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第五章 机械能守恒定律
微点突破五　求变力做功的方法
[学习目标]　1．理解变力做功的特点，掌握变力做功的常用方法。2．会用变力做功的方法分析计算相关问题。
1．“微元法”求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法适用于求解大小不变、方向改变的变力做功。如图所示，质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W克f＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2
＋Ff·Δx3＋…＝Ff (Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·
2πR。
[典例1]　(多选)如图所示，在一半径为R＝6 m的圆弧形桥面的底端A，某人把一质量为m＝8 kg的物块(可看成质点)用大小始终为F＝75 N的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B(圆弧AB在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。在这一过程中，下列说法正确的是(　　)
A．重力做功为240 J
B．支持力做功为0
C．拉力F做功约为376.8 J
D．摩擦力做功约为136.8 J
√
√
BC　[物块重力做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－240 J，故A错误；支持力始终与运动方向垂直，支持力不做功，故B正确；将圆弧AB分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力在每一小段上做的功为W1、W2、…、Wn，拉力F大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，则W1＝Fl1cos 37°、W2＝Fl2cos 37°、…、Wn＝Flncos 37°，WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝F cos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝F cos 37°·????????·2πR≈
376.8 J，故C正确；因物块在拉力F作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理得WF＋WG＋Wf＝0，解得Wf＝?????????－WG＝－376.8 J＋240 J＝－136.8 J，故D错误。]
?
2．“平均力”求变力做功
当物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为????＝????????+????????????的恒力作用，F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝????l cos α求此变力所做的功。如图所示，弹簧由伸长量为x1被继续拉至伸长量为x2的过程中，克服弹力做功为W＝????????????+????????????????·(x2－x1)。
?
[典例2]　如图所示，质量均为m的A、B两个小物块用轻质弹簧相连，物块A放置在光滑水平地面上，一轻绳通过光滑的定滑轮与物块B相连(连接物块B的绳子恰好伸直但不绷紧)，弹簧的劲度系数为k。现用一水平向右的拉力F作用在轻绳上，使物块B缓慢向上运动，已知重力加速度为g，当物块A恰好离开地面时，F所做功为(　　)
A．F ???????????? B．F ????????????????
C．???????????????????? D．????????????????????????
?
√
D　[开始时弹簧的压缩量为x1＝????????????，此时F1＝0，当物块A恰好离开地面时，弹簧伸长量为x2＝????????????，此时F2＝2mg，则力F做功W＝????????+????????????(x1＋x2)＝????????????????????????，故D正确。]
?
3．“图像法”求变力做功
在F-x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。如图所示。
[典例3]　一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示，则(　　)
A．力F在0～3 m的过程中对物体做了3 J的功
B．力F在3～4 m的过程中对物体做了－2 J的功
C．物体在4～5 m的过程中克服力F做了1 J的功
D．力F在0～5 m的过程中对物体做了8 J的功
√
C　[F-x图像中图线与x轴围成的面积表示力做功的大小，则力F在0～3 m的过程中对物体做的功为W1＝2×3 J＝6 J，在3～4 m的过程中对物体做的功为W2＝????????×2×(4－3) J＝1 J，物体在4～5 m的过程中克服力F做的功为W3＝????????×2×(5－4) J＝1 J，力F在0～5 m的过程中对物体做的功为W总＝W1＋W2－W3＝6 J＋1 J－1 J＝6 J，故C正确，A、B、D错误。]
?
4．“转化法”求变力做功
通过转换研究对象，可将变力做功转化为恒力做功，用W＝Fl cos α求解。如图所示，恒力F把放在光滑水平面上的物体从A拉到B，因轻绳对物体做的功等于拉力F对轻绳做的功，故轻绳对物体做功W＝F·?????????????????????????????????????????。
?
