和或者倒数之和, 求新的式子 (常见为分式和)的最值.
【注意】权方和不等式的分子幂比分母幂多一次.
2. 权方和不等式的证明
证明 要证 ,只需证 .
即证 , 左右消去同类项后,故只要证 ,该式显然成立,当且仅当 时, 等号成立. 故 ,当且仅当 时,等号成立.
证明 2: 对柯西不等式变形,易得 在 时,就有了 ,当 时,等号成立.
3. 权方和不等式的推广
推广 ,当 时,等号成立.
推广 2: 若 ,则
,当 时 (对于所有 , ,等号成立.
推广 3:若 ，则 ,当 时 (对于所有 , ,等号成立.
触类旁通·套模型
模型运用
【例 1】已知 且满足 ，则 的最小值为_____.
①模型分析 观察题目结构，已知信息为两未知数之和，目标式子是关于这两个未知数的倒数和，常规方法可以使用基本不等式中的乘 1 法，但速度较慢，选填小题应尽可能节省时间，故采用权方和不等式法，速度更快.
②模型解答 由 知, ,为保证分母之和为定值,对所求式子作适当变形,已知和式中 的系数为 2, 故令目标式中 的系数也为 2,所以有 ,当且仅当 ,即 时等号成立. 故答案为 .
【例 2】已知 ，且 ，则 的最小值是_____.
1 模型分析 观察题目结构，已知信息为关于两未知数的代数式的倒数之和，目标式子是这两个未知数的和，同样为适用权方和不等式的结构.
②模型解答 第一个式子分母为 ,第二个式子分母为 ,根据权方和不等式口诀“分母直接相加”，二者相加结果为 ,其中 与 系数之比为 1 :1,符合目标式比例,故直接使用权方和不等式,有 ,当且仅当 ,即 时等号成立, ,故答案为 .
模型进阶 · 提技能
【例 3】已知正实数 且满足 ，则 的最小值为_____.
1 模型分析 观察题目结构，已知信息为两未知数之和，目标式子是这两个未知数的平方的倒数和，很明显不是可直接套用权方和不等式的结构，原因在于目标式分母为二次结构，无法构造分母之和为定值的情况，因此考虑使用权方和不等式推论 3，并保持分子的次数始终比分母高一次.
② 模型解答 原式 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号. 故答案为 27 .
【例 4】已知 为锐角，则 的最小值为_____.
① 模型分析 这道题出发点是想办法构造 ，利用权方和不等式: 求解.
2. 模型解答 ,当且仅当 ,即 时取 “ ”. 故答案为 .
嵊川善
函数
模型 14 函数的理解及定义域与求值问题模型
模型184
函数是整个高中的基础, 本章主要围绕基础知识讲解, 深入理解函数的本质和意义, 高中对函数的理解越深, 对后续知识的理解以及解题的帮助越大.
逢考必用·学模型
一、简单函数
函数 以解析式的形式给出时,函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围, 具体来说，常有以下几种情况:
1. 为多项式型函数时,定义域为 ;
2. 为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数的集合;
3. 为二次根式 (偶次根式) 型函数时,定义域为使被开方数非负的实数的集合;
4. 若 ,则 的定义域为不等式 的解集;
5. 若 ,则 的定义域为函数 的定义域;
6. 若 ,则 的定义域为不等式 的解集;
7. 若 或 ,则 的定义域为 ;
8. 若 ,则 的定义域为 .
【注意】若 是由一些基本初等函数通过四则运算构成的,则 的定义域为各基本初等函数的定义域的交集. 另外, 实际问题中函数的定义域, 除了要使解析式有意义,还需考虑问题的实际意义.
二、复合函数
类型 方法
已知 的定义域， 求 的定义域 若 的定义域为 ,则 中 ,从中解得 的取值范围,即为 的定义域
续表
类型 方法
已知 的定义域,求 的定义域 若 的定义域为 ,则 ,从中求得 的取值范围,即为 的定义域
已知 的定义域,求 的定义域 若 的定义域为 ,则 ,设求得 的取值范围为 ,则 中 ,从中解得 的取值范围,即为 的定义域
三、知识辨析
自变量 、对应关系 、因变量 三者之间的关系是什么
可以理解为 function,翻译为 “加工” 的意思,对 加工,即 ,最终的值为 .
四、方程、曲线、函数之间有什么关系
1. 函数是从 到 的对应关系,体现函数的单值性 (即一个 值只能对应一个 ,而同一个 值可能由多个 对应).
2. 方程指的是含有未知数的等式,比如 ,或者 ,都可以认为是方程.
3. 曲线在中学数学中,一般指的是 平面内的按照某种方式画出来的图形, 比如直线或者圆, 当然也可以通过把所有的点 都画出来连接形成一条曲线. 函
数的图象是曲线(或直线), 但不是所有的曲线都是函数图象, 因为曲线可能不满足函数的单值性.
【源于教材】
(人教 A 必修第一册第 100 页 T1)求下列函数的定义域: .
函数求定义域，抓住两点:① 定义域永远指向自变量 的取值集合; ② “ ” 的括号范围是恒不变的.
触类旁通 套模型
模型运用
【例 1】求下列函数的定义域:
(1)已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域；
(2)已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域；
(3)已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域.
1. 模型分析 这道题的意义是帮助你深入理解函数的定义域. 函数求定义域, 抓住两点: ① 定义域永远指向自变量 的取值集合; ② “ ”的括号范围是恒不变的. 对于(1) 由 的定义域可得 ,求出 的取值集合即可得出 的定义域；(2) 由 的定义域可得 ，求出 的取值集合即可得出 的定义域; (3) 由 的定义域可得 ,求出 的取值集合即可得出 的定义域,进而得出 的取值集合,再求出 的取值集合即可.
②模型解答 (1)设 ，由于函数 定义域为 ，故 ，即 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
(2)设 ，因为 ，所以 ，即 ，函数 的定义域为 ，
由此得函数 的定义域为 .
(3)因为函数 的定义域为 ，即 ，所以 ，所以函数 的定义域为 ， 由 ,得 ,所以函数 的定义域为 .
【例 2】函数 的定义域为( )
A. B. C. D.
①模型分析 这道题目难度较低，核心是掌握偶次根型函数的定义域和对数函数的定义域.
② 模型解答 由 得 ，所以函数 的定义域为 . 故选 A.
【例 3】已知 ,则 的定义域为( )
A. B. C. 且 D. 且
1)模型分析 利用分母不为 0 及复合函数的内层函数分母不等于 0 求解具体函数定义域.
② 模型解答 因为 ，所以 . 又因为在 中， ，所以 ，所以 ， 所以 的定义域为 且 . 故选 C.
模型 15 函数解析式求解模型
模型综述
求解函数解析式, 有五大模型. 待定系数法, 针对已知类型函数 (如一次、二次函数), 设式代入解方程; 换元法，处理含复合结构(如根号、分式嵌套)的函数，新元替换化繁为简；配凑法，借代数变形，将式子凑成已知形式； 方程组法, 利用函数对称性、递推关系, 联立消元求解; 赋值法, 对多变量函数, 赋特殊值简化推导. 不同方法适配对应场景.
逢考必用·学模型
函数解析式的求解模型
模型方法 概念解读 适用场景
待定系数法 当已知函数类型 (如一次函数、二次函数、多项式函数等)时，通过设出函数的一般形式，代入已知条件建立方程，解出未知系数 明确函数类型且已知部分函数值或性质 (如对称轴、顶点)
换元法 通过引入新变量替换原函数中的复杂表达式，将问题转化为关于新变量的函数关系，再回代得到原函数的解析式,但要注意新变量 的取值范围 函数表达式中存在根号、分式或其他复合结构 (如 )
配凑法 通过代数变形,将函数的表达式配凑成目标函数的形式，然后使用直接观察法得到解析式 函数表达式可以通过简单变形转化为已知结构 (例如完全平方、分式拆分等)
方程组法 当函数满足某种对称性或递推关系时, 通过替换变量建立方程组, 然后联立方程组消去无关项, 解出函数表达式 函数方程中包含互为倒数或相反数的变量(如
赋值法 通过对含有多变量的函数中的某一变量赋予特定值 (如 等),代入函数方程将复杂的式子简化为关于特定函数值的方程, 然后通过逐步推导得出解析式 适用场景:函数方程中包含多个变量，并对这些变量取任意值都成立，因此常代入 等(如
触类旁通、套模型
模型运用
【例 1】(待定系数法)一次函数 满足 ,则 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
1 模型分析 根据 是一次函数可设 ，再根据 求出 ， ，即可求出 的解析式,代入 即可求得答案.
② 模型解答 设 解得 . 故选 C.
第三章 函 数
【例 2】(多选)(换元法)已知函数 ，则( )
A. B.
C. 的最小值为 -1 D. 的图象与 轴有 2 个交点
1) 模型分析 因为 括号里的 比较复杂,我们希望的是 这样简洁的形式,一个 值对应一个 的值,所以我们令 .
②模型解答 B 选项，令 ，得 ，则 ， ，这样计算就不用拖家带口带着一堆根号去计算,故 正确; 选项, 正确；C 选项, ,所以 在 上单调递增, , 正确; 选项,令 ,解得 或 (舍去),故 的图象与 轴只有 1 个交点, D 错误. 故选 ABC.
【例 3】(换元法) 已知 ,求 的解析式.
①模型分析 同样是换元法，和上一道题的思路相同，但计算会更加复杂一些.
②模型解答 换元: 设 ,变形得 ,即 ,所以 .
求 : 将 代入 . 确定 :把 换成 ,得 .
【例 4】(配凑法) 已知 ,求函数 的解析式.
①模型分析 根据完全平方公式 , 对 展开得 ，为了凑出 的形式，将 变形为 ，而 .
② 模型解答 因为 ，此时 . 确定 的解析式:把 看作一个整体,令 ,则 . 因为函数自变量的符号不影响函数本质,将 换为 ,可得 .
【例 5】(列方程组求解法) 已知 满足 ,则 的解析式为_____.
1 模型分析 用 代换成 得出一个式子,两个式子有类似于对偶的对称感,利用方程思想求解函数解析式.
②模型解答 由 ①; 用 代 可得, ②; 由 ①-2×②可得 . 故答案为 .
【例 6】(赋值法)定义在 上的函数 满足 ,并且对任意实数 都有 , 求 的解析式.
1 模型分析 对于这种模型,式子中有 两个未知数,但是所求的是只有一个 的式子,所以要把 想办法换成 ,所以对 进行赋值,让 ,解方程求得 的解析式.
② 模型解答 对任意实数 ,令 ,得 ,即 . 又 ,所以 .
模型 16 分段函数模型
习题册 P12
模型综述
分段函数在不同自变量区间有不同对应法则, 整体的定义域、值域为各段并集. 求函数值要先判自变量区间；由函数值求自变量，需分段解方程再检验；解分段不等式，分段处理后取并集；研究单调性，既要各段单调，又要端点处满足整体趋势. 它把复杂函数拆解，适配不同场景下的求值、解方程、解不等式与单调性分析.
逢考必用·学模型
一、分段函数基本概念
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 分段函数的典型形式如下:
分段函数的定义域和值域: 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集, 值域也是各段函数值域的并集.
二、分段函数的解题策略
1. 已知自变量求函数值
(1)当已知横坐标 求函数值 时，要先确定 属于哪一区间,再代入该区间对应的解析式 求值.
(2)当出现 的形式时,应先求 的大小，然后以其作为新的自变量 ,依据其所在区间再求 .
(3)当 所在区间不确定时，要对 进行分类讨论，分类标准为分段函数不同区间的端点.
2. 已知函数值求自变量
由自变量求函数值时为一对一,但在分段函数中由函数值求自变量时可能为一对多. 即对于分段函数 而言,当已知 时,分别令 和 ,求出对应的 和 ,然后通过判断其是否在对应函数的自变量范围内来取舍.
3. 分段函数与不等式结合
在分段函数中求解不等式问题, 重点同样在于分段处
理,即对于分段函数 而言,对于不等式 ,分别令 和 ,求出各自的解集后取并集即为最终结果.
4. 分段函数的单调性问题
研究分段函数的单调性要注意以下两个原则:
(1)每一段都需要保持一致的单调性；
(2)不同段的端点大小关系也要保持一致的单调性.
如下图所示，该函数的两段图象均为单调递增，但由于在 处，左、右两端的大小关系为“左边 右边”，所以并不满足单调性原则, 不能认为该分段函数在整个定义域上单调递增.
学长叮喝 回顾函数单调性定义:一般地，设函数 的定义域为 ,如果对于 内某个区间 上任意两个自变量 ,当 时,都有 ,那么就说 在区间 上是增函数; 反之为减函数. 因此重点在 “任意”二字上, 而上图函数显然是反例, 不能满足在定义域上任意, 故整体不单调.
第三章 函 数
【源于教材】
(人教 A 必修第一册第 73 页 T13) 函数 的函数值表示不超过 的最大整数，例如 ，
,当 时,写出函数 的解析式,并画出函数的图象.
触类旁通·套模型
模型运用 过基础
【例 1】(分段函数直接求值)已知函数 则 ( )
A. 0
B. C. D. 1
Q模型分析 对于分段函数直接求值类问题，首先判断自变量属于分段函数的哪一段，然后代入对应函数求值即可.
② 模型解答 因为 显然 ,进一步判断 0 的分段,得 . 故选 D.
【例 2】(分段函数递归求值)已知函数 则 _____.
Q模型分析 解决有递归的分段函数的关键在于抓住自变量的取值范围，当自变量的范围进入递归范围后就不断. 运算, 直到跳出范围.
②模型解答 首先判断自变量初值范围, ，进入递归范围，所以 ，继续递归，得 ,跳出递归范围,则 . 故答案为 9 .
【例 3】(分段函数单调性问题) 已知 ，函数 是 上的减函数，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
① 模型分析 对于单调性问题，解题核心是若单调递减，则当 时，要保证左边的值大于等于右边的值；若单调递增,则反之小于.
②模型解答 因为函数 是减函数，所以 . 又因为函数 图象的对称轴是直线 ,所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增. 又函数 是 上的减函数,所以 解得 ,所以 的取值范围是 . 故选 B.
模型 17 脱“ ”解不等式模型
习题册P13
模型综述
复合函数不等式直接求解非常麻烦, 因此本节依据函数单调性的定义, 将复合函数不等式“脱去外衣”, 转化为自变量不等式, 从而简化问题, 同时注意在有些情况下要结合函数奇偶性进行特殊处理.
逢考必用·学模型
脱“ ”解不等式方法总结
1. 题目考法: 当题目中给出了 的相关信息后,求解形如 或 的不等式的解集时, 对于此类题型主要有两种思路:
(1)从内向外求:将 和 的表达式代入 的结构中,将复合函数化为单一函数再去求解不等式,但会令题目的运算量和复杂度增加,并且大部分情况下 定义为抽象函数，无法得到明确的表达式；
(2)从外向内求(常见):先得到函数 的单调性，然后将 和 的大小关系转变为 和 的大小关系再去求解能够降低计算量,节省时间, 这就叫脱“ ”解不等式模型.
2. 从外向内脱“ ”解不等式的步骤
步骤 1: 判断函数 的单调性.
步骤 2: 利用 的单调性对原式进行脱 “ ” 处理,得到新的不等式, 即
(1)在单增区间上，有 ；
(2)在单减区间上，有 . 步骤 3: 解步骤 2 中得到的不等式即可.
3. 脱“ ”解不等式的两种特殊情形
(1)奇函数型: 当处理 这种结构的不等式时,要先判断 是不是奇函数,若是,则可进行如下转化: ,从而讨论 和 的关系即可;
(2)偶函数型:当处理 这种结构的不等式时,要先判断 是不是偶函数,若是,则可将函数值的大小关系转化为图象上对应点距 轴距离的大小关系,即根据 的单调性得到 和 的大小关系.
【源于教材】
(人教 A 必修第一册第 77 页 正文 3.2.1) 单调性的定义: 如果 ,当 时,都有 , 那么就称函数 在区间 上单调递增;
如果 ,当 时,都有 ,那么就称函数 在区间 上单调递减.
学长叮嘱脱“ ” 时一定要注意 的定义域对 和 的要求.
触类旁通 套模型
模型运用
【例 1】定义在 上的函数 满足 ,且 ,则实数 的取值范围为_____.
1)摸型分析 根据单调性的定义先判断 的单调性，然后再去脱“ ”解不等式，但要注意自变量的取值范围.
② 模型解答 根据题意， 满足 ，即 ，因此可得 在定义域上单增,因此由 可得 ,但要注意,题目约束了 的定义域为 ,
第三章 函 数
联立不等式组 解得 . 故答案为 .
【例 2】已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围为_____.
①模型分析 本题给出了 的解析式，但结构中包含三次项和指数项，直接代入解不等式显然无法得到结果，因此仍首先判断单调性,再去脱“ ”求解,然后观察目标不等式的结构,为 型,不能直接脱“ ”, 因此要先判断奇偶性.
②模型解答 首先证明 的奇偶性， ， 为奇函数， 因此有 ,然后判断 的单调性,显然 和 在 上单调递增, 单调递减,根据函数单调性的运算性质可得 在 上单调递增,因此有 ,即 . 故答案为 .
【例 3】函数 是定义在 上的偶函数,且 在 上单调递增,若 ,则实数 的取值范围为_____.
①模型分析 首先题目已告知函数奇偶性，在给定一部分区间上的单调性情况下解不等式，则应先明确整个定义域上的单调性再脱“ ”.
②模型解答 由题可知 在 上是偶函数，因此可得 关于 轴对称，然后 在 上单增,则可知 在 上单调递减,画出 的草图如图所示,由图可知,距离 轴越远的点所对应的函数值越大,因此对于 ,我们可以认为横坐标为 的点距 轴要比横坐标为 的点距 轴大,因此由坐标和距离的关系可得 ,对两边平方得到 ,解得 . 故答案为 .
模型 18 对勾函数与飘带函数模型
习题册 P14
莫型综述
对勾函数 ，出现在人教 A 版普通高中教科书数学必修第一册第 92 页的“探究与发现”. 攻克该函数，有利于更好的学习高中后续知识，特别是必修第一册第 44 页所讲解的基本不等式，必须要以掌握对勾函数为前提. 其实,可以片面地认为对勾函数是函数 与 的“有机”结合. 与对勾函数“对偶” 的函数是 ，根据其形状常称其为飘带函数.
逢考必用·学模型
一、对勾函数模型
一般地,当 时,形如 的函数称为“对勾函数”. 顾名思义,该函数的图象形状类似于两个钩子形状, 故称之为对勾函数, 图象如下图所:
对勾函数的性质
性质 结论
定义域
值域
顶点坐标 下顶点 上顶点
单调性 增区间: 和 减区间: 和
奇偶性 奇函数
渐近线 直线 ，直线
对称性 图象关于原点中心对称，图象关于直线 对称
【特别提醒】
1. 对勾函数与基本不等式有紧密联系: 拐点坐标不要死记公式,一定要理解记忆,如当 时, ,当且仅当 ,即 时等号成立,故 . 对勾函数在研究函数的单调性或最值时使用.
2. 还有一种函数的形态为 , 一般称其为倒对勾函数，解题时完全可以只单独研究分母中的对勾函数.
【源于教材】
1. (人教 A 必修第一册第 86 页 T8)
(1)根据函数的单调性定义证明函数 在区间 上单调递增;
(2)讨论函数 在区间 上的单调性;
(3)讨论函数 在区间 上的单调性.
2. (人教 B 版必修一第 115 页 练习 B T7)
研究函数 的性质,并作出函数图象.
二、飘带函数模型
一般地,当 ,形如 的函数称为
第三章 函 数
“飘带函数”. 顾名思义，该函数的图象形状类似于飘动的纸带形状，故称之为飘带函数，图象如下图所示:
飘带函数的性质
性质 结论
定义域
值域
顶点坐标 无顶点
续表
飘带函数的性质
单调性 增区间:(一∞，0，(0，+∞)
奇偶性 奇函数
渐近线 直线 ,直线
对称性 图象关于原点中心对称; 图象关于直线 对称
【源于教材】
(人教 A 必修第一册第 86 页 T8) 试讨论函数 的定义域、值域、单调性、奇偶性,并画出函数图象.
触类旁通·套模型
模型运用
【例 1】函数 ，若 ，则 的最小值为_____；若 ，则 的最小值为_____.
1. 模型分析 套用对勾函数的单调性， 在 和 上为增函数，在 和 上为减函数.
② 模型解答 因为 为对勾函数，所以 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减. 所以 在 上的最小值为 ,在 上的最小值为 . . 故答案为12,20.
【例 2】函数 ,若 ,则 的值域为_____.
1 模型分析 将函数 变形为 ,构造飘带函数,套用飘带函数的单调性, 在 上单调递增.
② 模型解答 ，令 ，则 ，则 可化为 . 可知 是飘带函数,在 上单调递增. 要求 的值域,即求 时 的值域. ,则 的值域为 . 故答案为 .
值域求解模型
模型 19 直接法模型
习题册 P15
模型综述
值域问题是函数这一块最基本也是最重要的问题，是后续一切函数范围、不等式最值等问题的基础，如果不会求最值，那么在函数中将寸步难行. 本节为函数值域求解的基础部分——直接法，以基本函数为代表，总结配方法和单调性法的内容和技巧, 为后续内容做好铺垫.
逢考必用·学模型
直接法求值域模型总结
1. 直接法的概念
直接法是通过观察函数的表达式形式和结构, 结合基本函数的定义域、单调性和简单的代数运算直接确定函数值域的方法, 适用于结构简单、可直接通过基本函数性质求解的值域问题.
2. 直接法的常用技巧
(1)配方法:配方法是将二次函数或可以转化为二次函数形式的表达式通过配方化为顶点式 ，从而直接应用二次函数性质求值域的方法，适用于形如 或可通过换元转化为二次函数的复合函数.
(2)单调性法:单调性法是通过分析函数在定义域内的单调性, 确定函数的最值, 从而求得值域的方法.
①单调性法的核心原理:
a. 如果函数 在区间 上是增函数，那么
b. 如果函数 在区间 上是减函数，那么
c. 如果函数 在区间 上是增函数，在区间 , 上是减函数,那么 为 和 中较小的,如左图所示;
d. 如果函数 在区间 上是减函数,在区间 , 上是增函数,那么 为 和 中较大的,如右图所示.
②单调性的运算性质:
a. 线性性质: 若 为常数,当 时, 与 有相同的单调性; 当 时, 与 有相反的单调性;
b. 倒数与根式性质: 若 且 为增函数,则函数 为增函数, 为减函数;
若 且 为减函数,则函数 为减函数, 为增函数;
c. 加减性质: 在 和 公共区间上,有如下性质:
单调递增 单调递增 单调递增 不能确定单调性
单调递增 单调递减 不能确定单调性 单调递增
单调递减 单调递减 单调递减 不能确定单调性
单调递减 单调递增 不能确定单调性 单调递减
d. 乘积性质: 当 和 在公共区间 上都单调递增(减),若二者都恒大于 0,则 在区间 上单调递增 (减); 若二者都恒小于 0,则 在区间 上单调递减 (增).
(3)求导法:对于结构复杂或不能通过上述性质得到单调性的函数, 则采用求导法确定单调性.
第三章 函 数
【源于教材】
(人教 A 必修第一册第 63 页 练习 T1)一枚炮弹发射后,经过 落到地面击中目标. 炮弹的射高为 ,且炮弹距地面的高度 (单位: )与时间 (单位:s) 的关系为 ①,求①所表示的函数的定义域与值域, 并用函数的定义描述这个函数.
学长叮嘴要熟记基本函数的值域(如一次函数、二次函数、反比例函数、指对函数等), 同时要注意定义域对值域的限制, 先确定定义域再判断值域.
触类旁通 套模型
模型运用 过基础
【例】求下列函数的值域:
(1) ; (2) ; (3) ; (4) .
1 模型分析 对于(1)(2)，观察式子结构，均出现了二次结构，因此为二次函数的复合形式，则先利用配方法求出内层的二次结构的范围,然后代入外层函数中求整体值域；对于(3)(4)则主要应用单调性法求解，先应用单调性的运算性质找到函数的单调性, 再由定义域和单调性求解最终的值域.
2 模型解答 (1) 对分母的二次结构进行处理得到 ,为开口向上的二次函数,且最小值为 ,显然对于 ,因此再利用反比例函数的单调性,得到
(2) ， 对根式内的二次结构进行处理得到 ，为开口向下的二次函数,最大值为 4,由于其处于根号内,必须满足 ,故有 ,对应值域为 , 因此根据 的单调性,得到 .
(3)首先确定定义域，有 恒成立，因此有 ，对原式进行分析，设 ， ，显然， 为单调递增函数，而对于 而言为复合函数，内层函数为 ，显然在定义域上单减，而外层函数 为增函数,因此根据复合函数单调性法则,内外层函数单调性相反,故有 为减函数,因此 为增函数一减函数,依据单调性的运算法则,有 在定义域上单调递增, 当 时,有 .
(4)首先判断定义域,显然分母不可能为 0，则有 解得 的分式结构，分母 显然为增函数,但分子的单调性无法直接判断,因此本题需要对原结构进行处理,对分子分母同乘 ,得到 . 此时显然发现分母恒正, 且单调递增,因此根据反比例函数的单调性,一定有原函数在 时单调递减, 原函数的值域为 .
模型 20 数形结合法模型
习题册 P15
模型综述
数形结合法求函数值域，是 “代数问题几何化”思想的重要应用，将函数表达式转化为几何图形的位置关系， 能够直观反映函数关系与性质，通过几何临界条件找到函数最值，避免了复杂的单调性分析和过程讨论，因此在处理复杂关系式时具有明显优势. 本节对常用的具有几何意义的函数表达式进行归纳总结，旨在一次性帮助大家识别代数结构隐藏的几何模型, 掌握数形结合处理函数值域的方法.
逢考必用·学模型
数形结合法求值域模型总结
1. 数形结合法的定义:
数形结合法是指将函数的代数表达式转化为对应的几何图形或几何量(如距离、斜率、面积等)，通过研究图形的性质 (如位置、范围、最值) 来确定函数值域的方法. 其核心是利用“代数问题几何化”的思想,将抽象的数值关系转化为直观的图形特征, 适用于具有明显几何意义的函数类型.
2. 数形结合法求值域的一般步骤:
第一步:将函数表达式转化为具有几何意义的形式；
第二步:在坐标系中画出对应的几何图形(注意函数的定义域可能限制图形的范围);
第三步:通过图形的位置和关系确定边界(最值)的位置并求解即可得到值域.
3. 常见的具有几何意义的表达式:
(1)类型一:含根号的表达式——对应“距离”
①两点间距离公式的直接形式: 形如 的式子,可以表示为点 到定点 的距离.
② 距离的和差: 形如 的式子,对应动点 到定点 , b)和 的距离之和(或差).
(2)类型二:分式表达式——对应“斜率”
形如 的式子,可以表示为曲线 上的动点与定点 的连线的斜率.
