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第20课时　导数与函数的极值、最值
第三章 一元函数的导数及其应用
[考试要求]
1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．会用导数求函数的极大值、极小值．
3．会求闭区间上函数的最大值、最小值．
以题引理·激活思维
1．(人教B版选择性必修第三册P100练习AT1改编)函数f (x)的导函数
f '(x)的图象如图所示，则f (x)的极小值点的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
A　[由题意知在x＝－1处f '(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，函数f (x)在x＝－1处取得极小值．故选A．]
2．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9改编)已知f (x)＝x2(x－k)的一个极值点为2，则实数k＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
√
B　[f '(x)＝3x2－2kx，令f '(x)＝0，得x＝或x＝0，又f (x)的一个极值点为2，则＝2，解得k＝3，经检验满足题意．故选B．]
3．(苏教版选择性必修第一册P231本章测试T3改编)函数f (x)＝x2sin x＋2xcos x在区间上的最大值与最小值分别为(　　)
A．
C．2π，－ D．2π，－2π
√
A　[由题意，得f '(x)＝2xsin x＋x2cos x＋2cos x－2xsin x＝(x2＋2)cos x．
当x∈时，f '(x)≥0，f (x)单调递增；当x∈时，
f '(x)<0，f (x)单调递减．又因为f ，f ，
f (π)＝－2π，所以f (x)的最大值与最小值分别为，－2π，故选A．]
4．(人教A版选择性必修第二册P92练习T2改编)函数f (x)＝x3－x2－14x的极小值点为________，极大值为________．
　18　[由f (x)＝x3－x2－14x，
得f '(x)＝3x2－x－14＝(x＋2)(3x－7)，
令f '(x)>0，解得x>或x<－2，令f '(x)<0，解得－2故f (x)在(－∞，－2)，内单调递减，故f (x)在x＝处取得极小值，在x＝－2处取得极大值，
故f (x)极大值＝f (－2)＝－8－2＋28＝18．]
18
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f '(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧____________，右侧____________．则__叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
f '(x)<0
f '(x)>0
a
(2)函数的极大值
函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f '(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧___________．则__叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝
f (x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为______，极小值和极大值统称为____．
f '(x)>0
f '(x)<0
b
极值点
极值
提醒：对于可导函数f (x)，“f '(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．例如：f (x)＝x3， f '(0)＝0，但x＝0不是
f (x)的极值点．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f (x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值．
连续不断
(2)求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的____；
②将函数y＝f (x)的各极值与____________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
极值
端点处的函数值f (a)，f (b)
[二级结论]
若函数f (x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．
1．求函数f (x)极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f '(x)；
(3)解方程f '(x)＝0，求出方程f '(x)＝0在定义域内的所有根；
(4)列表检验f '(x)在f '(x)＝0各个根的左、右两侧值的符号；
(5)求出极值．
2．对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、区间端点．
考点一　利用导数研究函数的极值
考向1　根据函数的图象判断函数的极值
[典例1](多选)函数f (x)在R上可导，其导函数为f '(x)，且函数g(x)＝
xf '(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．f (x)有两个极值点
B．f (0)为f (x)的极大值
C．f (x)有两个极小值点
D．f (－1)为f (x)的极小值
精研考点·提升素养
√
√
BC　[根据g(x)＝xf '(x)的图象，可得当x<－2时，g(x)＝xf '(x)>0，可得f '(x)<0，即f (x)单调递减；
当－20，即f (x)单调递增；
当0当x>1时，g(x)＝xf '(x)>0，可得f '(x)>0，即f (x)单调递增，
因此f (x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；
f (0)为f (x)的极大值，B正确；
f (－1)不是f (x)的极小值，D错误．]
考向2　求已知函数的极值
