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第一章 运动的描述 匀变速直线运动的研究
微点突破一　追及相遇问题
[学习目标]　1．会分析追及相遇问题，掌握追及相遇问题的分析方法和技巧。 2．熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇问题。
1．追及问题
若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。
2．相遇问题
(1)同向运动的两物体追上即相遇，此时两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离。
(2)相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
3．追及相遇问题的解题思路及技巧
(1)解题思路
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
③若被追的物体做匀减速直线运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解进行讨论分析。
④紧紧抓住速度相等这个临界点。两者速度相等，往往是物体能追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
角度1　追及相遇问题的多种解法
[典例1]　(一题多解)(2025·广东中山市开学考)某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求：
(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小；
(3)追上之前两车的最大距离。
[解析]　(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小为
v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s。
(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得
v0t2＋200 m＝????????????????????????????
解得t2＝20 s
此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s。
?
(3)方法一　物理分析法
当两车速度相等时，两车相距最远
由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间
t3＝????????????????＝???????????? s＝5 s，追上之前两车最远相距
Δs＝????????????????+???????????????????????????????????????????????
＝????????×????+?????????????????????×????×???????? m＝225 m。
?
方法二　二次函数法
Δs＝v0t＋200 m－????????a1t2＝10t＋200 m－t2
当t＝?????????????＝?????????????×????? s＝5 s时，Δs有极值，相距最远，将t＝5 s代入解得Δsmax＝225 m。
?
方法三　图像法
从图像可知，当赛车速度等于安全车速度时，即v0＝a1t0＝10 m/s，得t0＝5 s时相距最远，Δsmax＝v0t0－????????????t0＋200 m＝225 m。
?
[答案]　(1)6 m/s　(2)20 s　40 m/s　(3)225 m
规律方法：解答追及相遇问题的三种方法
物理分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，建立物体运动情境图，分析两物体的速度大小关系，利用速度相等时两物体的位置关系，判断能否追上、二者相距最近或最远
函数方程判断法
设经过时间t，二者间的距离Δx＝xB＋x0－xA，假设追上，Δx＝0，方程中Δ＝b2－4ac，Δ<0，追不上；Δ＝0，恰好追上，一解；Δ>0，两解或发生了相撞；或利用函数极值求解二者距离的最大值或最小值
图像法
将两个物体运动的速度—时间图像或位移—时间图像画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题
角度2　与运动图像相关的追及相遇问题
[典例2]　(2025·山西吕梁一模)某同学用甲、乙两辆汽车来研究相遇问题的规律，如图是他根据运动规律绘制的在同一平直道路上相邻车道行驶的甲、乙两车(视为质点)的运动位置—时间图线。已知甲的运动图线为一条顶点为(0，x0)的抛物线，乙的运动图线为一过原点的直线。两条图线中其中一个交点坐标为(t1，x1)。则下列说法正确的
是(　　)
A．t1时刻甲车速度为?????????????????????????
B．甲车在做匀加速直线运动的加速度为?????????????????????????????????
C．图中甲、乙两车再次相遇时刻为t2＝?????????????????????????????????
D．如果两车只相遇一次，则必有x1＝????????x0
?
√
C　[根据运动学公式x1－x0＝????????vt1解得t1时刻甲车速度为v＝?????????????????????????????，故A错误；甲车在做匀加速直线运动的加速度为a＝????????????＝?????????????????????????????????，故B错误；题图中甲、乙两车再次相遇有????????+?????????????????????????＝v乙t2，乙的速度为v乙＝????????????????，解得题图中甲、乙两车再次相遇时刻为t2＝?????????????????????????????????(t2＝t1，舍去)，故C正确；如果两车能相遇有x0＋????????at2＝v乙t，两车只相遇一次有Δ＝0，解得x1＝2x0，故D错误。]
?
[典例3]　中国高铁向世界展示了中国速度，和谐号和复兴号高铁相继从沈阳站点由静止出发，沿同一方向做匀加速直线运动。两车运动的速度—时间图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
√
A．复兴号高铁追上和谐号高铁前，t＝70 s时两车相距最远
B．复兴号高铁经过95 s加速达到最大速度
C．t＝140 s时，复兴号高铁追上和谐号高铁
D．复兴号高铁追上和谐号高铁前，两车最远相距4 900 m
B　[由v-t图像可知，0≤t<140 s时，和谐号高铁速度大于复兴号高铁，t>140 s时，和谐号高铁速度小于复兴号高铁，故复兴号高铁追上和谐号高铁前，t＝140 s时两车相距最远，根据v-t图像与时间轴围成的面积表示位移，可知复兴号高铁追上和谐号高铁前，两车最远相距Δx＝????????×140×70 m－????????×(140－70)×70 m＝2 450 m，故A、C、D错误；复兴号高铁的加速度为a＝????????????????＝????????????????????????????? m/s2＝1 m/s2，复兴号高铁加速达到最大速度所需的时间为t1＝????????????＝???????????? s＝95 s，故B正确。故选B。]
?
