资源简介

(共81张PPT)
第19课时　导数与函数的单调性
第三章 一元函数的导数及其应用
[考试要求]
1．能结合实例，借助图象直观了解函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
以题引理·激活思维
1．(湘教版选择性必修第二册P32练习T1改编)设函数f (x)在定义域内可导，f (x)的图象如图所示，则其导函数f '(x)的图象可能是(　　)
A　　　　 　B　　　 　C　　　　　D
√
A　[由f (x)的图象可知，当x∈(－∞，0)时，函数f (x)单调递增，
则f '(x)≥0，故排除C，D；
当x∈(0，＋∞)时，函数f (x)先单调递减，再单调递增，最后单调递减，则导函数值f '(x)应先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B，选A．]
2．(人教A版选择性必修第二册P97习题5.3T2(4)改编)已知函数f (x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－3 D．1
√
A　[由题设，f '(x)＝x2＋2mx＋n，由f (x)的单调递减区间是(－3，1)，得f '(x)<0的解集为(－3，1)，则－3，1是f '(x)＝0的解，所以
－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2．]
3．(人教B版选择性必修第三册P95练习BT4改编)函数f (x)＝x－ln x的单调递减区间为________．
(0，1)
(0，1)　[函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，
由f '(x)＝1－<0，得0所以函数f (x)的单调递减区间为(0，1)．]
4．(苏教版选择性必修第一册P213例2改编)若函数f (x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．
[－3，0]
[－3，0]　[由题意得f '(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以Δ＝4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0．]
函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f (x)在区间(a，b)内可导 f '(x)>0 f (x)在区间(a，b)内________
f '(x)<0 f (x)在区间(a，b)内________
f '(x)＝0 f (x)在区间(a，b)内是________
提醒：f '(x)>0在(a，b)内恒成立是f (x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件，举例：f (x)＝x3在R上单调递增，但f '(0)＝0．
单调递增
单调递减
常数函数
1．利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f '(x)的零点；
第3步，用f '(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出
f '(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
2．若函数f (x)在(a，b)内单调递增，则当x∈(a，b)时，f '(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)内单调递减，则当x∈(a，b)时，f '(x)≤0恒成立．
3．若函数f (x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，
f '(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f '(x)<0有解．
考点一　利用导数研究函数的图象
[典例1]　函数f (x)＝的图象大致为(　　)
精研考点·提升素养
√
A　　　　 　B　　　 　C　　　　 　D
A　[易知x∈R，因为f '(x)＝，
令f '(x)＝0，得x＝0或x＝2，
则当x<0或x>2时，f '(x)<0；当00，
所以f (x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)内单调递增，所以选项A符合题意．故选A．]
名师点评：六大函数的图象
考点二　利用导数判断函数的单调性
[典例2]　(1)(2026·安徽黄山模拟)已知定义在区间(0，π)上的函数
f (x)＝x－2sin x，则f (x)的单调递减区间为(　　)
A．
C．
(2)已知函数f (x)＝ax2－(1＋a)x＋ln x(a∈R)，试讨论f (x)的单调性．
√
(1)A　[f '(x)＝1－2cos x，x∈(0，π)，
令f '(x)＝1－2cos x<0得cos x>，解得x∈，
则f (x)的单调递减区间为．
故选A．]
(2)[解]　函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，且f '(x)＝ax－(1＋a)＋．
①当a≤0时，由f '(x)>0，得0由f '(x)<0，得x>1，
所以函数f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
②当00，得0；
由f '(x)<0，得1③当a＝1时，f '(x)≥0恒成立，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
④当a>1时，由f '(x)>0，得01；
由f '(x)<0，得所以函数f (x)在，(1，＋∞)上单调递增，在内单调递减．
