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1.1.3　集合的基本运算
第1课时　交集和并集
学 习 目 标 核 心 素 养
1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点)2．能使用维恩图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点) 1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养.
1．交集
2．并集
思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？
(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
提示：(1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B.用维恩图表示如图所示．
(2)不等于．A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．
3．并集与交集的运算性质
并集的运算性质 交集的运算性质
A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A
A∪A＝A A∩A＝A
A∪ ＝A A∩ ＝
1．设集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}, 则A∩B＝(　　)
A．{2,3}　　　　　　 B．{0,1}
C．{0,1,4} D．{0,1,2,3,4}
A　[因为集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，所以A∩B＝{2,3}，故选A.]
2．已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}, 则M∪N＝(　　)
A．{0} B．{0,3}
C．{1,3,9} D．{0,1,3,9}
D　[易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．]
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0}　　　 B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
C　[由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．]
4．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
4　[∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}, A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4(舍去)，故a＝4.]
交集的概念及其应用
【例1】　(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)
A．{x|0≤x≤2}　　　 B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
(1)A　(2)D　[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，
故A∩B＝{x|0≤x≤2}．故选A.
(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，
∴8∈A,14∈A，
∴A∩B＝{8,14}，故选D.]
1．求集合交集的运算的方法
(1)定义法，(2)数形结合法．
2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0,2}　　　　　　　 B．{1,2}
C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}
A　[由题意知A∩B＝{0,2}．]
2．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．－12
C．a≥－1 D．a>－1
D　[因为A∩B≠ ，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.]
并集的概念及其应用
【例2】　(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　)
A．{0}　　　　 B．{0,2}
C．{－2,0} D．{－2,0,2}
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝(　　)
A．{x|x<－5或x>－3}
B．{x|－5C．{x|－3D．{x|x<－3或x>5}
(1)D　(2)A　[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.
(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示， 则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
]
求集合并集的两种基本方法
1 定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
2 数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.
3．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝________.
{0,1,2,3,4,5}　[A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．]
集合交、并运算的性质及综合应用
[探究问题]
1．设A，B是两个集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么关系？
提示：A∩B＝A A∪B＝B A B.
2．若A∩B＝A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？
提示：若A∩B＝A∪B，则集合A＝B.
【例3】　已知集合A＝{x|－3[思路点拨]　
[解]　(1)当B＝ ，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.
(2)当B≠ 时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合(1)(2)可知k≤.
1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．
[解]　由A∩B＝A可知A B.
所以即所以k∈ .
所以k的取值范围为 .
2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3[解]　由题意可知解得k＝3.
所以k的值为3.
1．对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x B；x∈B但x A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝ .
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
1．思考辨析
(1)集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中的所有元素的个数和． (　　)
(2)当集合A与集合B没有公共元素时，集合A与集合B就没有交集. (　　)
(3)若A∪B＝A∪C，则B＝C. (　　)
(4)A∩B A∪B. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A．{0,1}　　　　　　　 B．{0}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
D　[由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]
3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝(　　)
A．{1}　　B．{2}　　C．{－1,2}　　D．{1,2,3}
B　[∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1,2}，A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{2}．]
4．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
[解]　(1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．
1

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