[典例2]　已知函数f (x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求f (x)的极值；
(2)讨论函数f (x)在定义域内极值点的个数．
[解]　(1)当a＝时，f (x)＝ln x－x，定义域为(0，＋∞)，且f '(x)＝．
令f '(x)＝0，解得x＝2．
当x变化时，f '(x)，f (x)的变化情况如下表．
x (0，2) 2 (2，＋∞)
f '(x) ＋ 0 －
f (x) 单调递增 ln 2－1 单调递减
故f (x)的极大值为f (2)＝ln 2－1，无极小值．
(2)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝．
当a≤0时，f '(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x)在定义域内无极值点；
当a>0，x∈时，f '(x)>0，
当x∈时，f '(x)<0，
故函数f (x)在x＝处有极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f (x)无极值点；
当a>0时，函数f (x)有一个极大值点，且极大值点为x＝．
考向3　已知函数的极值(点)求参数
[典例3]　(2024·新高考Ⅱ卷节选)已知函数f (x)＝ex－ax－a3，若f (x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
[解]　易知函数f (x)的定义域为R，f '(x)＝ex－a，
当a≤0时，f '(x)>0在R上恒成立，函数f (x)在R上单调递增，无极值；
当a>0时，由f '(x)>0，得x>ln a，由f '(x)<0，得x所以函数f (x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以f (x)的极小值为f (ln a)＝a－aln a－a3．
由题意知a－aln a－a3<0(a>0)，
等价于1－ln a－a2<0(a>0)．
令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)，
则g'(a)＝－－2a<0，
所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减，
又g(1)＝0，故当00；
当a>1时，g(a)<0．
故实数a的取值范围为(1，＋∞)．
名师点评：导数为零的点，未必是极值点；判断极值点的个数，转化为导数为0的根的个数．
[巩固迁移]
1．已知函数f 内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．
C．
√
C　[函数f ax2＋x，导函数f '＝x2－ax＋1．因为f 内既有极大值又有极小值，所以f '＝0在内应有两个不同的实数根．
所以解得2所以实数a的取值范围为．故选C．]
2．已知函数f (x)＝(ln x)2－ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
　[函数f (x)＝(ln x)2－ax2的定义域为(0，＋∞)，导函数f '(x)＝－2ax，
由已知得－2ax＝0有两个不相等的正实数根，
所以a＝有两个不相等的正实数根，即y＝a与y＝的图象有2个不同的交点，
令g(x)＝，则g'(x)＝，
由g'(x)＝0，得x＝．
当x∈(0，)时，g'(x)>0，函数g(x)在(0，)内单调递增；
当x∈(，＋∞)时，g'(x)<0，函数g(x)在(，＋∞)上单调递减．
又g(1)＝0，g()＝，
当x>1时，g(x)>0，当0当x→＋∞时，g(x)→0，
所以函数g(x)的图象如图所示，
所以实数a的取值范围是．]
3．已知函数f (x)＝bln x＋的值为________．
－　[对f (x)＝bln x＋x2＋2ax＋a2－3a求导得，f '(x)＝＋3x＋2a，依题意得，即
解得
－
当a＝4，b＝－11时，f (x)＝－11ln x＋x2＋8x＋4，x>0，f '(x)＝－，
当01时，f '(x)>0，f (x)在(1，＋∞)上单调递增，
即x＝1时，函数f (x)取得极小值f (1)＝；
当a＝－3，b＝3时，f (x)＝3ln x＋x2－6x＋18，x>0，f '(x)＝≥0，即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值，与题意不符，舍去．]
【教用·备选题】
1．已知函数f (x)的导函数为f '(x)，定义域为(0，＋∞)，且函数g(x)＝(x－6)3·f '(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)有极小值f (6)，极大值f (1)
B．f (x)仅有极小值f (6)，极大值f (10)
C．f (x)有极小值f (1)和f (6)，极大值f (3)和f (10)
D．f (x)仅有极小值f (1)，极大值f (10)
√
C　[由函数g(x)＝(x－6)3·f '(x)的图象，
得当0当10，f (x)单调递增，
当3当60，f (x)单调递增，
当x>10时，f '(x)<0，f (x)单调递减，
所以函数f (x)有极小值f (1)和f (6)，极大值f (3)和f (10)．故选C．]
2．函数f (x)＝－a(x－1)，其中a∈R．若函数f (x)在(－2，－1)内有极大值，求实数a的取值范围．
[解]　f '(x)＝－a，令g(x)＝－a，则g'(x)＝．因为对于任意x∈(－2，－1)，g'(x)＝<0恒成立，所以g(x)在(－2，－1)内单调递减，即f '(x)在(－2，－1)内单调递减，因为f (x)在(－2，－1)内有极大值，所以y＝f '(x)在(－2，－1)内存在“左正右负”的变号零点．由函数零点存在定理得所以－．所以实数a的取值范围为．
考点二　利用导数研究函数的最值
[典例4]　(1)(2022·全国乙卷)函数f 的最小值、最大值分别为(　　)
A．－
C．－ ＋2
(2)函数f (x)＝－x3＋x在(a，10－a2)内有最大值，则实数a的取值范围是____________．
(3)设实数a>0，求函数f (x)＝在[a，2a]上的最小值．
√
[－2，1)
(1)D　(2)[－2，1)　[(1)f '＝－sin x＋sin x＋cos x＝cos x，