综上，当a≤0时，f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当01时，f (x)在，(1，＋∞)上单调递增，在内单调递减．
名师点评：研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．主要讨论点：
(1)最高次项系数是否为0；
(2)导函数是否有零点；
(3)导函数零点的大小关系；
(4)导函数零点与定义域的关系(即导函数零点与定义域端点的关系)等．
提醒：所有求解和讨论都必须在函数的定义域内．
[巩固迁移]
1．已知a>0，函数f (x)＝ex－(a－1)x－ln a，讨论f (x)的单调性．
[解]　f (x)的定义域为R，f '(x)＝ex－(a－1)．当00，则f (x)在R上单调递增；当a>1时，令f '(x)>0，解得x>ln(a－1)，
令f '(x)<0，解得x所以f (x)在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln(a－1))上单调递减．
综上所述，当01时，f (x)在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln(a－1))上单调递减．
2．(2021·全国乙卷节选)已知函数f (x)＝x3－x2＋ax＋1．讨论f (x)的单调性．
[解]　由题意知f (x)的定义域为R，f '(x)＝3x2－2x＋a，对于f '(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)．
①当a≥时，Δ≤0，f '(x)≥0，f (x)在R上单调递增；
②当a<时，Δ>0，令f '(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝，
令f '(x)>0，则xx2；令f '(x)<0，则x1所以f (x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．
综上，当a≥时，f (x)在R上单调递增；当a<时，f (x)在上单调递增．
【教用·备选题】
1．函数f (x)＝2x－－aln x(a∈R)，讨论f (x)的单调性．
[解]　由题意可得f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝2＋，
设g(x)＝2x2－ax＋2，令2x2－ax＋2＝0，Δ＝a2－16，
①当－4≤a≤4时，Δ≤0，此时f '(x)≥0恒成立，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a<－4时，Δ>0，设方程g(x)＝0的两根为x1，x2，
由x1＋x2＝<0，x1x2＝1>0可知g(x)＝0的两根都小于0，所以f '(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当a>4时，Δ>0，由g(x)＝0，解得x1＝，x2＝，
由x1＋x2＝>0，x1x2＝1>0可知g(x)＝0的两根都大于0，
所以当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，g(x)>0，f '(x)>0，f (x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，
当x∈(x1，x2)时，g(x)<0，f '(x)<0，f (x)在(x1，x2)内单调递减．
综上所述，当a≤4时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>4时，f (x)在
内单调递减．
2．已知函数f (x)＝－aln x(a∈R)，讨论f (x)的单调性．
[解]　函数f (x)＝－aln x的定义域为(0，＋∞)，且f '(x)＝，
若a≤0，令f '(x)＝0，解得x＝1，当x∈(0，1)时，f '(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f '(x)>0，
所以函数f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
若a>0，令f '(x)＝0，解得x＝1或x＝ln a．
①若ln a≤0，即00，
所以函数f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
②若00，当x∈(ln a，1)时，f '(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f '(x)>0，
所以函数f (x)在(ln a，1)内单调递减，在(0，ln a)和(1，＋∞)上单调递增．
③若ln a＝1，即a＝e，可得f '(x)≥0且等号不恒成立，
所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
④若ln a>1，即a>e，当x∈(0，1)时，f '(x)>0，当x∈(1，ln a)时，
f '(x)<0，当x∈(ln a，＋∞)时，f '(x)>0，
所以函数f (x)在(1，ln a)内单调递减，在(0，1)和(ln a，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤1时，f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
当1当a＝e时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>e时，f (x)在(1，ln a)内单调递减，在(0，1)和(ln a，＋∞)上单调递增．
3．已知函数f (x)＝8x－，讨论f (x)的单调性．
[解]　f '(x)＝8－＝8－．
令cos2x＝t，则t∈(0，1)，令y＝f '(x)，
则y＝，
当t∈，即x∈时，f '(x)<0；
当t∈，即x∈时，f '(x)>0．
所以f (x)在内单调递减．
考点三　函数单调性的应用
