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*第23课时　构造函数证明不等式
第三章 一元函数的导数及其应用
技法一　移项构造法证明不等式
[典例1]　已知函数f (x)＝ex＋cos x－2，g(x)＝sin x．证明：当x∈(0，＋∞)时，g(x)[证明]　设G(x)＝x－g(x)＝x－sin x，x>0，
则G'(x)＝1－cos x≥0，所以G(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故G(x)>G(0)＝0，即g(x)设F(x)＝f (x)－x＝ex＋cos x－2－x，x>0，
则F'(x)＝ex－sin x－1，当x>0时，g(x)－x，
故F'(x)＝ex－sin x－1>ex－x－1．
设h(x)＝ex－x－1，x>0，则h'(x)＝ex－1>0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(x)>h(0)＝0，
即当x>0时，ex>x＋1．
所以F'(x)>ex－x－1>0，F(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故F(x)>F(0)＝0，即f (x)>x．
综上，当x∈(0，＋∞)时，g(x)名师点评：若待证不等式的两边含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．
[巩固迁移]
1．已知函数f (x)＝x2－ln x＋1，求证：当x>1时，f (x)>．
[证明]　令F(x)＝x2－ln x＋1－x2－ln x－，则F'(x)＝x－>0在(1，＋∞)上恒成立，
所以F(x)在(1，＋∞)上单调递增，又F(1)＝0，
所以F(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，
所以当x>1时，f (x)>．
【教用·备选题】
(2025·河北石家庄二模)已知函数f (x)＝ln x＋．
[证明]　f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝，
令f '(x)＝0，解得x＝a，
当x∈(0，a)时，f '(x)<0，则f (x)在(0，a)内单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，f '(x)>0，则f (x)在(a，＋∞)上单调递增；
所以f (x)≥f (a)＝ln a．
要证f (x)>，只需证ln a>．
设g(x)＝ln x－，则只需证当00．
因为g'(x)＝<0在x∈(0，1)上恒成立，所以g(x)在(0，1)内单调递减，
所以当0g(1)＝0，
即ln a>，所以f (x)≥f (a)＝ln a>，得证．
技法二　凹凸反转法证明不等式
[典例2]　(2026·安徽阜阳模拟)已知f (x)＝ln x＋．
(1)若函数g(x)＝xf (x)，讨论g(x)的单调性与极值；
(2)证明：f (x)>．
[解]　(1)由题意，得g(x)＝x·f (x)＝xln x＋(x>0)，则g'(x)＝ln x＋1．
当x∈时，g'(x)<0；
当x∈时，g'(x)>0．
所以g(x)在上单调递增，
所以g(x)的极小值为g，无极大值．
(2)证明：要证ln x＋(x>0)成立，只需证xln x＋(x>0)成立．
令h(x)＝，x>0，则h'(x)＝，
当x∈(0，1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)的极大值为h(1)，也是最大值，即h(x)≤h(1)＝，
由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，g(x)≥g，
且g(x)的最小值点与h(x)的最大值点不同，
所以xln x＋，
即ln x＋，所以f (x)>．
名师点评：若直接求证比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．即证明不等式f (x)>g(x)转化为证明f (x)min>g(x)max．
一般地，ex与ln x要分离，常构造xn与ln x，xn与ex的积、商的形式．
[巩固迁移]
2．已知函数f (x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf (x)－ex＋2ex≤0．
[解]　(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝－a(x>0)，
①若a≤0，则f '(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
②若a>0，则当00，
当x>时，f '(x)<0，
故f (x)在上单调递减．
(2)证明：因为x>0，所以只需证f (x)≤－2e．
当a＝e时，由(1)知，f (x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f (x)max＝f (1)＝－e．
记g(x)＝－2e(x>0)，则g'(x)＝，
所以当0当x>1时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)min＝g(1)＝－e．
综上，当x>0时，f (x)≤g(x)，
即f (x)≤－2e，即xf (x)－ex＋2ex≤0．
技法三　放缩法证明不等式
[典例3]　已知函数f (x)＝ln x＋－1．
(1)求函数f (x)的最小值；
(2)当x∈(0，π)时，证明：ex>(1－ln x)sin x．
[解]　(1)因为函数f (x)＝ln x＋－1的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝，
所以当0当x>1时，f '(x)>0，
所以当0当x>1时，函数f (x)单调递增．
所以f (x)≥f (1)＝0，
即函数f (x)的最小值为0．
(2)证明：当x∈(0，π)时，要证明ex>(1－ln x)·sin x，只需证>1－ln x，
由(1)可知当x∈(0，π)时，ln x＋－1≥0，即≥1－ln x，
所以要证>1－ln x，只需证，
即证xex－sin x>0．
令h(x)＝xex－sin x，则h'(x)＝(x＋1)ex－cos x，
当0h'(x)＝(x＋1)ex－cos x>0，
所以函数h(x)在(0，π)内单调递增，
所以当0h(0)＝0，
即xex－sin x>0，
所以当x∈(0，π)时，不等式ex>(1－ln x)sin x成立．
名师点评：(1)利用导数证明不等式时，若所证明的不等式中含有ex，ln x，sin x，cos x，tan x或其他多项式函数中的两种或以上，可考虑先利用不等式进行放缩，使问题简化，再构造函数进行证明．
(2)常见的放缩有：①tan x>x>sin x，x∈；②切线放缩：ex≥x＋1>x－1≥ln x，利用切线放缩可把指数式、对数式转化为一次式，有利于后续的求解．
(3)导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式．
[巩固迁移]
3．已知函数f (x)＝ex，当x>－2时，求证：f (x)>ln(x＋2)．
[证明]　设g(x)＝f (x)－(x＋1)＝ex－x－1(x>－2)．