所以在区间内f '>0，
即f 单调递增；
在区间内f '<0，即f 单调递减．
又f ＝2，f ＋2，f ，
所以f 上的最小值为－＋2．故选D．
(2)由于f '(x)＝－x2＋1，
易知f (x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)内单调递增，
故若函数f (x)在(a，10－a2)内存在最大值，
则即－2≤a<1．]
(3)[解]　因为f (x)＝，
所以f '(x)＝(a>0，x>0)，
令f '(x)>0，得0e，
所以f (x)在(0，e)内单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以f (x)在[a，2a]上的最小值f (x)min＝min{f (a)，f (2a)}．
因为f (a)－f (2a)＝ln a－ln(2a)＝ln ，
所以当0f (x)min＝f (a)＝ln a．
当a>2时，f (a)－f (2a)>0，
f (x)min＝f (2a)＝ln(2a)．
综上所述，当0当a>2时，f (x)在[a，2a]上的最小值为ln(2a)．
名师点评：求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a)，f (b)，与f (x)的各极值进行比较得到函数的最值．
[巩固迁移]
4．已知函数f (x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f (x)的最大值；
(2)若f (x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
[解]　(1)易知f (x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f (x)＝－x＋ln x，
f '(x)＝－1＋，令f '(x)＝0，得x＝1．
当00；当x>1时，f '(x)<0．
∴f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴f (x)max＝f (1)＝－1．
∴当a＝－1时，函数f (x)的最大值为－1．
(2)f '(x)＝a＋，x∈(0，e]，．
①若a≥－，则f '(x)≥0，从而f (x)在(0，e]上单调递增，∴f (x)max＝f (e)＝ae＋1≥0，不符合题意．
②若a<－，令f '(x)>0，得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0令f '(x)<0，得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－从而f (x)在上单调递减，
∴f (x)max＝f ．
令－1＋ln＝－3，得a＝－e2．∵－e2<－，∴a＝－e2．
【教用·备选题】
已知函数f (x)＝(cos x－1)e-x，x∈(0，π)，求函数f (x)的最小值．
[解]　f '(x)＝．
令y＝－sin x－cos x＋1＝－＋1，
当0则－<－1，
所以 y＝－sin x－cos x＋1＝－＋1<0，
所以f '(x)<0，f (x)在内单调递减；
当则－1<－<1，
此时y＝－sin x－cos x＋1＝－＋1>0，所以f '(x)>0，
f (x)在内单调递增，所以当x＝时，函数f (x)取得最小值，
最小值为f ．
一、单项选择题
1．函数f (x)在R上可导，其导函数为f '(x)，若函数f (x)在x＝1处取得极大值，则函数y＝－xf '(x)的图象可能是(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课后作业(二十)　导数与函数的极值、最值
A　　　　 　　B　　　 　C　　 　　　D
√
B　[由函数f (x)在R上可导，其导函数为f '(x)，若函数f (x)在x＝1处取得极大值，
则当x>1时，f '(x)<0；当x＝1时，f '(x)＝0；当x<1时，f '(x)>0，
所以当x<0时，y＝－xf '(x)>0，当0当x＝0或x＝1 时，y＝－xf '(x)＝0，当x>1时，y＝－xf '(x)>0，
可得选项B符合题意．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
2．(2025·吉林长春一模)已知函数f (x)＝x(x－a)2的极大值为，则a＝(　　)
A．－
√
D　[由题意，f (x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x，
则f '(x)＝3x2－4ax＋a2＝(3x－a)(x－a)，
令f '(x)＝0，解得x＝或x＝a，当a>0时，f (x)在，(a，＋∞)上满足f '(x)>0，f (x)单调递增，
在内满足f '(x)<0，f (x)单调递减，
所以f (x)在x＝处取得极大值，f ，
解得a＝，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
当a<0时，f (x)在(－∞，a)，上满足f '(x)>0，f (x)单调递增，
在内满足f '(x)<0，f (x)单调递减，
所以f (x)在x＝a处取得极大值，f (a)＝0≠，不符合题意，
当a＝0时，f '(x)＝3x2≥0，f (x)在R上单调递增，无极值，不符合题意，综上所述，a＝．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
3．(2025·湖北黄冈三模)已知函数f (x)＝2cos x＋sin 2x，则f (x)的最小值是(　　)
A．－
D．－3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
B　[由题知f (x)的最小正周期为T＝2π，故只需考虑f (x)在[0，2π]上的值域，
f '(x)＝－2sin x＋2cos 2x＝－2sin x＋2(1－2sin2x)＝－2(2sin x－1)(sin x＋1)，
当x∈或x∈时，f '(x)>0，
当x∈时，f '(x)<0，
所以函数f (x)在内单调递减，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
因此f (x)的极小值为f ，极大值为f ，又易知
f (0)＝f (2π)＝2，所以函数f (x)在，
