资源简介

(共95张PPT)
第二章 函数的概念与性质
第二章 函数的概念与性质
1．(2023·新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C． D．1
难度：0.85
命题点：函数奇偶性的性质及应用．
√
第二章 函数的概念与性质
B　[法一：设g(x)＝ln，易知g(x)的定义域为，且g(－x)＝ln＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f (x)＝(x＋a)ln为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B．
法二：因为f (x)＝(x＋a)ln为偶函数，f (－1)＝(a－1)ln 3，f (1)＝(a＋1)ln＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，经检验，当a＝0时，f (x)为偶函数，符合题意．故选B．]
2．(2025·全国一卷)已知f (x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f (x)＝5－2x，则f ＝(　　)
A．－
难度：0.85
命题点：函数的周期性、奇偶性的应用．
√
第二章 函数的概念与性质
A　[当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f (x)＝f (－x)＝f (－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x，所以f ．故选A．]
3．(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
难度：0.65
命题点：分段函数的单调性、二次函数、指数函数、对数函数的单调性．
√
第二章 函数的概念与性质
B　[因为f (x)在R上单调递增，且x≥0时，f (x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增，
则需满足解得－1≤a≤0，
即a的取值范围是[－1，0]．故选B．]
4．(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为(　　)
A．x>y>z B．x>z>y
C．y>x>z D．y>z>x
难度：0.4
命题点：数式的大小比较、对数的运算性质．
√
第二章 函数的概念与性质
B　[令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝，y＝，z＝，此时x>y>z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x．故选B．]
5．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (xy)＝
y2f (x)＋x2f (y)，则(　　)
A．f (0)＝0
B．f (1)＝0
C．f (x)是偶函数
D．x＝0为f (x)的极小值点
难度：0.65
命题点：函数的概念、偶函数及函数极小值点的概念．
√
第二章 函数的概念与性质
√
√
ABC　[取x＝y＝0，则f (0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f (1)＝f (－1)＋
f (－1)，所以f (－1)＝0，取y＝－1，则f (－x)＝f (x)＋x2f (－1)，所以f (－x)＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，故C正确；由于f (0)＝0，且函数f (x)为偶函数，所以函数f (x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f (x)的极小值点，也可能为函数f (x)的极大值点，也可能不是函数f (x)的极值点，故D不正确．综上，故选ABC．]
6．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
第二章 函数的概念与性质
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　)
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
难度：0.65
命题点：对数函数模型的应用、对数的运算性质．
√
第二章 函数的概念与性质
√
√
ACD　[因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且∈[60，90]，∈[50，60]，所以，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝p01＝40，所以p3＝p01＝100p0，故C正确；假设p2>10p3，则p01，所以1>10，所以>20，不可能成立，故B不正确；因为
≥1，所以p1≤100p2，故D正确．综上，故选ACD．]
1．重视基本运算
教材经典1．化简下列各式：
(1)log23×log34×log45×log52；
(2)2(log43＋log83)(log32＋log92)．
第二章 函数的概念与性质
[解]　(1)log23×log34×log45×log52
＝＝1．
(2)2(log43＋log83)(log32＋log92)
＝2(lo3)(log32＋lo2)
＝2
＝2×log32
＝．
锚点：换底公式、对数的运算性质．
2．落实核心概念
教材经典2．若函数f (x)的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)成立．试判断f (x)的奇偶性．
第二章 函数的概念与性质
[解]　令x＝y＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0．
令x＝－y，∴f (0)＝f (x)＋f (－x)＝0，
∴f (－x)＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数．
