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课后作业(四)　基本不等式
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共94分
一、单项选择题
1．已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(湘教版必修第一册P39例7改编)已知0A．
3．(2026·山东济宁模拟)已知x＋y＝4，且x>0，y>0，则的最小值是 (　　)
A．1
B．
4．(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则 (　　)
A．a2＋b2>2ab
B．
C．a＋b>
5．(2026·安徽六安模拟)已知A，B两地的距离是200 km．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在50~100 km/h．假设油价是8元/L，以x km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为L/h，司机每小时的工资是56元，那么最经济的车速是 (　　)
A．24 km/h B．55 km/h
C．60 km/h D．80 km/h
6．已知a>0，b>0，2a＋b＝ab，则的最小值为 (　　)
A．4
B．6
C．4
二、多项选择题
7．下列说法正确的有 (　　)
A．若x<的最大值是－1
B．若x>－2，则≥4
C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2
D．若x<1，则有最大值－5
8．(2025·江西上饶二模)若正实数a，b满足a＋b＝1，则 (　　)
A．
B．的最小值是9
C．(1＋a)(1＋b)的最大值是
D．a2＋2b2的最小值是
三、填空题
9．若存在x∈(0，＋∞)，使≥a成立，则a的取值范围是___________．
10．已知正实数x，y满足x＋2y＝1，则的最小值为___________．
四、解答题
11．(13分)某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2 m，育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2．
(1)求S与x之间的函数关系式；
(2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2，池底的造价为600元/m2，甬路的造价为100元/m2，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低总造价．
12．(13分)甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元．
(1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最低，货车应以多大的速度行驶？
13．设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为 (　　)
A．0 B．2
C．1 D．3
14．(多选)三元基本不等式：“当a，b，c均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有 (　　)
A．若x>0，则x2＋≥3
B．若0C．若x>0，则2x＋≥3
D．若015．若a>0，b>0，则＋b的最小值为______．
4/4课后作业(四)
1．C　[由已知，得12＝4x＋3y≥2，即12≥2，解得xy≤3，当且仅当4x＝3y时取等号．]
2．B　3．A
4．C　[因为a>0，b>0，所以a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以A选项错误；取a＝b＝＝6，而＝9，所以B选项错误；因为a＋b≥2>，所以C选项正确；因为≥2，所以D选项错误．故选C．]
5．C　[设车速为x，由题意可知，行车的总费用为
y＝，其中50≤x≤100．
由基本不等式，
得y＝160≥160×2＝(元)，
当且仅当(50≤x≤100)，即当x＝60时，等号成立，因此，最经济的车速是60 km/h．故选C．]
6．D　[由a>0，b>0，2a＋b＝ab，a＝>0，即b>2，易知a>1，
所以＋a＝3＋＋a－1≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝a－1，即a＝＋1时，等号成立，此时b＝2＋，
所以的最小值为3＋2．故选D．]
7．ABD　[对于A，因为x<，
所以2x－1<0，1－2x>0，
所以2x＋＝(2x－1)＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当1－2x＝，即x＝0时，等号成立，此时2x＋有最大值－1，故A正确；
对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以≥2＝4，当且仅当，即x＝2时，等号成立，故B正确；
对于C，因为x>0，y>0，所以x·2y≤，即2xy≤，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时，等号成立，所以x＋2y的最小值为4，故C错误；
对于D，因为x<1，所以1－x>0，则＝－＋1≤－2＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时，等号成立．故D正确．]
8．ABC　[对于A，，当且仅当a＝b＝时取等号，A正确；
对于B，＝(a＋b)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，B正确；
对于C，(1＋a)(1＋b)≤，当且仅当a＝b＝时取等号，C正确；
对于D，a＝1－b，09．
10．1＋2　[正实数x，y满足x＋2y＝1，有－2，
则－2＝－2＝1＋≥1＋2＝1＋2，
即x＝－1，y＝时，等号成立，
所以的最小值为1＋2．]
11．解：(1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为 m，则S＝(x＋4)－600＝8x＋＋32，10≤x≤20．
(2)设总造价为w元，则w＝200×2＋600×3×200＋100S
＝2 400x＋＋360 000＋800x＋＋3 200＝3 200x＋＋363 200，10≤x≤20，
其中3 200x＋≥2＝96 000，
当且仅当3 200x＝，即x＝15∈时，等号成立，故w＝3 200x＋＋363 200≥459 200，所以当x＝15 m时，总造价最低，最低总造价为459 200元．
12．解：(1)由题意得，可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为h，所以y＝＝1 000，定义域为(0，80]．
(2)y＝1 000≥1 000×2＝1 000v＝，
即v＝2时，等号成立．
因为0所以当0当a≥1 600时，函数y＝1 000在(0，80]上单调递减，故货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最低．
13．C　[因为正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则z＝4x2－3xy＋y2，
则≤＝1，当且仅当，即y＝2x时取等号．故的最大值为1．]
14．AC　[对于A，x>0，x2＋＝x2＋≥3＝3，当且仅当x2＝，即x＝1时，等号成立，故A正确；对于B，因为00，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤，当且仅当x＝2－2x，即x＝时，等号成立，故B错误；对于C，因为x>0，所以2x＋＝x＋x＋≥3＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，故C正确；对于D，因为00，x(1－x)2＝×2x×(1－x)·(1－x)≤，当且仅当2x＝1－x，即x＝时，等号成立，故D错误．故选AC．]
15．2　[因为a>0，b>0，
所以＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，
当且仅当＝b，即a＝b＝时，等号成立，
所以＋b的最小值为2．]
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