考向1　比较大小或解不等式
[典例3]　(1)(多选)下列不等式成立的是(　　)
A．2ln
C．5ln 4<4ln 5 D．π>eln π
(2)(2026·广东深圳模拟)已知函数f (x)＝x－sin x，则不等式f (x2＋4x)＋f (3)<0的解集为____________．
√
√
(－3，－1)
(1)AD　(2) (－3，－1)　[(1)设f (x)＝(x>0)，则f '(x)＝，所以当00，函数f (x)单调递增；当x>e时，f '(x)<0，函数
f (x)单调递减．因为<2所以f 因为即ln ln ，故选项B不正确；
因为e<4<5，所以f (4)>f (5)，即5ln 4>4ln 5，故选项C不正确；
因为e<π，所以f (e)>f (π)，即π>eln π，故选项D正确．故选AD．
(2)由f (－x)＝－x－sin(－x)＝－f (x)，得f (x)＝x－sin x为奇函数，所以f (x2＋4x)<－f (3)＝f (－3)，
又f '(x)＝1－cos x≥0，故函数f (x)＝x－sin x在R上单调递增，故x2＋4x<－3，故原不等式的解集为(－3，－1)．]
【教用·备选题】
1．已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则(　　)
A．cC．a√
D　[由题意得0令f (x)＝(x>0)，则f '(x)＝，
当01时，f '(x)>0，
故f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为ae5＝5ea，所以，
即f (5)＝f (a)，而0故0因为f (5)>f (4)>f (3)，所以f (a)>f (b)>f (c)，
所以02．(多选)下列命题中正确的有(　　)
A．ln 5<
C．
√
√
BC　[构造函数f (x)＝(x>0)，则f '(x)＝，
当x∈(0，e)时，f '(x)>0，f (x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，f '(x)<0，f (x)单调递减．
对于A，因为2<f (2)，所以，
所以2lnln 2，故ln 5>ln 2，故A错误；
对于B，ln π>
对于C，ln 2又4>>e，故C正确；
对于D，3eln 2>4 2eln >e，显然D错误．
故选BC．]
考向2　求参数的取值范围
[典例4]　已知函数g(x)＝2x＋ln x－．
(1)若函数g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围．
[解]　(1)g(x)＝2x＋ln x－(x>0)， g'(x)＝2＋(x>0)．
∵函数g(x)在[1，2]上单调递增，∴g'(x)≥0在[1，2]上恒成立，
即2＋≥0在[1，2]上恒成立，∴a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，
∴a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2]．
在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，∴a≥－3．
∴实数a的取值范围是[－3，＋∞)．
(2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间，
则g'(x)>0在[1，2]上有解，
即a>－2x2－x在[1，2]上有解，
∴a>(－2x2－x)min，
又(－2x2－x)min＝－10，
∴a>－10．
∴实数a的取值范围为(－10，＋∞)．
【拓展变式】　(变条件)若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围．
[解]　∵函数g(x)在区间[1，2]上不单调，
∴g'(x)＝0在区间(1，2)内有解，
则a＝－2x2－x＝－2在(1，2)内有解，易知y＝－2x2－x在(1，2)内单调递减，
∴y＝－2x2－x在(1，2)上的值域为(－10，－3)，
∴实数a的取值范围为(－10，－3)．
名师点评：已知函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)内单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f (x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有
f '(x)≥0(f '(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f '(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
[巩固迁移]
3．(2025·湖南长沙二模)已知函数f (x)＝sin x＋cos x＋ax(a∈R)在R上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．[ ]
C．[－ ]
√
D　[由题意得f '(x)＝cos x－sin x＋a≤0在R上恒成立，则a≤sin x－cos x．因为sin x－cos x＝∈[－]，
要使得不等式恒成立，则a≤－．故选D．]
4．已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f '(x)，若f '(x)≤1恒成立，且f (0)＝0，则f (x)≤x的解集为____________．
[0，＋∞)　[设g(x)＝f (x)－x，因为f '(x)≤1，
所以g'(x)＝f '(x)－1≤0，所以g(x)在R上单调递减，
又g(0)＝f (0)－0＝0，所以g(x)≤0的解集为[0，＋∞)，
即f (x)≤x的解集为[0，＋∞)．]
[0，＋∞)
【教用·备选题】
1．(2026·河北石家庄开学考试)若a＝，则
(　　)
A．cC．a√