√
[教师备选资源]
[典例]　(多选)在相互平行的平直公路上，A、B两车沿同一方向做直线运动，两车运动的位移与时间的比值????????与t之间的关系图像如图所示，已知两车在t＝2 s时刻正好并排行驶，下列说法中正确的是(　　)
?
A．B车做匀加速直线运动
B．t＝2 s时刻，A车的速度为8 m/s
C．t＝0 s时刻，A车在前，B车在后
D．0～4 s内，A车运动的位移为32 m
√
BD　[根据v＝????????，B车以4 m/s做匀速直线运动，A错误；根据x＝????????at2得????????＝????????at，则????????a＝?????????????/????????＝2 m/s2，A车加速度为a＝4 m/s2，初速度为零，则t＝2 s时刻，A车的速度为v＝at＝4×2 m/s＝8 m/s，B正确；2 s内两车位移分别为xA＝????????at2＝8 m，xB＝vt＝8 m，则t＝0 s时刻，两车并排行驶，C错误；0～4 s内，A车运动的位移为x＝????????at2＝????????×4×42 m＝32 m，D正确。]
?
1．(多选)甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列位移—时间(x-t)图像和速度—时间(v-t)图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是(　　)
A　　 　　　　　B
C　　　　 　　D
√
√
BC　[A图中，甲、乙在t0时刻之前位移没有再次相等的时刻，即两人在t0时刻之前不能再次相遇，A错误；B图中，甲、乙在t0时刻之前图线有交点，此时位移相等，即两人在t0时刻之前能再次相遇，B正确；C图中，因v-t图像与时间轴围成的面积表示位移，则甲、乙在t0时刻之前位移有再次相等的时刻，即两人在t0时刻之前能再次相遇，C正确；D图中，因v-t图像与时间轴围成的面积表示位移，由图像可知在t0时刻之前，甲的位移始终大于乙的位移，则两人在t0时刻之前不能再次相遇，D错误。]
2．A、B两个质点在同一地点沿同一方向运动，运动的位移x随时间t变化规律如图所示，A的图像为抛物线，B的图像为倾斜直线，两图像相切于P点，则0～3 s内，A、B两质点的最大距离为(　　)
A．4.5 m B．6 m
C．9 m D．13.5 m
√
A　[由题图可知，A做的是初速度为零的匀加速直线运动，B做的是匀速直线运动，t＝3 s时A、B的速度大小相等，为v＝?????????????????.???? m/s＝12 m/s，A的加速度a＝????????＝4 m/s2，由于t＝3 s前，A的速度总比B的速度小，因此t＝1.5 s时A、B间的距离最大，即最大距离xm＝????????×4×1.52 m＝4.5 m，故选A。]
?
3．(多选)(2025·福建厦门一模)甲、乙物体在外力的作用下从同一位置沿同一直线运动。其速度v随时间t的变化图线如图所示，则(　　)
√
A．t＝2 s时，两物体的速度和加速度的方向均改变
B．t＝2 s时，甲、乙两物体相距2 m
C．在2～4 s内，甲、乙的加速度大小之比为3∶1
D．在2～4 s内，两物体间的距离先增大后减少
√
BC　[根据两物体的v-t图像信息可知，t＝2 s时，甲的速度方向不变，加速度方向改变，乙的速度方向改变，加速度方向不变，故A错误；根据图像的面积的物理意义，t＝2 s时，甲、乙物体相距Δx＝????+????????×2 m－????????×1×2 m＝2 m，故B正确；2～4 s内，甲的加速度大小a甲＝??????????????????? m/s2＝???????? m/s2，乙的加速度大小a乙＝??????????????????? m/s2＝???????? m/s2，则甲、乙加速度大小之比为3∶1，故C正确；根据追及的条件可知，甲、乙的速度相等时，两物体相距最远，在0～4 s内，两物体的间距一直增大，故D错误。]
?
4．(多选)甲、乙两车在同一条平直公路沿两条平行直线朝同一方向运动，甲车在后，乙车在前，t＝0时刻两车相距x0＝34 m，甲车以v1＝20 m/s的初速度、a1＝－2 m/s2的加速度刹车做匀减速直线运动，乙车从静止出发，以a2＝1 m/s2的加速度做匀加速直线运动，下列说法正确的是(　　)
A．两车相遇时甲车一直在运动
B．两车第一次相遇时间是t＝2 s
C．两车第二次相遇时甲车位移为100 m
D．两车第二次相遇时间是t＝2???????? s
?