锚点：抽象函数奇偶性的判断．
教材经典3．已知函数f (x)＝在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围．
第二章 函数的概念与性质
[解]　要想满足f (x)＝在R上是减函数，
则二次函数y＝x2－ax＋1图象的对称轴x＝≥0，且1≥3a，
解得0≤a≤，所以实数a的取值范围是．
锚点：函数单调性的定义，一、二次函数的单调性．
3．培养思维品质
教材经典4．(飘带函数)试讨论函数y＝x－的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象．
第二章 函数的概念与性质
[解]　定义域为{x|x≠0}，值域为R．
令 x1，x2∈(－∞，0)，且x1则y1－y2＝x1－＝．
∵x1，x2∈(－∞，0)，∴x1x2>0，x1－x2<0，x1x2＋1>0，
∴y1－y2<0，
即y1令 x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则y1－y2＝．
∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∴x1x2>0，x1x2＋1>0，x1－x2<0．
∴y1－y2<0，即y1∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增．
设f (x)＝x－，
∵f (－x)＝－x＋＝－f (x)．
∴f (x)＝x－是奇函数．
y＝x－的图象如图．
锚点：特殊函数(飘带函数)的图象与性质．
教材经典5．比较下列各题中三个值的大小：
(1)log0.26，log0.36，log0.46；
(2)log23，log34，log45．(对数型糖水不等式)
第二章 函数的概念与性质
[解]　(1) 因为log0.26＝，log0.36＝，log0.46＝，lg 6>0且lg 0.2故log0.26>log0.36>log0.46．
(2)∵log23－log34＝
>＝0，
∴log23>log34，
同理可证log34>log45，∴log23>log34>log45．
锚点：对数式的大小比较．
教材经典6．设a为给定实数，函数f (x)的定义域为A．
(1)若对于任意x∈A，都有f (a－x)－f (a＋x)＝0，则此函数的图象一定具有怎样的对称性？请说明理由．
(2)若对于任意x∈A，都有f (a－x)＋f (a＋x)＝0，则此函数的图象一定具有怎样的对称性？请说明理由．
第二章 函数的概念与性质
[解]　(1)设P(x0，y0)是y＝f (x)图象上任一点，
又f (a－x)－f (a＋x)＝0，
则y0＝f (x0)＝f [a－(a－x0)]＝f [a＋(a－x0)]＝f (2a－x0)，
所以Q(2a－x0，y0)也是函数图象上的点，
又PQ的中点坐标为(a，y0)，此点在直线x＝a上，且PQ与直线x＝a垂直，即P，Q关于直线x＝a对称，而P是函数y＝f (x)图象上任一点，即y＝f (x)图象上任一点关于直线x＝a的对称点仍在函数图象上，
所以函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称．
(2)设P(x0，y0)是y＝f (x)图象上任一点，
又f (a－x)＋f (a＋x)＝0，
则y0＝f (x0)＝f [a－(a－x0)]＝－f [a＋(a－x0)]＝－f (2a－x0)，
即－y0＝f (2a－x0)，
所以M(2a－x0，－y0)也是函数图象上的点，
又PM的中点坐标为(a，0)，即P，M关于点(a，0)成中心对称，而P是函数y＝f (x)图象上任一点，即y＝f (x)图象上任一点关于点(a，0)的对称点仍在函数图象上，
所以函数y＝f (x)的图象关于点(a，0)成中心对称．
锚点：函数的对称性的抽象关系式．
第6课时
函数的概念及其表示
[考试要求]　
1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
以题引理·激活思维
1．(多选)(苏教版必修第一册P115练习T4改编)下列所给图象是函数图象的是(　　)
√
√
CD　[根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，选项A、B均不是函数图象，C、D是函数图象．故选CD．]
2．(北师大版必修第一册P55例2改编)函数f (x)＝的定义域为
(　　)
A．(－∞，4] B．(－∞，3)∪(3，4]
C．[－2，2] D．(－1，2]
B　[依题意有解得x≤4且x≠3，故选B．]
√
3．(人教A版必修第一册P66例3改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是(　　)
A．y＝( ＋1
C．y＝ ＋1
√
B　[y＝()2及y＝＋1与y＝x＋1的定义域不同；y＝＋1与y＝x＋1的对应关系不同．故ACD错误，B正确．]
4．(多选)(人教B版必修第一册P94尝试与发现改编)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f (x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数
f (x)，下列说法正确的是(　　)
A．f (x)的值域为[0，1]
B．f (x)的定义域为R
C． x∈R，f (f (x))＝1
D．存在x，y是无理数，f (x＋y)＝1
√
√
√
BCD　[因为函数f (x)＝
所以f (x)的定义域为R，值域为{0，1}，故A错误，B正确；
因为 x∈R，f (x)∈{0，1}，所以f (f (x))＝1，故C正确；
取x＝，y＝－，
则f (x＋y)＝f ()＝f (0)＝1，故D正确．
故选BCD．]
5．(湘教版必修第一册P78习题3.1T12改编)已知f (2x＋1)＝4x2＋4x＋3，则f (1)＝________；f (a)＝________．
3　a2＋2　[f (1)＝f (2×0＋1)＝4×02＋4×0＋3＝3．
令2x＋1＝a，得x＝，