(3)类型三:绝对值表达式——对应“数轴距离”
① 单绝对值:形如 的式子，可以表示为数轴上的某一点 到点 的距离；
② 多绝对值的和差:形如 的式子， 可以表示为数轴上某一点 到点 和点 的距离的和
差,当表达距离和的关系时,最小值为 ,即 在 与 之间；当表达距离差的关系时，最大值为 ，即 在 与 两侧.
(4)类型四:圆的表达式
①圆的标准方程:形如( x - a ) 的方程， 表示圆心坐标为 ，半径大小为 的圆；
②隐圆表达式:形如 ，其中 的二次项系数为 -1,表示半圆,如
③参数方程:圆心为 ，半径为 的圆的参数方程为
【源于教材】
(人教 A 选择性必修第一册第 80 页 习题 2.3 T17) 已知 .
(1)求证: ，并求使等式成立的条件.
(2)说明上述不等式的几何意义.
学长叮嘴 这一节的内容涉及距离、斜率、圆等选择性必修一中的知识, 因此高一的同学可以跳过这一部分，等高二对应部分学完之后再回来看这一节； 在类型四中,模型②的 是通过函数定义的，并不是通过方程解得, 因此需要满足函数的特征, 恒成立,因此表示圆的上半部分；而对于模型③，参数方程已经在新高考课本中删除，但可以使用数形结合理解，通过 建立 与 的关系 (消去了未知的参数 , 得到 ).
触类旁通 · 套模型
模型运用·过基础
【例】求下列函数的值域:
(1) ；
(2) .
1. 模型分析 (1)观察函数结构，为双根式和差，属于距离和差模型，因此转换为平面内动点到两个定点的距离之和的范围问题.
(2)首先观察该式发现属于分式结论, 则想到通过斜率处理, 又分子上出现隐圆表达式, 因此要先画出半圆的图象, 然后再求解连线斜率范围.
② 模型解答 (1) 首先对原式进行处理,有 ,因此表示 轴上动点 到定点 和定点 的距离之和,如图 1 所示.
和 在 轴异侧, 当点 移动到图中 位置时,三点共线,此时距离之和最小为 ,当点 趋于无穷远处时,距离之和也趋于无穷大, 原函数的值域为 .
图 1
图 2
(2)对原式进行处理,有 ,设 , 有 ,因此代表圆心坐标为 ,半径为 1 的圆的上半部分,因此设 原式代表半圆上一个动点 与点 连线的斜率范围,
由图 2 可知,当点 运动到点 位置时,直线与圆相切,此时斜率最大,当点 运动到如图所示 位置时,斜率最小,因此求这两个位置的斜率即可得到原函数的斜率.
①设直线 为 ,即 直线与圆相切, 有圆心到直线距离等于半径,即 ,解得 或 (舍去),因为当 时,直线与圆相切于下半圆,但图中并没有下半圆,因此舍去;
② 易知点 的坐标为 , 原函数的值域为 .
模型 21 换元法模型
习题册 P15
模型综述
解决函数解析式值域问题时,把式子中某个部分看成一个整体,用一个新变量去代替它,从而使问题得到简化，这就叫作换元法. 换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式、化隐含关系为显性关系等, 在研究方程、函数、不等式的最值问题中有着广泛的应用. 本节主要内容为利用换元法解决复杂值域问题的技巧, 为后续的不等式求最值等知识打好基础.
逢考必用·学模型
换元法求值域模型
1. 换元法的定义:对于函数 而言，其结构较复杂， 不能直接求解值域, 则将其中某个关于自变量的部分 视为一个整体,并用一个新的自变量 代替,将 转化为熟悉的、结构简单的 ,从而解出值域.
通俗理解:想象你要处理一堆杂乱物品 (原函数 ), 直接整理很困难. 这时你找来一个箱子 (新变量 ),把物品装进去 ,然后只需处理这个箱子 (新函数 . 整个过程的核心是“等量代换”.
2. 常见的可使用换元法求值域的函数特征:
(1)当函数解析式的结构为某个基本函数的复合形式时，就用新变量替换该基本函数；
(2)当出现“整式十根式”或“根式十根式”的结构时，往往将某个根式作为新变量替换, 将原函数升幂转变为易于处理的整式函数, 常用到三角换元技巧.
在换元的过程中,一定要注意函数和自变量的对应关系, 换元之后, 映射关系发生了改变, 原来是 ,换元之后不是 ,而是 ,因此要先利用 和 的对应关系求出 的取值范围,再以此范围为基础求 的值域.
常用的三角换元技巧:
(1)平方后和为 1 :
.
(2)平方后差为 1 :
.
触类旁通·套模型
模型运用
【例 1】求下列函数的值域:
(1) ；
(2) .
1)→(狭型分析 (1)该函数结构明显为“整式+根式”的结构，因此可以令根式部分为新变量，将原函数升幂；(2)该函数结构明显为指数函数 的复合形式，因此可以令 ，将原函数转变为关于 的二次函数.
② 模型解答 (1)首先确定定义域, . 令 ,则 ,且 ,
原函数转化为 ,对称轴为直线 . 又 在 上单减,在 上单增, .
(2)观察式中同时出现了 和 ，因此令 ， ， 原函数转化为 ，对称轴为直线 . 又 ,故 在 上单调递增,当 时, ,故 .
模型进阶 - 提技能
【例 2】(涉及三角函数知识) 求函数 的值域.
0 模型分析 该函数中同时出现了 和 ，因此可以使用三角整体换元.
② 模型解答 函数 ,同时出现了 和 ,因此设 ,则 原函数转化为 ,对称轴为直线 在 上单减,在 上单增, 当 时, ; 当 时, .
【例 3】(涉及三角函数知识)求下列函数的值域:
(1) ; (2) ; (3) .
①模型分析 题目所给三个函数均为“整式+根式”或“根式+根式”的结构，故首选换元法. 但这三道题目用常规的根式换元法会陷入死胡同,对于 (1),假设我们令 ,则有 ,则原函数变为 ,仍为整式 + 根式结构，无法升幂为整式，对于(2)(3)，根式内已经为二次结构，若用 换元，则得到 和 的二次关系式，用 表示 会得到更复杂的结构，故常规换元法失效. 因此本题考虑使用根式的三角换元技巧.
对于 (1),可以发现函数的两根号项内关于 的结构的系数互为相反数,故考虑两项的平方和为 ,为定值,因此可采用 换元处理;
对于 (2),根式内结构 可变形为 ,同样发现函数两部分关于 的结构的系数互为相反数,同样考虑平方和为定值的结构,则需要对第一项配一 1 , 同时为了保证函数整体大小不变,最终结果还要整体 +1 ;
对于(3)，可以明显发现函数的两项中关于 的结构的系数相同，因此不能构造平方和为定值的结构，考虑使用两项平方后的差值为定值的结构,即 .
② 模型解答 (1) ,则令 ,因此我们有 设 不妨令 原式 ,如图 1 所示, 原式 .
图 1
图 2
图 3
图 4
(2) ,则令 ,如图 2 所示, . 不妨令 原式 ,如图 3 所示, 原式 . (3) ， 根号下为平方加一结构，因此令 1,易知 恒成立, . 因此我们不妨令 ,因此原式 ,看到此结构就要考虑直线斜率的几何意义,即点 与 连线的斜率. ,如图 4 所示,易得 原式 .
模型 22 分式类函数值域求解模型
模型综述
分式类函数在高中数学题目中出现频率非常高, 综合考查配方法、分离常数、换元法、基本不等式等多种函数处理技巧，是大部分题目都会涉及的函数结构，在研究函数、不等式的最值问题中广泛使用，因此掌握分式类函数的处理技巧非常重要.
逢考必用·学模型
分式类函数值域的求解方法
1. 分式类函数的定义: 形如 结构的函数称为分式类函数, 高中阶段主要掌握五种分式类函数的处理技巧:
(1)一次比一次:分式类函数的分子、分母均为一次函数结构,形如 ;
(2)二次比一次:分子为一次函数结构，分母为二次函数结构，形如 ；
(3)一次比二次:分子为二次函数结构，分母为一次函数结构,形如 ;
(4)二次比二次:分子、分母均为二次函数结构，形如
(5)高次分式:当分子、分母出现三次及以上多项式时， 便称其为高次分式.
2. 分式类函数的值域和最值
在高中阶段大多数函数不等式问题都会涉及分式类函数结构, 分式类函数往往结构复杂, 且由于其分式结构, 若直接求导会增大计算量, 因此求分式类函数的值域通常需要特殊的方法, 不同结构所使用的方法不同, 我们主要通过本节例题来为大家展示说明.
学长叮嘱在高考中分式类函数求值域不会单独出题考查,一般会出现在圆锥曲线计算最值、范围问题中.
触类旁通 套模型
黄模型运用·过基础
【例 1】(“一次”)求函数 的值域.
①模型分析 该函数结构为典型的一次比一次结构，通法为分离常数法，通过配凑分子将其变为分母的某个倍数，
从而将其从分式的分子位置转变到整个函数的常数位置, 从而使函数结构变为仅有分母含有自变量的反比例函数结构.
②模型解答 首先判断定义域,分母不为 ,即 . 然后对 进行分离常数,有 ,图象如图所示,故 .
【例 2】(“一次”)求函数 的值域.
1)摸到分析 该函数结构为典型的二次比一次结构，主要有两种处理思路:①配方法十分离常数，先对分子的二次结构进行配方, 使其转化为分母的平方, 从而将原函数转变为 “一次整式十一次分式” 的结构, 然后再对一次分式进行分离常数即可; ② 分母换元十基本不等式, 该思路则直接用新变量替换分母的一次结构, 使分母变为没有常数项的单变量整式,而分子的二次结构保持不变,此时就可直接化简得到形如 的结构,然后用基本不等式处理即可.
②模型解答 首先判断定义域，分母不为 0， ，即 ，然后处理函数结构.
思路①，配方 + 分离常数:原式 . 由对勾函数性质可得 原式 .
思路②，直接换元:令 ，则 ，
原式 .
【例 3】(“一次”) 求下列函数的值域:
(1) .
1)赖型分析 题中给定的两个函数均为典型的一次比二次结构，但具体做法与结构有关，当分子只包含一次项时， 直接将其除到分母上，将分母转化得到形如 的结构，然后使用基本不等式，若分子还包含常数项，则不可直接除, 需要先换元, 转化为单一次项比二次结构后再处理.
②模型解答 (1)首先判断定义域， 恒成立， . 当 时， ; 当 时，分子不含有常数，因此令分子、分母同除以 ,得到 ,此时分母为对勾函数结构,因此可得 ,
原式 . 综上所述,原式 .
(2)首先判断定义域， 恒成立， . 当 ，即 时， ；当 时，分子含有参数,因此不可直接同除,需要先换元,令 原式 ,由对勾函数的性质可得 ,
原式 . 综上所述,原式 .
【例 4】(“三次”)求下列函数的值域:
(1) .
1)横型分析 题中给定的两个函数均为典型的二次比二次结构，同样的二次比二次结构的具体做法与结构有关，当分子、分母均不含有一次项时, 直接对二次项进行换元, 即可转化为一次比一次结构去处理. 当分子或分母中至少存在一个一次项时, 直接换元的方法就失效了, 需要先进行分离常数, 将分子中的二次项挪到分式外面, 此时分子变为一次结构,即可转化为一次比二次结构去处理.
②模型解答 (1) 首先判断定义域, 恒成立, . 然后发现分子结构不含一次项,故直接换元,令 原式 由反比例函数图象可得原式 .
(2)首先判断定义域， 恒成立， . 然后发现分子与分母均含一次项,因此需要先进行分离常数,有 ,此时便转化为一次比二次结构. 当 ,即 时, . 当 ,即 时, 分子含有常数项,因此令 ,
原式 ,由对勾函数的性质得 , . 综上所述，原式 .
16. 模型进阶 - 提技能
【例 5】高次不等式的处理技巧
求下列函数的最大值(第一问在 2019 年全国卷压轴题考查；第二问“欣赏”即可，高考考查可能性较低):
(1) ; (2) .
1)模型分析 题中所给的两个式子的突出特征为次数较高,并非我们上面讨论过的一次或二次结构,但本质上高次分式的解法思路很常规, 即通过寻找相似结构, 然后换元降次, 将高次分式转化为我们熟悉的结构, 然后再使用对应方法求解即可.
②模型解答 (1) 首先判断定义域,当 时,分母 恒成立,然后观察原式结构,分子中出现 的三次项和一次项,分母中则为四次、二次和零次,故分子、分母同除以 ,得 ,此时可以发现分子、分母同时出现 ,故令 有 ,明显为
一次比二次结构,且分子不含常数项,则直接分子、分母同除以 得 , .
(2)首先判断定义域，显然分母大于 0，当 时， . 当 时，原式 ,此时可以发现函数中均出现 的结构,故设 ,故由飘带函数可得 ,此时原式 ,易得 为奇函数,当 时, 0,当 时, 不妨讨论 的情况, 有 ,此时出现 的结构,因此继续换元,令 有原式 在整个定义域上
模型 23 反表示法与判别式法模型
莫型综述
反表示法和判别式法并非主流的值域求解方法,适用场景也较少,因此并不常用,但其优点在于思维角度新颖，计算简便，因此更多用于思维突破、快速出结果和计算检验等用途. 俗话说“技多不压身”，多学一些计算技巧对考场表现都有很大帮助.
逢考必用·学模型
一、反表示法
1. 定义:将函数 视为关于 的方程，通过变形和转化用 来表示 ，得到一个新函数 ，然后根据原函数定义域中 的取值范围，推导出 的取值范围.
2. 适用场景:(1)分子、分母均为一次多项式的分式类函数 简单的根式函数,如 . 3. 注意事项:(1)在反解的过程中要保证变形的等价性， 例如分母不为 0 、根式有意义等; (2) 若反解之后的 存在多值情况 (如二次函数),需结合原函数的定义域进一步限制 的范围.
二、判别式法
1. 定义: 将函数 转化为关于 的一元二次方程 的形式,然后利用判别式 (实根存在条件)来求解 的取值范围.
2. 适用场景: 判别式法适用于函数中关于 的最高次为二次且能够变形成为二次整式方程的函数, 典型结构如 (分母不为 0 ).
触类旁通、套模型
模型运用
【例】求下列函数的值域:
(1) .
1. 模型分析 (1) 本题为典型的二次比二次结构，通过定义域可以发现本题可以用判别式法，其次分子、分母均未出现一次项，故也可以使用反表示法；(2)本题并未含有关于 的二次项，因此考虑使用反表示法求解.
②模型解答 (1)首先确定定义域， 恒成立， . 接下来分别用判别式法和反表示法求解.
① 判别式法: ,化简得到 ,当 时，有 3 = 0，矛盾，舍去；当 时,有 ,解得 .
②反表示法:由①知 . 恒成立,故可得不等式组 解得 原函数的值域为 .
(2)首先确定定义域，假设 恒成立， 假设成立， . ,此时根据辅助角公式可得 ,即 ,由三角函数值域可知 ,对该式进行平方得到 ,即 ,解得 ,故原式的值域为 .
模型 24 二次方程实根分布模型
模型综述
二次方程实根分布,可以转化为二次函数图象与 轴交点. 核心是借二次函数开口方向、对称轴、判别式、函数值正负, 结合零点存在定理等解决二次方程根的问题. 最重要的是将二次函数的性质掌握牢固.
逢考必用·学模型
二次方程实根分布模型
1. 二次方程实根分布核心思路: 一元二次方程的根实质上对应二次函数图象与 轴的交点横坐标,因此二次方程的实根分布问题通常借助二次函数图象与性质研究.
2. 解题工具
(1)关注二次函数图象的开口方向、对称轴、判别式、根与系数的关系;
(2)数形结合，根据图象和零点位置得到关键点的函数值正负，然后构造不等式组求解；
(3)零点存在性定理:对于连续函数 ，如果在区间 上有 ,则至少存在一个 使得 .
3. 模型总结
模型一 方程的根与某个值的大小关系(以 为例)
分布情况 两根都小于 , 即 两根都大于 , 即 一根小于 , 一根大于 , 即
大致图象
得出的结论
为了保证方程有两个不同的根,则必须有判别式 , 对于第一种情况,两根都要小于 ,对称轴小于 的条件保证了左侧零点小于 ; 要让右侧零点也小于 ,只需满足单调性即可,即 . 或者也可以理解为当满足判别式条件时,对称轴处取值一定是小于 0 的,令
就可以利用零点存在性定理找到右侧零点. 对于第二种情况同理.
为什么情况三只需要一个式子 就可以了呢 它为什么没有判别式条件
因为当一个开口向上的二次函数上有一点的纵坐标小于 0,就一定保证该二次函数与 轴有两个交点,开口向上的二次函数在左右的无限远处函数值一定是正的,所以使用两次零点存在性定理即可证明.
模型二 方程的根在区间内的分布问题(以 为例)
分布情况 两根都在 内 两根有且仅有一根在 内 一根在 内, 另一根在 , 内
大致图象
得出的结论
对于情形一，首先满足判别式 ，然后满足对称轴条件, 对称轴必须落在目标区间内, 这是为了给后续的单调性(或零点存在性)创造条件，然后令 和 处函数取值大于 0 即可, 思路同模型一的情形一.
对于情形二, 直接令区间端点的函数值符号相反即可, 自动满足判别式条件, 且可以直接使用零点存在性定理.
对于情形三, 两次零点存在性定理即可. 到这里就很好理解了, 自动满足判别式条件, 且可以使用零点存在性定理. 模型三 方程的根在区间外的分布问题
大致图象
得出的结论
【源于教材】
(人教 A 必修第一册第 58 页 T6) 当 取什么值时,一元二次不等式 对一切实数 都成立
触类旁通·套模型
模型运用
【例】已知方程 ,求在下列条件下 的取值范围.
(1)方程有两个正根；
(2)方程的两个根均小于 1 ;
(3)方程的一个根大于 1，一个根小于 1；
(4)方程的两个根均在 内;
(5)方程的根有且仅有一个在 内;
(6)方程的一个根在 内,另一个根在 内;
(7)方程的一个根小于 2，另一个根大于 4；
(8)方程有一个正根和一个负根，且正根的绝对值较大.
1)摸型分析 二次方程实根求参数在高考当中不会直接考查，可能会出现在含参二次函数求参、导数等问题中成为比较关键的一个步骤. 该模型理解难度不高, 熟悉二次函数的性质即可.
② 模型解答 (1) 由图 1 可知 .
图 1
(2)由图 2 可知 .
图 2
(3)由图 3 可知 .
图 3
(4) 由图 4 可知 .
图 4
第三章 函 数
图 5
(5)当 时， ，解得 或 ，
当 时, ,满足题意;
当 时, ,舍去.
当 时,
① 且 ，无解；
② 且 ，解得 ；
③ ，解得 .
综上, 的取值范围是 .
(6) 由图 6 可知 .
图 6
(7)由图 7 可知 .
图 7
(8)由图 8 可知 .
图 8
模型 25 三个二次关系的应用模型
习题册 P18
模型综述
三个“二次”关系指二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的互相转化关系，借助图象的几何意义将三者关联，是处理二次问题的核心思想，其“方程的解 函数的零点 不等式解集的端点”这一关系也是高中阶段大部分函数问题的常用解决思路，而一元二次不等式恒成立问题中的含参处理方法(分类讨论、分离参数)更是广泛使用，因此学好本节内目 录
第一章 集合与逻辑用语
模型 1 已知集合关系求参数模型 1
模型 2 德·摩根定律 2
模型 3 容斥原理模型 2
模型 4 小充大必要模型 3
第二章 不等式
模型 5 直接法求最值模型 4
模型 6 配凑法求最值模型 4
模型 7 整体换元法求最值模型 5
模型 8 消元法求最值模型 6
模型 9 乘 1 法模型 7
模型 10 连续使用基本不等式模型 8
模型 11 基本不等式链模型 8
模型 12 柯西不等式模型 9
模型 13 权方和不等式模型 9
第三章 函 数
模型 14 函数的理解及定义域与求值问题模型 10
模型 15 函数解析式求解模型 11
模型 16 分段函数模型 12
模型 17 脱“ ”解不等式模型 13
模型 18 对勾函数与飘带函数模型 14
模型 19 直接法模型 15
模型 20 数形结合法模型 15
模型 21 换元法模型 15
模型 22 分式类函数值域求解模型 15
模型 23 反表示法与判别式法模型 15
模型 24 二次方程实根分布模型 17
模型 25 三个二次关系的应用模型 18
模型 26 平移变换模型 19
模型 27 伸缩变换模型 19
模型 28 对称变换模型 19
模型 29 翻折变换模型 19
模型 30 单调性法和中间值法模型 21
模型 31 构造函数法模型 22
模型 32 数形结合法与特殊值法模型 23
模型 33 同构法模型 24
模型 34 放缩法模型 24
模型 35 函数图象与表达式的匹配模型 25
模型 36 函数三大性质解题模型 26
模型 37 函数不等式的恒成立(存在性)问题 27
模型 38 交点法处理零点问题 28
模型 39 复合函数零点问题 29
模型 40 根据零点求参数问题 30
模型 41 多零点求范围问题 31
模型 42 抽象函数模型 32
第四章 三角函数
模型 43 三角恒等变换公式基础模型 33
模型 44 齐次化切求值模型 34
模型 45 给角求值模型 35
模型 46 给值求值模型 35
模型 47 给值求角模型 35
模型 48 三角函数中的值域模型 37
模型 49 根据图象求三角函数解析式模型 38
模型 50 三角函数中的 求解模型 39
第五章 平面向量
模型 51 等和线模型 40
模型 52 重心模型 41
模型 53 内心模型 41
模型 54 垂心模型 41
模型 55 外心模型 41
模型 56 奔驰定理模型 42
模型 57 极化恒等式模型 43
模型 58 向量中的建系模型 44
模型 59 数量积的最值模型 45
第六章 解三角形
模型 60 解三角形的基本模型 46
模型 61 三角形形状判断模型 47
模型 62 三角形边角互化模型 48
模型 63 角平分线模型 49
模型 64 中线模型 50
模型 65 三角形中的两圆模型 51
模型 66 面积定值问题 52
模型 67 面积范围问题 53
模型 68 周长定值问题 54
模型 69 周长范围问题 55
模型 70 解三角形中的其他范围问题 56
第七章 数系的扩充与复数
模型 71 复数模的几何意义模型 57
模型 72 复数的旋转模型 58
第八章 立体几何
模型 73 立方体外接球模型 59
模型 74 柱体、锥体和台体的外接球模型 59
模型 75 二面角外接球模型 59
模型 76 坐标法模型 59
模型 77 内切球模型 60
模型 78 求几何体的表面积、体积模型 61
模型 79 立体几何交线与截面模型 62
第九章 统计与概率
模型 80 分层随机抽样计算模型 63
模型 81 频率分布直方图的应用模型 64
模型 82 随机事件基础概念模型 66
第十章 空间向量
模型 83 巧解平面法向量模型 67
模型 84 空间几何量的计算模型 68
模型 85 立体几何动点模型 70
模型 86 立体几何翻折模型 71
模型 87 立体几何中的探索性问题 72
第十一章 直线与圆
模型 88 直线的四大对称模型 73
模型 89 直线系方程 74
模型 90 含参直线过定点模型 74
模型 91 圆的切线模型 75
模型 92 圆的最值模型 76
模型 93 隐圆模型 77
第十二章 圆锥曲线
模型 94 圆锥曲线求轨迹模型 78
模型 95 利用圆锥曲线定义求最值模型 79
模型 96 第三定义模型 80
模型 97 点差法模型 81
模型 98 离心率的求解模型 82
模型 99 圆锥曲线基础 —— 直曲联立硬解定理 83
模型 100 圆锥曲线中的面积计算模型 84
模型 101 非对称韦达定理模型 85
模型 102 圆锥曲线的定点定值定直线模型 86
模型 103 焦点三角形两类模型 88
模型 104 抛物线中的“焦准直梯”模型 89
模型 105 圆锥曲线切线模型 90
模型 106 阿基米德三角形模型 91
模型 107 先猜后证模型 92
模型 108 设点不设线模型 93
模型 109 极点极线模型 94
第十三章 数 列
模型 110 由 和 关系求通项 95
模型 111 一阶线性递推模型 95
模型 112 同型构造模型 96
模型 113 取倒数法 97
模型 114 取对数法 97
模型 115 不动点法 98
模型 116 二阶递推型特征根法 98
模型 117 周期数列问题 99
模型 118 数列裂项模型 100
模型 119 公式法 101
模型 120 一次倍差法 101
模型 121 二次倍差法 101
模型 122 倒序相加法 102
模型 123 分组求和与并项求和法 102
模型 124 裂项放缩模型 103
模型 125 等比放缩模型 103
模型 126 函数型放缩模型 103
第十四章 导 数
模型 127 直接求切线模型 105
模型 128 切线的条数问题 105
模型 129 公切线模型 106
模型 130 与切线有关的距离最值模型 106
模型 131 导数基础——函数单调性的分析 107
模型 132 含参不等式三类处理模型 108
模型 133 洛必达法则模型 109
模型 134 隐零点问题 110
模型 135 端点效应模型 111
模型 136 必要性探路模型 111
模型 137 对称构造法 112
模型 138 比值代换法 112
模型 139 对数均值不等式法 113
模型 140 韦达定理代换法 114
模型 141 差值代换法 114
模型 142 同构法 114
模型 143 构造函数模型大全 115
模型 144 变更主元法 116
模型 145 降低求导次数模型 117
模型 146 指对同构模型 118
模型 147 切线放缩模型 119
模型 148 三角函数与导数模型 120
第十五章 计数原理
模型 149 特殊优先十正难则反模型 121
模型 150 分组分配模型 122
模型 151 隔板法模型 122
模型 152 定序模型 121
模型 153 染色模型 123
模型 154 信封错装模型 124
模型 155 多面手模型 124
模型 156 系数最值模型 125
模型 157 二项展开求系数和模型 126
模型 158 复杂二项展开模型 126
模型 159 二项式中的整除和求余数模型 127
第十六章 随机变量与概率统计
模型 160 条件概率、全概率公式与贝叶斯定理模型 128
模型 161 超几何分布模型 130
模型 162 几何分布模型 131
模型 163 二项分布模型 132
模型 164 正态分布模型 133
模型 165 线性回归模型 134
模型 166 独立性检验模型 135
模型 167 概率最值模型 137
模型 168 枚举问题 138
模型 169 马尔科夫链模型 139
模型 170 概率递推模型 140
第一章 集合与逻辑用语
模型 1 已知集合关系求参数模型
讲义见讲义册
答案见解析册
一、单选题
1. 已知集合 ，且 ，则 的可能取值有 ( )
A. 1 B. -1 C. 1 或 3 D. -1 或 2
2. 已知集合 ,若 ,则实数 ( )
A. -1 或 2 B. 1 C. D. 2
3. 已知集合 ，且 ，则 的值为 ( )
A. 0 B. -2 或 2
C. -2 或 1 或 2 D. -2 或 0 或 1 或 2
4. 若集合 22),则能使 成立的所有 的集合是( )
A. B.
C. D.
5. 集合 , ,又 ,则 ( )
A.
