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第七章 机械振动 机械波
第38课时　实验九：用单摆测量重力加速度
[学习目标]　1．知道利用单摆测量重力加速度的原理。2．掌握利用单摆测量重力加速度的方法。
实验基础 · 要点通关
原理装置图



?
测摆长l和周期T，由T＝2π????????得g＝????????????????????????
原理装置图
实验步骤
1．做单摆
将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂。
2．测摆长
用刻度尺量出摆线长l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋????????。
实验步骤
实验步骤
3．测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
4．改变摆长，重做几次实验。
注意事项
1．摆线要选1 m左右，柔软不易伸长的丝线，不要过长或过短。
2．摆线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将摆线长加上摆球半径。
3．单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。
4．要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数。
数据处理
1．公式法：g＝????????????????????????，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。
2．图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图像，由单摆周期公式得l＝????????????????T2，图线应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度。




数据处理
误差
分析
1．系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动等。
2．偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上和测量摆长时多记或漏记小球的半径。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。
实验探究 · 创新突破
类型1　教材原型实验
[典例1]　(2025·山东临沂一模)某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)如图乙所示，摆线上端的三种悬挂方式A、B、C中，应该选________方式。
C
(2)测摆球直径时游标卡尺的读数为______ mm。
(3)若某同学实验中测出单摆做n次全振动所用时间为t、摆线长为l、

摆球直径为d，则当地的重力加速度g＝_____________(用n，t，l，d表示)。
10.60　
????????????????????????????+????????????
?
[解析]　(1)A项中小球在摆动时摆线容易松动，摆长会改变，故A错误；B项中小球在摆动过程中会导致摆长变化，故B错误；C项中使用铁夹固定摆线，能较好地保证小球在摆动过程中摆长不变，故C正确。故选C。
(2)游标卡尺的读数为10 mm＋12×0.05 mm＝10.60 mm。
(3)单摆的周期和摆长分别为T＝????????，L＝l＋????????
由单摆的周期公式T＝2π????????，可得g＝????????????????????????＝????????????????????????????+????????????。
?
[典例2]　(2025·海南卷)某小组用如图所示的单摆测量当地的重力加速度。
(1)用游标卡尺测得小球直径d＝20 mm，刻度尺测得摆线长l＝79 cm，则单摆摆长L＝________ cm(保留四位有效数字)；
(2)拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为θ(θ<5°)，无初速度地释放小球，小球经过________(选填“最高”或“最低”)点时，开始计时，记录小球做了30次全振动用时t＝54.00 s，则单摆周期T＝________ s，由此可得当地重力加速度g＝________ m/s2(π2≈10，保留三位有效数字)。
80.00
最低
1.8
9.88
[解析]　(1)单摆的摆长为L＝l＋????????＝80.00 cm。
(2)为减小实验计时误差，需从小球经过最低点时开始计时；单摆周期T＝????????＝???????????????? s＝1.8 s，根据单摆周期公式T＝2π???????? ，可得g＝????????????????????????，代入数值得g≈9.88 m/s2。
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[教师备选资源]
实验小组的同学用如图所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
(1)实验室有如下器材可供选用：
A．长约1 m的细线
B．长约1 m的橡皮绳
C．直径约2 cm的铁球
D．直径约2 cm的塑料球
E．刻度尺 F．时钟 G．停表
实验时需要从上述器材中选择：__________(填写器材前面的字母)。
ACEG
(2)在挑选合适的器材制成单摆后他们开始实验，操作步骤如下：
①将单摆上端固定在铁架台上。
②测得摆线长度，作为单摆的摆长。
③在偏角较小的位置将小球由静止释放。
④记录小球完成n次全振动所用的总时间t，得到单摆振动周期T＝????????。
⑤根据单摆周期公式计算重力加速度的大小。
其中有一处操作不妥当的是________(填写操作步骤前面的序号)。
?
②
(3)发现(2)中操作步骤的不妥之处后，他们做了如下改进：让单摆在不同摆线长度的情况下做简谐运动，测量其中两次实验时摆线的长度l1、l2和对应的周期T1、T2，通过计算也能得到重力加速度大小的