C　[因为a＝，b＝，c＝，所以构造函数f (x)＝(x>0且x≠1)，则f '(x)＝，
当x∈(0，1)时，f '(x)<0，所以f (x)在(0，1)内单调递减，
当x∈(1，e)时，f '(x)<0，所以f (x)在(1，e)内单调递减；
当x∈(e，＋∞)时，f '(x)>0，所以f (x)在(e，＋∞)上单调递增；
综上可知，f (x)＝在(0，1)和(1，e)内单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．所以b＝＝f (4)>f (3)＝＝c．
又因为e<2<3，所以c＝＝f (3)>f (2)＝＝a，可得a2．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)内单调递增，则a的最小值为(　　)
A．e2 B．e
C．e-1 D．e-2
√
C　[因为f (x)＝aex－ln x，所以f '(x)＝aex－．因为函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)内单调递增，所以f '(x)≥0在(1，2)内恒成立，即aex－≥0在(1，2)内恒成立，易知a>0，则0<≤xex在(1，2)内恒成立．设g(x)＝xex，则g'(x)＝(x＋1)ex．当x∈(1，2)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)内，g(x)>g(1)＝e，所以≤e，即a≥＝
e-1．故选C．]
3．已知函数f (x)＝2x－msin x在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是_______________________．
(－∞，－2)∪(2，＋∞)　[因为f (x)＝2x－msin x，
所以f '(x)＝2－mcos x，
又f (x)不是单调函数，所以函数f (x)有极值点，
即f '(x)在R上有变号零点，
则2－mcos x＝0成立，
当cos x＝0时，2－mcos x＝0可化为2＝0，显然不成立；
(－∞，－2)∪(2，＋∞)
当cos x≠0时，m＝，
因为x∈R，－1≤cos x≤1，
所以≤－2或≥2，
所以实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)(因为要有变号零点，故不能取等号)，
经检验，m∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)满足要求．]
一、单项选择题
1．若函数f (x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－3，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－3，0)∪(0，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课后作业(十九)　导数与函数的单调性
√
D　[依题意知f '(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，
故
解得a>－3且a≠0．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．(2026·广东珠海模拟)已知函数f (x)＝sin 2x－x，则在下列区间内，f (x)单调递增的是(　　)
A．
C．
√
B　[因为f (x)＝sin 2x－x，
所以f '(x)＝2cos 2x－1，
令f '(x)＝2cos 2x－1>0，则cos 2x>，
根据四个选项，可知x∈，
则－<2x<π，又cos 2x>，
所以－，所以－，
所以f (x)在内单调递增，
因为，所以f (x)在内单调递增．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
3．(2025·北京通州一模)已知函数f (x)＝x2＋cos x，则f (－2)，
f (3)，f (π)的大小关系是(　　)
A．f (－2)C．f (3)题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
A　[因为f (－x)＝x2＋cos x＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，
f '(x)＝x－sin x，令g(x)＝x－sin x，x∈(0，＋∞)，
则g'(x)＝1－cos x≥0，x∈(0，＋∞)，
所以函数g(x)>g(0)＝0，即当x∈(0，＋∞)时，f '(x)>0，
所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (－2)＝f (2)故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
4．(2025·山东菏泽一模)已知函数f (x)＝ax2－ln x(a>0)在区间(1，2)内单调，则a的取值范围是(　　)
A．
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
B　[由已知得f '(x)＝2ax－，当a>0时，令f '(x)＝0，得x＝，
令f '(x)>0，解得x>；令f '(x)<0，解得0故f (x)在区间上单调递增，所以若f (x)在区间(1，2)内单调，则需满足≤1或≥2，即0所以a的取值范围是．
故选B．]
5．(2026·湖南长沙模拟)如图是函数f (x)及其导函数f '(x)在同一坐标系中的图象，则图象正确的为(　　)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
A　　　　 　 B　　　 　C　　　 　 　D
√