B.
C.
D. 任一个
二、多选题
6. 全集 ，集合 ，若 ，则 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知集合 , 若集合 满足 且 ,则下列说法正确的是 ( )
A. B.
C. 集合 的个数为 6 D. 集合 的个数为 5
三、填空题
8. 已知集合 ,且 , 则实数 的取值范围是_____.
9. 已知集合 , 若 ，则 的取值范围是_____.
10. 当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时, 称这两个集合构成 “全食”; 当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时, 称这两个集合成 “偏食”. 对于集合 , 若 与 构成“全食”或“偏食”,则实数 的所有取值组成的集合为_____.
模型 2 德·摩根定律模型 3 容斥原理模型讲义见讲义册
答案见解析册
一、单选题
1. 设集合 ,则 ( )
A. 或 B.
C. 或 D.
2. 某校高三(1)班有 50 名学生，春季运动会上，有 15 名学生参加了田赛项目，有 20 名学生参加了径赛项目， 已知田赛和径赛都参加的有 8 名同学, 则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 ( )
A. 27 B. 23 C. 15 D. 7
3. 已知集合 中含有 6 个元素,全集 中共有 12 个元素, 中有 个元素,已知 8,则集合 中元素个数可能为 ( )
A. 2 B. 5 C. 8 D. 12
4. 移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”, 某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了 100 位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共 90 位, 使用过移动支付的学生共有 80 位, 使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有 60 位, 则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ( )
A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8
5. 设 是全集 的三个非空子集,且 ,则下面论断正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题
6. 某社区老年大学秋季班开课, 开设课程有舞蹈、太极、 声乐. 已知秋季班课程共有 90 人报名，其中有 45 人报名舞蹈，有 26 人报名太极，有 33 人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声乐的有 8 人，同时报名声乐和报名太极的有 5 人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论正确的是 ( )
A. 同时报名舞蹈和报名太极的有 3 人
B. 只报名舞蹈的有 36 人
C. 只报名声乐的有 20 人
D. 报名两门课程的有 14 人
7. 下列命题之中, 为全集时,下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则 或
C. 若 ,则
D. 若 ,则
三、填空题
8. 已知函数 的自变量取值范围为集合 ,函数 的自变量取值范围为集合 , 设全集 ，则 _____.
9. 对班级 40 名学生调查对 两事件的态度,有如下结果:赞成 的人数是全体的五分之三,其余的不赞成，赞成 的比赞成 的多 3 人，其余的不赞成，另外,对 都不赞成的学生数比对 都赞成的学生数的三分之一多 1 人，问对 都赞成的学生有_____人.
10. 已知全集 ，集合 ， 满足 ，则 _____， _____.
模型 4 小充大必要模型
讲义见讲义册P8
答案见解析册 P2
一、单选题
1. “ ” 的一个必要不充分条件是 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知 ,若 是 的充分条件,则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3. 命题“ ”为假命题的一个充分不必要条件是 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 使得不等式 “ ” 成立的一个必要不充分条件是 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 已知 是实数集,集合 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 是 的充分不必要条件
B. 是 的必要不充分条件
C. 是 的充分不必要条件
D. 是 的必要不充分条件
7. 命题“存在 ，使得 ”为真命题的一个充分不必要条件是 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题
8. 已知 . 若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是_____.
9. 已知 ,若 是 的必要不充分条件, 则实数 的取值范围是_____；若 是 的必要条件，则实数 的取值范围是_____.
10. 若“ -1第二章 不等式
模型 5 直接法求最值模型 模型 6 配凑法求最值模型
讲义见讲义册P11
答案见解析册 P3
一、单选题
1. 函数 的最小值为 ( )
A. B. 3 C. D.
2. 已知 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
3. 已知正实数 满足 ,则 的最大值为 ( )
A. 1 B. C. D. 3
4. 设实数 满足 ,函数 的最小值为 ( )
A. B.
C. D. 6
5. 函数 在 上的最大值为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
6. 下列结论正确的是 ( )
A. 当 时,
B. 当 时,
C. 的最小值为 2
D. 的最小值为 2
7. 下列几个不等式中,能取到等号的是 ( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
8. 设 ，若 ，则 的最大值为_____.
9. 若 则 的最小值为_____.
10. 已知正实数 满足 ,则 的最小值为_____.
模型 7 整体换元法求最值模型
讲义见讲义册P14
答案见解析册 P4
一、单选题
1. 已知 ,且 的最小值为 9,则 的值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 已知 ,且 ,则 的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
3. 设实数 满足 ,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D. 1
4. 若 ,则 的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知正数 满足 ，则 的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 已知 为正实数， ，则下列说法正确的是 ( )
A.
B. 的最小值为 -1
C. 的最小值为 12
D. 的最小值为
7. 已知正数 满足 ，则 的取值可以为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、填空题
8. 已知 ，则 的最小值为_____.
9. 若正实数 满足 ，则 的最小值是_____.
10. 已知 ，则 的最小值为_____.
模型 8 消元法求最值模型
讲义见讲义册 P16
答案见解析册 P6
一、单选题
1. 已知 ,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
2. 已知 ,则 的最小值为 ( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
3. 已知正数 满足 ,则 的最小值为 ( )
A. 4 B. 6 C. D. 8
4. 已知正实数 满足 ,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
5. 设正实数 满足 ,则当 取得最大值时, 的最大值为 ( )
A. 0 B. 3 C. D. 1
二、多选题
6. 已知正实数 满足 ,则 的取值可以为 ( )
A. B. 3 C. D. 6
7. 已知正实数 满足 ,则 的可能取值为 ( )
A. 2 B. C. D. 4
三、填空题
8. 若实数 满足 ，则 1) 的最小值为_____.
9. 已知 ,且 ,则 的最小值为_____.
10. 已知 ,则 的最小值为_____.
模型 9 乘 1 法模型
讲义见讲义册P17
答案见解析册 P7
一、单选题
,且 ,则 的最小值为 ( ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2. 已知正数 满足 ,则 的最小值为 ( )
A. 36 B. 24 C. 18 D. 12
3. 已知 ,则 的最小值为 ( )
A. 4
B.
C. D.
4. 已知 ,则 的最大值为( )
A. -15 B. 15 C. -24 D. -25
5. 已知 为正实数， ，则 的最小值为 ( )
A. B. C. 2 D.
二、多选题
6. 已知两个正实数 满足 ,则下列不等式一定成立的有 ( )
A. 的最小值是 8
B. 的最大值是 8
C. 的最小值是
D. 的最大值是
7. 已知正数 满足 ,若不等式 恒成立,则实数 的取值可以是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、填空题
8. 已知 ,且 ,则 的最小值为_____.
9. 已知 ,则函数 的最小值为_____.
10. 已知 ,且 ,则 的最小值为_____.
模型 10 连续使用基本不等式模型 模型 11 基本不等式链模型
讲义见讲义册P19
答案见解析册 P9
一、单选题
1. 已知 ,则 的最小值为 ( )
A. B. C. 4 D. 2
2. 设正实数 满足 ,则实数 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
3. 已知 ,且 ,则 的最小值为 ( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
4. 已知 ,且 ,则 的最小值为 ( )
A. 1 B. C. D. 2
5. 设 ,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
6. 设 为正数,且 ,则 的取值可以为 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7. 已知正实数 满足 ,若 的最小值为 4,则实数 的取值可以是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三、填空题
8. 已知 ,则 的最小值为_____.
9. 已知 ,且 ,则 的最小值为_____.
10. 已知 ,且 ,则 的最小值是_____.
模型 12 柯西不等式模型 模型 13 权方和不等式模型
讲义见讲义册P22
3 答案见解析册 P10
一、单选题
1. 已知 ,且 ,则 的最小值为 ( )
A. 1 B. C. 9 D.
2. 已知 且 ,则 的最小值是 ( )
A. 1 B. C. D. 2
3. 若 ,则 的最小值为 ( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
4. 已知实数 满足 ,则 的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
5. 函数 取得最大值时 的值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题
6. 根据权方和不等式,可知函数 的值可以为 ( )
A. 16 B. 25 C. 36 D. 49
7. 已知 ,且 ,则 的取值可以为 ( )
A. 3 B. C. 9 D. 18
三、填空题
8. 已知 为正实数，且 ，由柯西不等式可求 的最小值为_____.
9. 已知正数 满足 ,则 的最小值为_____.
10. 已知 ,满足 ,则 的最大值为_____.
第三章 函 数
模型 14 函数的理解及定义域与求值问题模型
答案见解析册 P11
一、单选题
1. 函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
2. 函数 的定义域为 ( )
A. B.
C. D.
3. 已知函数 的定义域是 ,则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为 ( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
6. 已知函数 的定义域为 ,则 ( )
A. B.
C. 可以为所有实数 D. 均为非负数
7. 已知函数 的定义域为 ,则实数 的取值可以为 ( )
A. 0 B. C. 2 D. 3
三、填空题
8. 函数 的定义域为_____.
9. 将长度为 2 的一根铁丝折成长为 的矩形,矩形的面积 关于 的函数关系式是 ,则函数的定义域为_____.
10. 函数 的定义域为 ,则实数 的取值范围是_____.
模型 15 函数解析式求解模型
一、单选题
1. 已知函数 ,若 ,则函数 的解析式为 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知 ,则 ( )
A. 5 B. 11 C. 18 D. 21
3. 若二次函数 满足 ,且 , 则 的表达式为 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知函数 ,则 的解析式为 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数 的定义域为 ,且满足 ,则 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 设函数 为一次函数，满足 ,则 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数 的定义域为 ，且 则下列说法正确的是 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题
8. 若函数 ,且 ,则实数 的值为_____.
9. 设定义在 上的函数 满足 . ,则 _____.
10. 已知定义在 上的函数 满足: 对于任意的实数 ,都有 ,且 ，则函数 的解析式为_____.
模型 16 分段函数模型
一、单选题
1. 已知 则 ( )
A. B. 0 C. D.
2. 已知 若 ,则实数 的值为 ( )
A. 1 B. 4 C. 1 或 4 D. 2
3. 已知 则不等式 的解集是 ( )
A. B.
C. D.
4. 若 且 ,已知 是 上的单调函数，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数 的值域为 ,则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 已知函数 若 ,则 的取值 ( )
A. 可能为正 B. 可能为负
C. 可能为零 D. 不可能为零
7. 已知函数 是定义在 上偶函数,当 时, 若函数 仅有 4 个零点,则实数 的取值可以是 ( )
A. 1.1 B. 1.2 C. D.
三、填空题
8. 设函数 若 ,则 的取值范围是_____.
9. 设函数 若 ，则实数 的取值范围是_____.
10. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ,当 时, 设 ,则 _____.
模型 17 脱“f”解不等式模型
一、单选题
1. 已知 为 上的增函数,则满足 的实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知函数 若 3),则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3. 已知奇函数 在 上单调递增,若 ,则满足 的 取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
4. 定义在 上的函数 满足 ,对任意的实数 且 ,则不等式 的解集为 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数 是定义在 上的偶函数, ,当 时, . ,则不等式 的解集是 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 已知偶函数 ,有 时, 成立,则 对任意的 恒成立的一个必要不充分条件是 ( )
A. B.
C. D.
7. 设函数 ,其中 表示 中的最小者,下列说法正确的有 ( )
A. 函数 为偶函数
B. 不等式 的解集为
C. 当 时,
D. 当 时,
三、填空题
8. 已知函数 是定义在 上的增函数,且 ，则实数 的取值范围是_____.
9. 已知函数 是定义在 上的奇函数, , 且对任意的 都有 ,则 的解集为_____.
10. 已知函数 ,且 2,则实数 的取值范围为_____.
模型 18 对勾函数与瓢带函数模型
一、单选题
1. 若 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 的最小值为 4
B. 在 上单调递减，在 上单调递增
C. 的最大值为 4
D. 在 上单调递增，在 上单调递减
2. 函数 的最小值为 ( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
3. 函数 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
4. 函数 在 内恒成立,则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
D. D.
5. 已知 ,则 的最小值为 ( )
A. B. C. 3 D. 5
二、多选题
6. 当 时,下列函数的最小值为 4 的有
A. B.
C. D.
7. 已知函数 在 上的最大值比最小值大 1,则 的值可以是 ( )
A. 4 B. 12
C. D.
三、填空题
8. 函数 ,若 ,则 的值域为_____.
9. 已知函数 的最小值为 5,则
10. 已知函数 ,若存在 ,则正整数 的最大值为_____.
模型 19 直接法模型模型 20 数形结合法模型模型 21 换元法模型
模型 22 分式类函数值域求解模型
模型 23 反表示法与判别式法模型
答案见解析册 P16
一、单选题
1. 函数 在区间 上的值域为 ( )
A.
B.
C.
D.
2. 已知函数 ,则 的值域是 ( )
A. B.
C. D.
3. 函数 的值域为 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知正实数 满足 ,则 的最大值是 ( )
A. 24 B. 12
C. D.
5. 函数 的值域为 ( )
A. B.
C. D.
6. 已知函数 的值域为 , 则实数 的值为 ( )
A. 12 B. 13
C. 14 D. 15
7. 已知函数 的值域为 ,则函数 的值域为 ( )
A. B.
C. D.
8. 给定函数 R,用 表示 中的较大者,记为 ,例如当 时, ,则 的最小值为 ( )
A. -2 B. 0
C. 1 D. 4
二、多选题
9. 对于函数 ,下列说法正确的是 ( )
A. 最大值为 B. 最小值为
C. 最大值为 D. 最小值为
10. 用 表示不超过 的最大整数,则 称为高斯函数. 例如: ,已知函数 ,则函数 的值域包含的元素可能有 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11. 下列命题中正确的是 ( )
A. 函数 的值域为
B. 函数 的值域为
C. 函数 的值域为
D. 函数 的值域为
三、填空题
12. 函数 的值域为_____.
13. 已知函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，例 . 则函数 的值域是_____.
14. 当 时, 的值域为_____.
模型 24 二次方程实根分布模型
一、单选题
1. “ ” 是 “关于 的方程 有两个不等实根”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知一元二次方程 的两根都在 内,则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3. 关于 的方程 有两个不相等的实数根 且 ,那么 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知关于 的方程 在区间 内有实根，则实数 的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知 ,关于 的方程 有两个不相等的实根,且均大于 -1 小于 0,则 的最小值为 ( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
二、多选题
6. 已知关于 的方程 ，则( )
A. 当 时，方程有两个不相等的实数根
B. 方程无实数根的一个充分条件是
C. 方程有两个不相等的负根的充要条件是
D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是
7. 关于 的方程 恰有一根在区间 内,则实数 的取值可以是 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题
8. 已知关于 的方程 的两个实数根同号，则实数 的取值范围为_____.
9. 方程 的两实根都大于 1,则实数 的取值范围为_____.
10. 已知关于 的方程 的两根分别在区间 内,则实数 的取值范围为_____.
模型 25 三个二次关系的应用模型
讲义见讲义册P51
答案见解析册 P19
一、单选题
1. 不等式 的解集为 ( )
A. B.
C. D. 或
2. 设关于 的不等式 的解集为 ,则 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 不等式 的解集为 , 3],则 ( )
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
4. 已知关于 的方程为 的两个实数根一个小于 1,另一个大于 1,则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D. 或
5. 若 ,且 恒成立，则 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 二次函数 的图象为下图,则下面结论中正确的是 ( )
A.
B.
C.
D. 当 时, 或
7. 若关于 的一元二次方程 有实数根 ,且 ,则下列结论中正确的说法是 ( )
A.
B. 当 时， ，
C. 当 时，
D. 当 时，
三、填空题
8. 若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是_____.
9. 已知定义在 上的运算“ ”: ,关于 的不等式 . 若 ,则不等式的解集为_____；若 不等式恒成立，则实数 的取值范围是_____.
10. 关于 的不等式 的解集中恰有 3 个正整数解，则 的取值范围为_____.
模型 26 平移变换模型
模型 27 伸缩变换模型
模型 28 对称变换模型
模型 29 翻折变换模型
一、单选题
1. 要得到函数 的图象,只需将指数函数 的图象 ( )
A. 向左平移 1 个单位长度
B. 向右平移 1 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度
D. 向左平移 个单位长度
2. 为得到函数 的图象,只需将函数 的图象 ( )
A. 向左平移 个单位长度
B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度
D. 向右平移 个单位长度
3. 已知函数 ,则函数 的图象大致是 ( )
A
B
C
D
4. 已知定义在区间 上的函数 的图象如图所示,则 的图象为 ( )
A
B
C
D
5. 下列函数中,其图象与函数 的图象关于直线 对称的是 ( )
A. B.
C. D.
6. 已知图 1 对应的函数为 ,则图 2 对应的函数是 ( )
图 1
图 2
A. B.
C. D.
7. 已知函数 (其中 为自然对数的底数),则函数 的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
8. 函数 的图象如图所示,则下列结论成立的是 ( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题
9. 将函数 的图象沿 轴向左平移 1 个单位长度, 得到奇函数 的图象,则 不可能是下列函数中的 ( )
A. B.
C. D.
10. 函数 的图象如图 1 所示,则如图 2 所示的函数图象所对应的函数解析式不可能是 ( )
图 1
图 2
A. B.
C. D.
11. 对于函数 ,下列说法正确的是 ( )
A. 是偶函数
B. 是奇函数
C. 在区间 上单调递减，在区间 , 上单调递增
D. 没有最小值
三、填空题
12. 将函数 的图象向下平移 1 个单位长度,再向右平移 1 个单位长度,得到函数 的图象，则 _____.
13. 设函数 是偶函数，则函数 图象的对称轴的是_____.
14. 已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点,则 的取值范围是_____.
模型 30 单调性法和中间值法模型
一、单选题
1. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2. 若 ,则 ( )
A. B.
C. D.
3.(2021新高考 II 卷)已知 ，则下列判断正确的是 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知函数 的图象关于直线 对称,当 , 且 时, 恒成立,设 ,则 的大小关系为 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知 则 的大小关系为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 若 ,则下列说法中正确的是 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知 ,有以下命题正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
8. 已知 ,则三者大小关系为_____(按从小到大顺序).
9. 设 ,则 三者大小关系为_____(按从小到大顺序).
10. 若 ,则 的大小关系为_____(按从小到大顺序).
模型 31 构造函数法模型
一、单选题
1. 设 ,则 的大小关系是 ( )
A. B.
C. D.
2. 若 ,则下列不等式一定成立的是 ( )
A. B.
C. D.
3. 若 ,则 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知 ,则 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知 ,则 的大小关系为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 已知 ,则 ( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知正实数 满足 , 则 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题
8. 设 ,若 ,则 _____ (填“>”或“<”).
9. 设 ,则 的大小关系为_____.
10. 若 ,则 , 的大小关系为_____.
模型 32 数形结合法与特殊值法模型
讲义见讲义册P64
答案见解析册 P23
一、单选题
1. 设 ,则 ( )
A. B.
C. D.
2. 设 ,则 ( )
A. B.
C. D.
3. 已知 ,则 , 的大小关系是 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知 均为大于 0 的实数,且 ,则 大小关系正确的是 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知 ,若 ,则 的大小关系不可能是 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 设 ,且 ,则下列关系式中一定不成立的是 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知 ,则下列不等式可能成立的为 ( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
8. 已知 ,则 的大小大系是_____.
9. 设 均为正数,且 , ,则 的大小关系是_____.
10. 已知实数 满足 . 则下列关系式中可能成立的是_____(填序号).
① ② ③
④ ⑤
模型 33 同构法模型讲义见讲义册P66
模型 34 放缩法模型答案见解析册P25
一、单选题
1. 设 ,则 ( )
A. B.
C. D.
2. 设 ,则 ( )
A. B.
C. D.
3. 已知 ,则 的大小为 ( )
A. B.
C. D.
4.(2022 新高考I卷)设 ，则 ( )
A. B.
C. D.
5. 设 ,则 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 已知 ,且 ,则 ( )
A. B.
C. D.
7. 以下数量关系比较的命题中,正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
8. 已知 (其中 是自然对数的底数),则 的大小关系为_____.
9. 已知 ,则 的大小关系为_____.
10.(2022全国甲卷)已知 ， 则 的大小关系为_____.
模型 35 函数图象与表达式的匹配模型
讲义见讲义册P70
答案见解析册 P27
一、单选题
1. 已知函数 ,则 的大致图象为 ( )
A.
B.
C.
D.
2. 函数 的图象大致为 ( )
A.
B.
C.
D.
3. 函数 的图象大致为( )
A.
4. 若函数 与函数 的图象关于直线 对称,则 的大致图象是 ( )
A.
B.
C.
D.
5. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意. 一心形作为建筑立面造型, 呈现出优雅的弧度, 心形木屋融入山川、河流、森林、草原，营造出一个精神和自然聚合的空间. 图 2 是由此抽象出来的一个“心形”, 这个图形可看作由两个函数的图象构成，则 “心形”在 轴上方的图象对应的函数解析式可能为 ( )
图 1
图 2
A. B.
C.
D.
二、多选题
6. 已知函数 是奇函数或偶函数, 则 的图象可能是 ( )
A
B
C
D
7. 已知函数 的图象如图所示,则 一定不是 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题
8. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图象,则该函数可能是_____(填序号).
① ②
③ ④
9. 若函数 的图象如图所示，则 _____0.(填 ">"或“<”)
10. 若函数 的部分图象如图所示, 则
模型 36 函数三大性质解题模型
一、单选题
1. 偶函数 在区间 上单调递减，则有 ( )
A.
B.
C.
D.
2. 设 是周期为 2 的奇函数,当 时, ,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
3. 设 为奇函数，且在 上是减函数， ， 则 的解集为 ( )
A.
B.
C.
D.
4. 定义在 上的奇函数 满足 ,当 时， ，则 ( )
A. -2 B. 2 C. -3 D. 3
5. 已知 是定义在 上的偶函数,且对任意 , ,当 时,都有 ,若对任意实数 ,都有 恒成立, 则实数 的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题
6. 已知函数 的定义域为 是奇函数, ,函数 在 上单调递增, 则下列命题为真命题的是 ( )
A.
B. 函数 在 上单调递减
C. 若 ,则
D. 若 ,则
7. 若函数 在 上满足: 对任意的 ,当 时,恒有 , 则称函数 为 “理想函数”. 下列函数能被称为 “理想函数”的有 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题
8. 函数 满足 ,且 ,则
9. 已知定义在 上的函数 满足: 关于 (1, 0) 中心对称, 是偶函数,且 ,则 的值为_____.
10. 已知函数 对一切实数 都有 ,且当 时, ,又 -2，则 在 上的最小值为_____.
模型 37 函数不等式的恒成立(存在性)问题
讲义见讲义册 P77
答案见解析册 P29
一、单选题
1. 已知当 时,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
2. 若命题“ ”为真命题， 则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. 或 D. 或
3. 已知函数 ，若对于 都有 成立，则实数 的取值范围是( )
A.
B.
C. D.
4. 函数 ,不等式 在 上恒成立,则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知 ,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 若 对任意 恒成立, 其中 是整数，则 的可能取值为( )
A. -7 B. -5 C. -6 D. -17
7. 已知函数 ，则下列结论正确的是( )
A. 恒成立，则 的取值范围是
B. ,则 的取值范围是
C. ,则 的取值范围是
D.
三、填空题
8. 关于 的不等式 在 上有解,则实数 的取值范围是_____.
9. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_____.
10. 已知函数 , . 对 ,都 ,使得 成立，则 的取值范围是_____.
模型 38 交点法处理零点问题
一、单选题
1. 函数 的零点的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知函数 的零点分别为 ,则 的大小顺序为 ( )
A. B.
C. D.
3. 若关于 的方程 恰有三个不同实数解,则实数 的值为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
4.(2024新课标I卷)当 时，曲线 与 的交点个数为 ( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
5. 已知函数 记函数 (其中 ) 的 4 个零点分别为 , ,且 ,则 的值为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
二、多选题
6. 已知: 的零点 ,那么 , 大小关系不可能是 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数 , 若函数 有三个零点，则 的取值可以是( )
A. 0 B C. D. 1
三、填空题
8. 已知函数 . 若方程 有两个不相等的实根,则实数 的取值范围是_____.
9. 设函数 在 上恰有两个零点 ,则 _____.
10. 设方程 的解为 ,方程 的解为 ,则
模型 39 复合函数零点问题
一、单选题
1. 已知函数 则方程 的实数解的个数是 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2. 已知 则函数 2 的零点个数是 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 已知函数 关于 的方程 有 8 个不相等的实数根,则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
4. 设函数 则函数 的零点个数为 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 设 ,函数 若函数 恰有三个零点,则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 若关于 的方程 在 上有实数根,则实数 的取值可以是 ( )
A. 0 B. -9 C. -10 D. -11
7. 已知函数 则方程 2 的根可以为 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题
8. 定义域和值域均为 (常数 ) 的函数 和 图象如图所示,则方程 有_____个解.
9. 已知函数 则函数 的零点个数为_____.
10. 设函数 若关于 的方程 有 5 个不相等的实数根，则实数 的取值范围是_____.
模型 40 根据零点求参数问题
一、单选题
1. 函数 有两个零点，且一个零点小于 1,另一个零点大于 2,则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
2. 函数 的零点在区间 内,则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
3. 若函数 在区间 内恰有一个零点,则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知 ,若关于 的方程 有且仅有两个不同的整数解,则实数 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数 若关于 的方程 有 2 个不同的实根 ,且 , 则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 若函数 在 上有两个不同的零点,则下列说法错误的是 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数 有两个大于 1 的零点 ,则 可以取到的值是 ( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
三、填空题
8. 已知函数 的零点为 . 若 ，则 的值是_____.
9. 已知函数 在 上没有零点,则实数 的取值范围是_____.
10. 已知函数 若函数 有 个零点,函数 有 个零点,且 ,则非零实数 的取值范围是_____.
模型 41 多零点求范围问题
一、单选题
1. 已知定义在 上的函数 满足 , 当 时, ,函数 若函数 在区间 上恰有 8 个零点,则 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
2. 已知函数 若 ,且 ,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
3. 已知函数 若存在不相等的实数 满足 , 则 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知函数 若方程 有四个不同的根 ,则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 若 存在四个不相等的实根 ,且 , 则 的最小值是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
6. 已知函数 若函数 有三个零点 ,且 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 的取值范围为
B. 的取值范围为
C.
D. 最大值为 1
7. 已知 若存在 , 使得 ,则下列结论错误的有 ( )
A. 实数 的取值范围为
B.
C.
D. 的最大值为 1
三、填空题
8. 设函数 若互不相等的实数 满足 ,则 的取值范围是_____.
9. 已知函数 方程 有四个不同解 ,则实数 的取值范围是_____； 的取值范围是_____.
10. 已知函数 若方程 有四个不同的解 ,且 , 则 的取值范围是_____.