测量值。请你写出该测量值的表达式g＝________。
(4)实验后同学们进行了反思。他们发现由单摆周期公式可知周期与摆角无关，而实验中却要求摆角较小。请你简要说明其中的原因_____________________。
??????????????????????????????????????????????????????
?
见解析
[解析]　(1)实验时需要从题述器材中选择：A．长约1 m的细线；C．直径约2 cm的铁球；E．刻度尺；G．停表。故选A、C、E、G。
(2)其中的第②步骤中应该测得摆线长度加上摆球的半径作为单摆的摆长。
(3)设摆球的半径为r，则根据T＝2π????????可得T1＝2π????????+????????，T2＝2π????????+????????，联立解得g＝??????????????????????????????????????????????????????。
(4)T＝2π????????是单摆做简谐运动的周期公式，当摆角较小时才可以将单摆的运动视为简谐运动。
?
类型2　拓展创新实验
[典例3]　某学习小组在实验室做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验，示意图如图甲所示。
(1)若用停表测出单摆完成n次全振动所用的时间t。请写出周期的表达式T＝________。
(2)若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期T＝________ s。
(3)在多次改变摆线长度后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系(T 2-L)图线，并根据图线拟合得到方程T2＝kL＋b，

由此可知当地的重力加速度g＝______，摆球半径r＝________(均用k、b、π表示)。
????????
?
2.0
????????????????　
?
????????
?
[解析]　(1)单摆完成n次全振动所用的时间为t，则周期的表达式T＝????????。
(2)单摆摆动过程中，每次经过最低点时拉力最大，每次经过最高点时拉力最小，拉力变化的周期为 1.0 s，故单摆的周期为2.0 s。
(3)根据T＝2π????????得T2＝????????????????l，可知图线的斜率k＝????????????????，因此g＝????????????????；而l＝L＋r，图线拟合得到方程为T2＝kL＋b，因此摆球半径r＝????????。
?
创新点解读　本题的创新点体现在以下三点：
(1)实验目的创新：由“用单摆测量重力加速度”创新为“探究单摆的周期与摆长的关系”，但实验原理不变。
(2)实验器材创新：使用拉力传感器绘制拉力随时间变化的F-t图像。
(3)数据处理创新：由F-t图线分析单摆的周期。
[典例4]　(2024·黑吉辽蒙卷)图(a)为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。
(1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图(b)所示，从图中读出D＝___________________________cm。
(2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如图(c)所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了________个周期。
7.54(7.53～7.55均可)　
10
(3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如表所示：
颜色
红
橙
黄
绿
青
蓝
紫
ln D
2.939 2
2.788 1
2.595 3
2.484 9
2.197
……
1.792
ln T
－0.45
－0.53
－0.56
－0.65
－0.78
－0.92
－1.02
根据表中数据绘制出ln T-ln D图像如图(d)所示，则T与D的近似关系为________。
A．T∝???? B．T∝D2
C．T∝???????? D．T∝????????????
(4)请写出一条提高该实验精度的改进措施：_______________________________________________________________________________。
?
A
多次测量同一颜色的
积木的周期求平均值(合理即可)
[解析]　(1)根据刻度尺的读数规则可知D＝7.54 cm。
(2)结合单摆的运动分析可知，积木左端与O点等高后，向下(向上)运动后再次与O点等高，之后向上(向下)运动后又一次与O点等高，此过程为一个周期，则题述过程中积木摆动了10个周期。
(3)根据题图(d)有ln T＝k ln D＋b，其中k＝?????.??????????????.????????????.?????????????.????????＝????????，则有ln T＝????????ln D＋b＝ln ????＋b，根据数学知识可得T与D的近似关系为T∝????，A正确。
(4)可以多次测量同一颜色的积木的周期求平均值，从而减小实验误差。
?
创新点解读　本题的创新点体现在以下两点：
(1)实验目的创新：由“用单摆测量重力加速度”创新为“积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系”。
(2)数据处理创新：绘制出ln T-ln D图像分析数据得到T与D的关系。
课时数智作业(三十八)　实验九：用单摆测量重力加速度
说明：本试卷共5小题，共36分。
1．(6分)(2024·广西卷)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变；
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙所示，则摆球直径为________ cm；
摆长
1.06
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关

