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(共61张PPT)
第12课时　指数运算与对数运算
第二章 函数的概念与性质
[考试要求]　
1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．
2．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．
3．掌握指数、对数运算在实际问题中的应用．
1．(人教A版必修第一册P105例1改编)下列各式正确的是(　　)
A．a0＝1 B．＝－2
C． ＝a
以题引理·激活思维
√
B　[对于A，a0＝1，当a＝0时，a0无意义，故A错误；
对于B，由＝－2，故B正确；
对于C，由＝2，故C错误；
对于D，由＝|a|，故D错误．故选B．]
2．(苏教版必修第一册P99本章测试T12(2)改编)计算式子lg 2－lg－e2ln 2
的值为(　　)
A．－3 B．－2
C．－1 D．－
A　[lg 2－lg－e2ln 2＝lg 2＋lg 5－＝lg 10－22＝－3．
故选A．]
√
3．(湘教版必修第一册P116例2改编)＝(　　)
A．－5 B．
D．5
D　[＝5．故选D．]
√
4．(人教B版必修第二册P53复习题B组T5改编)若实数m，n，t满足5m＝7n＝t且＝2，则t＝(　　)
A．2
√
D　[因为5m＝7n＝t且＝2，
易知t>0且t≠1，所以m＝log5t，n＝log7t，
所以＝logt5，＝logt7，
所以＝logt5＋logt7＝logt35＝2，则t＝．故选D．]
5．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(log43＋log83)×log32＝________．
　[(log43＋log83)×log32＝．]
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
(2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝__．
当n为奇数时，＝__；
当n为偶数时，
a
a
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于__，0的负分数指数幂没有意义．
0
3．指数幂的运算性质
aras＝______；(ar)s＝____；(ab)r＝______(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作____________，其中__叫做对数的底数，__叫做真数．
以____为底的对数叫做常用对数，log10N记为________．
以__为底的对数叫做自然对数，logeN记为________．
ar+s
ars
arbr
x＝logaN
a
N
10
lg N
e
ln N
5．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝__，logaa＝__(a>0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质：
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝______________________；
②loga＝______________________；
③logaMn＝____________(n∈R)．
(3)对数恒等式：＝__(a>0，且a≠1，N>0)．
(4)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
0
1
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
N
[二级结论]
(1)logab＝；
(2)lologab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad．
(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；d>0；m≠0)
1．指对互化：ax＝N x＝logaN(a>0，且a≠1)．
2．对数运算的技巧：统一底数、化简真数、利用对数恒等式、常值代换(如lg 2＋lg 5＝1)等．
考点一　指数运算
[典例1]　(1)(2025·河南新乡二模)＝(　　)
A．16 B．8
精研考点·提升素养
√
(2)(2025·江苏扬州模拟)已知a>0，则化为(　　)
A．
√
(3)(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)(　　)
A．0.2)0－2-1＝0
B．
C．(2)＝1
D．若
√
√
(1)A　(2)B　(3)BD　[(1)原式＝＝24＝16．
故选A．
(2)原式＝．故选B．
(3)对于A，0.2＋()0－2-1＝0.5＋1－＝1，A错误；
对于B，＋(0.008＋(π－1)0＝，B正确；
对于C，原式＝(2)(－6)÷(－3)＝[2×(－6)÷(－3)]
＝4ab0＝4a，C错误；
对于D，当)2＝x＋2＋x-1＝6，得x＋x-1＝4，由(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝16，得x2＋x-2＝14，所以，D正确．故选BD．]
名师点评：(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
[巩固迁移]
1．(2026·湖北荆州模拟)已知x<0，y>0，化简得(　　)
A．－ x2y
C．－3x2y D．3x2y
√
B　[x<0，y>0，化简x2y．故选B．]
考点二　对数运算
[典例2]　(1)(2025·重庆模拟)已知 2x＝3y＝5z(x，y，z≠0)，且 ，则 a＝(　　)
A．log23 B．log25
C．log35 D．log56
√
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1且，则a＝_______．
(3)计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝________．
64
2
(1)D　(2)64　(3)2　[(1)设2x＝3y＝5z＝k(k>0，且k≠1)，
