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第7课时　函数的单调性与最值
第二章 函数的概念与性质
[考试要求]　
1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值．
2．理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义．
以题引理·激活思维
1．(湘教版必修第一册P82练习T2改编)函数y＝－在区间[1，2]上的最大值为(　　)
A．－
C．－1 D．不存在
√
A　[y＝－在(－1，＋∞)上单调递增，则y＝－在区间[1，2]上单调递增，所以ymax＝－．]
2．(多选)(人教A版必修第一册P86习题3.2T3改编)下列函数在(0，
＋∞)上单调递增的是(　　)
A．f (x)＝－2x＋1 B．f (x)＝x2＋1
C．f (x)＝1－ D．f (x)＝|x|
√
√
√
BCD　[对于A，f (x)＝－2x＋1是一次函数，所以f (x)在R上是减函数，故A错误；对于B，因为f (x)＝x2＋1图象的对称轴为y轴，所以
f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，因为y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，函数f (x)＝|x|＝ 函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故D正确．]
3．(多选)(人教A版必修第一册P86习题3.2T9改编)如果函数f (x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论正确的是 (　　)
A．>0
B．(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0
C．f (a)D．>0
√
√
√
ABD　[因为f (x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f (x1)－f (x2)的符号相同，所以A，B，D都正确，而C中应为若x14．(北师大版必修第一册P64练习T2改编)若函数f (x)＝x2－2mx＋1在[5，20]上具有单调性，则实数m的取值范围是___________________．
(－∞，5]∪[20，＋∞)　[函数f (x)的图象的对称轴是直线x＝m，当m≤5或m≥20时，f (x)在[5，20]上具有单调性，所以实数m的取值范围为(－∞，5]∪[20，＋∞)．]
(－∞，5]∪[20，＋∞)
5．(苏教版必修第一册P122习题5.3T4改编)函数y＝f (x)是定义在
[－2，2]上的减函数，且f (a＋1)[－1，1)　[由条件知解得－1≤a<1．]
[－1，1)
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I 当x1f (x1)f (x1)>f (x2)
增函数 减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间I上________或_________，那么就说函数y＝
f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，______叫做y＝f (x)的单调区间．
单调递增
单调递减
区间I
2．函数的最值
前提 一般地，设函数y＝f (x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ① x∈D，都有_______； ② x0∈D，使得_________ ① x∈D，都有____________；
② x0∈D，使得_____________
结论 M是函数y＝f (x)的最大值 M是函数y＝f (x)的最小值
f (x)≤M
f (x0)＝M
f (x)≥M
f (x0)＝M
[二级结论]
最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处．
1．判定函数单调性的四种方法：定义法、图象法、导数法和性质法．
2．复合函数y＝f (g(x))的单调性与y＝f (u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为“同增异减”．
3．借助函数的单调性实现函数值与自变量间的转换
(1)f (x1)(2)f (x1)x2．
考点一　确定函数的单调性(单调区间)
考向1　图象法、性质法确定函数的单调性
[典例1]　(1)函数f (x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
(2)(北师大版必修第一册P65习题2-3B组T2改编)函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间是______________________________．
精研考点·提升素养
√
[－1，2]，[5，＋∞)
(1)D　(2)[－1，2]，[5，＋∞)　[(1)由x2－2x－8>0，解得x<－2或x>4，所以函数y＝ln(x2－2x－8)的定义域为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．
令u＝x2－2x－8，则函数u＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，而函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可得，y＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D．
(2)函数y＝|－x2＋4x＋5|
＝
由|－x2＋4x＋5|＝0，解得x＝－1或x＝5，
函数y＝|－x2＋4x＋5|的图象如图所示，
由图可知，函数y＝|－x2＋4x＋5|的
单调递增区间为[－1，2]，[5，＋∞)．]
(－∞，－2]，[0，2]　[f (x)＝
即f (x)＝
画出函数f (x)的图象如图所示，
可知函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递
增区间为(－∞，－2]，[0，2]．]
【拓展变式】　函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为________________________．
(－∞，－2]，[0，2]
考向2　定义法、导数法确定函数的单调性