模型 42 抽象函数模型
一、单选题
1. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ( )
A. B.
C. D.
2. 设函数 的定义域是 ,且对任意正实数 ,都有 恒成立,已知 1,则 ( )
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
3. 已知函数 的定义域是 ,值域为 ,则下列函数的值域也为 的是 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知函数 的定义域为 ,且 ,则 ( )
A. -4 B. -3 C. -1 D. 0
5. 若定义在 上的函数 满足 , 是奇函数, ,设函数 ,则 ( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、多选题
6. 已知函数 的定义域为 ，且 ,则 ( )
A.
B.
C. 是奇函数
D. 是偶函数
7. 已知函数 的定义域均为 ,且 . 若 的图象关于直线 对称,且 ,则 ( )
A.
B. 的图象关于点 对称
C. 是周期函数，且最小正周期为 8
D.
三、填空题
8. 已知函数 满足 对 ， 恒成立，且 ，则 _____.
9. 已知函数 的定义域为 为奇函数， 为偶函数，且 ，则 _____.
10. 已知函数 满足: 对一切实数 ,均有 成立，且 . 则函数 的表达式为_____.
第四章 三角函数
模型 43 三角恒等变换公式基础模型
一、单选题
1. 已知 且 ，则 ()
A. B. C. D. 3
2. 若 为锐角, ,则 ( )
A. B.
C. D.
3. 已知 为锐角,若 ,则 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知 ，且 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
5. 已知 为锐角, ,则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
6. 已知 ，下列选项正确的有 ( )
A. B.
C. D.
7. 若 . ,则下列结论正确的有 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题
8. 已知 ,则 _____.
9. 已知 ,则 _____.
10. 已知 为第一象限角， 为第三象限角， 4, ,则 _____.
模型 44 齐次化切求值模型
一、单选题
1. 已知 ,则 ( )
A. B.
C. D.
2. " "是 " "的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 已知 ,则 ( )
A. B. C. 2 D. 4
4. 若 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
5. 已知 ,则 ( )
A. B. C. 3 D.
二、多选题
6. 已知 ,则下列结论正确的是 ( )
A.
B.
C. D.
7. 下列计算正确的是 ( )
A. 若 ,则
B. 已知 ,则
C. 若 ,则
D. 已知 ,则
三、填空题
8. 已知 ,则 _____.
9. 已知 , 则 _____.
10. 设 均为非零实数,且满足 ,则 _____.
模型 45 给角求值模型
模型 46 给值求值模型
模型 47 给值求角模型
一、单选题
1. 设 ,则 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知 ,则 ( )
A. B.
C. D.
3.(2025 全国Ⅱ卷)已知 ， ，则 ( )
A. B.
C. D.
4. 化简 ( )
A. 1 B.
C. 2
D.
5. 若 ,且 , 则下列结论正确的是 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 下列计算或化简,结果正确的是 ( )
A.
B.
C. 若 ,则
D. 若 ,则
7. 已知 ,其中 为锐角, 以下判断正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
8. 已知 ,则 _____.
9. 已知角 的终边关于直线 对称,且 ,则 的一组取值可以是 _____, _____.
10. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作, 也为地图学提供了数学基础. 现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点 是球体建筑物与水平地面的接触点 (切点),地面上 , 两点与点 在同一条直线上,且在点 的同侧. 若在 处分别测得球体建筑物的最大仰角为 和 ,且 ,则该球体建筑物的高度约为 m. (参考数据:cos 10°≈0.985，精确到小数点后两位)
模型 48 三角函数中的值域模型
一、单选题
1. 函数 在区间 上的最小值为 ( )
A. 0 B.
C. 1 D.
2. 函数 的值域为 ( )
A. B.
C. D.
3. 已知函数 ,则 ( )
A. 的最大值为 3，最小值为 1
B. 的最大值为 3，最小值为 -1
C. 的最大值为 ，最小值为
D. 的最大值为 ，最小值为
4. 当 时，函数 的最小值是 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
5. 函数 的值域是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 已知函数 的定义域为 , ,值域为 ,则 的取值可以是 ( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 则下列说法正确的是 ( )
A. 函数 不是周期函数
B. 函数 的最小值为
C. 函数 的最大值为 1
D. 函数 图象的对称轴方程为
三、填空题
8. 函数 的值域为_____.
9. 已知关于 的方程 在 内有解，那么实数 的取值范围是_____.
10. 若不等式 在 恒成立，则 的取值范围是_____.
模型 49 根据图象求三角函数解析式模型
一、单选题
1. 函数 的图象如图所示, 则 ( )
A. B. C. D.
1 题图
2 题图
2. 已知函数 的部分图象如图,则 ( )
A.
B.
C.
D.
3. 已知函数 (其中 , ) 的部分图象如图所示. 将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 6 倍后,再向左平移 个单位长度,得到函数 的图象,则函数 的解析式为 ( )
A. B.
C. D.
3 题图
4 题图
4. 已知函数 的部分图象如图所示, ,则 ( )
A. 0 B. -1
C. D.
5. 函数 ) 的部分图象如图所示，其中 ， 两点为图象与 轴的交点， 为图象的最高点，且 是等腰直角三角形，若 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 如图，函数 的部分图象与坐标轴分别交于点 ，且 的面积为 ,则 ( )
A. 点 的纵坐标为 1
B. 在 上单调递增
C. 点 是 图象的一个对称中心
D. 的图象可由 的图象上各点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变),再将图象向左平移 个单位得到
7. 函数 的部分图象如图所示，图象与 轴的交点为 ,与 轴的交点为 ,最高点 ,且满足 . 则下列说法错误的是
( )
A.
B. 函数 在 上单调递减
C. 若 ,则 的最小值是 1
D. 把 的图象向左平移 1 个单位长度，得到 的图象
三、填空题
8. 函数 的部分图象如图所示，则 _____.
8 题图
9 题图
9. 已知函数 的部分图象如图所示，若将函数 的图象向右平移 个单位后所得曲线关于 轴对称，则 的最小值为_____.
模型 50 三角函数中的 ， 求解模型
一、单选题
1. 若函数 在区间 上单调递增,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
2. 设函数 在 上有且只有 4 个零点,则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3. 若存在唯一的实数 ,使得曲线 关于直线 对称,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D.
4. 将函数 图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数 的图象,若点 被变换成了点 ,且 ,则 的所有可能值之和为 ( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 ,若 为奇函数, 为偶函数,且 在 上没有最小值,则 的最大值是 ( )
A. 14 B. 10 C. 7 D. 6
二、多选题
6. 已知函数 的图象关于直线 对称,且函数 的图象向右平移 个单位长度之后与原来的图象重合,则 的值可以为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 在区间 上有且仅有 4 条对称轴，则下列四个结论正确的是 ( )
A. 在区间 上有且仅有 4 个不同的零点
B. 的最小正周期可能是
C. 的取值范围是
D. 在区间 上单调递增
三、填空题
8. 已知函数 的图象关于点 对称，那么 的最小值为_____.
9. 若函数 能够在某个长度为 1 的闭区间上至少两次获得最大值 1，且在区间 上为增函数，则正整数 的值为_____.
10. 已知 ,在函数 , 的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 ,当 时, 函数 的图象恒在 轴的上方,则 的取值范围是_____.
第五章 平面向量
模型 51 等和线模型
讲义见讲义册 P113
答案见解析册 P47
一、单选题
1. 设 是 边 上的点, ,若 ,则 ( )
A. B. C. D. 1
2. 如图所示,点 在由线段 的延长线及线段 围成的阴影区域内(不含边界)，则下列说法中正确的是 ( )
A. 存在点 ，使得
B. 存在点 ，使得
C. 存在点 ，使得
D. 存在点 ，使得
3. 如图，在平行四边形 中， 相交于点 ， 为线段 的中点. 若 , 则 ( )
A. 1 B. C. D.
4. 在扇形 中, 为 上的一个动点,若 ,则 的最大值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知 是 内一点,且 ,点 在 内 (不含边界),若 ,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
6. 如图， ，点 在由射线 ，线段 及 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)，且 ,则实数对 不可以是 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知 中, ，若点 为四边形 内一点(不含边界)且 ，则实数 的取值可以为( )
A. B. 1 C. D. 2
三、填空题
8. 如图, ,点 在由射线 ,线段 及 的延长线围成的区域(不含边界)运动， 且 . (1)当 时， 的取值范围是_____.
(2)当 时， 的取值范围是_____.
9. 如图，在正六边形 中， 是 内(包括边界)的动点， 设 ,则 的取值范围是_____.
10. 如图,四边形 是边长为 1 的正方形,点 在 的延长线上,且 ,点 是 (含边界)的动点，设 ，则 的最大值为_____.
模型 52 重心模型
模型 53 内心模型
模型 54 垂心模型
模型 55 外心模型
一、单选题
1. 在 中,若 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 是 的外心
B. 是 的内心
C. 是 的重心
D. 是 的垂心
2. 在 中, ，则直线 通过 的 ( )
A. 垂心 B. 外心
C. 重心 D. 内心
3. 是 所在平面上一点,若 ,则 是 的 ( )
A. 重心 B. 外心
C. 内心 D. 垂心
4. 是平面上一定点, 是该平面上不共线的 3 个点,一动点 满足 ,则直线 一定通过 的 ( )
A. 外心 B. 内心
C. 重心 D. 垂心
5. 数学家欧拉在 1765 年发表的《三角形的几何学》一书中提出以下定理:三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称为三角形的欧拉线. 已知点 分别为 的重心、垂心、外心， 为 的中点，则 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 点 是锐角 内一点,且存在 ,使 ,则下列条件中,能判断出 为等腰三角形的是 ( )
A. 点 是 的垂心
B. 点 是 的重心
C. 点 是 的外心
D. 点 是 的内心
7. 在 中， ， ， 为 内的一点， ，则下列说法错误的是
( )
A. 若 为 的重心,则
B. 若 为 的外心，则
C. 若 为 的垂心,则
D. 若 为 的内心,则
三、填空题
8. 已知 是平面上不共线的三点, 是 的重心,点 满足 ,则 与 面积比为_____.
9. 在 中， ， ， ，点 为 的外心，若 ， ，则 _____.
10. 已知 为 的垂心，若 ，则 _____.
模型 56 奔驰定理模型
一、单选题
1. 已知点 是 内一点 (如图),若 ， ，且 为实数),则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知点 在同一平面内, ,则 等于 ( )
A. B. 19 : 4 C. 24 : 5 D. 29:6
3. 已知 为 的内心,三个角对应的边分别为 , ，已知 ，则 ( )
A. B. -2
C. D.
4. 若 的三边为 ,现有 . ,则 为 的 ( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
5. 已知 的内角 的对边分别为 ,点 满足 ,若 ,则 的最大值为 ( )
A. B. C. D. 1
二、多选题
6. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论, 奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联，它的具体内容是已知 是 内一点， 的面积分别为 , 且 ,则以下命题正确的有 ( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则 为 的重心
C. 若 为 的内心,则
D. 若 为 的外心,则
7. 若 是锐角 内的一点, , 是 的三个内角,且点 满足 ,则 ( )
A. 为 的外心
B.
C.
D.
三、填空题
8. 已知 内部的一点 满足 , ,且 ,则 的面积为_____.
9. 若 为 的垂心， ，则 _____.
10. 如图,若 是 内一点, , 的面积分别为 ,则有 . 已知 为 的内心,且 ,若 ,则 的最大值为_____.
模型 57 极化恒等式模型
一、单选题
1. 在 中,点 为 中点, ,则 ( )
A. -16 B. -8 C. 16 D. 8
2. 如图,已知 是 边 上的两个三等分点, 若 ,则 ( )
A. -2 B. -4 C. 2 D. 4
3. 如图，在四边形 中， ， ， 为 中点， ，则 的值为( )
A. 0 B. 12 C. 2 D. 6
4. 圆 的直径 ,弦 ,点 在弦 上,则 的最小值是 ( )
A. B. C. D.
5. 如图，在平面四边形 中， ， 若 为线段 上的动点,则 的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 设 是边 上一定点,满足 , 且对于边 上任一点 ，恒有 . . 则下列错误的是 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知 是面积为 的等边三角形,且 ,其中实数 满足 ,则 . 的值可以为 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
三、填空题
8. 已知 中, ,则 _____.
9. 已知 ,点 在平面 内,且 ,则 的取值范围是_____.
10. 我国历史悠久，各地出土文物众多. 图 1 为湖北五龙宫遗址出土的道家篆书法印. 图 2 是此印章中抽象出的几何图形的示意图. 如图 2 所示, 在边长为 2 的正八边形 中, 是正八边形边上任意一点,则 的最大值是_____.
图 1
图 2
模型 58 向量中的建系模型
一、单选题
1. 如图,在等腰梯形 中, , ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 如图,在直角梯形 中, , 为 的中点,若 ,则 ( )
A. B. C. 1 D. 2
3. 已知菱形 边长为 ，点 满足 ,若 ,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
4. 如图,圆 内接边长为 1 的正方形 是弧 (包括端点) 上一点,则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
5. 在等腰 中, ,若点 为 的垂心,且满足 ,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
6. 已知正六边形 的边长为 是正六边形 边上任意一点,则 的取值可以为 ( )
A. 1 B. 6 C. 12 D. 13
7. 如图，正方形 的中心与圆 的圆心重合， 是圆 上的动点，则下列叙述正确的是 ( )
A. 是定值
B. 是定值
C. 是定值
D. 是定值
三、填空题
8. 已知 是腰长为 4 的等腰直角三角形, 为平面 内一点,则 的最小值为_____.
9. 在 Rt 中,已知 ,斜边 是 的中点， 是线段 上的动点，则 的取值范围是_____.
10. “四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形,如图所示, . 点 在线段 与线段 上运动,则 的取值范围为_____.
模型 59 数量积的最值模型
累讲义见讲义册 P132
答案见解析册 P54
一、单选题
1. 已知 是两个非零向量，则 与 的大小关系是 ( )
A.
B.
C.
D.
2. 如图，在边长为 4 的等边 中，点 为中线 上的动点，点 为 的中点，则 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
3. 已知 ,则 的最小值是 ( )
A. -2 B. -4 C. 2 D. 4
4. 已知向量 ，向量 满足 ，则 的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 如图，“六芒星”是由两个边长为 6 的正三角形组成， 中心重合于点 且三组对边分别平行,点 是 “六芒星” (如图) 的两个顶点,动点 在 “六芒星” 上 (内部以及边界),则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 正方形 的边长为 是 中点,如图,点 是以 为直径的半圆上任意一点, ,则 ( )
A. 最大值为 1
B. 最大值为 2
C. 最大值是 8
D. 最大值是
7. 在直角 中,斜边 为 所在平面内一点, (其中 ),则 ( )
A. 的取值范围是
B. 点 经过 的外心
C. 点 所在轨迹的长度为 2
D. 的取值范围是
三、填空题
8. 若非零向量 和 满足 ,则 的取值范围是_____，| |的取值范围是_____.
9. 已知三个单位向量 满足 ,则 的最大值为_____.
10. 如图,圆 内接边长为 1 的正方形 是弧 (包括端点) 上一点,则 的取值范围是_____.
第六章 解三角形
模型 60 解三角形的基本模型
一、单选题
1.(2025 全国Ⅱ卷)在△ABC中， ， ， ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 在 中,已知 ,则 ( )
A. 1 B. C. 2 D.
3. 已知 中, ,则 的面积为 ( )
A. 9 B. 18
C. D.
4. 在 中, ,则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
5. 设 的内角 所对的边分别为 . 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
6. 的内角 的对边分别为 . 已知 ,则 ( )
A. 一定唯一
B. 一定有两个
C. 可能不存在
D. 一定是锐角三角形
7. 在 中,已知角 所对的边分别为 , 且 ,则以下四个结论正确的有 ( )
A. 不可能是直角三角形
B. 有可能是等边三角形
C. 当 时, 的周长为 15
D. 当 时, 的面积为
三、填空题
8. 在 中，若 ， ， ，则 _____.
9. 在 中， ， ，只需添加一个条件，即可使 存在且唯一. 条件:① ；② ； ③ 中，所有可以选择的条件的序号为_____.
10. 在 中,角 的对边分别为 ,点 在边 上,已知 ,则 _____.
模型 61 三角形形状判断模型
一、单选题
1. 在 中,若等式 成立,则 的形状是 ( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
2. 设 的内角 所对的边分别为 ，若 ,则 的形状为 ( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不确定
3. 在 中,角 对应边分别为 ,已知三个向量 共线,则 形状为 ( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
4. 在 中,角 的对边分别为 ,其面积为 ,若 ,则 一定是 ( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
5. 已知在 中, ,且 ,则该 的形状为 ( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
二、多选题
6. 下列命题中,正确的是 ( )
A. 在 中， ，
B. 在锐角 中，不等式 恒成立
C. 在 中,若 ,则 必是等腰直角三角形
D. 在 中,若 ,则 必是等边三角形
7. 的内角 的对边分别为 ,下列四个命题中正确的是 ( )
A. 若 ,则 一定是锐角三角形
B. 若 ,则 一定是等边三角形
C. 若 ,则 一定是等腰三角形
D. 若 ,则 一定是等腰三角形
三、填空题
8. 在 中,若 ,则 的形状一定是_____三角形.
9. 在 中,如果 ,且 为锐角，则此三角形的形状一定为_____三角形.
10. 在 中,已知 ,则 的形状一定是_____三角形.
模型 62 三角形边角互化模型
一、单选题
1. 已知 分别为 的内角 的对边, ,则 ( )
A. B. C. D.
2.(2024 全国甲卷)在 中，内角 所对边分别为 ,若 ,则 ( )
A. B.
C. D.
3. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ，延长 至点 ，使得 ,若 ,则 ( )
A. 1 B. C. 2 D. 3
二、多选题
4. 在 中,角 的对边分别为 ,已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 在 中,角 所对的边分别为 ,则下列关系式中正确的是 ( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
6. 在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则 _____.
7. 在 中, 所对的边分别为 ,已知 ，且 ，则 的面积为_____.
四、解答题
8.(2023全国甲卷)记 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
模型 63 角平分线模型
讲义见讲义册P143
答案见解析册P59
一、单选题
1. 在 中, ,内角 的角平分线 ,则 ( )
A. B.
C. 4 D.
2. 在 中, 的平分线 交 于点 ,若 则 的面积的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
3. 在 中, 的平分线 交 于点 的面积是 面积的 3 倍,则 ( )
A. B.
C. D.
4. 的内角 的对边分别是 ,且 ,边 上的角平分线 的长度为 ,且 ,则 ( )
A. B.
C. 3
D. 或 3
二、多选题
5. 在 中, 是 的平分线, 且交 于点 . 若 的面积为 ,则 的值可以为 ( )
A. B. 1 C. 2 D.
6. 在 中,角 的对边分别为 ,角 的平分线交 于点 , 则下列说法正确的是 ( )
A. B.
C. D. 的面积为
三、填空题
7. 已知 中, 是 的角平分线，则 _____.
8. 在 中，角 的对边分别为 ，若 的平分线 的长为 ,则 边上的高线 的长等于_____.
四、解答题
9. 已知 的内角 所对的边分别为 , 且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 为内角 的平分线， 交 边于点 ，求线段 长的最大值.
模型 64 中线模型
讲义见讲义册P146
答案见解析册 P61
一、单选题
1. 已知在 中， ，且 的面积为 ,则 边上的中线长度为 ( )
A. B. 4 C. D.
2. 在 中,已知 边的中线 ,那么 的长为 ( )
A. 4 B. 7 C. 9 D. 1
3. 已知 中, 是 的中点,且 1,则 面积的最大值为 ( )
A. B. C. 1 D. 2
4. 在锐角 中, ,则中线 长的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
5. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式,求其法: “以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积. 若把以上这段文字写成公式,即 . 现有 满足 ，且 ，则()
A.
B.
C. 的外接圆半径为
D. 中线 的长为
6. 的内角 的对边分别为 ,且 ,若边 的中线 ,则下列结论正确的有 ( )
A. B.
C. D. 的面积为
三、填空题
7. 中,内角 所对的边分别为 ,且 . 若 边上的中线 , 则边 _____.
8. 在 中,角 所对的边分别为 ,已知 ,若 为 边上的中线,且 ,则 的面积等于_____.
四、解答题
9.(2023 新课标 II 卷)记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 为 中点,且 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 .
模型 65 三角形中的两圆模型
一、单选题
1. 的内角 所对的边分别为 . 已知角 成等差数列,且 ,则 的外接圆直径为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知 的内角 的对边分别为 ,若 ,则 的内切圆半径为 ( )
A B. C. 1 D.
3. 在 中,角 的对边分别是 ,已知 的外接圆半径为 1,则 的面积 ( )
A. B. C. D. 2
4. 在 中,内角 的对边分别为 . 若 的面积为 ,且 ,则 外接圆的面积为 ( )
A. B. C. D.
5. 在外接圆半径为 的 中, 分别为内角 的对边,且 b) ,则 的最大值是 ( )
A. 1 B. C. 3
D.
二、多选题
6. 在 中,角 所对的边分别为 , . 则下列正确的是 ( )
A. 若 外接圆的半径为 ，则
B. 若 外接圆的半径为 ，则 面积的最大值为
C. 若 内切圆的半径为 ，则
D. 若 内切圆的半径为 ，则 面积的最小值为
7. 在 中,角 所对的边分别为 ,且 ,则下列正确的是 ( )
A.
B. 若 ，则 的面积的最大值为
C. 的面积为 时，外接圆半径为 3
D. 的面积为 时，内切圆半径为
三、填空题
8. 已知等腰三角形的底边长为 6 ，一腰长为 12 ，则它的内切圆面积为_____.
9. 已知 的外接圆半径为 ,且满足 ,则 面积的最大值为_____.
10. 在 中, 为边 上一点, , ,若 的外心恰在线段 上,则 _____.
模型 66 面积定值问题
讲义见讲义册P151
答案见解析册P64
一、单选题
1. 已知在 中， ， ， ，且 ,则 的面积为 ( )
A. B. 3 C. D.
2. 在 中，内角 ， ， 所对应的边分别是 ， ， ， 若 的面积是 ，则 ()
A. B. C. D.
3. 在 中,若 ,则 的面积是 ( )
A. 1 B. C. D.
4. 如图，在平面四边形 中， ， ,记 与 的面积分别为 , ,则 的值为 ( )
A. 2 B. C. 1
D.
二、多选题
5. 在 中，角 所对的边依次为 ，已知 ，则下列结论中正确的是_____( )
A.
B. 为钝角三角形
C. 若 ，则 的面积是
D. 若 的外接圆半径为 ，内切圆半径为 ，则
6. 在 中,角 的对边分别是 ,若 ,则下列结论正确的是 ( )
A. B.
C. D. 的面积为 6
三、填空题
7. 内角 的对边分别为 ，若 ，则 的面积为_____.
8. 在 中，其内角 所对的边分别为 ， 若 ,则 的面积为_____.
四、解答题
9. 记 的内角 的对边分别为 . 已知 的面积为 . (1)求 .
(2)若 为 上一点，满足 ，且 为钝角,求 的面积.
模型 67 面积范围问题
一、单选题
1. 在 中，设角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且 ，则 面积的最大值为( )
A. B.
C. 2 D. 4
2. 若锐角 的内角 的对边分别为 , 且 ,则 面积的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3. 已知 的内角 的对边分别为 ,且 ,则 面积的最大值为 ( )
A. B. C. D.
4. 如图，一块三角形铁片 ，已知 ， ， ，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点 . 如果过点 作一条直线分别交 于点 ，并沿直线 裁掉 ， 则剩下的四边形 面积的最大值为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
5. 在 中,内角 的对边分别为 ,则下列说法中正确的有 ( )
A. 若 ,则 面积的最大值为 B. 若 ,则 面积的最大值为
C. 若角 的内角平分线交 于点 ，且 ， ,则 面积的最大值为 3
D. 若 为 的中点，且 ，则 面积的最大值为
6. 一个等腰直角三角形 内有一个内接等腰直角三角形 (即 三点分别在三角形 三边或顶点上),则两三角形面积比 的值可能为 ( )
A. B. C. D.
三、填空题
7. 已知 分别为锐角 的内角 的对边,若 ,则 面积的最大值为_____.
四、解答题
8. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
(1)求A；
(2)如图，射线 绕点 旋转 后交线段 于点 ,且 ,求 的面积的最小值.
模型 68 周长定值问题
一、单选题
1. 在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 的周长为( )
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
2. 已知 分别为 三个内角 的对边,且 的面积为 ，则 的值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3. 记 的内角 的对边分别为 ，若 是边 上靠近 的三等分点， ， 的面积为 ，则 的周长为( )
A. B.
C. D.
4. 记 的内角 的对边分别为 ,已知 的面积为 ,且 ,则 的周长为 ( )
A. 15 B. 16 C. 18 D. 20
二、多选题
5. 记 的内角 的对边分别为 ,已知 ,角 的平分线 交 边于点 . 则下列正确的是 ( )
A.
B.
C.
D. 若 ，则 的周长为
6. 记 的内角 所对的边分别是 ,若 ,则 ( )
A.
B.
C. 的周长为
D. 的周长为
三、填空题
7. 的内角 的对边分别为 ,已知 ,若 为 中点, , ,则 的周长为_____.
8. 在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 ,则 取最小值时， 的周长为_____.
四、解答题
9. 在 中,角 所对的边分别为 ,
(1)求证: ；
(2)若 的外接圆面积为 ，求 的周长.
模型 69 周长范围问题
讲义见讲义册P158
答案见解析册P69
一、单选题
1. 已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ,则 的最大值为 ( )
A. 4 B. 6
C. 8 D. 以上都不对
2. 已知 的内角 所对的边分别是 ，若 ,则 周长的最小值为 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
3. 设锐角 的三个内角 的对边分别为 , ,且 ,则 周长的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
4. 如图，在扇形 中，半径 ， 在半径 上, 在半径 上, 是扇形弧上的动点 (不包含端点),则平行四边形 的周长的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
5. 的内角 的对边分别为 ,且 ,则下列正确的是 ( )
A.
B. 的外接圆半径为
C. 的周长的最小值为 6
D. 的周长的最大值为
6. 已知 的内角 的对应边分别为 , 且 ,若 为锐角三角形, ,则 周长可能为 ( )
A. B. 2 C. D. 5
三、填空题
7. 是钝角三角形,内角 所对的边分别为 ,则最大边 的取值范围为_____.
8. 已知 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ,则 周长的最大值为_____.
四、解答题
9. 记 内角 的对边分别为 ,且
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形， ，求 周长的取值范围.
模型 70 解三角形中的其他范围问题
一、单选题
1. 锐角 中, ,则 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
2. 在 中, ,则 的最大值为 ( )
A. B.
C. D.
3. 已知在锐角三角形 中,角 的对边分别为 ,若 ,则 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
4. 锐角 是单位圆的内接三角形,角 的对边分别为 ,且 , 则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
5. 已知 的三边长互不相等,角 的对边分别为 ,若 ,则 的取值可以是 ( )
A. 1 B. C. D.
6. 在锐角三角形 中,角 的对边分别为 , ,且满足 ,则 的取值可以为 ( )
A. 1
B. C. D.
三、填空题
7. 在 中,角 所对的边分别为 ,且满足 ，则 的取值范围是_____.
8. 在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 且 ，则 的取值范围为_____.