则g'(x)＝ex－1，
当－2当x>0时，g'(x)>0，
即g(x)在(－2，0)内单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，于是g(x)min＝g(0)＝0，
因此当x>－2时，f (x)≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)，
令h(x)＝x＋1－ln(x＋2)(x>－2)，
则h'(x)＝1－，
则当－2当x>－1时，h'(x)>0，
即h(x)在(－2，－1)内单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
于是h(x)min＝h(－1)＝0，
因此当x>－2时，x＋1≥ln(x＋2)(当且仅当x＝－1时取等号)，
所以当x>－2时，f (x)>ln(x＋2)．
【教用·备选题】
1．证明：exln x＋>1．
[证明]　不等式exln x＋>1等价于(exln x＋2)>1，
由常用不等式ex≥x＋1，得ex-1≥x．
即当x>0时，≥1(当且仅当x＝1时取等号)，故只需证exln x＋2>1，
令f (x)＝exln x＋2(x>0)，
则f '(x)＝e(ln x＋1)，
易得当x∈时，f '(x)<0；
当x∈时，f '(x)>0，
故f (x)≥f ＝1，等号不能同时取到，故原不等式得证．
2．已知函数f (x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)讨论函数f (x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)证明：ex－e2ln x>0恒成立．
[解]　(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，f '(x)＝，当a≤0时，f '(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，令f '(x)＝0，得x＝，
∴当x∈时，f '(x)>0；
当x∈时，f '(x)<0，
∴f (x)在上单调递减．
综上所述，当a≤0时，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f (x)在上单调递减．
(2)证明：要证ex－e2ln x>0，
即证ex-2>ln x，令φ(x)＝ex－x－1，
∴φ'(x)＝ex－1．
令φ'(x)＝0，得x＝0，
∴当x∈(－∞，0)时，φ'(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，φ'(x)>0，
∴φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(0)＝0，
即ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取等号．
同理可证ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．
由ex≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)，可得ex-2≥x－1(当且仅当x＝2时取等号)，
又x－1≥ln x(当且仅当x＝1时取等号)，
∴ex-2≥x－1≥ln x，且两等号不能同时成立，
故ex-2>ln x，即原不等式成立．
1．已知函数f (x)＝1－
．
课后作业(二十三)　构造函数证明不等式
[证明]　f (x)＋g(x)≥＋x≥0．
令h(x)＝1－＋x(x≥1)，
则h'(x)＝－＋1．
因为x≥1，所以h'(x)＝＋1>0，
所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(1)＝0，即1－＋x≥0．
故当x≥1时，f (x)＋g(x)≥．
2．已知函数f (x)＝aln x＋x＋＋2a(a∈R)．
(1)若f (x)在x＝1处取得极小值，求a的值；
(2)若0[解]　(1)函数f (x)＝aln x＋x＋＋2a的定义域为(0，＋∞)，
f '(x)＝．
由f '(1)＝a－1＝0，得a＝1，
经检验，a＝1满足题意．
(2)证明：要证明f (x)即证a(ln x＋2)<，即证．
令g(x)＝，
当0当x>2时，g'(x)>0，此时函数g(x)单调递增．
所以g(x)min＝g(2)＝．
令h(x)＝，x>0，
则h'(x)＝－．
当0所以h(x)max＝h，
则h(x)max故原不等式得证．
3．已知函数f (x)＝ex－x－1．
(1)求函数f (x)的单调区间和极值；
(2)当x≥0时，求证：f (x)＋x＋1≥x2＋cos x．
[解]　(1)易知函数f (x)的定义域为R，
∵f (x)＝ex－x－1，∴f '(x)＝ex－1，
令f '(x)>0，解得x>0，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增；
令f '(x)<0，解得x<0，所以f (x)在(－∞，0)上单调递减，
即f (x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，
∴函数f (x)的极小值为f (0)＝0，无极大值．
(2)证明：要证f (x)＋x＋1≥x2＋cos x，
即证ex－x2－cos x≥0．
设g(x)＝ex－x2－cos x，要证原不等式成立，即证当x≥0时，g(x)≥0成立．
∵g'(x)＝ex－x＋sin x，sin x≥－1，
∴g'(x)＝ex－x＋sin x≥ex－x－1，
当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时等号成立，
由(1)知，ex－x－1≥0(当且仅当x＝0时等号成立)，
∴g'(x)≥0，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴在区间[0，＋∞)上，g(x)≥g(0)＝0，
∴当x≥0时，f (x)＋x＋1≥x2＋cos x得证．
4．(2025·陕西咸阳一模)已知函数f (x)＝x－2＋aln(a∈R)．
(1)若f (x)≥－1，求a的值；
(2)设n∈N*，求证：．
[解]　(1)因为f (x)＝x－2＋aln＝x－2－aln x，且f (x)的定义域为(0，＋∞)，则f '(x)＝1－，
若f (x)≥－1，注意到f (1)＝－1，
可得f '(1)＝1－a＝0，解得a＝1，
当a＝1时，f (x)＝x－2－ln x，f '(x)＝1－，
令f '(x)>0，解得x>1；令f '(x)<0，解得0可知f (x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
可得f (x)≥f (1)＝－1，符合题意．
综上所述，a的值为1．
(2)证明：由(1)可得，f (x)＝x－2＋ln≥－1，
即ln≥1－x，当且仅当x＝1时，等号成立，
令x＝≠1，n∈N*，可得ln，
即ln，…，ln，
累加可得，ln＋…＋ln＋…＋，
又因为ln＋…＋ln
＝ln
＝ln，
即ln＋…＋，
所以＋…＋．

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