[典例4]　(多选)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，轻绳一端系着滑块，另一端绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则(　　)
A．拉力F大小为????????mg
B．拉力F大小为????????mg
C．滑块由A到C过程，轻绳对滑块做的功为????????????????mgd
D．滑块由A到C过程，轻绳对滑块做的功为????????????????mgd
?
√
√
AC　[滑块到C点时速度最大，其所受合力为零，则有F cos 53°－mg＝0，解得F＝????????mg，故A正确，B错误；拉力F做的功等于轻绳拉力对滑块做的功，滑轮与A点间绳长L1＝????????????????????????°，滑轮与C点间绳长L2＝????????????????????????°，滑轮右侧绳子增大的长度ΔL＝L1－L2＝????????????????????????°?????????????????????????°＝????????????????，拉力做功W＝F·ΔL＝????????????????mgd，故C正确，D错误。]
?
5．“动能定理法”求变力做功
根据合外力对物体做功等于物体动能的变化。如图所示，用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做的功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)。
[典例5]　如图所示，一滑雪运动员从山坡上的A点由静止开始滑到山坡底的B点，该运动员和雪橇的总质量为m，滑到B点时的速度大小为v，A、B两点的高度差为h，重力加速度为g，在此过程中，该运动员和雪橇克服阻力做的功为(　　)
A．mgh B．????????mv2
C．mgh－????????mv2 D．mgh＋????????mv2
?
√
C　[从A点到B点过程，只有重力和阻力对运动员和雪橇做功，由动能定理得mgh－Wf＝????????mv2－0，解得运动员和雪橇克服阻力做的功为Wf＝mgh－????????mv2，故选C。]
?
1．(2025·黑龙江大庆高三模拟)一质量为2 kg的物体，在水平恒定拉力的作用下，以某一速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出拉力随位移变化的关系图像，则根
据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有(取
g＝10 m/s2)(　　)
A．物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.25
B．物体在8 m处的加速度为a＝4 m/s2
C．整个过程中拉力做的功为96 J
D．合力做的功为－32 J
√
D　[物体做匀速运动时受力平衡，则有Ff＝F＝8 N，由Ff＝μFN＝μmg，解得μ＝0.4，故A错误；由题图可知，在8 m处拉力大小为4 N，根据牛顿第二定律可知此时有F′－Ff＝ma，代入数据可得a＝－2 m/s2，故B错误；F-x图像与坐标轴围成的面积表示拉力做的功WF＝????×????+????????×????×???? J＝64 J，滑动摩擦力做的功Wf＝－μmgx＝－96 J，所以合外力做的功为W合＝WF＋Wf＝64 J＋(－96 J)＝－32 J，故C错误，D正确。]
?
2．用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进木板的深度为d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么第二次钉子进入木板的深度为(　　)
A．(????－1)d B．(????－1)d
C．????????????????? D．????????d
?
√
B　[铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得第一次W＝????????d＝????????????d，又第二次W＝????????d′＝????????+????????+????′????d′，联立解得d′＝(????－1)d，故选B。]
?
3．过去人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉。假设驴拉磨可以看成做匀速圆周运动，简化示意图如图所示，驴对磨杆末端的拉力F＝800 N，拉力沿圆周切线方向，磨杆的半径r＝0.7 m，驴拉磨转动一周的时间为7 s，π≈3，则下列说法正确的是(　　)
A．磨杆上各点的线速度均相等
B．驴转动一周拉力所做的功为1 680 J
C．驴转动一周拉力的平均功率为480 W
D．磨杆末端的线速度大小为0.3 m/s
√
C　[磨杆上各点的角速度相等，根据v＝ωr可知，半径不同，则线速度不同，故A错误；驴转动一周拉力所做的功为W＝Fs＝F·2πr≈800×2×3×0.7 J＝3 360 J，故B错误；驴转动一周拉力的平均功率为P＝????????＝????????????????????? W＝480 W，故C正确；磨杆末端的线速度大小为v＝????????????????≈????×????×????.???????? m/s＝0.6 m/s，故D错误。]

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