四、解答题
9. 如图所示，在 中， ， 平分 ,且 AC.
(1)若 ，求 的长度；
(2)求 的取值范围；
(3)若 ，求 为何值时， 最短.
第七章 数系的扩充与复数
模型 71 复数模的几何意义模型
一、单选题
1. 在复平面内,复数 对应的两点之间的距离为 ( )
A. 1 B. C. 4 D. 5
2. 在复平面内,向量 对应的复数是 ，向量 对应的复数是 ，则向量 对应的复数是 ( )
A. B.
3. 若复数 满足 ,则在复平面内,复数 所对应的点组成的图形的周长为 ( )
A. B. C. D.
4. 复平面内,复数 (i 为虚数单位)与点 对应，则 ( )
A. B. C. D.
5. 如果复数 满足 ,那么 的最小值是 ( )
A. 1 B. C. 2 D.
二、多选题
6. 已知复数 ,则( ) A.
B. 复数 对应的平面向量的坐标为
C.
D. 复数 在复平面上对应的点在虚轴上
7. 瑞士数学家欧拉于 1748 年提出了著名的欧拉公式: ,其中 是自然对数的底数, 是虚数单位, 该公式将指数函数的定义域扩大到复数, 建立了三角函数与指数函数的关联, 在复变函数论中占有非常重要的地位, 被誉为 “数学中的天桥”. 依据欧拉公式, 下列选项正确的是 ( )
A. 的虚部为 1
B. 复数 在复平面内对应的点位于第二象限
C.
D. 若 在复平面内分别对应点 , 则 面积的最大值为 1
三、填空题
8. 已知复数 与 在复平面内对应的点关于直线 对称,则复数 在复平面内对应的点位于第_____象限.
9. 在复平面内, 为原点, 两点对应的复数分别为 -1+2i, i,若四边形 为平行四边形,则点 对应的复数为_____.
10. 已知复数 ,则 在复平面内对应的点在第_____象限. 若 ，则 的最大值为_____.
模型 72 复数的旋转模型
一、单选题
1. 的三角形式是 ( )
A.
B.
C.
D.
2. 复数 在复平面内所对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 在复平面内,常把复数 和向量 进行一一对应. 现把与复数 对应的向量绕原点 按逆时针方向旋转 ，所得的向量对应的复数为 ( )
A. B. C. D. 2-i
4. 如图，与复平面中的阴影部分(含边界)对应的复数集合是 ( )
A.
B.
C.
D.
5. 设复数 在复平面上对应的向量为 ,将 绕原点 逆时针旋转 个 角后得到向量 ,向量 所对应的复数为 ,若 ,则自然数 的最小值为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多选题
6. 下列命题中正确的是 ( )
A. 若复数 的辐角的主值是 ，则 的辐角的主值是
B. 若复数 的辐角的主值是 ,则 的辐角的主值是
C. 若复数 的辐角的主值分别是 ,则 的辐角的主值是
D. 若复数 的辐角的主值分别是 ,且 ,则 的辐角的主值是
7. 设 isin ,则 ( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题
8. 如图，在复平面内，向量 对应的复数 绕点 逆时针旋转 后对应的复数为 ,则 _____.
9. 已知复数 ,则 _____.
10. 已知复数 满足 ,若 和 的辐角之差为 ，则 _____.
第八章 立体几何
模型 73 立方体外接球模型 模型 74 柱体、锥体和台体的外接球模型 模型 75 二面角外接球模型
讲义见讲义册 P168
答案见解析册 P75
模型 76 坐标法模型
一、单选题
1. 已知圆柱的高为 2 ，它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为 ( )
A. B. C. D.
2. 已知直三棱柱 中, , ,其外接球的表面积为 ,则该三棱柱的侧棱长为 ( )
A. B. C. D.
3. 在圆台 中,圆 的半径是圆 半径的 2 倍,且点 为该圆台外接球球心,则圆台的体积与外接球的体积之比为 ( )
A. B.
C. D.
4. 已知三棱锥 中， 平面 ， ， ，则该三棱锥外接球的表面积为 ( )
A. B.
C. D.
5. 如图 1，在 Rt 中， ， ， ， 分别为 ， 的中点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图 2. 若 是 的中点,则四面体 的外接球体积是 ( )
图 1
图 2
A.
B. C. D.
二、多选题
6. 在边长为 2 的菱形 中, ,将菱形 沿对角线 折成四面体 ,使得 ,则 ( )
A. 直线 与直线 所成角为
B. 直线 与平面 所成角的余弦值为
C. 四面体 的体积为
D. 四面体 外接球的表面积为
7. 已知三棱锥 中, ,平面 平面 ,该三棱锥外接球半径为 ,则 的值可以为 ( )
A. B. C. 1 D. 2
三、填空题
8. 已知正三棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 ，则该三棱锥的外接球的表面积为_____.
9. 已知正四棱台 的上、下底面边长分别为 和 . 若该棱台的体积为 ，则该棱台的外接球表面积为_____.
10. 如图, 八面体的每一个面都是正三角形, 并且 4 个顶点 在同一个平面内. 已知球 为该八面体的外接球,设该八面体的体积为 ,球 的体积为 ,则 _____.
模型 77 内切球模型
学讲义见讲义册P175
答案见解析册P77
一、单选题
1. 已知球 与一正方体的各条棱相切,同时该正方体内接于球 ,则球 与球 的表面积之比为
( )
A. 2 : 3 B. C. D.
2. 圆柱的底面直径和高都等于 4 , 则该圆柱的内切球的表面积为 ( )
A. B. C. D.
3. 如图,圆锥的底面半径为 ,高为 ,且该圆锥内切球 (球与圆锥的底面和侧面均相切) 的半径为 1,则 ( )
A. B. C. D.
4. 一个正四棱台型的木块,上、下底面的边长分别为 和 ，高为 9，削成一个球，则所得球的体积最大值为 ( )
A. B. C. D.
5. 在《九章算术》中, 将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑. 在鳖臑 中, 平面 , ,且 ,则其内切球表面积为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
6. 各位同学小时候都吹过泡泡，这是童年必备乐趣之一，一个小朋友在边长为 的正四面体的中心吹泡泡(泡泡近似为球体)，泡泡碰到四面体的棱就会破裂，则泡泡的表面积的取值可以为 ( )
A. B. C. D.
7. 如图，在棱长为 的正方体内有两个球 ， 相外切, 两球又分别与正方体内切, 则两球体积之和的值可以为 ( )
A. B. C. D.
三、填空题
8. 半径为 2 的球 内切于正三棱柱 ，则正三棱柱 的体积为_____.
9. 已知上底面半径为 ，下底面半径为 的圆台存在内切球 (与上、下底面及侧面都相切的球), 则该圆台的体积为_____.
10. 在三棱锥 中, 底面 , ,则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为_____.
模型 78 求几何体的表面积、体积模型
一、单选题
1. 球的表面积增大为原来的 9 倍, 那么球的体积增大为原来的 ( )
A. 9 倍 B. 18 倍 C. 27 倍 D. 81 倍
2. 已知四棱台的上、下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形, 侧面均为腰长为 4 的等腰梯形, 则该四棱台的表面积为 ( )
A. B. 34
C. D. 68
3. 小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为 的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得, 其数据如图所示, 则该馒头和火腿的体积分别为 ( )
A. B.
C. D.
4. 如图,高为 的圆锥形容器里装了一定量的水,下列容器内水的体积最接近容器容积一半的是( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，在棱长为 的正方体 中,点 在线段 上,且 为线段 上的动点,则三棱锥 的体积为
( )
A. B.
C. D. 与点 的位置有关
二、多选题
6. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 相等，则下列结论正确的是
( )
A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为
7. 在三棱锥 中, 分别在棱 上,且 ,记三棱锥 、三棱锥 、四棱锥 的体积分别为 , ,则下列结论正确的是 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题
8. 正三棱台上、下底面的边长分别为 1,2 , 斜高为 1 , 则其体积为_____.
9. 如图，在几何体 中， 6,侧棱 均垂直于底面 , ，则该几何体的体积为_____.
10. 祖暅是我国南北朝时期的数学家，著作《缀术》上论及多面体的体积:缘幂势既同，则积不容异——这就是祖暅原理. 用现代语言可描述为夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这个两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 在棱长为 2 的正方体 中, 是 上一点, 于点 ,点 绕 旋转一周所得圆的面积为_____(用 表示)；将空间四边形 绕 旋转一周所得几何体的体积为_____.
模型 79 立体几何交线与截面模型
讲义见讲义册 P182
答案见解析册 P80
一、单选题
1. 如图所示，在正方体 中，如果点 是 的中点，那么过点 截正方体所得的截面图形为 ( )
A. 三角形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形
2. 在三棱锥 中, 为线段 上更靠近 的三等分点,过点 作平行于 的平面,则该平面截三棱锥 所得截面的周长为 ( )
A. 5 B. 6 C. 8 D. 9
3. 正四面体 的棱长为 为棱 的中点,过点 作其外接球的截面，则截面面积的最小值是 ( )
A. B. C. D.
4. 如图,正方体 的棱长为 ,以顶点 为球心，2 为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
5. 如图,正三棱柱 的所有棱长都相等, 为线段 的中点, 为侧面 内的一点 (包括边界, 异于点 ,过点 作正三棱柱的截面，则截面的形状可能是( )
A. 五边形 B. 四边形
C. 等腰三角形 D. 直角三角形
6. 如图,在正方体 中, 分别为棱 , 的中点,过 四点作该正方体的截面, 则下列说法正确的是 ( )
A. 该截面是六边形
B. 平面
C. 平面 平面
D. 该截面过棱 的一个三等分点
三、填空题
7. 已知正方体 的棱长为 为棱 的中点, 为侧面 的中心,过点 的平面 垂直于 ,则平面 截正方体 所得的截面面积为_____.
8. 如图所示，在正四棱台 中，上底面边长为 4,下底面边长为 6,体积为 ,点 为 的中点,过点 的平面 与平面 平行,且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为_____.
四、解答题
9. 已知正四棱锥 的所有棱长都为 6,点 在侧棱 上,过点 且垂直于 的平面截该棱锥,得到截面多边形 .
(1)求证: 的边数至多五边形；
(2)求 的面积的最大值.
第九章 统计与概率
模型 80 分层随机抽样计算模型
一、单选题
1. 某班组织全班学生开展历史知识竞赛活动. 已知该班男生 30 人，女生 20 人. 按照分层抽样的方法从该班共抽取 10 人，进行一轮答题. 相关统计情况如下:男生答对题目的平均数为 10 , 方差为 1 ; 女生答对题目的平均数为 15 , 方差为 0.5 . 则这 10 人答对题目的方差为 ( )
A. 6.8 B. 6.9 C. 7 D.7.2
2. 某高校新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班， 其中甲班 30 人，乙班 40 人，在 2025 届高考中，甲班学生的平均分为 665 分, 方差为 131 , 乙班学生平均分为 658 分, 方差为 208. 则该专业所有学生在 2025 年高考中的平均分和方差分别为 ( )
A. 661.5,169.5 B. 661,187
C. 661,175 D. 660,180
3. 某单位健康体测, 男性平均体重为 64 千克, 方差为 151;女性平均体重为 56 千克, 方差为 159, 男、女人数之比为 5 : 3,该单位全体工作人员平均体重 和方差 分别为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
4. 校篮球社的 20 个成员进行了定点投篮测试并记录得分, 已知男生组 10 人得分的平均数和方差分别为 8 和 4,女生组 10 人得分的平均数和方差分别为 和 ,这 20 人得分的平均数和方差分别为 和 ,则
A. 时, B. 时,
C. 时, D. 时,
5. 某学校共有学生 2000 人，其中高一 800 人，高二、高三各 600 人，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取 100 人，其中高一学生、高二学生、高三学生每天读书时间的平均数分别为 ,每天读书时间的方差分别为 ,则下列正确的是 ( )
A. 从高二年级抽取 30 人
B. 被抽取的学生中, 高二年级每天的总读书时间比高一年级多 15 小时
C. 被抽取的学生每天的读书时间的平均数为 3 小时
D. 估计全体学生每天的读书时间的方差为
三、填空题
6. 某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取 70 件做使用寿命的测试，则 车间应抽取的件数为_____；若 三个车间产品的平均寿命分别为200,220, 210 小时,方差分别为30,20,40,则总样本的方差为_____.
7. 甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为 ,三所学校共有数学强基学生 48 人,在一次统一考试中,所有学生的成绩平均分为 117 ,方差为 21.5 . 已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的平均分分别为 118 和 114 , 方差分别为 15 和 21 , 则丙学校的学生成绩的方差是_____.
四、解答题
8. 某地有农村居民 320 户, 城镇居民 180 户. 为了获得该地居民的户月均用水量的信息, 采用分层抽样的方法抽取得样本 ,并观测 的指标值 (单位: t),计算得农村居民户样本的均值为 8.3 , 方差为 10.86 , 城镇居民户样本的均值为 14.1 , 方差为 34.62 .
(1)根据以上信息，能否求出 的均值和方差？说明你的依据;
(2)如果 中农村居民户、城镇居民户的样本量都是 25，求 的均值和方差；
(3)能否用(2)的结论估计该地居民的户月均用水量的均值和方差 若能, 请说明理由; 若不能, 请给出一个可以用来估计该地居民的户月均用水量的均值和方差的样本.
模型 81 频率分布直方图的应用模型
一、单选题
1. 某市旅游鞋专卖店为了了解某日旅游鞋的销售情况, 抽取了部分顾客所购旅游鞋的尺寸, 将所得数据整理后, 画出频率分布直方图. 已知从左到右前 3 个小组的频率之比为 1 : ，第 4 小组与第 5 小组的频率分布直方图如图所示，第 2 小组的频数为 10，则第 5 小组的频数是 ( )
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
2. 如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是 ( )
A. 数据中可能存在极端大的值
B. 这组数据是不对称的
C. 数据中众数一定不等于中位数
D. 数据的平均数大于中位数
3. 某商家为了调研顾客对本店就餐的满意度, 从用过餐的顾客中随机抽取 100 名进行评分. 整理评分数据, 将收集到的顾客满意度分值数据(满分 100 分)分成六段: ， ， 如， [90,100]，得到如图所示的频率分布直方图，则下列选项正确的是_____( )
A. 这 100 名顾客评分的极差介于 40 分至 50 分之间
B. 这 100 名顾客评分的中位数小于 80 分
C.
D. 这 100 名顾客评分目 录
第一章 集合与逻辑用语
模型 1 已知集合关系求参数模型 1
模型 2 德·摩根定律 1
模型 3 容斥原理模型 1
模型 4 小充大必要模型 2
第二章 不等式
模型 5 直接法求最值模型 3
模型 6 配凑法求最值模型 3
模型 7 整体换元法求最值模型 4
模型 8 消元法求最值模型 6
模型 9 乘 1 法模型 7
模型 10 连续使用基本不等式模型 9
模型 11 基本不等式链模型 9
模型 12 柯西不等式模型 10
模型 13 权方和不等式模型 10
第三章 函 数
模型 14 函数的理解及定义域与求值问题模型 11
模型 15 函数解析式求解模型 12
模型 16 分段函数模型 12
模型 17 脱“ ”解不等式模型 13
模型 18 对勾函数与飘带函数模型 15
模型 19 直接法模型 16
模型 20 数形结合法模型 16
模型 21 换元法模型 16
模型 22 分式类函数值域求解模型 16
模型 23 反表示法与判别式法模型 16
模型 24 二次方程实根分布模型 18
模型 25 三个二次关系的应用模型 19
模型 26 平移变换模型 20
模型 27 伸缩变换模型 20
模型 28 对称变换模型 20
模型 29 翻折变换模型 20
模型 30 单调性法和中间值法模型 22
模型 31 构造函数法模型 22
模型 32 数形结合法与特殊值法模型 23
模型 33 同构法模型 25
模型 34 放缩法模型 25
模型 35 函数图象与表达式的匹配模型 27
模型 36 函数三大性质解题模型 28
模型 37 函数不等式的恒成立(存在性)问题 29
模型 38 交点法处理零点问题 31
模型 39 复合函数零点问题 32
模型 40 根据零点求参数问题 34
模型 41 多零点求范围问题 36
模型 42 抽象函数模型 37
第四章 三角函数
模型 43 三角恒等变换公式基础模型 39
模型 44 齐次化切求值模型 40
模型 45 给角求值模型 41
模型 46 给值求值模型 41
模型 47 给值求角模型 41
模型 48 三角函数中的值域模型 42
模型 49 根据图象求三角函数解析式模型 43
模型 50 三角函数中的 求解模型 45
第五章 平面向量
模型 51 等和线模型 47
模型 52 重心模型 48
模型 53 内心模型 48
模型 54 垂心模型 48
模型 55 外心模型 48
模型 56 奔驰定理模型 49
模型 57 极化恒等式模型 51
模型 58 向量中的建系模型 52
模型 59 数量积的最值模型 54
第六章 解三角形
模型 60 解三角形的基本模型 56
模型 61 三角形形状判断模型 57
模型 62 三角形边角互化模型 58
模型 63 角平分线模型 59
模型 64 中线模型 61
模型 65 三角形中的两圆模型 63
模型 66 面积定值问题 64
模型 67 面积范围问题 66
模型 68 周长定值问题 67
模型 69 周长范围问题 69
模型 70 解三角形中的其他范围问题 71
第七章 数系的扩充与复数
模型 71 复数模的几何意义模型 72
模型 72 复数的旋转模型 73
第八章 立体几何
模型 73 立方体外接球模型 75
模型 74 柱体、锥体和台体的外接球模型 75
模型 75 二面角外接球模型 75
模型 76 坐标法模型 75
模型 77 内切球模型 77
模型 78 求几何体的表面积、体积模型 78
模型 79 立体几何交线与截面模型 80
第九章 统计与概率
模型 80 分层随机抽样计算模型 82
模型 81 频率分布直方图的应用模型 83
模型 82 随机事件基础概念模型 84
第十章 空间向量
模型 83 巧解平面法向量模型 86
模型 84 空间几何量的计算模型 87
模型 85 立体几何动点模型 90
模型 86 立体几何翻折模型 92
模型 87 立体几何中的探索性问题 94
第十一章 直线与圆
模型 88 直线的四大对称模型 96
模型 89 直线系方程 97
模型 90 含参直线过定点模型 97
模型 91 圆的切线模型 98
模型 92 圆的最值模型 100
模型 93 隐圆模型 101
第十二章 圆锥曲线
模型 94 圆锥曲线求轨迹模型 103
模型 95 利用圆锥曲线定义求最值模型 104
模型 96 第三定义模型 105
模型 97 点差法模型 107
模型 98 离心率的求解模型 108
模型 99 圆锥曲线基础 —— 直曲联立硬解定理 110
模型 100 圆锥曲线中的面积计算模型 112
模型 101 非对称韦达定理模型 114
模型 102 圆锥曲线的定点定值定直线模型 116
模型 103 焦点三角形两类模型 117
模型 104 抛物线中的“焦准直梯”模型 119
模型 105 圆锥曲线切线模型 120
模型 106 阿基米德三角形模型 122
模型 107 先猜后证模型 124
模型 108 设点不设线模型 125
模型 109 极点极线模型 125
第十三章 数 列
模型 110 由 和 关系求通项 126
模型 111 一阶线性递推模型 126
模型 112 同型构造模型 127
模型 113 取倒数法 128
模型 114 取对数法 128
模型 115 不动点法 129
模型 116 二阶递推型特征根法 129
模型 117 周期数列问题 130
模型 118 数列裂项模型 131
模型 119 公式法 132
模型 120 一次倍差法 132
模型 121 二次倍差法 132
模型 122 倒序相加法 134
模型 123 分组求和与并项求和法 134
模型 124 裂项放缩模型 135
模型 125 等比放缩模型 135
模型 126 函数型放缩模型 135
第十四章 导 数
模型 127 直接求切线模型 137
模型 128 切线的条数问题 137
模型 129 公切线模型 138
模型 130 与切线有关的距离最值模型 138
模型 131 导数基础 一函数单调性的分析 139
模型 132 含参不等式三类处理模型 140
模型 133 洛必达法则模型 142
模型 134 隐零点问题 143
模型 135 端点效应模型 144
模型 136 必要性探路模型 144
模型 137 对称构造法 145
模型 138 比值代换法 146
模型 139 对数均值不等式法 146
模型 140 韦达定理代换法 147
模型 141 差值代换法 147
模型 142 同构法 147
模型 143 构造函数模型大全 148
模型 144 变更主元法 149
模型 145 降低求导次数模型 151
模型 146 指对同构模型 153
模型 147 切线放缩模型 155
模型 148 三角函数与导数模型 155
第十五章 计数原理
模型 149 特殊优先十正难则反模型 157
模型 150 分组分配模型 158
模型 151 隔板法模型 158
模型 152 定序模型 157
模型 153 染色模型 159
模型 154 信封错装模型 160
模型 155 多面手模型 160
模型 156 系数最值模型 161
模型 157 二项展开求系数和模型 162
模型 158 复杂二项展开模型 162
模型 159 二项式中的整除和求余数模型 163
第十六章 随机变量与概率统计
模型 160 条件概率、全概率公式与贝叶斯定理模型 164
模型 161 超几何分布模型 166
模型 162 几何分布模型 167
模型 163 二项分布模型 168
模型 164 正态分布模型 170
模型 165 线性回归模型 171
模型 166 独立性检验模型 172
模型 167 概率最值模型 173
模型 168 枚举问题 173
模型 169 马尔科夫链模型 175
模型 170 概率递推模型 175
第一章 集合与逻辑用语
模型 1 已知集合关系求参数模型
1.【解析】因为 ,所以 或
解得 ,或 ,
当 时， ，符合题意，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，不满足元素互异性，不成立，
所以 或 .
故选 C.
2.【解析】因为 ,所以 .
若 ,解得 ,此时 ,
根据集合中元素的互异性, 不合题意;
若 ,即 ,
解得 或 ,若 ,此时 ,不合题意;
当 时成立. 故选 D.
3.【解题提示】根据并集的结果可得 或 ,再根据集合的性质求解即可.
【解析】由 可得 或 , 解得 或 .
又集合 与 ,故 ,故 或 .
故选 C.
4.【思维建模】
已知条件 集合 5},
建模解模 1. 等价于 2. 分类讨论 是否等于 3. 求出对应 的范围即可
【解析】因为 ,所以 ,
若 ,则 ,得 ,满足 ；
若 ,即 时,要使 ,则有
所以 ，此时 .
综上所述， . 故选 C.
5.【解析】集合 的元素是所有的偶数、集合 的元素是所有的奇数,奇数十偶数 奇数,所以 , 如 ,但 . 所以 选项正确. 故选 B.
6.【解题提示】分析可知 ,根据元素满足互异性可求得 的值,可确定集合 , 由此可得出合适的选项.
【解析】若 ,则 ,则集合 不满足元素的互异性, 不合乎题意.
所以
故 ,所以 ,
故 或 则 ,则 AD 选项错误, BC 选项正确.
故选 BC.
7.【解题提示】解集合 中的方程,得集合 ,由已知列举出集合 ,验证选项即可.
【解析】 ,当 时,方程 的解为 或 ;
当 时,方程 的解为 ,
得 选项错误, 选项正确； 由 且 ,则 , ,共 6 个.
C 选项正确, D 选项错误. 故选 BC.
8.【解析】
由题意知 ,则用数轴画图可得 .
故答案为 .
9.【解析】由题意可得 . 因为 且 一定不是空集,则说明 无公共部分. 因此 .
故答案为 .
10.【解析】第①步，当 时， 1) ,
第②步，当 时，
第③步，分别验证 中的元素是否符合条件,
若 ,此时 ,不满足;
若 ,此时 ,满足；
若 ,此时 ,满足;
若 ,此时 ,满足.
故答案为 .
模型 2 德·摩根定律
模型 3 容斥原理模型
1.【解析】 或 . 故选 C.
2.【解析】设高三(1)班有 50 名学生组成的集合为 ,参加田赛项目的学生组成的集合为 ,参加径赛项目的学生组成的集合为 .
由题意集合 有 15 个元素, 有 20 个元素, 中有 8 个元素,
所以 有 (个)元素. 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 . 故选 B.
3.【解析】因为 中有 个元素,所以 中有 m)个元素,
设集合 中元素个数为 ,又集合 中含有 6 个元素,
则 ,即 . 因为 ,
所以 . 又 中共有 12 个元素,所以 ,
则 . 故选 C.
4.【解析】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用 Venn 图表示如下图,
因此，该校使用共享单车的学生人数与
该校学生总数比值的估计值为 0.7 . 故选 C.
5.【思维建模】
已知条件 是全集 的三个非空子集,且
建模解模 1. 根据公式 2. 由 可知 3. 判断答案
【解析】根据公式 , 即可推出正确的结论.
,
. 故选 C.
6.【解题提示】用容斥原理解题,如果被计数的事物有 三类,那么 类和 类和 类元素个数总和 类元素个数 类元素个数 类元素个数一既是 类又是 类的元素个数一既是 类又是 类的元素个数一既是 类又是 类的元素个数十既是 类又是 类而且是 类的元素个数.
【解析】如图,设同时报名舞蹈和报名太极的有 人,
太极
则 , 解得 ,
所以同时报名舞蹈和报名太极的有1人， 只报名舞蹈的有 (人)，只报名声乐的有 (人),
报名两门课程的有 (人). 故选 BCD.
7.【解析】A 对,因为 ,而 ,所以
B 错, ,集合 不一定要为空集, 只需两个集合无公共元素即可;
C 对,因为 , 而 ,所以
D 对， ，即集合 ， 均无元素， 可得 .
故选 ACD.
8.【解析】由题意可得, ,所以 .
所以 ,
所以 ,
所以 或 .
故答案为 或 .
9.【解析】第①步，赞成 的人数为 ,赞成 的人数为 ,
第②步，设对 ， 都赞成的学生有 人，则 , 解得 .
故答案为 18 .
10.【解析】全集 ,集合 满足 ,绘制 Venn 图,如下:
则 . 故答案为 .
模型 4 小充大必要模型
1.【解析】 等价于 1,即 . 因为 可以推出 ,而 不能推出 ,所以“ ”是“ ”的必要不充分条件,所以 “ ” 的一个必要不充分条件是 “ ” . 故选 D.
2.【解析】由 可得 ,解得
记 ,
若 是 的充分条件,
则 是 的子集,所以 ,
所以实数 的取值范围是 .
故选 C.
3.【解析】若命题“ ”为假命题,
则命题的否定“ ”为真命题，
即 恒成立,
对于函数 , ,
当 时,取得最大值 ,
所以 ,选项中只有 是 的真子集,
所以命题 “ ” 为假命题的一个充分不必要条件为 “ 8 ”. 故选 D.
4.【解析】充分性: 若 ,则 ,充分性得证;
必要性: 若 ,取 满足条件,但不能得出 , 故为非必要条件.
综上所述，“ ” 是 “ ”的充分不必要条件.
故选 A.