结合函数的最小正周期为2π，所以函数f (x)的值域为，所以f (x)的最小值为－．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
4．函数f (x)＝x2＋(a－1)x－3ln x在(1，2)内有最小值，则实数a的取值范围为(　　)
A．
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
A　[f '(x)＝2x＋(a－1)－，
设g(x)＝2x2＋(a－1)x－3，因为Δ＝(a－1)2＋24>0，因此g(x)＝0有两个不同的实数根，
又g(0)＝－3<0，因此g(x)＝0的两根一正一负，
由题意可知正根在(1，2)内，
所以解得－题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
5．函数f (x)＝(x＋1)ex，若方程f (x)＝a(a∈R)有2个实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A．
C．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
C　[因为f (x)＝(x＋1)ex，所以f '(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex．
令f '(x)>0，解得x>－2；令f '(x)<0，解得x<－2，所以函数f (x)在(－∞，
－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增．
所以当x＝－2时，函数f (x)有最小值，且f (－2)＝－e-2＝－．
若方程f (x)＝a(a∈R)有2个实数根，只需直线y＝a与函数y＝f (x)的图象有两个交点．
如图所示，当x→－∞时，f (x)→0，
当x＝－1时，f (x)＝0．
所以实数a的取值范围为．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
6．若函数f (x)＝aln x＋(a≠0)既有极大值又有极小值，则下列结论一定正确的是(　　)
A．a<0 B．b<0
C．ab>－1 D．a＋b>0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
B　[函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝，
又函数f (x)既有极大值又有极小值，所以函数f '(x)在(0，＋∞)上有两个零点，
由a≠0，所以方程ax2－4x－2b＝0有两个不同的正实数根x1，x2，
所以即故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
二、多项选择题
7．已知函数f (x)＝x3－3x2，则(　　)
A．f (x)在(0，1)内单调递减
B．f (x)的极大值点为2
C．f (x)的极大值为－2
D．f (x)有2个零点
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
AD　[由函数f (x)＝x3－3x2，可得f '(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f '(x)>0，解得x<0或x>2；令f '(x)<0，解得0所以函数f (x)在(0，2)内单调递减，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，
当x＝0时，函数f (x)取得极大值，极大值为f (0)＝0；
当x＝2时，函数f (x)取得极小值，极小值为f (2)＝－4，
又当x→＋∞时，f (x)→＋∞且f (2)＝－4<0，f (0)＝0，
所以函数f (x)只有两个零点，
所以A，D正确，B，C不正确．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
8．已知函数f (x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．f (x)在x＝1处有最小值
B．1是f (x)的极值点
C．当0D．当a>时，方程f (x)＝a有一个实数根
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
BC　[f '(x)＝，当x∈(－∞，1)时，f '(x)>0，f (x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f '(x)<0，f (x)单调递减，
故f (x)在x＝1处有唯一极大值，即最大值，B正确，A错误；
f (x)max＝f (1)＝，又当x→＋∞时，f (x)→0，当x∈(－∞，0)时，
f (x)故当0当a>时，f (x)的图象与直线y＝a无交点，即方程f (x)＝a无实数根，D错误．故选BC．]
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三、填空题
9．若函数f (x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为________________________________．
题号
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　[f (x)＝x3－2cx2＋x，则f '(x)＝3x2－4cx＋1，
若函数f (x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则f '(x)＝0有两个不同的实数根，
可得Δ＝(－4c)2－12>0，解得c>或c<－．
故实数c的取值范围为．]
题号
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10．(人教A版选择性必修第二册P93例6改编)若函数f (x)＝x3－4x＋m在区间[0，3]上的最大值为4，则m＝________．
题号
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4　[f '(x)＝x2－4，当x∈[0，2)时，f '(x)<0，当x∈(2，3]时，f '(x)>