[典例2]　试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)内的单调性．
[解]　法一(定义法)：令 x1，x2∈(－1，1)，且x1f (x)＝a，f (x1)－f (x2)＝a，由于－10，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，
即f (x1)>f (x2)，函数f (x)在(－1，1)内单调递减；
当a<0时，f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)法二(导数法)：f '(x)＝＝．
当a>0时，f '(x)<0，函数f (x)在(－1，1)内单调递减；
当a<0时，f '(x)>0，函数f (x)在(－1，1)内单调递增．
名师点评：(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．
(2)函数在两个不同的区间上单调性相同，区间要分开写，用“，”“和”连接，不要用“∪”．
[巩固迁移]
1．函数f (x)＝的单调递减区间为(　　)
A．
C．
√
D　[因为函数y＝2x2－3x＋11在上单调递增，
y＝是减函数，根据复合函数的单调性，可得f (x)的单调递减区间为．
故选D．]
2．下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，使得<0”的是(　　)
A．f (x)＝－x2－2x＋1 B．f (x)＝x－
C．f (x)＝x＋1 D．f (x)＝log2(2x)＋1
√
A　[根据题意，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
对于选项A，f (x)＝－x2－2x＋1为二次函数，图象的对称轴为直线x＝－1，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，符合题意；
对于选项B，f (x)＝x－，则f '(x)＝1＋，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；
对于选项C，f (x)＝x＋1为一次函数，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；
对于选项D，由复合函数的单调性知，f (x)＝log2(2x)＋1在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．故选A．]
【教用·备选题】
已知函数y＝f (x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝f (x)＋x是增函数
B．y＝f (x)＋x是减函数
C．y＝f (x)是增函数
D．y＝f (x)是减函数
√
A　[不妨令x1∵>－1 f (x1)－f (x2)<－(x1－x2) f (x1)＋x1令g(x)＝f (x)＋x，∴g(x1)又x1故选A．]
考点二　函数单调性的应用
考向1　比较函数值的大小
[典例3]　已知函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，
[f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f ，b＝f (2)，c＝f (e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
√
D　[因为f (x)的图象关于直线x＝1对称，可得f ．当x2>x1>1时， [f (x2)－f (x1)](x2－x1)<0恒成立，可知f (x)在(1，＋∞)上单调递减．
因为1<2<f >f (e)，所以b>a>c．]
考向2　解不等式
[典例4]　(1)已知函数f (x)＝若f (a＋1)－f (2a－1)≥0，则实数a的取值范围是____________．
(2)设f (x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，则不等式f (x)＋f (2)>1的解集为_____________．
(1)　[(1)因为当x∈(0，2]时，f (x)＝log2x单调递增，此时f (x)≤f (2)＝1，
当x∈(2，＋∞)时，f (x)＝2x－3单调递增，
此时f (x)>f (2)＝1，
函数f (x)的图象如图所示．
所以f (x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
所以若f (a＋1)－f (2a－1)≥0，即f (a＋1)≥f (2a－1)，
则a＋1≥2a－1>0，解得(2)由条件可得f (x)＋f (2)＝f (2x)，又f (3)＝1，
∴不等式f (x)＋f (2)>1，即为f (2x)>f (3)，
∵f (x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
∴2x>3，解得x>，故不等式f (x)＋f (2)>1的解集为．]
考向3　求参数的取值范围
[典例5]　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
(2)(2026·江苏盐城模拟)已知f (x)＝x2－(2a－1)x＋1， x1，x2∈[1，＋∞)都有≥1成立，则实数a的取值范围是__________．
√
(－∞，1]
(1)B　(2)(－∞，1]　[(1)因为f (x)在R上单调递增，且x≥0时，
f (x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增，
则需满足解得－1≤a≤0，
即a的取值范围是[－1，0]．故选B．
(2)由≥1，得－1≥0，
则≥0，
设函数g(x)＝f (x)－x，则 x1，x2∈[1，＋∞)，都有≥0成立，
所以函数g(x)＝x2－2ax＋1在区间[1，＋∞)上单调递增，
所以≤1，解得a≤1，则实数a的取值范围是(－∞，1]．]
名师点评：应用函数单调性解题的注意事项
(1)比较函数值的大小，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
(3)对于分段函数的单调性，除了保证每一段单调外，还要注意衔接点的函数值，在衔接点处需建立一个不等式．
[巩固迁移]
3．(2026·福建漳州模拟)已知函数f (x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－2] B．[－3，0]
C．(－∞，－2] D．(－∞，0)
√