∴f (a)＝f ＋3＝a2＋2．]
3
a2＋2
1．函数的概念
一般地，设A，B是____________，如果对于集合A中的____一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝
f (x)，x∈A．
非空的实数集
任意
唯一确定
2．同一个函数
(1)函数的三要素：______、________、____．
(2)如果两个函数的______相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法：______、______、______．
定义域
对应关系
值域
定义域
对应关系
解析法
图象法
列表法
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
1．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
2．求函数解析式的常用方法
待定系数法、换元法、配凑法、消元法(解方程组法)、赋值法等，其中用换元法求解析式时，一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围．
3．分段求解是解决分段函数问题的基本原则，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
考点一　求函数的定义域
[典例1]　(2026·辽宁葫芦岛模拟)已知函数y＝f (2x＋1)的定义域为[－1，2]，则函数y＝的定义域为(　　)
A．[－1，2] B．(－1，2]
C．[－1，5] D．(－1，5]
精研考点·提升素养
√
D　[对于函数y＝f (2x＋1)，－1≤x≤2，
则－1≤2x＋1≤5，
所以函数f (x)的定义域为[－1，5]，
对于函数y＝
即解得－1因此，函数y＝的定义域为(－1，5]．故选D．]
名师点评：求抽象函数定义域的方法
(1)若f (x)的定义域为[m，n]，则在f (g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的取值范围，即为f (g(x))的定义域．
(2)若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的取值范围，即为f (x)的定义域．
[巩固迁移]
1．(2026·湖南长沙模拟)已知函数y＝f (x)的定义域和值域分别为[－1，1]和[5，9]，则函数y＝f (x＋1)的定义域和值域分别为(　　)
A．[0，2]和[6，10] B．[－2，0]和[6，10]
C．[0，2]和[5，9] D．[－2，0]和[5，9]
√
D　[由函数y＝f (x)的定义域和值域分别为[－1，1]和[5，9]，可得x∈[－1，1]和f (x)∈[5，9]，
令－1≤x＋1≤1，解得－2≤x≤0，所以函数y＝f (x＋1)的定义域为[－2，0]，
又由函数y＝f (x)的图象向左平移1个单位长度，得到y＝f (x＋1)的图象，
所以函数y＝f (x＋1)与函数y＝f (x)的值域相同，即f (x＋1)∈[5，9]．故选D．]
2．(2026·福建厦门模拟)已知函数f (x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围为__________．
[－4，0]　[∵f (x)的定义域为R，
∴1－mx－mx2≥0，即mx2＋mx－1≤0的解集为R．
①当m＝0时，－1≤0恒成立，满足题意；
②当m≠0时，解得－4≤m<0．
∴实数m的取值范围是[－4，0]．]
[－4，0]
【教用·备选题】
已知函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　)
A．(1，5]　　 B．(1，2)∪(2，5)
C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3]
√
C　[因为函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，函数y＝＋(x－2)0有意义，
所以
解得1所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1，2)∪(2，3]．
故选C．]
考点二　求函数的解析式
[典例2]　(1)已知f (，则f (x)＝_______________；
(2)已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，则f (x)＝______________________；
(3)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，则f (x)＝________；
(4)设f (x)是定义在R上的函数，且满足f (0)＝1，且对任意的实数x，y都有f (x－y)＝f (x)－y(2x－y＋1)，则f (x)＝__________________．
x2－4x＋3(x≥1)
x＋2
3x
x2＋x＋1
(1)x2－4x＋3(x≥1)　(2)x＋2　(3)3x　(4)x2＋x＋1　
[(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，
代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f (＋1)＝x＋2－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，因为＋1≥1，
所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(2)(待定系数法)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f (0)＝2，得c＝2，
f (x＋1)－f (x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
所以
所以f (x)＝x＋2．
(3)(解方程组法)2f (x)＋f (－x)＝3x，①