系为_______________________________。
x＝????????????????????????????°????????????·cos ????????????????
?
[解析]　(1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
(2)摆球直径为d＝1.0 cm＋6×0.1 mm＝1.06 cm。
(3)根据单摆的周期公式T＝2π????????可得单摆的摆长为l＝????????????????????????
从平衡位置拉开5°的角度释放，可得振幅为A＝l sin 5°
以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝A cos ωt＝????????????????????????????°????????????·cos ????????????????。
?
2．(8分)(2025·黑龙江双鸭山一模)用单摆测量重力加速度的实验中：
(1)用刻度尺测出摆球球心与悬挂点之间的距离作为摆长l的测量值，用停表测量单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝

____________(用l、n、t表示)；
????????????????????????????????
?
(2)实验时改变摆长，测出几组摆长l和对应的周期T的数据，作出l-T2图像，如图所示。利用A、B两点的坐标可写出重力加速度的表达

式为g＝___________；若摆球质量分布不均匀，该图像求得g的测量值________(选填“大于”“小于”或“等于”)真实值；
(3)请写出一个测量g的其他方法：_____________________。
??????????????????????????????????????????????????????
?
等于
见解析
[解析]　(1)依题意，单摆周期为T＝????????
根据单摆的周期公式T＝2π????????
联立解得g＝????????????????????????????????。
(2)由(1)分析可知l＝????????????????T2
结合图像，可得????????????????＝??????????????????????????????????????????
?
解得g＝??????????????????????????????????????????????????????
根据重力加速度的表达式，可知摆球质量分布不均匀不会影响(l2－l1)的结果，不影响图像斜率，所以不会对重力加速度的测量造成影响。该图像求得g的测量值等于真实值。
(3)利用自由落体运动测量重力加速度。
?
3．(6分)某同学欲测量当地的重力加速度，利用的实验器材有：带有滑槽的水平导轨，足够长的一端带有滑轮的木板，不可伸长的细线，重物，沙漏(装有沙子)，立架，加速度传感器，刻度尺。具体操作如下：
①按如图甲所示安装好实验器材，并测量摆线的长度L(沙漏的大小可忽略)；
②将沙漏拉离平衡位置(摆角较小)由静止释放，使沙漏在竖直面内振动；
③沙漏振动稳定后，由静止释放重物，使木板沿滑槽运动，记下加速度传感器的示数a0，漏出的沙子在木板上形成的曲线如图乙所示(忽略沙子落在木板上后木板的质量变化)；
④缓慢移出木板，测量曲线上相邻三点A、B、C之间的间距xAB、xBC，并计算出Δx＝xBC－xAB；
⑤改变立架的高度及摆线的长度，重复②③④的操作。
回答下列问题：
(1)对该实验，下列说法正确的是________(填字母)。
A．随着沙漏中沙子的流出，Δx将减小
B．其他条件不变，若仅增大重物的质量，Δx将增大
C．其他条件不变，若仅增大摆线的长度，Δx将增大
BC
(2)沙漏振动稳定后的周期T＝_________(用Δx、a0表示)。
(3)该同学依据测出的L和Δx，作出的L-Δx图像如图丙所示，若测得该图像的斜率为k，则计算重力加速度的表达式为g＝__________(用题中字母表示)。
2????????????????
?
a0π2k
[解析]　(1)由匀变速直线运动规律有Δx＝a0(Δt)2，分析可知相邻两点间的时间间隔为单摆周期的一半，即Δt＝????????×2π????????＝π????????，联立整理可有Δx＝????????????????????????，由该式可看出Δx与沙漏中沙子的质量无关，故A错误；仅重物质量增大时，a0增大，由上式可知Δx将增大，故B正确；摆线长度增大时，由上式可知Δx也增大，故C正确。
?
(2)因为Δx＝a0(Δt)2，整理得Δt＝????????????????，而单摆周期T＝2Δt＝2????????????????。