C　[对于A，若递减的曲线为函数f (x)的图象，则其导函数f '(x)的图象应恒为负值，且从左往右应呈现先增后减的趋势，导函数图象不符合题意；若递减的曲线为导函数f '(x)的图象，则函数f (x)的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得A错误；
对于B，若先增后减的曲线为函数f (x)的图象，则其导函数f '(x)的图象应呈现先为正后为负的趋势，导函数图象不符合题意；若先增后减的曲线为导函数f '(x)的图象，则函数f (x)的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得B错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
对于C，当过原点的曲线为导函数f '(x)的图象时，另一条曲线符合
f (x)的图象，即C正确；
对于D，若先减后增的曲线为导函数f '(x)的图象，则另一条曲线应呈现先增后减再增的趋势，显然f (x)的图象不符合；若先减后增的图象为原函数f (x)的图象，则另一条曲线应呈现先为负后为正的变化规律，显然f '(x)的图象不符合，即D错误．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
6．设函数f (x)，g(x)在R上的导函数存在，且f '(x)A．f (x)B．f (x)>g(x)
C．f (x)＋g(a)D．f (x)＋g(b)题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
C　[对于A，B，不妨设f (x)＝－2x，g(x)＝1，则f '(x)＝－2，g'(x)＝0，满足f '(x)1＝g(－1)，故A不正确；若x＝0∈(a，b)，则f (0)＝0<1＝g(0)，故B不正确；对于C，D，令h(x)＝f (x)－g(x)，则h'(x)＝f '(x)－g'(x)<0，所以h(x)在R上单调递减．因为x∈(a，b)，即ag(x)＋f (b)，故D不正确．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
二、多项选择题
7．下列函数在定义域上为增函数的是(　　)
A．f (x)＝xln x B．f (x)＝ln x＋x
C．f (x)＝x－cos x D．f (x)＝x2ex
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
BC　[对于A，f (x)＝xln x的定义域为(0，＋∞)，
f '(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，
令f '(x)＝0得x＝，
所以在内f '(x)<0，f (x)单调递减，
在上f '(x)>0，f (x)单调递增，故A错误；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
对于B，f (x)＝ln x＋x的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝>0，
f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；
对于C，f (x)＝x－cos x的定义域为R，f '(x)＝1－(－sin x)＝1＋sin x，
因为x∈R，所以sin x∈[－1，1]，所以1＋sin x∈[0，2]，
所以当x∈R时，f '(x)≥0，f (x)单调递增，故C正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
对于D，f (x)＝x2ex的定义域为R，f '(x)＝x2ex＋2xex＝(x＋2)xex，
令f '(x)＝0得x＝－2或x＝0，
所以在(－∞，－2)上f '(x)>0，f (x)单调递增，
在(－2，0)内f '(x)<0，f (x)单调递减，
在(0，＋∞)上f '(x)>0，f (x)单调递增，故D错误．
故选BC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
8．下列不等式中恒成立的有(　　)
A．ln(x＋1)≥x－x2
B．ln x>，x∈(0，1)
C．ex≤1＋x＋x2
D．cos x≥1－x2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
BD　[A选项，令f (x)＝ln(x＋1)－x＋x2，x>－1，则f '(x)＝，x>－1，
当0又f (0)＝0，∴f (3)B选项，令f (x)＝ln x－，x∈(0，1)，
则f '(x)＝＝－<0显然恒成立，
所以f (x)＝ln x－在(0，1)内单调递减，
又f (1)＝0，所以当x∈(0，1)时，f (x)>f (1)＝0，即ln x>，故B正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
C选项，当x＝3时，e3>1＋3＋32，故C错误；
D选项，令f (x)＝cos x－1＋x2，则f '(x)＝－sin x＋x，
令h(x)＝f '(x)＝－sin x＋x，则h'(x)＝－cos x＋1≥0恒成立，
即函数f '(x)＝－sin x＋x在R上单调递增，
又f '(0)＝0，所以当x>0时，f '(x)>0，
即f (x)＝cos x－1＋x2单调递增；
当x<0时，f '(x)<0，即f (x)＝cos x－1＋x2单调递减，所以f (x)min＝f (0)＝0，
因此cos x≥1－x2恒成立，故D正确．故选BD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
三、填空题
9．写出一个同时具备下列性质的函数f (x)＝__________________．
①f (x＋1)＝f (x)f (1)；②f '(x)<0 ．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
e-x(答案不唯一)　[因为f (x＋1)＝f (x)f (1) 是加变乘，所以考虑指数函数类型，又f '(x)<0，