令x＝－x代入①，
得2f (－x)＋f (x)＝－3x，②
由①②解得f (x)＝3x．
(4)法一：令y＝x，得f (x－y)＝f (0)＝f (x)－x(2x－x＋1)＝1，
所以f (x)＝x2＋x＋1．
法二：令x＝0，得f (0－y)＝f (0)－y(－y＋1)，
即f (－y)＝1＋y2－y，
用x替换－y，得f (x)＝x2＋x＋1．]
【教用·备选题】
设f (x)＝，记f 1(x)＝f (x)，f k+1(x)＝f (f k(x))，k＝1，2，…，
则f 2 026(x)＝(　　)
A．
C．x D．－
√
D　[(归纳法)由已知条件得f 2(x)＝f (f 1(x))＝，
f 3(x)＝f (f 2(x))＝，
f 4(x)＝f (f 3(x))＝＝＝x，f 5(x)＝f (f 4(x))＝，
可见f n(x)是以4为周期的函数，而2 026＝506×4＋2，所以f 2 026(x)＝f 2(x)＝－．]
名师点评：对于含双变量x，y的抽象函数求解析式问题常采用赋值法．
[巩固迁移]
3．(1)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝_____________．
(2)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f (f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________．
(3)定义在R上的函数f (x)满足f (0)＝1，且对任意x，y∈R都有f (xy＋1)＝f (x)f (y)－f (y)－x＋2，则f (2 027)＝________．
－
4x＋1
2 028
(1)－　(2)4x＋1　(3)2 028　[(1)∵f (x)－2f ＝2x，①
用代替①中的x，得f －2f (x)＝，②
①＋②×2得－3f (x)＝2x＋，
∴f (x)＝－．
(2)∵f (x)为单调递增的一次函数，∴设f (x)＝ax＋b(a>0)，故f (f (x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－(舍)，∴f (x)＝4x＋1．
(3)令x＝y＝0，得f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝1－1＋2＝2，
令y＝0，得f (1)＝f (x)f (0)－f (0)－x＋2，
即2＝f (x)－1－x＋2，所以f (x)＝x＋1，
所以f (2 027)＝2 027＋1＝2 028．]
考点三　分段函数
[典例3]　(多选)(2026·山东枣庄模拟)已知函数f (x)＝则下列关于函数f (x)的结论正确的是(　　)
A．f (f (－1))＝1
B．若f (x)＝3，则x的值为
C．f (x)<1的解集为(－∞，1)
D．f (x)的值域为(－∞，4)
√
√
√
ABD　[对于A，因为f (x)＝
则f (－1)＝－1＋2＝1，
所以f ( f (－1))＝f (1)＝12＝1，故A正确；
对于B，当x≤－1时，f (x)＝x＋2＝3，解得x＝1(舍)；
当－1∴f (x)＝3的解为x＝，故B正确；
对于C，当x≤－1时，f (x)＝x＋2<1，解得x<－1；
当－1∴f (x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故C错误；
对于D，当x≤－1时，f (x)＝x＋2≤－1＋2＝1；
当－1∴f (x)的值域为(－∞，4)， 故D正确．
故选ABD．]
名师点评：分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
[巩固迁移]
4．(1)已知f (x)＝＝(　　)
A．2 B．
D．1
(2)若函数f (x)＝的值域为R，则实数m的取值范围为______________．
√
(－∞，－1]
(1)D　(2)(－∞，－1]　[(1)函数f (x)＝
所以f ＝1．故选D．
(2)当x<－2时，f (x)＝∈(4，＋∞)，由于函数f (x)的值域为R，所以当x≥－2时，f (x)＝mx＋2的值域应包含(－∞，4]，所以m<0且
f (－2)＝－2m＋2≥4，解得m≤－1．]
【教用·备选题】
1．设函数f (x)＝若f (f (a))≥3，则实数a的取值范围是(　　)
A．[ －1]
C．[－3，1] D．[1，＋∞)
√
A　[因为f (x)＝
令f (a)＝t，则f (f (a))≥3可化为f (t)≥3，
当t≥0时，t2＋2t≥3，解得t≥1(负值舍去)，即f (a)≥1；
当t<0时，－t2＋2t≥3，即t2－2t＋3≤0，
而t2－2t＋3＝(t－1)2＋2>0，故上述不等式无解，综上，f (a)≥1，
若a≥0，则a2＋2a≥1，解得a≥－1(负值舍去)；
若a<0，则－a2＋2a≥1，解得a＝1(舍)，
综上，a≥－1．]
2．已知函数f (x)＝则关于x的不等式f (x)≤1的解集为_________________．
(－∞，e－1]　[当x≤0时，f (x)＝x＋1≤1，解得x≤0，所以x≤0．
当x>0时，f (x)＝ln(x＋1)≤1，解得－1综上，f (x)≤1的解集为(－∞，e－1]．]
(－∞，e－1]
一、单项选择题
1．(2026·山东嘉祥模拟)若函数f (x)的定义域为[0，8]，则函数g(x)＝的定义域为(　　)
A．(1，16) B．(1，16]
C．(1，4) D．(1，4]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课后作业(六)　函数的概念及其表示
√
16
D　[依题意，函数g(x)＝解得1即函数g(x)＝的定义域为(1，4]．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．设f (x)＝ 则f (9)的值为(　　)
A．9 B．11
C．28 D．14
√
B　[f (9)＝f (f (14))＝f (2×14－15)＝f (13)＝2×13－15＝11．
故选B．]
16