5.【思维建模】
已知条件 不等式 “ ” 成立的一个必要不充分条件
建模解模 1. 求出 成立的充要条件为 2. 再由必要不充分条件的定义逐一判断即可
【解析】由 ,可得 ,
所以 ,解得 ,
即 成立的充要条件为 .
对于 ,由 ,得 ,是 “ ”成立的充分不必要条件; 对于 ,由 ,得 ,是 “ ”成立的充要条件；
对于 是 “ ” 成立的必要不充分条件;
对于 ,得 或 ,是 “ ” 成立的既不充分也不必要条件.
故选 C.
6.【解题提示】根据题意得到 ,且 ,结合充分条件、必要条件的判定方法,即可求解.
【解析】由题意,集合 , ,可得 ,且 , 所以 是 的充分不必要条件, 且 是 的必要不充分条件.
故选 AD.
7.【解析】由题意，存在 ,使得
即
当 ,即 时, 的最小值为 -1 , 故 ,所以命题 “存在 ,使得 ” 为真命题的充分不必要条件是 的真子集，结合选项可得，C 和 D 项符合条件.
故选 CD.
8.【解析】因为 是 的充分不必要条件, 所以 是 的真子集,
则 (不同时取等号),解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
故答案为 .
9.【解析】因为 ,
若 是 的必要不充分条件,则 , ,因此 ,
即实数 的取值范围是 .
若 是 的必要条件,则 ,
因此 ,即实数 的取值范围是 , 1].
故答案为 .
10.【解题提示】先化简不等式为 ,再由题意知
,且 1), 根据子集关系列式解得参数范围即可.
【解析】第①步，不等式 等价于 ,
第②步，由题意得 “ ” 是 “ ” 成立的充分不必要条件,
所以 ,且
第③步，由上可得 且等号不能同时成立，解得 . 故答案为 .
第二章 不等式
模型 5 直接法求最值模型
模型 6 配凑法求最值模型
1.【解析】由题意得 ,当且仅当 时取等号. 故选 D.
2.【解析】因为 ,所以 ,
当且仅当 时取等号, 所以最大值为 . 故选 A.
3.【解析】因为正实数 满足 , 所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立. 故选 D.
4.【解析】由题意知 ,
则 当且仅当 ,即 1 时,等号成立.
所以 的最小值为 .
故选 A.
5.【思维建模】
已知条件 函数 在 (1, 上的最大值
建模解模 1. 2. 转化为关于 的函数 最值问题 3. 分子分母同除以 配凑基本不等式求解
【解析】因为 , ,令 ,则 ,
则
当且仅当 ,即 时,等号成立.
故 的最大值为 . 故选 B.
6.【解析】当 时,
当且仅当 ,即 时等号成立，故 A 正确；
当 时，
当且仅当 ,即 时等号成立, 故 B 正确;
当 时,显然 不成立,故 错误;
因为
当且仅当 时等号成立,此时 无解,故取不到等号, 故 错误.
故选 AB.
7.【解析】对 ,当且仅当 时等号成立;
对 ,
当且仅当 时等号成立;
对 ,则
则 ,当且仅当 时等号成立;
对
当且仅当 ,即 时等号成立,
而 ,因此 中的等号取不到.
故选 ABC.
8.【解析】因为 ,所以根
据基本不等式得
当且仅当 ,即 时等号成立,所以 ,即 ,当且仅当 ,即 时等号成立,所以 的最大值为 . 故答案为 .
9.【解析】
因为 ,所以 ,设 , 则 ,当且仅当 时等号成立,
此时 解得 ,
故答案为 .
10.【解析】因为 ,所以 .
y) .
.
因为 为正实数,所以
所以
,当且仅当 时等号成立,即 时等号成立.
当且仅当 时等号成立,
所以 的最小值为 . 故答案为 .
模型 7 整体换元法求最值模型
1.【解析】令 ,则 ,
根据基本不等式 ,当且仅当 时等号成立.
所以 .
已知 的最小值为 9,则 9，令 ，方程变为 .
分解因式得 ,解得 或 (舍去).
因为 ,所以 . 故选 C.
2.【解析】令 ,则
两式相加可得 .
已知 ，所以 。 .
根据基本不等式
,当且仅当 时等号成立.
所以 ,即 的最小值为 . 故选 C.
3.【解析】因为 , 所以 . 令 所以
因为 ,所以
当且仅当 ,
即 或 时等号成立,
所以 的最小值为 . 故选 C.
4.【解题提示】令 , ,则 ,由此可将 变形为 ,结合基本不等式，即可求得答案.
【解析】由题意， 得 ,
设 ,则
故
当且仅当 ,即 时取得等号, 故 的最小值为 .
故选 A.
5.【思维建模】
已知条件 正数 满足
建模解模 1. 设令 ,故 2. 变形得到 3. 由基本不等式“1”的代换求出 的最小值
【解析】正数 满足 , 故 ,
令 ,故 ,
,
当且仅当 ,即 时，等号成立，
故 . 故选 D.
6.【解题提示】根据题意,化简得到 2) ,令 ,得到 ,结合函数 的单调性,可判定 正确; 由 ,得到 ,结合二次函数的性质,可判定 正确; 化简 ,利用基本不等式,可判定 C 不正确; 由 ,得到 ,可判定 D 正确.
【解析】由 ,可得 1)=16 ,
对于 中,令 ,则 且 ,
可得 ,则 .
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
可得 ，所以 ,所以 正确；
对于 中,由 ,可得
则
当且仅当 时, 取得最小值 -1 , 所以 正确;
对于 中,由
当且仅当 ,即 ,即
时,等号成立,所以 不正确;
对于 中,由 ,
可得
当且仅当 ,即 时, 等号成立,
所以 的最小值为 ,所以 正确.
故选 ABD.
7.【解题提示】设令 ,故 ,变形得到 ,由基本不等式 “ 1 ” 的代换求出 的最小值,从而得到答案.
【解析】正数 满足 ,故 ,
令 ,故 ,
,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
故 ,故选 CD.
8.【解题提示】将 变形为 ,换元,令 ,构造基本不等式 求解即可.
【解析】 ,令 , 所以 ,
则
当且仅当 ,即 时取等号.
所以 的最小值为 .
故答案为 .
9.【解析】方法一: 设 ,则
当且仅当 ,即 时取等号,
.
方法二: ,
当且仅当 时取等号, .
故答案为 .
10.【解析】第 ① 步,令 ,则 .
第②步，由 ， 可得 .
根据基本不等式 ,当且仅当 时等号成立.
第③步， ，
令 ,则 ,变形为 .
对于二次函数，要使 有意义， .
第④步，因为 ,令 , 则 ,其对称轴为 ,函数在 上单调递增,所以当 (即 ) 时, 取得最小值 故答案为 .
模型 8 消元法求最值模型
1.【解析】由 可得 , 即 , 于是
当且仅当 ,即 时取得等号,即 时, 的最小值为 . 故选 C.
2.【解析】由 可得 , 即 ,进而 . 将 代入 得 令 ,则 , .
根据基本不等式 , 所以 . 当且仅当 ,即 时取等号, 的最小值为 8 . 故选 B.
3.【解析】因为正数 满足 ,
所以 ,所以 ,
所以
当且仅当 ,即 时等号成立，所以 的最小值为 8 .
故选 D.
4.【解题提示】根据题意分析可知 ,代入 化简后利用基本不等式即可求解.
【解析】因为正实数 满足 ,则 ,
则 当且仅当 ,即 时,等号成立,所以 的最小值为 .
故选 C.
5.【思维建模】
已知条件 设正实数 满足 ,则当 取得最大值时
建模解模 1. 利用 可得 2. 基本不等式最值成立的条件可得 3. 代入 可得关于 的二次函数,求解即可
【解析】由正实数 满足
.
当且仅当 时取等号,此时 .
,当且仅当 时取等号,
即 的最大值是 1 .
故选 D.
6.【解析】根据题意, ,可得 , 则 , 设 ,则 ,原式为
当且仅当 时等号成立,故选 CD.
7.【解题提示】根据变量代换将 代入可得 ,进而利用换元法将 可得 ,结合对勾函数的单调性即可求解.
【解析】由题意可得 ,
令 ,由于 1,则
由于对勾函数 在 单调递减，在 单调递增，所以 ,
,故 ,所以 , . 故选 BD.
8.【解题提示】先根据 求得 和 的关系式,进而代入 利用基本不等式求解即可.
【解析】因为 ,所以 ,
所以
当且仅当 ,即 时取等号.
所以 的最小值为 27 .
故答案为 27 .
9.【解析】因为 ,且 , 所以 ,所以 0,所以 ,
所以
所以 ,
所以
当且仅当 ,即 时取 “ ”,所以 的最小值为 2 .
故答案为 2 .
10.【解析】第①步，由题意得 ,且 ,所以 ,
第②步，解得
第③步，当且仅当 ，即 时取等号,所以 的最小值为 .
故答案为 .
模型 9 乘 1 法模型
1.【解析】
因 ,则
,当且仅当 时等号成立.
即当 时, 取得最小
值为 8 . 故选 C.
2.【解析】因 ,则 24,
当且仅当 ,即 时, 等号成立. 故选 B.
3.【解析】 ,故 .
因为 ,所以 b)
当且仅当 ,即 时等号成立,所以 的最小值为 .
故选 D.
4.【解析】
,
当且仅当 ,即 时取得等号,
所以 12) .
故选 C.
5.【思维建模】
已知条件 已知 为正实数，
建模解模 1. 把 变形为 2. 把含有 的式子分离变量进一步变形为 3. 消去相关项 4. 利用乘“1”法求解
【解析】 为正实数, .
又 ,
当且仅当 ,即 ,即 时取等号,
故当 时, 取得最小值 .
故选 B.
6.【解析】由 ,所以 ,所以 ,
当且仅当 时等号成立，故 A 正确，B错误；
又 ,
当且仅当 ,即 时等号成立,
即 解得 ,故 C 正确, D 错误. 故选 AC.
7.【解题提示】首先对关系式进行恒等变换,进一步整理得 ,最后利用乘 “ 1 ” 法求出结果.
【解析】已知正数 满足 , 所以 ,所以
则 ,当且仅当 时,取等号.
要使 恒成立,只需满足 即可,
故 . 故选 AB.
8.【解析】因为 ,且 ,所以
当且仅当 ,即 时取等号.
故答案为 .
9.【解析】 ,
当且仅当 ,即 时等号成立.
故答案为 .
10.【解析】第①步，由已知可得， 3,则 ,
第②步，
第③步，当且仅当 ，且
,即 ,
时等号成立. 所以 的最小值为 .
故答案为 .
模型 10 连续使用基本不等式模型模型 11 基本不等式链模型
1.【解析】因为 ,所以 ,当且仅当 时等号成立.
故选 B.
2.【解析】由正实数 满足 ,化为 ,
为求 的最小值,将含 “ ” 项用 “ ” 的函数表示得 .
因为 (当且仅当 时“=”成立)，
所以 ,解得 .
所以实数 的最小值为 .
故选 A.
3.【解析】因为 ,且 ,
所以
,当且仅当 时取等号.
故选 C.
4.【解析】由 ,得 ,当且仅当 时取等号,
则 ,即 ,解得 , 时等号成立,故 取得最小值 . 故选 C.
5.【思维建模】
已知条件 建模解模 1. 所求 变形为 2. 在条件 0)下，求 最小值，需使用 “1”的代换化齐次 3. 在条件 下，求 最小值,为达到消 的目的,需拆凑放缩(解答所给方法)或直接使用基本不等式 4. 直接运用互倒型, 使用基本不等式. 三次使用基本不等式取等条件相互独立，从而最小值能够取得
【解析】由题 , ,当且仅当 时, “=”成立.
因为 ,所以 ,当且仅当 时,“ ”成立.
于是 ,
当且仅当 时，“=”成立.
所以 的最小值为 . 故选 C.
6.【解析】由已知条件 ,结合基本不等式即可得到
故选 CD.
7.【解析】因为 为正实数,
所以 ,
因此 的最小值为 4,当且仅当 ,即 时等号成立, 此时 ,又因为 ,所以 在 上有解,
所以由基本不等式可知 时等号成立,
所以 . 故选 BCD.
8.【解析】所求变形为 .
,当且仅当 时,等号成立.
,
，当且仅当 时，等号成立，
的最小值为 ,当且仅当 时成立.
故答案为 .
9.【解析】第①步，由 当且仅当 ,即 时等号成立 . 第②步，同理， (当且仅当 时等号成立).
第③步, (当且仅当 时等号成立).
第④步，将上述三个不等式相加得
. 因为 ,所以 ,当且仅当 时等号成立.
故答案为 3 .
10.【解题提示】本题中, 虽然已知中含有三个变量,但其地位是不同的,这里 有约束条件,而变量 除了 “ ” 外, 没有其他的任何约束条件, 系“单身狗”，故应将其分为一组，目的是“孤立单身狗”，求出其最小值，再使用基本不等式,在进一步求 的最小值时, 观察式子的结构特征,可以用 “ 1 ” 的代换, 其目的在于 “化齐次”.
【解析】由于 ,故考虑先求出 的最小值,
24.
故答案为 24 .
模型 12 柯西不等式模型
模型 13 权方和不等式模型
1.【解析】因为 ,所以 , 由权方和不等式 可得
当且仅当 ,即 时，等号成立. 故选 C.
2.【解析】由柯西不等式可得 ,即 ,所以 , 当且仅当 即 时取等号,故 的最小值为 . 故选 B.
3.【解析】由权方和不等式,得
,当且仅当 时取等号,即 ,所以 的最小值为 8 . 故选 B.
4.【解析】由柯西不等式 .
将 代入上式,得到 . 两边同时除以 25,可得 . 等号成立的条件是 ,结合 ,可联立方程组
,所以
的最小值为 1 . 故选 A.
5.【思维建模】
已知条件 求函数 的最大值
建模解模 1. 由柯西不等式可得,函数 2. 当且仅当 时取得最大值可求
【解析】由柯西不等式可得,函数 当且仅当 ,即 时等号成立. 故选 A.
6.【解析】因为 ,所以 , 于是得 25,当且仅当 ,即 时取 “ ”,所以函数 的最小值为 25 . 故选 BCD.
7.【解题提示】先利用柯西不等式求得 ( 的最大值,由此求得 的最大值. 进而得到答案.
【解析】由柯西不等式得
18,所以 ,当且仅当 时,等号成立. 故选 AB.
8.【解析】根据柯西不等式 ,我们构造两组数: 令 ,则有 . ,
即 . 因为 ,所以 ,即 . 等号成立的条件是 ,也就是 ,结合 ,可得 . 故答案为 9 .
9.【解析】 ,当且仅当
时取等号. 由 得 故答案为 .
10.【解析】设 ,可得 ,所以 .
因为
,所以 , 当且仅当 时, 取得最大值 6 ，此时 ，所以 的最大值为 .
故答案为 3 .
第三章 函 数
模型 14 函数的理解及定义域与求值问题模型
1.【解析】函数 有意义,则有 解得 且
所以函数 的定义域为 .
故选 B.
2.【解析】由函 有意义,得 . 故选 B.
3.【解题提示】函数 的定义域是 ,等价于不等式 对任意 恒成立,分 和 两种情况求出实数 的取值范围即可.
【解析】因为函数 的定义域是 ,
所以不等式 对任意 恒成立.
当 时, ,对任意 恒成立, 符合题意;
当 时, 即 解得 .
综上,实数 的取值范围是 .
故选 D.
4.【解析】因为函数 的定义域为 , 2),所以 满足 ,即 .
又函数 有意义, 得 解得 ,
所以函数 的定义域为 .
故选 C.
5.【思维建模】
已知条件 已知函数 的定义域为 (2,4)
建模解模 1. 函数 的定义域为 02, 4),故 2. 由 可得 3. 解不等式组求出定义域
【解析】函数 的定义域为 , 故 .
若函数 有意义,则
则函数 的定义域为 (1, .
故选 B.
6.【解题提示】由已知,得到 0 的解集为 ,所以方程 的两根为-3,6,再由根与系数的关系得到 .
【解析】由题意得不等式 的解集为 ,
和 是方程 的两个根,且 ,
于是 解得 故选 AB.
7.【解题提示】根据分式函数中分母不为 0 得 恒成立,分类讨论, 时符合题意, 时利用判别式法列不等式求解即可.
【解析】由函数 的定义域为 ,得 恒成立.
当 时, 恒成立;
当 时, ,解得 . 综上所述，实数 的取值范围为 .
故选 AB.
8.【解析】 的定义域满足 且 ，解得 且 . 故答案为 .
9.【解析】将长度为 2 的一根铁丝折成长为 的矩形,则宽为 ,
,
函数的定义域为 .
故答案为 .
10.【解析】由函数 的定义域为 ,得 恒成立.
当 时, ,成立;
当 时,需满足
解得 .
综上所述， 的取值范围是 . 故答案为 .
模型 15 函数解析式求解模型
1.【解析】由题意, ,即 . 故选 A.
2.【解析】方法一: 令 ,则 ,所以 ,即 , 所以 .
方法二: ,故 ,代入右边 .
故选 B.
3.【解题提示】设 , 根据 得到 ,再根据 得到 -1 , 从而得到函数的解析式.
【解析】设 ,
.
又 ,
令 ,则 ,
,即 .
令 ,则 ,即
.
故选 D.
4.【解析】因为 1),所以 . 故选 D.
5.【思维建模】
已知条件 已知函数 的定义域为 ,且满足
建模解模 1. 对于 求函数解析式的题目，可使用方程组法 2. 将原方程与令 后得到得方程组成方程组, 解出 即可
【解析】因为 ①,
所以 ②,
① ②得 ，
即 ,
所以 .
故选 C.
6.【解题提示】设 ,代入 ,通过对比系数列方程组,求得 ,进而求得 .
【解析】设 ,
因为 ,
所以
所以
解得
所以 或 .
故选 AD.
7.【解析】对于 ,令 ,则 正确; 对于 ,令 , 则 , 即 ①, 所以 ,即 ②. 又因为 也符合上式, C 正确; 联立①②，解得 ，D 错误; 错误. 故选 AC.
8.【解析】令 ,则 ,可得 ,即 . . 故答案为 -3 或 3 .
9.【解析】因为定义在 上的函数 满足 , 将 换成 可得 , 将其代入上式可得 , 所以 . 故答案为 .
10.【解析】令 ,则 . 由 可得 因为 ,所以 1) .
故答案为 .
模型 16 分段函数模型
1.【解析】根据已知 ,所以 . 故选 D.
2.【解析】当 时, ,则 ,解得 (舍去); 当 时, ,则 ,解得 . 故选 B.
3.【解析】当 时,不等式 可化为 ,
所以 ,可得 ;
当 时,不等式 可化为 ,
所以 ,且 ,
所以 ,
所以不等式 的解集是 . 故选 B.
4.【解析】因为 在 上单调,且当 时, 单调递增,
所以 在 上单调递增需满足
解得 ,即 的取值范围是 . 故选 B.
5.【思维建模】
已知条件 函数 的值域为
建模解模 1. 可知当 时, 的取值范围是 ,当 时, 的最大值为 2. 注意到 趋于负无穷时, 也会趋于负无穷,由此即可列出不等式求解
【解析】当 时, 的取值范围是 , ,
注意到 ,则
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时, 的最大值为 ,且注意到 趋于负无穷时, 也会趋于负无穷.
若函数 的值域为 ,
则当且仅当 ,解得 . 故选 A.
6.【解析】例如 ,则 ,
符合题意,此时 ;
例如 ,则
符合题意,此时 ;
例如 ,则
符合题意,此时 ;
综上所述， 的取值正、负、零都可能. 故选 ABC.
7.【解题提示】探讨函数 的性质并画出函数 的图象,然后把函数 仅有 4 个零点,转化为函数 图象与直线 有 4 个交点, 数形结合即可求解.
【解析】当 时, 在 上单调递增,函数值集合为
当 时, 在 上单调递减，函数值集合为 .
又函数 是定义在 上偶函数，其图象关于 轴对称，作出函数 图象.
函数 仅有 4 个零点,则函数 图象与直线 有 4 个交点,
当 时,函数 图象与直线 有 4 个交点,
所以实数 的取值范围是 .
故选 AB.
8.【解析】当 时,则 ,解得 ;
当 时,则 , 解得 .
综上, 的取值范围是 .
故答案为 .
9.【解析】作出函数 的图象,如图. 可知函数 在 上为单调递增函数,
故由 可得 ,即 ,解得 或 ,即实数 的取值范围是 , .
故答案为 .
10.【解析】由题知, 是奇函数且是周期为 4 的周期函数,
又当 时,
.
故答案为 2 .
模型 17 脱“ ”解不等式模型
1.【解析】因为 为 上的增函数,所以由 ,得 ,
即 ,即 ,解得 ，所以实数 的取值范围为 .
故选 C.
2.【解析】由一次函数和二次函数的性质可知,函数 的图象连续,在 上单调递减，如图所示，
若 ，则 ，解得 .
所以实数 的取值范围是 . 故选 A.
3.【解题提示】利用 的奇偶性可得 ,再结合 的单调性得到 ,从而得解.
【解析】因为函数 为 上的奇函数, ,则 , ,
所以 可化 .
又函数 在 上单调递增，所以 ,解得 . 故选 B.
4.【解题提示】设 ,即可判断 的单调性,不等式 ,即为 ,结合函数的单调性解得即可.
【解析】设 ,则 ,且 .
因为对任意的实数 且 ,
所以 ,
即 ,
所以 在 上是增函数,
所以不等式 ,即 ,即 ,
所以 ，解得 ，
即不等式 的解集为 , 2). 故选 B.
5.【思维建模】
已知条件 函数 是定义在 , 上的偶函数, ,当 时,
建模解模 1. 根据偶函数的定义域关于原点对称求出 的值 2. 依题意可得 在 上单调递减,则在 上单调递增 3. 根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式,需注意函数的定义域
【解析】因为函数 是定义在 , 上的偶函数,所以 ,解得 .
又 ,当 时,
所以 在 上单调递减,则 在 上单调递增,
不等式 ,即 ,等价于 解得 ,
所以不等式 的解集是 . 故选 C.
6.【解析】当 时, 成立,
则函数在
又函数 为偶函数,
则函数 在 上单调递增函数.
对任意的 恒成立,
所以 ,
当 时,不等式恒成立,
当 时, .
又 , 当且仅当 时取等号,
则 ,即 ,解得
由必要不充分条件的概念可知选项 A, D 正确,选项 B, C 错误.
故选 AD.
7.【解题提示】作出函数 的图象,易判断 ,然后分类讨论确定 , 和 的表达式,判断 CD.
【解析】作出函数 的图象,如图实线部分.
由图可知其图象关于 轴对称,函数为偶函数, 正确;
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,当 时, ,当 时, .
,再计算得 ,
根据图象得 解集为 , B错误;
当 时, ,即 ，恒成立；
当 ，即 时, ,即 ,即 ,解得 , 故此时 的范围为 ,
当 ,即 时, ,即 , 解得 ,故此时 的范围为 . 综上, ,则 ,反过来同样成立,故 正确;
对于 ,由 选项知 时, ,则 ,
则 成立， 正确.
故选 ACD.
8.【解析】由题意得 解得 ,则实数 的取值范围是 .
故答案为 .
9.【解题提示】根据单调性的定义得到 在 上单调递增,然后根据 为奇函数, 得到 在 上单调递增, ,然后分 和 两种情况解不等式即可.
【解析】因为 对任意 都有 ,所以 在 , 上单调递增.
又 为奇函数, ,则 在 上单调递增, ,
可变形为 或 或
故答案为 .
10.【解析】函数 的定义域为 ,令函数 ,
则 ,
显然 ,
函数 在 上都单调递增, 因此 在 上单调递增,
不等式 化为
,于是 ,即 ,解得
所以实数 的取值范围是 .
故答案为 .
模型 18 对勾函数与飘带函数模型
1.【解析】函数 的定义域为 ，根据对勾函数的图象与性质， 函数在定义域上无最小值，故 A 错误，无最大值，故 错误； 在 上单调递减，在 上单调递增，故 正确，D 错误. 故选 B.
2.【解析】方法一:(利用基本不等式) 由 ,得 ,故 , 所以 ,当且仅当 且 ,即 时,等号成立,所以 的最小值为 0 .
方法二:(利用对勾函数的性质)
因为 ,所以 .
令 ,当 单调递增.
所以 时, .
故选 D.
3.【解析】由 ,令 , 则有 ,由对勾函数的性质知, 在 上单调递增,所以当 时, , 即当 时, .
故选 C.
4.【思维建模】
已知条件 在 内恒成立
建模解模 1. 转化不等式:将不等式变形为 或 2. 构造对勾函数: 3. 套用对勾函数在不同区间的性质求解
【解析】当 时, 成立,
当 时,由 ,得 ,令 ,则 .
由对勾函数模型,当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,所以在 处,取得最大值,最大值为 ,所以 .
同理,由对勾函数的性质,当 时, .
综上可得,实数 的取值范围是 .
故选 B.
5.【解析】 , 设 ,因为 ,所以 , 于是 ,令 , 则 ,
于是 ,由于函数 在区间 上单调递减，在区间 , 上单调递增,所以函数 在区间 上单调递增, 故当 时, 取最小值 ,即 的最小值为 5. 故选 D.
6.【解析】在选项 中,由于函数 在区间 上单调递增, 其最小值为 ,所以选项 错误; 在选项 中,令 ,因为 ,则 ,函数 的最小值为 4,当且仅当 时取等号,所以选项 正确; 在选项 中, ,
当且仅当 时取等号,所以选项 C 正确；
在选项 中, 在区间 , 上单调递增,所以最小值为 , 所以选项 D 正确.
故选 BCD.
7.【解题提示】依题意得到函数的单调性, 再分 三种情况讨论, 分别求出函数的最值, 即可得到方程,解得即可.
【解析】由对勾函数的性质得, 在 上单调递减,在 , 上单调递增,若 ,即 时, 在 上单调递增,所以 ,所以 ,解得 . 若 4，即 时， 在 上单调递减，所以 ,所以 ,解得 12(舍去); 当 ,即 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 , ,若 且 ,即 ,所以 ,解得 或 (舍去); 若 且 ,即 ,所以 ,解得 或 (舍去). 综上可得 或 . 故选 AD.
8.【解析】 1,令 ,则 ,则 可化为 .
可知 是飘带函数,在 上单调递增. 要求 的值域,即求 时 的值域.
则 的值域为 .
故答案为 .
9.【解析】 ,当且仅当 时等号成立,所以 ,经检验,当且仅当 时等号成立.
故答案为 9 .
10.【解析】第①步:函数的转化与对勾函数模型的确定.
令 ,因为 ,则 ,此时函数 转化为 .
(这是典型的对勾函数 1>0)的形式
由对勾函数 的性质,在 上单调递减,在 上单调递增.
第 ② 步: 求 在 上的值域.
因为 在 上单调递减,
所以当 时, 取得最大值,
当 时, 取得最小值, .
即 的值域是 .
第③步:根据函数值关系确定 的最大值. 因为 ,要使 最大,需 , 尽可能取最小值 尽可能取最大值 .