√
√
√
BCD　[设经过t时间两车相遇，根据位移与时间关系式x1＝v1t＋????????a1t2，x2＝????????a2t2，位移间的关系为x1＝x0＋x2，联立解得t1＝2 s，t2＝???????????? s，甲车从运动到停止时所用的时间为t0＝?????????????????????＝10 s，因为t2＝???????????? s>10 s(舍去)，甲车从第一次相遇到停止时所用时间Δt＝10 s－2 s＝8 s，甲车从运动到停止所经过的位移大小为x′1＝????????????????????????＝????????????????×???? m＝100 m，乙车在10 s内运动的位移大小为????????′＝????????????????????????????＝????????×1×
102 m＝50 m，此时甲、乙两车相距Δx″＝100 m－34 m－50 m＝16 m，此时乙车的速度为????????′＝a2t0＝1×10 m/s＝10 m/s，设乙车再向前运动16 m 所用的时间为t3，则有Δx″＝????????′????????+?????????????????????????????，解得t3＝(2????????－10)s，第二次相遇的时间t4＝t3＋t0＝2???????? s，由上述分析可知第二次相遇时甲车位移为100 m，故A错误，B、C、D正确。]
?
5．均可视为质点的A、B两物体沿同一直线做同向运动，从0时刻起同时出发，A做匀减速直线运动直至速度为零，整个运动过程中速度平方随位置坐标的变化关系如图甲所示。B做匀加速直线运动，位置坐标随时间的变化关系如图乙所示。已知A、B两物体在同一坐标系中运动，求：
(1)B物体追上A物体之前，二者相距最远的时刻t1；
(2)B物体追上A物体所用的时间t2。
[解析]　(1)A做匀减速直线运动，根据题图甲和运动学公式得
v2＝????????????－2ax
????????????＝576 m2/s2
解得v0＝24 m/s，aA＝????????????????????×???? m/s2＝6 m/s2
B做匀加速直线运动，在第1 s内和第2 s内的位移之比为1∶3，可知B做的是初速度为零的匀加速直线运动，1 s时的速度为前2 s的平均速度v＝???????? m/s＝4 m/s
加速度为aB＝????????＝4 m/s2
当A、B两物体速度相等时，二者相距最远，则v0－aAt1＝aBt1
解得t1＝2.4 s。
?
(2)假设A物体停止之前，B物体追上A物体，则
xB＝????????aBt2
xA＝v0t－????????aAt2
xA＋2 m＝xB
解得t≈4.9 s
而A物体速度减为零需要的时间为t′＝????????????????＝4 s 说明B追上A时，A已经停止，设B物体追上A物体所用的时间为t2，则有
????????????????????????＋2 m＝????????????????????????????
解得t2＝5 s。
?
[答案]　(1)2.4 s　(2)5 s
6．(2025·辽宁葫芦岛一模)机器狗已经发展到了应用阶段，人们开始享受科技带来的效率和成果。某科技小组在测试中，将甲、乙两机器狗放在平直的路面上，测试距离为L＝20 m。甲、乙同时同地开始测试，甲以v1＝2 m/s的速度匀速行进，乙由静止开始以a＝0.5 m/s2的加速度匀加速直线运动，乙能达到的最大速度是v2＝2.5 m/s，之后保持最大速度匀速运动。在测试距离内，求：
(1)甲、乙相距的最远距离；
(2)若乙能超过甲，乙到达终点时与甲的距离；若乙不能超过甲，甲到达终点时乙到达终点还需要的时间。
[解析]　(1)当乙达到v1＝2 m/s时相距最远，用时t1，则v1＝at1
解得t1＝4 s
最远距离Δxm＝??????????????????????????????????????????
解得Δxm＝4 m。
(2)当乙达到v2＝2.5 m/s时，用时t2，则v2＝at2，t2＝5 s
此时甲走x1＝v1t2＝10 m ，此时乙走x2＝????????????????????????＝6.25 m
甲距离终点x3＝L－x1，乙距离终点x4＝L－x2
甲、乙分别再用时t3 、 t4到达终点，则t3＝????????????????＝5 s，t4＝????????????????＝5.5 s
由此可以看出，乙不能超过甲，甲到达终点时乙还需Δt＝t4－t3＝0.5 s。
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[答案]　(1)4 m　(2)见解析

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