则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
由＝logk2＋logk3＝logk6＝alogk5，
因此6＝5a，故a＝log56．
故选D．
(2)由题意，
整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
解得log2a＝－1或log2a＝6．又a>1，
所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64．
(3)原式＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 2＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2
＝1＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝1＋lg 5＋lg 2＝1＋lg 10＝2．]
名师点评：解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
[巩固迁移]
2．计算log3的值为(　　)
A．－
√
D　[原式＝log3－log33＋lg 52＋lg 22＋2＝log333－1＋2lg 5＋2lg 2＋2＝．]
3．(2025·八省联考)已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)，若f (ln 2)f (ln 4)＝8，则a＝________．
e　[∵f (ln 2)f (ln 4)＝aln 2aln 4＝aln 2+ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，∴aln 2＝2，∴a＝e．]
e
【教用·备选题】
1．(2026·江苏南通模拟)已知a>0，b>0，log9a＝log12b＝log16(a＋b)，则＝(　　)
A．
C．
√
D　[设log9a＝log12b＝log16(a＋b)＝k，
则有a＝9k＝32k，b＝12k＝3k×4k，a＋b＝16k＝42k，
可得32k＋3k×4k＝42k，即－1＝0，解得(负值舍去)，
所以．
故选D．]
2．(2025·山东德州期末)已知6m＝a，log6b＝n，若m＋n＝－，则ab＝(　　)
A．
D．36
√
B　[由6m＝a可得m＝log6a，
由m＋n＝－可得
log6a＋log6b＝log6ab＝－．
所以ab＝．故选B．]
3．化简：(log62)2＋log62×log63＋2log63－＝________．
－log62　[(log62)2＋log62×log63＋2log63－
＝log62×(log62＋log63)＋2log63－2
＝log62＋2log63－2
＝2(log62＋log63)－log62－2
＝2－log62－2＝－log62．]
－log62
考点三　指对运算的应用
[典例3]　德国心理学家赫尔曼·艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中的记忆率y随时间t(单位：h)的变化趋势可由函数y＝1－0.6t0.27近似描述，则记忆率由50%变为40%时需要经历的时间约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)
A．1 h B．0.5 h
C．0.8 h D．0.4 h
√
B　[设经历时间t1记忆率变为50%，
则，
两边取以10为底的对数，得到lg＝0.27lg t1，
所以lg t1＝≈－0.3≈－lg 2＝lg，
所以t1≈0.5．
设经历时间t2记忆率变为40%，
则0.4＝1－0.6，整理得到1＝，解得t2＝1，
所以记忆率由50%变为40%时需要经历的时间约为t2－t1＝0.5 h．
故选B．]
名师点评：利用指数、对数运算解决实际问题时，要认清所给函数模型、变量、参数，同时结合运算表达式选择合适的公式(如取对数、指对互化等)运算．
[巩固迁移]
4．(2025·东城区期末)近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一．现有一台计算机平均每秒可进行1014次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要250次运算，则生成这个文案需要的时间约为(参考数据：lg 2≈0.30)(　　)
A．1秒 B．10秒
C．20秒 D．50秒
√
B　[设生成文案所需时间为x秒，则1014x＝250，两边同时取常用对数可得，14＋lg x≈50×0.3，解得x≈10．
故选B．]
一、单项选择题
1．(2025·山东泰安期中)已知ax＝2，loga6＝y，a>0，且a≠1，则ax+y＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．12
D　[loga6＝y，故可得ay＝6，又ax＝2，则ax·ay＝ax+y＝12．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课后作业(十二)　指数运算与对数运算
√
16
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．(2025·山东临沂二模)已知实数x，y满足log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，则x＋y＝(　　)
A．11 B．12
C．16 D．17
√
D　[因为log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，
所以log3x＝2，log2y＝3，
所以x＋y＝32＋23＝9＋8＝17．故选D．]
16
3．等于(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
B　[因为lo＝log23，
所以＝2×3＝6．]
16
4．(2026·福建泉州模拟)若xlog23＝1，则3x＋3-x＝(　　)
A．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A　[∵x＝＝log32，
∴3x＋3-x＝．
故选A．]
16
5．(人教A版必修第一册P110习题4.1T8(1)改编)已知＝5，则x＋x-1的值为(　　)