所以 ,解得 ,故正整数 的最大值为 4 .
故答案为 4 .
模型 19 直接法模型
模型 20 数形结合法模型
模型 21 换元法模型
模型 22 分式类函数值域求解模型
模型 23 反表示法与判别式法模型
1.【解析】函数 ,易得函数在 上单调递减,
当 时, ; 当 时, ,所以函数的值域为 .
故选 D.
2.【解析】依题意, ,显然 ,则 ,于是 ,所以函数 的值域是 . 故选 C.
3.【解析】方法一:单调性法.
定义域为 ,函数 均在 上单调递增,故
即函数值域为 .
方法二:代数换元法.
令 ,则 ,且 ,
.
函数值域为 .
故选 A.
4.【思维建模】
已知条件 已知正实数 满足
建模解模 1. 设 ,则 ,代入已知等式,化为关于 的方程 2. 由判别式非负,解得 的最大值
【解析】设 ,则 .
因为 ,
所以 ,
即 ,
所以 , 解得 .
又因为 为正实数,
所以 ,
所以 的最大值为 . 故选 C.
5.【解析】由 ,得 , 令 , 则 , , , , . 故选 B.
6.【解题提示】令 ,则 ,结合二次函数的性质即可求解.
【解析】由题意可得 可得 , 令 ,则
当 时取得最大值,
但由于 ,故当 ,即 时, ,解得 .
故选 B.
7.【解析】-
,则 ,
令 ,
则 ,
则 转化为
函数 图象开口向下,对称轴为直线
所以 的最大值为 ,最小值为 所以 的值域为 . 故选 C.
8.【解析】令 ,可得 ,即 ,解得 ; 令 ,可得 ,即 ,解得 或 . 所以 作出 的图象如图所示.
由图象可得 的最小值为 0 . 故选 B.
9.【解析】因为 所以 ,
所以此函数的定义域为 .
又因为 是减函数,
当 时, 取得最大值 ,
当 时 取得最小值 ,
所以值域为 .
故选 AD.
10.【解析】 ,则 ,即 ,当 时， ；当 时， . 综上，函数 的值域为 . 故选 BC.
11.【解析】对于选项 ,因为 ,
且 在 上单调递减,可得
所以函数 的值域为 , 2]，故 A 错误；
对于选项 B，函数 的定义域为 ,
令 ,则 .
又 在 上单调递增, 则 ,
则函数 的值域为 ,故 正确;
对于选项 ,令 ,则 , ,可得 ,
因为函数 的图象开口向上,对称轴为直线 ,
可得 在 上单调递增,且 ,
所以 的值域为 , 即函数 的值域为 ,故 C 正确; 对于选项 D: 由题意可得 的定义域为 ,
因为 ,即 ,可得 ,
所以函数 的值域为 , 故 D 正确. 故选 BCD.
12.【解析】方法一:基本不等式法(对勾函数法).
由 ,得 .
当且仅当 时等号成立,
,即 或 .
即函数值域为 .
方法二: 判别式法.
由 ,得 .
方程有实根, . 即 ,
或 .
得 或 .
当 时, ,此时 , 故函数值域为 . 故答案为 .
13.【解析】当 时, ,所以 .
当 时， ，所以 . 当 时， ，所以 .
综上, 图象如图所示. 函数 的值域是 .
故答案为 .
14.【解题提示】利用换元法,令 ,结合二次函数的性质分析求解.
【解析】第①步,因为 ,令 ,则 , 第②步， 第③步， 的图象开口向上， 对称轴为直线 ,且
所以 在 内的值域为 ,即 在 , 内的值域为 .
故答案为 .
模型 24 二次方程实根分布模型
1.【解析】因为关于 的方程 有两个不等实根,所以 0,解得 或 ,
所以 “ ” 是 “关于 的方程 有两个不等实根”既不充分也不必要条件. 故选 D.
2.【解析】设 ,由题意可
得
解得 .
因此,实数 的取值范围是 .
故选 B.
3.【解析】设 , 则 解得 ,
即 的取值范围为 . 故选 D.
4.【解析】因为关于 的方程 在区间 内有实根,
所以 在区间 内有实根. 令 ,所以 在 上单调递减,
所以 ,即 ,
依题意 与 在 内有交点,所以 . 故选 B.
5.【思维建模】
已知条件 已知 ,关于 的方程 有两个不相等的实根, 且均大于 -1 小于 0
建模解模 1. 方程有不等实根且均大于 -1 小于 0,结合图象构建不等式组 2. 注意到 ,根据不等式组限定的 的范围分类讨论求解
【解析】由题意得,
因为 ,
由 ,得 ,
若 ,则 即 ,无解; 若 ,则 ,无解; 若 ,则 即 ,则 或 ,
显然 时, 取最小值 10,若
6，由 ，得 ，
所以 的最小值为 10 .
故选 C.
6.【解析】对于 选项,当 时, ,此时 ,
此时方程没有实数根,故 选项错误; 对于 选项,方程无实数根的充要条件是 ,即
所以方程无实数根的一个充分条件是 的子集，显然 符合, 故 B 选项正确；
对于 C 选项, 方程有两个不相等的负根的充要条件是
解得 ，故 C 选项正确；
对于 选项，方程有一个正根和一个负根的充要条件是
解得 ，故 D 选项错误. 故选 BC.
7.【解析】方程 对应的二次函数设为 2) .
因为方程 恰有一根属于 ,则需要满足:
① 0，解得 ；
②函数 刚好经过点 或者 (1, ,另一个零点属于 ,
把点 的坐标代入 2) ,解得 ,
此时方程为 ,两根为 , 而 ,不合题意,舍去.
把点 的坐标代入 2) ,解得 ,
此时方程为 ,两根为 1, ,而 ,故符合题意;
③ 函数与 轴只有一个交点， ,解得 ,
经检验,当 时满足方程恰有一根在区间 内.
综上,实数 的取值范围为 . 故选 BD.
8.【解析】根据题意得到 即 解得 .
故答案为 .
9.【解析】方法一: 设函数 ,作其草图,如图.
若两实根均大于 1,需
即
解得 .
方法二: 设方程两根分别为 ,则
因为两根均大于 1 ,
所以 ,
故有
即
解得 所以 .
故答案为 .
10.【解析】令 , 根据题意得
由①得 ，由②得 ，由③ 得 ,
求交集得 ,故 的取值范围为 .
故答案为 .
模型 25 三个二次关系的应用模型
1.【解析】不等式 可化为 ,解得 . 故选 A.
2.【解析】因为不等式 的解集为 ,
所以 -2,1 是方程 的两根,所以 -2,所以 . 故选 C.
3.【解析】不等式 ,即 ,不等式解集为 , -2] ,由方程与不等式关系,且不等式解集边界处不能取 1,可知 , 所以 或 则 . 故选 C.
4.【解析】令 ,当 时,开口向上的抛物线与 轴的两个交点,一个在 的左边,一个在 , 0)的右边,
所以有 ,即 , 解得 ,所以 .
当 时, 只有一个实根,不符合题意;
当 时,开口向下的抛物线与 轴的两个交点,一个在 的左边,一个在 的右边,
所以有 ,即 , 解得 .
综上所述, 或 . 故选 D.
5.【思维建模】
已知条件 ,且 恒成立
建模解模 1. 转化为 在 恒成立 2. 令 ，分 讨论 3. 结合对称轴的位置和特殊点的函数值可得答案
【解析】因为 ,所以 ,
即 在 恒成立.
令 ,
时,由 方程无解;
图 1
由 解得 ;
图 2
由
方程组无解; 时,只须 即可,解得 ;
图 3
图 4
时, 时, 单调递减, ,满足题意.
综上所述， .
故选 B.
6.【解题提示】根据对称轴判断 ; 根据 时的函数值符号判断 ; 根据该函数图象与 轴有两个交点判断 ; 由点 的坐标为 ,根据对称性求出 的坐标判断 D.
【解析】因为二次函数 的图象的对称轴为直线 ,所以 ,得 ,故 正确;
由题图可知,当 时, ,故 B 正确;
由题图可知,该函数图象与 轴有两个交点,则 ,故 正确;
因为二次函数 的图象的对称轴为直线 ,点 的坐标为 ,
所以点 的坐标为 ,由图象可知, 当 时, 或 ,故 错误. 故选 ABC.
7.【解析】将方程 化为
由题意可知,关于 的方程 有两个不等的实根,
则 ,解得 , 故 A 错误;
当 时,方程为 , 所以 ,故 正确;
当 时,在同一坐标系下,分别作出函数 和 的图象,
可得 ,所以 正确, 错误.
故选 BC.
8.【解析】由 在 上有解,得 在 上有解, 则 ,由于 , 而 在 上单调递增,故当 时, 取得最大值 ,故 .
故答案为 .
9.【解析】当 时， ,所以不等式的解集为 .
由 ,
当 时, ,该二次函数的对称轴为直线 ,
所以 ,
要想不等式恒成立只需 或 ,
所以实数 的取值范围是 .
故答案为 , .
10.【解析】不等式化简为 的解集中恰有 3 个正整数.
当 时,不等式化为 ,则解集中有无数个整数,不满足题意.
当 时,不等式
的解集中有无数个正整数，不满足题意.
当 时, ,
所以 ,
所以不等式的解集为 , 根据 0 一定属于此集合,
则由不等式 的解集中恰有 3 个正整数,
则这 3 个整数中一定为1,2,3,
则 ,解得 .
故答案为 .
模型 26 平移变换模型
模型 27 伸缩变换模型
模型 28 对称变换模型
模型 29 翻折变换模型
1.【解析】 的图象向右平移 个单位长度,可得 的图象.
故选 C.
2.【解析】方法一:
将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到 的图象, 故 ,解得 ,即向左平移 个单位长度. 故选 A.
方法二: ,所以 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象. 故选 A.
3.【解析】因为 ,所以 的图象与 的图象关于 轴对称,由 的解析式,作出 的图象,从而可得 的图象为 B 选项. 故选 B.
4.【解析】方法一(图象变换法):作出函数 关于 轴对称的图象 (图略),得到函数 的图象,再把得到的图象向右平移 2 个单位长度,得到函数 的图象,再作出与此图象关于 轴对称的图象,得到 的图象,故选 B.
方法二(特殊值验证):当 时， ; 当 时, .
观察各选项可知. 故选 B.
5.【解析】方法一: 设所求函数图象上任一点的坐标为 ,则其关于直线 的对称点的坐标为 ,由对称性知点 在函数 的图象上,所以 .
方法二: 由题意知,对称轴上的点 既在函数 的图象上也在所求函数的图象上, 代入选项中的函数解析式逐一检验,排除 A, C, D,故选 B.
6.【解析】由题图 2 可知,将 在 上的图象沿着 轴对称得到
然后沿着 轴翻折,即可得到 . 故选 B.
7.【思维建模】
已知条件 已知函数 (其中 为自然对数的底数)
建模解模 1. 结合对数运算律化简函数，得出分段函数 2. 应用平移选择即可
【解析】由题意 则 数形结合可知, 的大致图象为选项 A 中的图象.
故选 A.
8.【解析】 的定义域为 ,结
合函数图象可知 ,则 ; 由图象可知 ,即 ,得 ; 由 得 ,即 ,由图象可知 ,由 得 . 故选 C.
9.【解析】对于 ,将函数图象沿 轴向左平移 1 个单位长度,得到函数 的图象,函数 的定义域为 -2,不关于原点对称,所以函数 不是奇函数，故 A 符合题意；
对于 B，将函数图象沿 轴向左平移 1 个单位长度,得到函数 的图象, ,所以函数 为奇函数,满足条件,故 不符合题意;
对于 ,将函数图象沿 轴向左平移 1 个单位长度,得到函数 的图象,函数 的定义域为 ,不关于原点对称,所以函数 不是奇函数,故 符合题意;
对于 ,将函数图象沿 轴向左平移 1 个单位长度,得到函数 1 的图象,定义域为 ,不关于原点对称,所以函数 不是奇函数，故 D 符合题意.
故选 ACD.
10.【解析】函数 的图象关于 轴对称可得 ,如图 1
图 1
再将 的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 2 倍得 ,
图 2
再将 的图象向右平移 2 个单位长度得 ,即得再将 的图象沿 轴翻折可得 ,即得图 3.
图 3
故选 ACD.
11.【解析】 的定义域为 为偶函数, 正确, 错误; 作出 的大致图象如图所示,可知 在 上单调递减,在 (2, 上单调递增, C 正确; 由图象可知函数存在最小值 错误. 故选 AC.
12.【解析】将函数 的图象向下平移 1 个单位长度，得到 2) -1 的图象,再向右平移 1 个单位长度,得到函数 的图象,则 .
故答案为 .
13.【解析】由 是偶函数,得 的图象关于 轴对称,
而函数 的图象可由 1)的图象向右平移 个单位长度得到， 所以函数 的图象的对称轴是直线 .
故答案为 .
14.【解析】由题意可知 在 上有解,即 在 上有解,
作出函数 与 的图象,则两图象在 上有交点,
当 ,即 时两图象在 , 上一定有交点.
故答案为 .
模型 30 单调性法和中间值法模型
1.【解析】因为 定义域上单调递减，故由 得 ，而 定义域上单调递增,故 ,满足充分性; 又 ,满足必要性. 故选 C.
2.【解析】 在 上单调递增, ,故 ,所以 . 在 上单调递增,
,故 ,即 , 所以 . 故选 D.
3.【解析】 ,即 .
故选 C.
4.【思维建模】
已知条件 函数 的图象关于直线 对称,当 且 时, 恒成立
建模解模 1. 函数 的图象关于直线 对称,当 且 时, 恒成立，故 在 上单调递减 2. 函数关于直线 对称,所以 3. 由函数单调性可知大小关系
【解析】因为函数关于直线 对称,所以 ,且函数 在 上单调递减,所以 . 故选 D.
5.【解析】易知 ,即 .
而 ,所以 ,即 .
又 ,
即 , 即可得 . 故选 D.
6.【解析】对于 ,由 ,得函数 在 上单调递减，而 ，则 , A 错误;
对于 ,由 ,得函数 在 上单调递减，而 ，则 , B 正确;
对于 ,由 ,得函数 在 , 上单调递增,而 ,则 正确；
对于 ,由选项 知, ,即 ,则 , 错误. 故选 BC.
7.【解析】因为 ,所以 ,
所以 , 即 ,所以 ,故 正确，B错误；
又因为 ，所以 ，所以 ,即 ,
所以 ,故 正确, 错误. 故选 AC.
8.【解析】因为 ,
,且 ,
,
故 .
故答案为 .
9.【解析】由 得 . 因为 ,
所以 . 由 得 . 因为 ,
所以 ,因此 .
由 得
得 ,
于是有
. 因为 ,
所以 . 因为 ,
所以 ,
即 .
故答案为 .
10.【解析】由 得指数函数 是 上的减函数,
,即 .
幂函数 ,在 上是增函数,
, 即 ,
,故 .
故答案为 .
模型 31 构造函数法模型
1.【解析】因为 在 上单调递增, 在 上单调递减, 所以 ,故 . 故选 B.
2.【解题提示】构造函数 ,利用放缩法和函数 的单调性即可得到 .
【解析】令 ,则 为 上增函数. 又 则 ,则 . 故选 B.
3.【解析】由 ,得 ,即 . 设 ,则 . 且 在 上单调递增,故 ,即 . 故选 A.
4.【解题提示】先对等式变形得到 ,构造 ,求导得到其单调性,结合 ,得到 ,由 8 推出 ,结合函数单调性求出 ,从而比较出大小.
【解析】由 ,同理 ,
令 ,
当 时, ,当 时, ,
可得函数 的递减区间为 , 递增区间为 ,而 ,
又由 ,可得 ,
又由 及 的单调性,可知 ,故 .
故选 C.
5.【思维建模】
已知条件 已知
建模解模 1. 将 变为 ,构造函数 2. 利用导数判断函数的单调性, 再结合 ,根据函数的单调性求解
【解析】由 ,得
令 ,则
当 时, ,当 时, ,所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减. 又因为 ,且 , ,所以 , 即 ,所以 . 故选 D.
6.【解析】对于 ,由 ,得 ,又 单调递增,
所以 ,故 正确;
对于 ,由于 在 上不单调,
所以 与 的大小关系无法确定,故 B 错误;
对于 ,由 ,得 .
又 单调递增,所以 ,故 C 正确;
对于 ,由 ,得 .
又 单调递增,所以 ,故 错误. 故选 AC.
7.【解析】方法一(构造函数法):
由题意, . 设函数 ,显然 在区间 上单调递增,故由 ,得 ,故 ,故 A 错误. 正确; 由 ,得 ,故 正确; ,故 D 不一定正确. 故选 BC. 方法二(筛选法):
由题意, . 当 ,即 时, ,而 ,所以 ,故 不成立. 当 时, 不成立,故 ,所以 ,故 错误, 正确. ,则 , ,故 C 正确. 1 , 故 D 不一定正确.
故选 BC.
8.【解析】因为 和 在 , 上均为增函数,
所以 在 上为增函数,
即 时, ,
即 时, .
故答案为
9.【解析】由题意,在 中, 的图象在函数 图象的上方,且随着 的增大, 两条曲线越来越接近. 这说明,随着 的增大, 两个函数的值越来越接近.
随着 的增大,比值 越来越小,且趋向 1, 是 上的减函数, . 故答案为 .
10.【解析】因为
所以构造函数 ,由对数函数的性质知, 在 上单调递增,
只需比较 的大小,
由于 ,故 ,
所以 ,
所以
故答案为 .
模型 32 数形结合法与特殊值法模型
1.【解题提示】作出函数 的图象,结合图象可得出 的大小关系.
【解析】作出函数 , 的图象如下图所示:
因为 ,由图象可得 . 故选 D.
2.【解析】由题意, , 表示 时函数 的点 的纵坐标,
表示 时函数 的点 的纵坐标,
表示 时函数 的点 的纵坐标,
作出三个函数的图象如图所示,
由图可知, .
故选 A.
3.【解析】画出 的图象,如图所示.
根据图象知, .
故选 D.
4.【解题提示】根据题意，将问题转化为函数 与直线 的交点的横坐标的关系, 再作出图象, 数形结合求解即可.
【解析】因为 均为大于 0 的实数, 所以 ,
进而将问题转化为函数 , 与直线 的交点的横坐标的关系,
故作出函数图象，如图，
由图可知 .
故选 C.
5.【思维建模】
已知条件 ,若
建模解模 1. 分别作出三个函数的图象 2. 根据图象举特例讨论: 分当 时; 当 时; 当 时三种情况求解
【解析】分别作出三个函数的图象, 如图.
当 时,有 ,故 B 有可能;
当 时,如图中 轴上方的虚线所表示,此时有 ,故 A 有可能;
当 时,如图中 轴下方的虚线所表示,此时有 ,故 C 有可能;
除此三种情况, 时,没有其他情况, 故 D 不可能.
故选 D.
6.【解析】 故可作出 的图象如图所示,
由图可知,要使 且 成立，则有 且 ，
故必有 且 ,
又 ,
即为 ,
所以 .
由于函数 为单调递增函数,且 ,所以 ,故 可能, 不可能. 故选 BC.
7.【解题提示】 选项,可举出实例; 选项,由 得到 ,从而结合函数单调性得到 ,故 , D 错误,不妨设 ,比较出 正确.
【解析】A 选项,若 ,则 ,
则 , A 正确;
B 选项,若 ,则 , 2) ,
则 , B 正确;
CD 选项,由定义域可知, ,故 成立时,
则必有 ,
此时 ,
由于 ,故 在 上单调递增,故 .
又 在 上单调递减,故 , 故 ,即 ,所以 , D 错误,
下面比较 与 的大小,
不妨设 ,
此时 .
因为 ,所以 , 故 ,
故 .
又 ,
因为 ,
所以 ,满足 ,则 成立, 正确.
故选 ABC.
8.【解析】 ,即 .
,
下面比较 与 的大小,构造函数 与 ,
由指数函数 与幂函数 的图象与单调性可知,
当 时, ; 当 时, .
由 ,故 ,
故 ,即 ,
所以 .
故答案为 .
9.【解析】在同一坐标系中分别画出 , 的图象,
与 的交点的横坐标为 , 与 的图象的交点的横坐标为 ,
与 的图象的交点的横坐标为 ,从图象可以看出 . 故答案为 .
10.【解题提示】设 , 则 ,画出函数图象,分情况讨论 的取值,进而求得答案.
【解析】设 ,则
分别画出函数 的图象如图所示.
根据图象知,当 时, , 当 时, ,
当 时, ,当 时, ,当 时, . 故答案为①②⑤.
模型 33 同构法模型
模型 34 放缩法模型
1.【解析】设 ,因为 ,所以当 时, 在 上单调递减,当 时, 在 上单调递增, 所以当 ,且 时, 0,即 .
所以 , ,所以 最小.
又因为 ,所以 . 综上, . 故选 A.
2.【解题提示】令 ,利用导数说明函数的单调性,即可得到当 时 ,从而说明 ,再比较 与 的大小关系,即可得解.
【解析】令 ,则 ,所以 在定义域上单调递减,
所以当 时, ,即 ,所以 .
又 ,且 , 所以 . 故选 B.
3.【解析】 ,
,
.
,
.
,
. 故 A, C, D 错误.
故选 B.
4.【解析】方法一: 构造法
设 ,因为
当 时, ,当 , 时, ,
所以函数 在 ( 0 , 单调递减，在 上单调递增， 所以 ,所以 ,故 ,即 , 所以 ,所以 ,故 ,
所以 ,
故 ,
设 ,
则
,
令
,
当 时, ,
函数 单调递减,
当 时, ,
函数 单调递增,
又 ,
所以当 时, ,
所以当 时, ,
函数 单调递增,
所以 ,即 ,所以 .
方法二: 比较法
,
① ，
令 ,
则 ,
故 在 上单调递减,
可得 ,
即 ,所以 .
② ，
令 ,
则
令 ,
所以 ,
所以 在 上单调递增,可得 ,即 ,
所以 在 上单调递增,可得 ,即 ,
所以 .
故 .
方法三: 放缩法
因为 ,所以 ,
所以 ,即 .
令 代入不等式可得 ,故 .
又 ,所以 ,
所以 .
令 代入不等式可得 ,故 ,故 .
故选 C.
5.【思维建模】
已知条件
建模解模 1. 设 ,由导数得其单调递增, 从而得 时, ,即 2. 由 可得 ,再设 ,由导数得其单调性得 时, ,从而可得 1,得出 ,结合起来可得结论
【解析】易知 ,又 ,所以 ,设 ,则
所以 在 上单调递增,
所以 .
设 ,所以 在 上单调递减.
当 时, ,
所以 ,综上, .
故选 C.
6.【解析】对于
当且仅当 时,等号成立,故 正确;
对于 ,所以 ,故 B 正确;
对于
当且仅当 时,等号成立,故 不正确;
对于 D,因为
所以 ,当且仅当 时,等号成立,故 正确.
故选 ABD.
7.【解析】对于 A，设 ,则 ,
当 时, ,函数单调递增; 当 时, ,函数单调递减;
所以 ,所以 ,即 , 所以 ,故 A 正确;
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,即 ,故 正确;
对于 C, D,设
当 时, ,函数单调递增; 当 时, ,函数单调递减; 所以 ,即 ,故 正确; 又 ,所以 ,故 D 错误. 故选 ABC.
8.【解题提示】由题意可得 ,构造函数 ,利用导数判断函数的单调性, 从而可得出结论. 【解析】由题意可得
,设 ,
则 ,
当 时, ,所以 在 上单调递增,
则 ,从而 , 即 ,故 ,即 , 设 ,
则 ,
当 时, ,所以 在 上单调递减,
则 ,即 , 即 ,
从而 ,即 ,故 ,即 ,
设 ,则
当 时, ,所以 在 上单调递增,
则 ,即 , 从而 , 即 ,故 ,即 . 故答案为 .
9.【解题提示】构造函数 , 利用导数证明 ,进而比较 大小,再根据正余弦函数性质比较 大小即可得答案.
【解析】当 时, . 又 ,所以 ,故 .
记 ,所以 ,令 ,得 ,
令 ,得 ,
所以 在 单调递减,在 , 单调递增,
所以 ,即 , 当 时取等号.
所以 , 所以 .
故答案为 .
10.【解析】因为当 时, , 故 , ,故 ,所以 .
设 , ,所以 在 单调递增,故 ,所以 ,所以 ,所以 .
故答案为 .
模型 35 函数图象与表达式的匹配模型
1.【解析】因为函数定义域为 ,
所以 为奇函数，则其图象关于原点对称，所以排除 ，
当 时， ，所以排除 D.
因为由幂函数的性质可知当 时, 在直线 的上方,
所以排除 B,故选 C.
2.【解析】由题意,函数 的定义域为 ,且 ,所以函数为奇函数,故排除 CD; 又当 时, ,排除 B,故选 A.
3.【解析】由解析式,知 的定义域为 , ,
所以 为奇函数,
当 时,
则 ,
所以,在 上 ,
结合各项函数图象知 C 选项满足要求.
故选 C.
4.【思维建模】
已知条件 函数 与函数 的图象关于直线 对称
建模解模 1. 函数 与函数 互为反函数 2. 得 3. 根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解
【解析】由题意函数 与函数 互为反函数,
所以 ,解得 1),它在定义域 内单调递增,且过定点 ,
对比选项可知 符合题意. 故选 A.
5.【解析】A 选项, ,故 A 错误; B 选项,记 ,则 ,故 为奇函数, 不符合题意, 故 B 错误;
选项,记 ,
则 ,
故 为偶函数,
当 时,
此函数在 上单调递增,在 上
单调递减,且 0 , 故 C 正确;
D 选项,记 ,
则 ,
故 既不是奇函数也不是偶函数,不符合题意, 故 D 错误.
故选 C.
6.【解析】由已知得 ,
若 为偶函数,则 恒成立,所以 恒成立,故 -1 ,
则 ,所以 时有 ,显然 正确, 错误;
若 为奇函数,则 恒成立,所以 恒成立,故 , 则 ,所以 时有 ,显然 正确, 错误. 故选 BC.
7.【解题提示】先由图象得到 的定义域、奇偶性与单调性, 再结合指数函数的性质,逐一分析各选项即可得解.
【解析】由图象可知, 是定义在 上的奇函数,则 ,
同时， 在 上先增后减，
对于 , 不满足题意，故 A 错误；
对于 ,当 时, ,即
所以 ,即 , 所以 在 上单调递增,故 错误;
对于 ,显然, 在 处无意义,故 错误;
对于 的定义域为 ,
又 ,则 是奇函数，
经检验, 的单调性也满足题意,故 正确.
故选 ABC.
8.【解析】对于②，当 时， ，与图象不符;
对于④,当 时, ,与图象不符;
对于③，当 时， ， 故 ，与图象不符. 故答案为①.
9.【解析】由函数图象知 ,因此 . 令 ,得 . 又由图象知 .
令 ,得 ,结合图象知 . 故 .
故答案为 C.