所以f (x)＝e-x 满足要求．]
e-x(答案不唯一)
10．已知定义在区间(0，π)上的函数f (x)＝x＋2cos x，则f (x)的单调递增区间为_______________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
　[f '(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．令f '(x)＝0，得x＝或x＝，当00，当时，
f '(x)<0，所以f (x)在内单调递减．]
四、解答题
11．(2026·河南洛阳模拟)已知函数f (x)＝x＋asin x＋a＋1，曲线y＝f (x)在点(π，b)处的切线斜率为2．
(1)求a，b的值；
(2)求不等式f (x2－1)＋f (7－5x)<0的解集．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)f (x)＝x＋asin x＋a＋1，所以f '(x)＝1＋acos x，
由题意可得f '(π)＝1－a＝2，所以a＝－1，
所以f (x)＝x－sin x，所以f (π)＝π＝b．所以a＝－1，b＝π．
(2)由(1)知f (x)＝x－sin x，所以f '(x)＝1－cos x≥0，
所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
f (－x)＝－x＋sin x＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，
f (x2－1)＋f (7－5x)<0，
即f (x2－1)<－f (7－5x)，
即f (x2－1)所以x2－1<5x－7，即x2－5x＋6<0，
即(x－2)(x－3)<0，解得2所以不等式f (x2－1)＋f (7－5x)<0的解集为(2，3)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
12．已知函数f (x)＝x2＋aln x，a∈R．
(1)若函数g(x)＝f (x)－x在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)讨论函数h(x)＝f (x)－(a＋2)x的单调性．
[解]　(1)函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，
则g'(x)＝2x＋－1≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≥(－2x2＋x)max．
设y＝－2x2＋x＝－2，则ymax＝，
所以a≥，即实数a的取值范围是．
(2)h(x)＝x2＋aln x－(a＋2)x，且定义域为(0，＋∞)，
h'(x)＝2x＋－(a＋2)＝＝，
令h'(x)＝0，解得x1＝，x2＝1，
若a≤0，则≤0，
当x∈(0，1)时，h'(x)<0，函数h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
若0当x∈时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增，
当x∈时，h'(x)<0，函数h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增．
若a＝2，则h'(x)≥0在定义域内恒成立，
函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
若a>2，则>1，当x∈(0，1)时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增；
当x∈时，h'(x)<0，函数h(x)单调递减；
当x∈时，h'(x)>0，函数h(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数h(x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当0题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
当a＝2时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>2时，函数h(x)在(0，1)内单调递增，在
上单调递增．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
13．(2026·湖北武汉模拟)已知函数f (x)＝ln，其中a>1．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f (x)的对称中心；
(2)若函数g(x)＝f (x)＋x在区间(a，a2＋a－1)内单调递减，求实数a的取值范围．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1)当a＝2时，f (x)＝ln∪(2，＋∞)，其定义域关于x＝对称，
则f (x)＋f ＝ln
＝ln＋ln ＝2ln 2，
所以函数f (x)图象的对称中心是点．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(2)由g(x)＝f (x)＋x，
因为a>1，所以a>，
所以g(x)的定义域为∪(a，＋∞)，
则g'(x)＝＝＝，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
由题可得g'(x)≤0在区间(a，a2＋a－1)内恒成立，
则(ax－1)(x－a)＋9－9a2≤0在区间(a，a2＋a－1)内恒成立，
则
解得1故实数a的取值范围为(1，2]．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13

展开更多......

收起↑