A　[由于函数f (x)＝是定义在R上的减函数，
所以函数y＝x2＋ax＋5在区间(－∞，1]上单调递减，函数y＝－在区间(1，＋∞)上单调递减，即
解得－3≤a≤－2．故选A．]
4．已知函数f (x)＝x|x|，则关于x的不等式f (2x)>f (1－x)的解集为__________________．
　[由f (x)＝x故f (x)在R上单调递增，由f (2x)>f (1－x)，有2x>1－x，即x>．则不等式f (2x)>f (1－x)的解集为．]
【教用·备选题】
1．已知减函数f (x)的定义域是R，m，n都是实数．如果不等式f (m)－f (n)>f (－m)－f (－n)成立，那么下列不等式成立的是(　　)
A．m－n<0
B．m－n>0
C．m＋n<0
D．m＋n>0
√
A　[设F(x)＝f (x)－f (－x)，
由于f (x)是R上的减函数，
∴f (－x)是R上的增函数，－f (－x)是R上的减函数，∴F(x)是R上的减函数，
∴当mF(n)，
即f (m)－f (－m)>f (n)－f (－n)成立．
∴当f (m)－f (n)>f (－m)－f (－n)成立时，不等式m－n<0一定成立，故选A．]
2．(多选)已知函数f (x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是(　　)
A．a＝－1，b＝2 B．a＝2，b＝1
C．a＝1，b> D．0√
√
CD　[根据题意，
f (x)＝＝．
若函数f (x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则①a＝0时，b>0；②a>0时，－≤－2，3－<0，即03，据此分析选项C，D符合．]
考点三　求函数的值域或最值
[典例6]　(1)已知max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，例如max{1，2，3}＝3，若函数f (x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，则
f (x)的最小值为(　　)
A．2.5 B．3
C．4 D．5
(2)若函数f (x)＝在区间[0，1]上的最大值为3，则实数m＝________．
√
3
(1)B　(2)3　[(1)在同一平面直角坐标系中画出函数y＝－x2＋4，y＝－x＋2，y＝x＋3的图象，
因为f (x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}，
所以f (x)的图象如图中实线部分所示，
由x<0，可得A(－1，3)，
由x>0，可得B，
由图知f (x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)内单调递增，在上单调递增，
所以f (x)的最小值为3．故选B．
(2)因为函数f (x)＝，由反比例函数的单调性知，当m>2时，f (x)＝在[0，1]上单调递减，最大值为f (0)＝m＝3；当m<2时，f (x)＝在[0，1]上单调递增，最大值为f (1)＝＝3，即m＝4，与m<2矛盾，舍去．故实数m＝3．]
名师点评：求函数最值的五种常用方法有单调性法、图象法、基本不等式法、导数法和换元法．
[巩固迁移]
5．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6)
B．函数y＝的值域为R
C．函数y＝2x－
D．函数y＝，＋∞)
√
√
√
ACD　[对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图1所示)，可得函数的值域为[2，6)，故A正确；
对于B，(分离常数法)y＝≠0，
∴y≠2．故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，故B错误；
对于C，(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，
∴y＝2(t2＋1)－t＝2，
由t≥0，再结合函数的图象(如图2所示)，可得函数的值域为，故C正确；对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，
∴y＝在[1，＋∞)上单调递增，
∴当x＝1时，ymin＝
，＋∞)，故D正确．故选ACD．]
【教用·备选题】
1．函数y＝1＋x－的值域为(　　)
A．
C．
√
B　[法一：设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2．因为t≥0，所以y≤．
所以函数y＝1＋x－．
法二：因为y＝1＋x－上单调递增，所以y＝1＋x－．]
2．已知函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，用M(x)表示f (x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f (x)，g(x)}，若M(x)的最小值为－，则实数a的值为(　　)
A．0 B．±1
C．± D．±2
√
B　[函数f (x)＝2x2－1，g(x)＝ax，x∈R，根据题意，当a>0时，函数M(x)的图象如图所示，
由图象可知，在点A处M(x)取得最小值，为－，
故2x2－1＝－，解得x＝±，
由图象可知x＝－
代入g(x)＝ax得－，
解得a＝1．
同理如果a<0，则2x2－1＝－，解得x＝±，∴x＝代入g(x)＝ax，得，解得a＝－1．当a＝0时，M(x)的最小值为0，不符合题意．
综上所述，a＝±1．
故选B．]
一、单项选择题
1．(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是
(　　)
A．f (x)＝－ln x B．f (x)＝
C．f (x)＝－ D．f (x)＝3|x-1|
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课后作业(七)　函数的单调性与最值
√
C　[对于A，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，A选项错误；
对于B，y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，B选项错误；
对于C，y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以f (x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，C选项正确；