10.【解析】由题图知,方程 的两根为 2,4 , 且函数图象过点 ,
解得 ,
所以 .
故答案为 .
模型 36 函数三大性质解题模型
1.【解析】因为函数 为偶函数,且在 上单调递减,
所以 ,
所以 .
因为 ,
所以 ,
即 . 故选 A.
2.【解析】因为 是周期为 2 的奇函数, 当 时, , 所以 . 故选 A.
3.【解析】因为函数 是 上的奇函数, 且在 内是减函数, , 所以 在 上单调递减, , 所以当 时, 的解集为 (2, ,
当 时, 的解集为 , .
又 ,所以 同解于
解得 .
故选 C.
4.【解析】因为 在 上的奇函数,且
所以 ,即
所以 ,则 的周期为 ,
所以 .
故选 B.
5.【思维建模】
已知条件 是定义在 上的偶函数, 且对任意 ,当 时,都有 0,若对任意实数 ,都有 恒成立
建模解模 1. 首先判断函数的单调性, 再结合函数是偶函数 2. 化简不等式, 恒成立 3. 再求参数的取值范围
【解析】由题意可知,当 时,有
则函数 在 单调递增.
因为函数 是定义在 上的偶函数, 且对任意实数 ,都有 恒成立,
所以 ,即 ,即 ,
整理为 恒成立,
所以
解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
故选 C.
6.【解析】对于 ,因为 是奇函数, 所以 ,故 错误;
对于 ,因为 是奇函数,
所以 的图象关于点 对称,
即有 ,
所以
所以 的图象关于直线 对称.
因为函数 在 上单调递增, 所以 在 上单调递减,故 正确;
对于 ,因为 ,及 项知 在 上单调递减,
所以 ,
即 ,故 正确;
对于 ,因为 ,且 ,
由函数 的图象关于直线 对称,得 ,解得 ,故 D 正确. 故选 BCD.
7.【解题提示】先通过分析,得到若 在 上单调递增,则函数 为“理想函数”,然后依次判断四个选项能否满足题意.
【解析】不妨设 ,则由题意可得 ,即 ,由单调性定义可知,函数 在 (0, 上单调递增,即若 在 , 上单调递增,则称函数 为“理想函数”.
A 选项中 ,该函数在 , 上单调递增,符合 “理想函数” 的定义; B 选项中 ,该函数在 上单调递增,符合“理想函数”的定义;
选项中 ,该函数在 上单调递减，不符合“理想函数”的定义；
D 选项中 . 该函数在 , 上单调递增,符合“理想函数”的定义.
故选 ABD.
8.【解题提示】根据 求出 ,函数的一个周期为 4, 进而得到 ,求出答案.
【解析】 ,故 .
两式相除得 ,故 的一个周期为 4 ,
故 . 因为 ,所以 .
故答案为 3 .
9.【解题提示】由于 关于 中心对称,又将函数 的图象向左平移 1 个单位长度后为 的图象,所以 关于 中心对称,即 是奇函数; 又 是偶函数,又将函数 的图象向右平移 1 个单位长度后为 的图象,所以 关于直线 对称,可得函数 的周期 , 由此即可求出结果.
【解析】由于 关于 中心对称,又将函数 的图象向左平移 1 个单位长度后为 的图象,所以 关于 中心对称，即 是奇函数； 又 是偶函数，又将函数 的图象向右平移 1 个单位长度后为 的图象,所以 关于直线 对称, 即 ,所以 2),所以 ,所以 ,
所以函数 的周期 , .
故答案为一1.
10.【解析】函数 的定义域为 ,关于原点对称,设 ,则 ,得 .
令 ,得 ,则 ,得 ,
函数 为奇函数.
任取 ,则 ,
.
另一方面 ,
函数 为 上的减函数.
函数 在区间 上的最小值为 .
故答案为 -8 .
模型 37 函数不等式的恒成立(存在性)问题
1.【解析】当 时,不等式 恒成立,
即当 时,不等式 恒成立, 而 ,当且仅当 ,即 时取等号,所以 8,所以 . 故选 B.
2.【解题提示】命题为真命题转化为二次不等式有解问题,再转化为二次函数图象与 轴有交点得 ,由此解得 的取值范围.
【解析】由题意,不等式 有解. 即不等式 有解. 设 ,则函数图象开口向上，
要使不等式 有解,则函数 图象与 轴有交点,
则 ,化简得 ,解得 ,或 .
故选 D.
3.【解析】由题意,对于 都有 成立,
解得 ,
即实数 的取值范围是 . 故选 D.
4.【解析】因为 ,所以 ,
所以函数 关于直线 对称,当 时,
则函数 在 上单调递增,所以在 上单调递减.
又不等式 在 上恒成立,所以 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,所以 在 上恒成立,
所以 在 上恒成立,所以 .
因为函数 在 上单调递增,所以 .
因为函数 在 上单调递减，所以 ， 所以 ,即 . 故选 D.
5.【思维建模】
已知条件
建模解模 1. ,所以 2. 求 和 的最大值和最小值 3. 解不等式得结果
【解析】 , 所以 ,
在 上单调递减,所以 .
当 时, ,即 ,取 成立.
当 时, ,即 , 得 ,所以 .
当 时, ,即 ,得 ,所以 .
综上, 的取值范围是 . 故选 A.
6.【解析】当 时,由 0 可得 对任意 恒成立,
即 对任意 恒成立,此时 不存在;
当 时,由 对任意 恒成立,
可设 ,作出 的图象如下,
由题意可知 再由 是整数可得 或 或
所以 的可能取值为 -17 或 -5 或 -6 .
故选 BCD.
7.【解析】对于 ,因为 单调递减,所以 -3 .
又因为 恒成立,则 的取值范围是 ,故 正确;
对于 ,因为 单调递减,所以 .
又因为 ,则 的取值范围是 ,故 错误;
对于 在 单调递减， 单调递增，
所以 ,所以 .
因为 ,所以 的取值范围是 ,故 正确;
对于 ,由上述过程可知 , 5], ,
则不能保证 ,
例如: 当 时,不存在 , ,故 D 错误. 故选 AC.
8.【解析】由不等式 以及 可得 , 依题意可知 即可,
令 .
又 ,由 可得 ,
利用二次函数性质可知 ,可得 ,
即实数 的取值范围是 .
故答案为 .
9.【解析】由 ,得 即
令 ,当不等式 在 上恒成立时,
即 在 上的最大值不大于 0,
的图象开口方向向上,
在 -1 或 1 处取得最大值,
解得 ,
此时
的取值范围是 .
故答案为 .
10.【解析】函数 ,在
上单调递增,所以 . 当 时, 在区间 上单调递增, ,
所以 ,解得 . 又因为 , 所以 解得 .
当 时, 在区间 上单调递增,其最小值为
所以有 解得 .
当 时, 在区间 上单调递减，在 上单调递增,
其最小值为 ,所以有
当 时, 在区间 上单调递减, ,此时 无解. 所以 的取值范围是 .
故答案为 .
模型 38 交点法处理零点问题
1.【解析】由题意知,函数 的定义域为 . 令
在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,如图所示.
由图得两个函数图象有 2 个交点,故函数 有 2 个零点. 故选 C.
2.【解题提示】依题意可将函数的零点转化为函数 与 的交点的横坐标,画出函数图象, 结合图象即可判断.
【解析】依题意令 ,即 ,同理可得
则函数的零点转化为 , 与 的交点的横坐标, 在平面直角坐标系上画出函数图象如下.
由图可得 ,即 . 故选 D.
3.【解析】问题等价于函数 的图象和 恰有三个不同公共点,
的图象可由 的图象 轴上方的不动, 轴下方的对称上去,如图,数形结合可得 .
故选 C.
4.【解析】因为函数 的最小正周期为 ,
函数 的最小正周期为
所以在 上,
函数 有三个周期的图象,
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有 6 个交点. 故选 C.
已知条件 函数 记函数 (其中 的 4 个零点分别为 , ,且
建模解模 1. 将函数 的零点转化为 与 图象交点的横坐标 2. 根据二次函数的对称性得到 3. 结合 的解析式和图象可得 , 然后求
【解析】函数 的零点可以看作 与 图象交点的横坐标, 和 的图象如图所示,
根据二次函数的对称性得到
由图可知, ,则 ,所以 . 故选 C.
6.【解题提示】根据题意可设 . ,作出函数 的大致图象, 结合它们的零点, 数形结合, 可判断出答案.
【解析】由题意 的零点 ,则 .
令 ,则 ,
而 ,则其图象可由 图象向下平移 2 个单位长度得到,故可作出函数 , 的大致图象如图. 由此可知 应介于 两数之间，结合选项可知可能的结果为 ,
故 B，C，D 符合题意，A 不符合题意，故选 BCD.
7.【解析】由题得 与 的图象有三个交点,作出函数 的图象如图所示，
当 时, ,则 的取值范围是 .
故选 BC.
8.【解析】先作出函数 的图象，如图所示，当直线 与直线 平行时，斜率为 1，当直线 过 点时,斜率为 ,故方程 有两个不相等的实根时, 的取值范围为 .
故答案为 .
9.【解题提示】先将函数化简成 ,将函数有两个零点问题转化成函数 与 图象在 上恰有两个交点问题, 然后数形结合根据函数的图象性质即可得解.
【解析】由题得
因为函数 在 上恰有两个零点 ,
所以方程 在 , 上恰有两个根 ,
所以函数 与 图象在 上恰有两个交点.
令 , ,即函数 的对称轴方程为 ,
所以在 上 有两条对称轴为直线 和 ,如图,
所以由函数 的图象性质可知 或 . 故答案为 或 .
10.【解题提示】在同一平面直角坐标系下作出函数 , 的图象,设 ,根据函数 与 的图象关于 对称得点 与点 、点 与点 都关于 对称,求出 的交点坐标,再根据中点坐标公式计算可得答案.
【解析】由方程 得 ,由方程 得 ,
在同一平面直角坐标系下作出函数 的图象,不妨设 ,如图, 因为函数 与 的图象关于 对称,即点 与点 、点 与点 都关于 对称,
由 解得 即两直线的交点为 ,则 , ,则 . 故答案为 10 .
模型 39 复合函数零点问题
1.【解析】设 ,则 化为 .
又
所以 ,
如图为函数 的大致图象.
由图可得,当 时, 有两个根 ,即 或 ,此时方程 有 4 个根. 故选 A.
2.【解析】令 ,即
解得 或 ,画出 图象, 如下:
由图可知, 实线和虚线共有 6 个交点, 所以函数 的零点个
数是 6 . 故选 D.
3.【思维建模】
已知条件 函数 关于 的方程 有 8 个不相等的实数根
建模解模 1. 令 ,利用图象可得知,关于 的二次方程的两根 2. 利用二次函数的零点分布得出关于实数 的不等式组,解出即可
【解析】令 ,由 ,得 ,
设关于 的二次方程 的两根分别为 ,
如图所示.
由于关于 的方程 有 8 个不等的实数根,
则 ,设 , 则 解得 . 因此,实数 的取值范围是 . 故选 D.
4.【解析】因为
则由 ,即 ,解得 -2或 或 .
在同一平面直角坐标系中分别作出 的图象如图所示, 由图象可知 与 有 1 个交点,即 有 1 个根,
与 有 3 个交点,即 有 3 个根,
与 有 2 个交点,即 有 2 个根,
所以函数 的零点个数为 . 故选 C.
5.【解析】由题意知, 的对称轴为直线 ,
当 ,即 时, 的图象如图 1,此时令 ,可得 ,
观察图象可解得 或 ,即方程有两个根,则此时 只有两个零点,不合题意;
图 1
当 ,即 时, 的图象如图 2,此时令 ,可得 或 .
因为 和 均为 的根, 所以要使函数 恰有三个零点则需满足 只有一个根,且 ,当 时, .
当 时, 的对称轴为直线 ,
则 ,
解得 ,
故 . 综上, 的取值范围为 . 故选 A.
图 2
6.【解题提示】当 时,令 ,可得出 ,可得出 ,利用函数的单调性求出函数 在区间 上的值域,可得出关于实数 的不等式,由此可解得实数 的取值.
【解析】当 时,令 ,则 ,可得
设 ,其中 ,任取 ,
则 当 时, ,则 ,即 ,
所以,函数 在 上为减函数;
当 时, ,则 ,即 ,
所以,函数 在 上为增函数.
所以, .
因为 ,
所以 ,
故函数 在 上的值域为 ,
所以， ，解得 .
故选 BCD.
7.【解析】令 ,由 可得 ,
当 时,由 ,即 ,则 ,即方程 无解;
当 时,由 ,可得 或 .
(1)当 时,当 时,由 可得 ,
解得 ,
当 时,由 可得 ;
( 2 )当 时，当 时，由 可得 ,
,方程 无解, 当 时,由 可得 .
故选 ACD.
8.【解题提示】先利用换元法将方程 根的问题转化方程 0 及 根的问题,由图象可得方程 在 上有三个实数解,结合函数 的单调性及值域即可求解.
【解析】令 ,则 ,
由函数 的图象可得方程 0 有 3 个解 ,其中 .
由函数 的图象可知,函数 在 上单调递减.
又因为 值域为 ,
所以对于每一个 ,都存在唯一的 与之对应.
所以方程 有 3 个解.
故答案为 3 .
9.【解析】画出函数 的图象,如图所示,
令 ,即 ,令 , 可得 , 若 ,令 ,解得 或
若 ,令 ,解得
当 时,即 ,此时函数 和 的图象有 4 个交点,即 4 个零点;
当 时,即 ,此时函数 和 的图象有 1 个交点,即 1 个零点;
当 时,即 ,此时函数 和 的图象有 1 个交点,即 1 个零点;
当 时,即 ,此时函数 和 的图象有 1 个交点,即 1 个零点.
综上可得,函数 的零点个数为 7 .
故答案为 7 .
10.【解题提示】令 ,代入方程解得 或 ,则 和 共有 5 个不同的实数根. 作出 的图象,观察图象即可求出 的取值范围.
【解析】令 ,则 ,即 ,即 0,解得 或 ,
和 共有 5 个不同的实数根.
作出 的图象, 如图. 由图可知, ,解得 .
故答案为 .
模型 40 根据零点求参数问题
1.【解析】 ,根据已知结合二次函数性质, 作图.
则有
解得 . 故选 C.
2.【解析】函数 在定义域 上连续且单调递增, 已知函数零点在区间 内,则 ,解得 .
故选 D.
3.【解析】若 时, ,则 , 满足题意，
若 ,当 . ,解得 且 ,此时满足题意,
若 时, ,此时 此时方程在 只有一根 ,满足题意,
若 时, ,此时 ,
此时方程在 只有一根 ,满足题意,
当 ,得 时,此时 此时方程的根为 ,满足题意.
综上可得 或 .
故选 C.
4.【解题提示】根据方程 ,等价于 且 ,将问题转化为 的图象夹在直线 和 之间的部分有且仅有两个整数解求解.
【解析】要使方程
当且仅当 且 ,
即方程等价于 且 ,
即 ,
所以方程 有且仅有两个不同的整数解,
即 的图象夹在直线 和 之间的部分有且仅有两个整数解,
函数 的图象如图所示.
因为 ,所以要使 的整数解有且仅有两个解,
则其中一个整数解为 0 和 -1 ,
即
解得 .
故选 A.
5.【思维建模】
已知条件 函数 若关于 的方程 有 2 个不同的实根 ,且
建模解模 1. 的方程 有 2 个不同的实根 直线 与 的图象有 2 个不同的交点 2. 同一平面直角坐标系中画出 与 的图象 3. 根据图象分析求解
【解析】关于 的方程 有 2 个不同的实根 直线 1) 与 的图象有 2 个不同的交点;
在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象,如图所示,当 经过 时满足要求,且此时斜率为 -2 , 由此逆时针旋转直线至靠近 轴都可满足要求,
由图可知 ,即 .
故选 C.
6.【解析】 在 上有两个不同的零点, 则
故 B 正确, ACD 错误. 故选 ACD.
7.【解题提示】根据函数 零点的分布求出 的取值范围,利用根与系数的关系将 化为关于 的二次函数, 结合其单调性, 即可求得答案.
【解析】由已知函数 有两个大于 1 的零点 ,
即 有两个大于 1 的不等实数根 ,
得 解得 .
又 ,
故 .
由于 在 上单调递增,
故 ,即
故结合选项可知选 BCD.
8.【解析】因为 在 上单调递增,
所以函数 在 上单调递增.
因为 , 且 ,所以 . 故答案为 1 .
9.【解题提示】将问题转化为 与函数 的图象没有交点, 利用数形结合法求解.
【解析】设 的图象如图所示,
问题转化为 与函数 的图象没有交点,所以 或 ,解得 或 .
故答案为 .
10.【解析】命题等价于 与 和 的交点数之和为 7 .
作出 的图象如下.
可以看出,对任意的非零实数 的图象和 的交点数 满足:
若 ,则 ; 若 ,则 ; 若 ,则 .
条件即为 ,此即 0,且 或 从而
的范围是 或 . 综上,所求取值范围是 . 故答案为 .
模型 41 多零点求范围问题
1.【解析】函数 在区间 上恰有 8 个零点,即函数 与函数 的图象在区间 上有 8 个交点,由 知, 是 上周期为 2 的函数,作函数 与函数 在区间 上的图象,如图所示,
由图象知,当 时,图象有 5 个交点,故在 上有 3 个交点即可,
故 解得 .
故选 A.
2.【解析】由题意,作出 的大致图象,如图所示,
要使得 ,即函数 与 的图象有 4 个不同交点,则 ,所以实数 的取值范围是 . 故选 A.
3.【解题提示】将问题转化为 与 图象的四个交点横坐标之和的范围, 应用数形结合思想, 结合对数函数的性质求目标式的范围.
【解析】由题设,将问题转化为 与 的图象有四个交点,
则 在 上单调递减且值域为 ; 在 上单调递增且值域为 ; 在 上单调递减且值域为 ,在 上单调递增且值域为 .
的图象如图.
所以当 时, 与 的图象有四个交点,不妨假设 , 由图及函数性质知, ,易知 , ,
所以 . 故选 C.
4.【解析】函数 当 时, 单调递增, ,
当 时, 单调递减, ,
当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,
作出函数 的部分图象,如图,
方程 有四个不同的根 , ,不妨令 ,即直线 与函数 的图象有 4 个公共点,
观察图象知,
显然有 , 且 ,由 得 , 即 ,则有 ,因此
所以 的取值范围为 . 故选 B.
5.【思维建模】
已知条件 函数 若 存在四个不相等的实根 ,且
建模解模 1. 根据已知函数解析式作出函数图象 2. 根据图象及已知得 ,且 3. 根据对数运算得 ,对目标式化简得出 ,再根据基本不等式得出答案
【解析】作函数 与 图象如图.
存在四个不相等的实根 , ,且 ,
则 ,且 ,即 ,得 , 则
当且仅当 时,即 时,等号成立. 故选 A.
6.【解题提示】作出 的大致图象,根据图象求出 的范围即可判断 AB 选项,由 得到 , 的关系即可判断 选项.
【解析】函数 图象如图所示.
由图可得 正确;
当 时, ,故 错误;
又 ,且 ,
故 ,可得 , C 正确.
又 ,可得 , 又 ,故等号不成立,
即 , D 错误. 故选 AC.
7.【解析】由函数解析式 作出函数图象,如图,
由题意结合图象可知 ,且 ,故 C 正确;
则
,则 ,
当且仅当 时等号成立,
但 ,故等号取不到,即 , D 错误;
由于存在 ,使得
结合图象可知 错误;
根据函数图象可知 ,所以 ,则 ,即 ,故 B 正确.
故选 AD.
8.【解析】作出函数 图象如下，
由图象可知 的单调递减区间是 [0,1] (区间开闭均可);
若互不相等的实数 满足
不妨设 ,则 关于 对称,所以 .
根据图象可得 ,
所以 ,所以 的取值范围为 .
故答案为 .
9.【解析】根据题意作出函数 的图象,如图所示,
当 时,令 ,解得 或 ,
因为 即为 ,
由题意可知 与 有 4 个交点,结合图象可知实数 的取值范围是 ;
不妨设 ,则
且 ,显然 ,可得
则 ,即 ,
可得 ,
由对勾函数可知 在
上单调递增,且 ,
则 ,即 ,可
得 ,所以
的取值范围为 .
故答案为 .
10.【解题提示】画出函数图象,根据图象结合函数性质确定 , ,变换 ,根据函数的单调性计算最值即可.
【解析】画出函数 的图象,如图所示.
方程 有四个不同的解 , ,且 ,
由 时, ,则 与 的中点横坐标为 ,即 , 当 时,由于 在 上是减函数，在 上是增函数.
又 ,则 ,有 . 又 .
在 上递增,故取值范围是 .
故答案为 .
模型 42 抽象函数模型
1.【解析】因为函数 的定义域为 ,即 ,所以 ,所以函数 的定义域为 , 17),由 ,得 ,所以函数 的定义域为 .
故选 B.
2.【解析】令 ,得 ,
所以 ,解得 , ,解得 -1 . 故选 A.
3.【解析】对于 ,由 可得, ,故 A 错误;
对于 , 的图象可看作由 的图象经过平移和横向伸缩变换得到, 故值域不变, 故 B 正确;
对于 ,故 错误;
对于 ,故 错误. 故选 B.
4.【解析】依题意,
令 得 . ,
所以 ,则
所以 ,
所以 是周期为 6 的周期函数.
令 ,则 ,
,
,所以
因为 ,所以
故选 B.
5.【思维建模】
已知条件 定义在 上的函数 满足 是奇函数, ,设函数
建模解模 1. 先判断 的周期性 2. 由 是 上的奇函数, 再判断 的对称性中心 3. 由 根据函数性质求值
【解析】根据题意,定义在 上的函数 满足 ,
则 ,故函数 为周期函数,4 是函数 的一个周期. 因为 是 上的奇函数，所以 的图象关于点 对称,
于是
在 ,取 ,得
因为 ,
所以
故选 A.
6.【解析】令 ,则 ,即 . A 正确.
令 ,则 .
令 ,则 0,则 .
故 . B 正确.
是非奇非偶函数. 不正确.
是偶函数. 正确. 故选 ABD.
7.【解析】令 ,则 ,又 ,故 ,故 正确;
因为 ,
则 ,即 ,①
又 ,②
①+②得 ，则 的图象关于点 对称，且 ，
故 B 正确;
的图象关于直线 对称,则 ,则 ,
则 ,又 ,
两式相减得 ,故
,故 最小正周期为 4, 故 C 错误;
最小正周期为 4,且图象关于点 , 4)对称,
因为 ,所以
故 D 正确. 故选 ABD.
8.【解析】令 ,则
令 ,则 , ,由于 ,
所以 .
令 ,则 , 令 ,则
令 ,则
以此类推,可得 .
故答案为 .
9.【解析】因为 为奇函数,所以 . 又 为偶函数,得到 ,
由 ,得到 ,
所以 ,
即有 ,所以 ,故函数 的周期为 . 又 ,所以 .
故答案为 -4 .
10.【解析】由已知等式 ,令 ,得 . 又 ,所以 . 再令 ,可得 , 即 .
因此,函数 的表达式为 .
故答案为 .
模型 43 三角恒等变换公式基础模型
1.【解析】由诱导公式得 ,所以 ,又因为 ,所以 ,所以 . 故选 B.
2.【解析】 为锐角, ,故 , 所以 . 故选 A.
3.【解析】已知 为锐角,若 ,则 所以 . 故选 A.
4.【解析】由题意 ,则 ,由 可得
即有 ,即 ,解得 .
故选 C.
5.【思维建模】
已知条件 已知 为锐角,
建模解模 1. 2. . 3. 4.
第四章 三角函数
【解析】因为 为锐角,所以 , ,又 , 所以 ,
而 ,所以 , ,因此 . 故选 D.
6.【解析】对于 ,因为 且 ,所以 ,
又
故 或 ,当 时, 显然不满足,故 ,所以 ,故 A 错误;
对于 ,故 B 正确;
对于 ,故 C 错误;
对于 ,由 可知 ,所以 ,故 D 正确.
故选 BD.
7.【解析】对于选项 ,因为 , 所以 ,故 A 正确; 对于选项 B,因为 ,所以 tan - tan tan tan , 所以 , 同理 所以 tan ，故 正确； 对于选项 C，因为 .
(当且仅当
时取等),
因为 ,所以等号取不到, 则 ,故 正确;
对于选项 D,因为
所以 ,
因为 ,所以 ,则 ,
若 ,则 ,解得 ,
因为 ,故 D 错误. 故选 ABC.
8.【解析】因为 ，所以 ， , 所以 , 所以 .
故答案为 5 .
9.【解析】因为 ,且
所以 .
故答案为 .
10.【解析】方法一: 第①步,由题意得 .
第 ② 步, ,所以 .
第③步，因为 ， 所以 为第四象限角,则 . 第 ④ 步, ,联立 ,解得 .
方法二: 因为 为第一象限角, 为第三象限角,所以 ,
则 .
故答案为 .
模型 44 齐次化切求值模型
1.【解析】
故选 D.
2.【解析】由 ,得 , 由 ,得
,解得 或 , 所以 “ ” 是 ”的充分不必要条件. 故选 A.
3.【解析】由 ,所以 或 .
又 ,所以 ,所以 . 故选 A.
4.【解析】由 , 可得 ，
所以
所以
. 故选 A.
5.【思维建模】
已知条件
建模解模 1. 由条件化简可得 ,可解得 2. 待求式化简为 3. 把 齐次化处理为 4. 弦化切求解即可
【解析】因为 , 所以 ,
又 ,即 ,解得 , 所以 . 故选 D.
6.【解析】由 ,故 A 正确;
,故 C 正确;
,故 D 错误;
因为 ,所以 为第一或第三象限角.
若 为第一象限角,则
所以 ;
若 为第三象限角,则
所以 ,故 错误. 故选 AC.
7.【解析】对于 A，由题意得 ，
则
,故 A
正确;
对于 ,因为
2,所以 ,
则 ,故 B 错误;
对于 ,由 -2,得 ,
即 ,即 ,所以 ,所以 ,则 ,故 C 正确;
对于 .
,
所以 ,则
所以 ,则 ,故 ,
由
,故 D 正确.
故选 ACD.
8.【解析】 .
故答案为 .
9.【解析】 ,分子分母同时除以 得 ①，由于 ，所以 所以 ,所
以 ,
所以 ,即
分子分母同时除以 得 ,
代入 ① 得 ，解得 .
故答案为 .
10.【解析】第 ① 步, 由题意可得,
第②步，令 ，则
第③步， ，所以 ,即 , 故 .
故答案为 1 .
模型 45 给角求值模型
模型 46 给值求值模型
模型 47 给值求角模型
1.【解析】 ， ， ,故 , 又 ,
. 故选 D.
2.【解析】因为 .
,所以
解得 所以
又 ,所以 ,所以 .
故选 A.
3.【解析】 ,
因为 ,所以 ,则 ,
则 .
故选 D.
4.【解析】
故选 B.
5.【思维建模】
已知条件 ,且
建模解模 1. 由条件

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