0，所以f (x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f (0)＝m，f (3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f (x)max＝f (0)＝4，所以m＝4．]
4
四、解答题
11．已知函数f (x)＝x2－4ax＋a2ln x在x＝1处取得极大值．
(1)求a的值；
(2)求f (x)在区间上的最大值．
题号
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[解]　(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，
由已知f '(x)＝3x－4a＋＝，
令f '(x)＝0，得x＝a或x＝，
当a＝1时，令f '(x)>0，得01，令f '(x)<0，得故函数f (x)在内单调递减，在(1，
＋∞)上单调递增，
题号
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此时函数f (x)在x＝处取得极大值，在x＝1处取得极小值，与函数f (x)在x＝1处取得极大值矛盾；
当＝1，即a＝3时，令f '(x)>0，得03，令f '(x)<0，得1故函数f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，3)内单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
此时函数f (x)在x＝1处取得极大值，在x＝3处取得极小值，符合题意．
所以a＝3．
题号
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(2)由(1)得f (x)＝x2－12x＋9ln x，f '(x)＝，x∈，
令f '(x)>0，得≤x<1，此时函数f (x)单调递增，
令f '(x)<0，得1题号
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12．已知f (x)＝exsin x．
(1)求函数f (x)在[0，2π]上的极值点；
(2)求函数g(x)＝f (x)－x在上的最值．
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[解]　(1)由f (x)＝exsin x得
f '(x)＝ex(sin x＋cos x)＝．
令f '(x)＝0，解得x＋＝kπ，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z．
又x∈[0，2π]，所以x1＝，x2＝．
当x变化时，f '(x)，f (x)的变化情况如表所示．
题号
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x
f '(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数f (x)在[0，2π]内的极大值点为．
(2)由题意可知
g(x)＝f (x)－x＝exsin x－x，g'(x)＝ex(sin x＋cos x)－1，
记h(x)＝g'(x)＝ex(sin x＋cos x)－1，
则h'(x)＝ex(sin x＋cos x＋cos x－sin x)＝2excos x．
因为x∈，所以cos x≥0，又ex>0，
所以h'(x)＝2excos x≥0，所以函数h(x)在上单调递增，
h(0)＝e0(sin 0＋cos 0)－1＝0，
所以当x∈时，h(x)<0，即g'(x)<0，函数g(x)单调递减；
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当x∈时，h(x)>0，即g'(x)>0，函数g(x)单调递增．
g(0)＝e0sin 0－0＝0，g，
g，
显然，所以函数g(x)在上的最小值为g(0)＝0，最大值为g．
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13．(2025·八省联考)已知函数f (x)＝aln x＋－x．
(1)设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f (x)的斜率为2的切线方程；
(2)若x＝1是f (x)的极小值点，求b的取值范围．
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[解]　(1)当a＝1，b＝－2时，f (x)＝ln x－－x，其中x>0，
∴f '(x)＝－1．
设切点坐标为(x0，y0)，∵切线斜率为2，
∴f '(x0)＝2，∴－1＝2．解得x0＝1或x0＝－(舍去)．
当x0＝1时，y0＝f (1)＝ln 1－2－1＝－3．
∴切线方程为y－(－3)＝2(x－1)，
即2x－y－5＝0．
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(2)f '(x)＝－1，∵x＝1为f (x)的极小值点，∴f '(1)＝a－b－1＝0，∴a＝b＋1，
∴f '(x)＝－．
①若b≤0，此时x－b>0，令f '(x)＝0，得x＝1．
当00，f (x)单调递增；当x>1时，f '(x)<0，f (x)单调递减，
f (x)在x＝1处取得极大值，舍去．
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②若b＝1，f '(x)＝－≤0，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，f (x)不存在极值，舍去．
③若0当b0，f (x)单调递增；
当x>1时，f '(x)<0，f (x)单调递减，
此时f (x)在x＝1处取得极大值，舍去．
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④若b>1，当0当10，f (x)单调递增；当x>b时，f '(x)<0，f (x)单调递减，
此时f (x)在x＝1处取得极小值，符合题意．
综上所述，b的取值范围为(1，＋∞)．
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