(3)由以上分析可知Δx＝????????????????????????，整理得L＝????????????????????Δx，则L-Δx图像斜率k＝????????????????????，整理得g＝a0π2k。
?
4．(8分)(2025·山西阳泉一模)某同学用如图甲所示的双线摆测当地的重力加速度。两根悬线长均为a，均系于小球同一点，调节两悬点A、B在同一水平线上，A、B间距离也为a，小球为质量分布均匀的磁性小球，打开手机的磁传感器并将手机平放在小球的正下方，不考虑手机对小球运动的影响，空气阻力不计。
(1)先用螺旋测微器测小球的直径，示数如图乙所示，则小球直径d＝________ mm。
(2)使双线摆在垂直于摆线平面方向做小幅度摆动，某时刻起手机磁传感器测得磁感应强度随时间变化的规律如图丙所示，则小球振动的周期T＝________(用t0表示)。
4.700
2t0
(3)由实验测得当地的重力加速度g＝___________(用a、d和t0表示)，若两悬点A、B间的实际距离小于a，则测得的重力加速度与真实值相比________(选填“偏大”“偏小”或“相等”)。
????????????????+????????????????????
?
偏小
[解析]　(1)根据螺旋测微器读数规则可知，小球直径d＝4.5 mm＋20.0×0.01 mm＝4.700 mm。
(2)设磁场变化的周期为T0，由题图丙可知T0＝t0，则双线摆摆动的周期为T＝2T0＝2t0。
(3)摆长为L＝a cos 30°＋????????＝????????+????????，根据单摆周期公式T＝2π????????，联立解得g＝????????????????+????????????????????，若两悬点A、B间的实际距离小于a，则测得的摆长L偏小，测得的重力加速度偏小。
?
5．(8分)(2024·湖北卷)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、刻度尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上
装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如
图(a)所示。
②用刻度尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30次全振动所用的时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π????????，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。
?
(1)由步骤④可知振动周期T＝________。
(2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝___________。
(3)由实验数据作出的l-T2图线如图(b)所示，可得g＝___________________m/s2(保留三位有效数
字，π2取9.87)。
????????????
?
l0＋????????????????T 2　
?
9.65(9.55～9.75均可)
(4)本实验的误差来源包括________(多选，填标号)。
A．空气阻力
B．弹簧质量不为零
C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
AB
[解析]　(1)由于30次全振动所用的时间为t，则1次全振动的时间，即振动周期T＝????????????。
(2)弹簧振子平衡时，由力的平衡条件有k(l－l0)＝Mg，又T＝2π????????，联立可得l＝l0＋????????????????T2。
(3)结合(2)问分析可知l-T2图线的斜率k＝????????????????，由题图(b)可知k＝????.?????????????.????????????????.?????????????.???? m/s2，联立解得g≈9.65 m/s2。
?
(4)空气阻力会使本实验中的振动系统做阻尼振动，即本实验中的振动系统并不是理想化的弹簧振子，而本实验中是将振动系统理想化为弹簧振子，从而测出重力加速度的，所以空气阻力是本实验的一个误差来源，A正确；(2)问分析中将弹簧振子的质量等效为托盘及其上物体的总质量，但是实际上弹簧振子的质量为弹簧的质量和托盘及其上物体的总质量之和，所以弹簧质量不为零是本实验的一个误差来源，B正确；由于数字计时器记录的是30次全振动的时间，所以光电门的位置只要在托盘经过的位置均可，即光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置不是本实验的误差来源，C错误。

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