A．5 B．23
C．25 D．27
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
B　[因为＝5，所以()2＝52，即x＋x-1＋2＝25，所以x＋x-1＝23．]
16
6．若3x＝4y＝6，则＝(　　)
A．1 B．
C．2 D．3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[若3x＝4y＝6，则x＝，y＝，
则＝2．故选C．]
16
7．(2025·山东滨州期末)计算＋lg 5＋log32×log23×lg 2的值为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[＋lg 5＋log32×log23×lg 2＝3×2＋lg 5＋×lg 2
＝6＋lg 5＋lg 2＝6＋1＝7．故选C．]
16
8．(2025·北京校级开学考试)某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知3H的质量M(单位：kg)随时间t(单位：年)的指数衰减规律是：M＝M0·
2-0.008t(其中M0为3H的初始质量)．则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)
A．300年 B．255年
C．175年 D．125年
2025课标新变化：具有用函数分析事物的意识．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
A　[设经过t年，3H的质量衰减为最初的M0＝M0·
2-0.008t，
所以－0.008t＝log2－4＝－2.4，
所以t＝＝300．故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
二、多项选择题
9．(人教A版必修第一册P127习题4.3T5改编)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则下列各式正确的是(　　)
A．lg 6＝a＋b B．log34＝
C．log212＝a＋2b D．lg＝b－a
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
AD　[对于A，lg 6＝lg(2×3)＝lg 2＋lg 3＝a＋b，故A正确；
对于B，log34＝，故B错误；
对于C，log212＝，故C错误；
对于D，lg＝lg 3－lg 2＝b－a，故D正确．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
10．以下运算中正确的有(　　)
A．若lg 3＝m，lg 2＝n，则log518＝
B．[(1－
C．－2ln(ln ee)＝7
D．log23·log94＝2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
AC　[对于A，log518＝，故A正确；
对于B，[(1－)2－(1＋)-1＋(1＋)0＝＝1，故B错误；
对于C，－2ln(ln ee)＝9－2ln e＝9－2＝7，故C正确；
对于D，log23·log94＝log23·＝1，故D错误．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
11．已知a＝log25，b＝log3，则(　　)
A．ab>0 B．4a·9b＝1
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
√
BCD　[对于A，b＝log3log21＝0，所以ab<0，故A错误；
对于B，因为a＝log25，b＝log3，所以由对数的定义知，2a＝5，3b＝，
则4a·9b＝(2a)2·(3b)2＝52·＝1，故B正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
对于C，由对数的运算性质知，
3＝log52＋log53＝log56>1，故C正确；
对于D，由对数的运算性质知，
＝＝log612，
故D正确．
故选BCD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
三、填空题
12．(2026·辽宁丹东模拟)已知实数a，b满足4a＝3，3b＝2，则2ab＝ ________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
1　[因为4a＝3，3b＝2，
所以(4a)b＝3b＝2，
化简得22ab＝2，可知2ab＝1．]
1
13．(2025·山东济南三模)已知函数f (x)＝，则f (log23)＋f (－log23)＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
3　[由题意有f (x)＋f (－x)＝＝3，
又log23＋(－log23)＝0，
所以f (log23)＋f (－log23)＝3．]
3
14．(2026·浙江慈溪模拟)计算：(log45＋log85)×log52－＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
　[原式＝．]
15．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x较大时，1＋
的值为(　　)
A．ln 30 B．ln 3
C．－ln 3 D．－ln 30
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
√
B　[依题意可得1＋＋…＋≈ln 300＋γ，
1＋＋…＋≈ln 100＋γ，
两式相减可得＋…＋≈ln 300－ln 100＝ln 3．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
16．已知lo
(b1b2…b10)＝__________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
　[因为lob2＝…＝lo，则bi＝(i＝1，2，3，…，10)，所以lo(b1b2…b10)＝．]

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