对于D，f (x)＝3|x-1|在(0，＋∞)上不单调，D选项错误．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．函数f (x)＝－2x在区间(－2，－1]上的最小值为(　　)
A．1 B．
D．－1
√
A　[因为y＝，y＝－2x在区间(－2，－1]上都单调递减，所以f (x)＝－2x在区间(－2，－1]上单调递减，因此f (x)min＝f (－1)＝－1＋2＝1．故选A．]
3．函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为(　　)
A．
C．[1，＋∞) D．∪[1，＋∞)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
B　[g(x)＝x|x－1|＋1＝
画出函数图象如图所示．
根据图象知函数g(x)的单调
递减区间为．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
4．(2025·广东茂名一模)已知函数f (x)＝在区间(a，
＋∞)上单调递增，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，3]
C．[3，＋∞) D．[5，＋∞)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
D　[由x2－6x＋5≥0，可得x≤1或x≥5，
即函数f (x)的定义域为(－∞，1]∪[5，＋∞)，
又因为t＝x2－6x＋5在[5，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，
y＝在[0，＋∞)上单调递增，
由复合函数的单调性可知f (x)＝在区间[5，＋∞)上单调递增，所以a≥5．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
5．(2026·安徽阜阳模拟)函数f (x)＝<0成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－4，－1] B．[－4，－2]
C．(－5，－1] D．[－5，－4]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
A　[因为对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，都有<0成立，
所以f (x)在R上是减函数，
则
解得－4≤a≤－1．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
6．(2026·江苏扬州模拟)已知函数f (x)在[1，＋∞)上单调递减且对任意x∈R满足f (x)＝f (2－x)，则不等式f (2x－3)>f (x)的解集是(　　)
A．∪(3，＋∞)
B．
C．
D．(3，＋∞)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
B　[因为对任意x∈R满足f (x)＝f (2－x)，所以f (x)图象的对称轴为直线x＝1．又函数f (x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f (x)在(－∞，1)上单调递增，所以f (2x－3)>f (x) (2x－3－1)2<(x－1)2，解得x∈．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
二、多项选择题
7．已知函数f (x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　)
A．当a>0时，f (x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f (x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f (x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a>0时，f (x)的值域为R
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
√
BCD　[当a>0时，f (x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，当x→0+时，f (x)→－∞，故f (x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时，
f (x)＝x＋为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，故B正确；当x>0时，x＋＝4(当且仅当x＝2时取等号)，当x<0时，x＋＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故f (x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故C正确．]
题号
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8．函数f (x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f (x1)＋x2f (x2)>x1f (x2)＋x2f (x1)，下列结论正确的是(　　)
A．函数f (x)是减函数
B．f (－5)C．f (0)＝0
D．不等式f (2x－1)题号
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√
√
BD　[由x1f (x1)＋x2f (x2)>x1f (x2)＋x2f (x1)，
得(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，
因此f (x)是增函数，A错误；
由－5<0<1，得f (－5)不一定有f (0)＝0，如f (x)＝2x在R上为增函数，f (0)＝1，C错误；
由f (2x－1)题号
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三、填空题
9．已知函数f (x)＝则f (x)的最小值是_________________．
题号
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2－6