3．(2026·辽宁鞍山期末)已知f ＋4，则f (x)＝
(　　)
A．x2＋2 B．x2－2
C．x＋(|x|≥2) D．x2＋2(|x|≥2)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
D　[因为f ＋2，
且x＋＝2(x>0)或x＋＝－2(x<0)，
当且仅当x＝，即x＝±1时取等号．
所以f (x)＝x2＋2(|x|≥2)．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
4．(2026·福建福州模拟)函数f (x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，则函数g(x)＝x－[x]的值域为
(　　)
A．[0，1) B．(0，1]
C．(－1，0) D．(－1，1]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A　[设x＝a＋b，其中a＝[x]，b为x的小数部分，则0≤b<1，
则g(x)＝x－[x]＝b∈[0，1)，
所以函数g(x)的值域为[0，1)．故选A．]
16
5．已知函数f (x)满足f (x－1)＋2f (1－x)＝x2＋x，则f (2)＝(　　)
A．－4 B．4
C．－3 D．3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A　[因为f (x－1)＋2f (1－x)＝x2＋x，
令x＝3，则f (2)＋2f (－2)＝12，
令x＝－1，则f (－2)＋2f (2)＝0，
联立以上两式可得f (2)＝－4，故选A．]
16
6．(2025·黑龙江大庆期末)设函数f (x)＝则不等式f (x)>3的解集是(　　)
A．(－3，1)∪(3，＋∞) B．(－3，1)∪(2，＋∞)
C．(－1，1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，3)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
A　[根据题意，由于函数f (x)＝
可知当x<0时，x＋6>3，解得－3当x≥0时，x2－4x＋6>3，即x2－4x＋3>0，
解得x>3或0≤x<1，
综上，不等式f (x)>3的解集是(－3，1)∪(3，＋∞)．
故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
7．(2025·湖北黄冈二模)已知函数f (x)＝x2的定义域A R，值域B＝{9}，则满足条件的f (x)的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[令f (x)＝x2＝9，则x＝±3，则满足条件的f (x)有：
f (x)＝x2，x∈{3}；f (x)＝x2，x∈{－3}；f (x)＝x2，x∈{－3，3}，故满足条件的f (x)有3个．故选C．]
16
8．若f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy对任意x，y∈R恒成立，f (1)＝1，
则f (30)＝(　　)
A．189 B．190
C．464 D．465
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
D　[依题意，f (2)＝f (1)＋f (1)＋1×1＝3，
f (3)＝f (2)＋f (1)＋1×2＝3＋1＋2＝6，
f (4)＝f (2)＋f (2)＋2×2＝3＋3＋4＝10，
f (5)＝f (2)＋f (3)＋2×3＝3＋6＋6＝15，
f (6)＝f (2)＋f (4)＋2×4＝3＋10＋8＝21，
f (7)＝f (2)＋f (5)＋2×5＝3＋15＋10＝28，
f (8)＝f (2)＋f (6)＋2×6＝3＋21＋12＝36，
f (15)＝f (7)＋f (8)＋7×8＝28＋36＋56＝120，
f (30)＝f (15)＋f (15)＋15×15＝120＋120＋225＝465．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
二、多项选择题
9．已知函数f (，则(　　)
A．f (x)＝x2－1(x∈R)
B．f (x)的最小值为－1
C．f (2x－3)的定义域为[2，＋∞)
D．f 的值域为[0，＋∞)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
CD　[依题意，f (＋1)＝()2＋2＝(＋1)2－1，则f (x)＝x2－1，x≥1，A错误；
当x≥1时，f (x)≥0，当且仅当x＝1时取等号，B错误；
在f (2x－3)中，2x－3≥1，解得x≥2，
因此f (2x－3)的定义域为[2，＋∞)，C正确；
f －1，0题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
10．给定数集A＝R，B＝(0，＋∞)，x，y满足方程2x－y＝0，下列对应关系f 为函数的是(　　)
A．f ：A→B，y＝f (x) B．f ：B→A，y＝f (x)
C．f ：A→B，x＝f (y) D．f ：B→A，x＝f (y)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
√
ABD　[对于A，y＝f (x)＝2x， x∈A，均有唯一确定的f (x)∈(0，
＋∞)＝B，符合函数定义，A正确；
对于B，y＝f (x)＝2x， x∈B，均有唯一确定的f (x)∈(1，＋∞) A，符合函数定义，B正确；
对于C，x＝f (y)＝log2y，取y＝1∈A，x＝0 B，不符合函数定义，C错误；
对于D，x＝f (y)＝log2y， y∈B，均有唯一确定的f (y)∈R＝A，符合函数定义，D正确．
故选ABD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
11．十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数