2－6　[因为函数y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以当x≤1时，f (x)min＝f (0)＝0．当x>1时，y＝x＋，当且仅当x＝时，等号成立，此时f (x)min＝2－6．又2－6<0，所以f (x)min＝2－6．]
题号
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10．函数f (x)的定义域为A，若x1，x2∈A且当f (x1)＝f (x2)时总有x1＝x2，则称f (x)为单函数．例如，函数f (x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：
①函数f (x)＝x2(x∈R)是单函数；
②指数函数f (x)＝2x(x∈R)是单函数；
③若f (x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f (x1)≠f (x2)；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)
题号
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②③④
②③④　[①若函数f (x)＝x2(x∈R)是单函数，则由f (x1)＝f (x2)得，即x1＝－x2或x1＝x2，不满足单函数的定义，故①错误；
②若指数函数f (x)＝2x(x∈R)是单函数，则由f (x1)＝f (x2)得，即x1＝x2，满足单函数的定义，故②正确；
③若f (x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f (x1)≠f (x2)，故③正确；
④在定义域上具有单调性的函数一定满足当f (x1)＝f (x2)时总有x1＝x2，所以是单函数，成立，故④正确．]
题号
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四、解答题
11．已知函数f (x)＝(a>0)．
(1)当a＝2时，试判断x∈[1，＋∞)时f (x)的单调性，并证明；
(2)当x∈(0，1]时，f (x)单调递减；当x∈[1，＋∞)时，f (x)单调递增，试求a的值及当x∈(0，＋∞)时f (x)的最小值．
题号
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[解]　(1)f (x)在[1，＋∞)上单调递增，证明如下：
当a＝2时，f (x)＝x＋＋2，
当x≥1时，f '(x)＝1－>0，
所以函数f (x)在[1，＋∞)上单调递增．
题号
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(2)因为f (x)＝x＋＋2，所以f '(x)＝1－．
因为当x∈(0，1]时，f (x)单调递减；
当x∈[1，＋∞)时，f (x)单调递增，
所以f '(1)＝1－＝0，所以a＝1．
经检验，a＝1符合题意．
因为f (x)＝x＋＋2在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f (x)取得最小值4．
题号
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12．已知a，b∈R，记max{a，b}＝函数f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)．
(1)写出f (x)的解析式，并求出f (x)的最小值；
(2)若函数g(x)＝x2－kf (x)在(－∞，－1]上具有单调性，求实数k的取值范围．
题号
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[解]　(1)因为|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3，
当x≥时，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3≥0，
则f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x＋1|＝x＋1；
当x<时，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3<0，
则f (x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x－2|＝2－x．
所以f (x)＝故函数f (x)在
上单调递增，所以函数f (x)的最小值为f ．
题号
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(2)当x≤－1时，f (x)＝2－x，则g(x)＝x2－kf (x)＝x2＋kx－2k，因为函数g(x)在(－∞，－1]上具有单调性，且二次函数g(x)的图象开口向上，故函数g(x)在(－∞，－1]上只能单调递减，所以－≥－1，解得k≤2，因此，实数k的取值范围是(－∞，2]．
题号
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13．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋1，且当x>0时，f (x)>－1．
(1)求f (0)的值，并证明f (x)在R上是增函数；
(2)若f (1)＝1，解关于x的不等式f (x2＋2x)＋f (1－x)>4．
题号
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[解]　(1)令x＝y＝0，得f (0)＝－1．
在R上任取x1，x2且x1>x2，则x1－x2>0，
所以f (x1－x2)>－1．
又f (x1)＝f ((x1－x2)＋x2)＝f (x1－x2)＋f (x2)＋1>f (x2)，所以函数f (x)在R上是增函数．
题号
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(2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5．
由f (x2＋2x)＋f (1－x)>4，得f (x2＋x＋1)>f (3)．
因为函数f (x)在R上是增函数，
所以x2＋x＋1>3，
解得x<－2或x>1，
故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
题号
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