f (x)满足f (x)·f (－x)＝1，则称f (x)为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是(　　)
A．f (x)＝1 B．f (x)＝x2
C．f (x)＝ex D．f (x)＝ln x
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
AC　[对于A，f (x)＝1，则f (－x)＝1，所以f (x)·f (－x)＝1，故A正确；对于B，f (x)＝x2，则f (2)·f (－2)＝16，故B错误；对于C，f (x)＝ex，则f (－x)＝e-x．所以f (x)·f (－x)＝1，故C正确；对于D，f (x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)，则当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，此时f (－x)无意义，故D错误．
故选AC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
三、填空题
12．(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f (x)＝))＝3，则a＝__________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
2　[因为>2，所以f ()＝6－4＝2，
所以f (f ())＝f (2)＝1＋a＝3，解得a＝2．]
2
13．在平面直角坐标系中，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，1)三点，请写出2个函数解析式，使函数图象经过A，B，C三点：___________，__________________________________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
y＝1－(答案不唯一，符合题意即可)　[已知A(－2，0)，B(2，0)关于y轴对称，且C(0，1)在y轴上．
①可设y＝k＋m，则解得故y＝1－．
y＝1－
(答案不唯一，符合题意即可)
②可设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
故y＝1－．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
14．已知函数f (x)＝＝________；
若f (a)>a，则a的取值范围是______________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
4　(－1，1)∪(1，＋∞)　[因为f ＋1＝2，
所以f ＝f (2)＝22＝4．
当a≥1时，f (a)>a a2>a，解得a>1；
当a<1时，f (a)>a 2a＋1>a，解得－1所以a的取值范围为(－1，1)∪(1，＋∞)．]
4
(－1，1)∪(1，＋∞)
15．(2025·八省联考)已知函数f (x)＝x|x－a|－2a2．若当x>2时，
f (x)>0，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]
B．[－2，1]
C．[－1，2]
D．[－1，＋∞)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
√
B　[当a>2，x>2时，f (x)＝x|x－a|－2a2
＝
当2所以f (x)<0，不满足当x>2时，f (x)>0，故a>2不符合题意；
当02时，f (x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>2a，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
由于当x>2时，f (x)>0，故2a≤2，解得0当a＝0，x>2时，f (x)＝x2>0恒成立，符合题意；
当a<0，x>2时，f (x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>－a，
由于当x>2时，f (x)>0，故－a≤2，解得－2≤a<0．
综上，－2≤a≤1．
故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
16．(多选)若函数f (x)的定义域与值域的交集为[a，b]，则称f (x)为“[a，b]交汇函数”，下列函数是[0，2]交汇函数的是(　　)
A．f (x)＝x2－4x＋4，x∈(－∞，2]
B．f (x)＝－＋2
C．f (x)＝－2x＋2
D．f (x)＝
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
ABD　[因为f (x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，x∈(－∞，2]，
所以f (x)的值域为[0，＋∞)，f (x)的定义域与值域的交集为[0，2]，A正确；
f (x)＝－＋2的定义域为[0，＋∞)，值域为(－∞，2]，定义域与值域的交集为[0，2]，B正确；
f (x)＝－2x＋2的定义域为R，因为2x>0，
所以f (x)＝－2x＋2<2，
即f (x)＝－2x＋2的值域为(－∞，2)，所以f (x)的定义域与值域的交集为(－∞，2)，C错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
因为方程3x2－4x＋2＝0无解，故f (x)＝的定义域为R，
当x＝0时，f (0)＝0，
当x≠0时，f (x)＝，
因为2＋1≥1，所以0所以f (x)的值域为[0，2]，f (x)的定义域与值域的交集为[0，2]，D正确．故选ABD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16

展开更多......

收起↑