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因数与倍数—核心考点集训
1.意义：如果a×b=c（a，b，c均为不是0的自然数），那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。
2.求一个数的因数方法：列举法：（1）列乘法算式（2）列除法算式。
3.求一个数的倍数方法：分别将这个数乘1，2，3，……
4.特征：（1）一个数的因数个数是有限的，倍数个数是无限的（2）一个数的因数最小是1，最大是它本身（3）一个数的倍数最小是它本身，没有最大的倍数。
5.注：研究因数和倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。因数和倍数是相互依存的，二者不能单独存在。
6.2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8；5的倍数特征：个位上是0或5；3的倍数特征：各位上数的和是3的倍数。
7.在自然数中，是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。
1.只有1和它本身两个因数的数叫作质数（或素数）。如2，3，5，7，……都是质数。
2.除了1和它本身还有别的因数的数叫作合数。如4，6，8，9，……都是合数。
3.如果一个数的因数是质数，那么这个因数就是它的质因数。
4.把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
5.注：1既不是质数也不是合数；2是质数中唯一的偶数。
1.几个数公有的因数叫作这几个数的公因数，其中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。
2.几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。
3.找最大公因数和最小公倍数方法：（1）两数是倍数关系，那么最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数（2）两数互质，那么最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积（3）两数一般，用列举法或筛选法。
例1：李菲给自己的行李箱设置了一个四位数密码“520□”，这个四位数既是2的倍数，又是3的倍数。李菲设置的这个密码有（ ）种可能。
A．1 B．2 C．3
解析：先根据2的倍数特征确定个位可填的数字，再根据3的倍数特征，判断这些数字与前三位数字的和是否为3的倍数，统计符合条件的个数即可。
答案：B
例2：第24届冬奥会于2022年2月4日20∶04在北京开幕，以24节气开启倒计时，再辅之以诗词名谚，24秒，24种惊艳，中国队24分出场，“24”诉说着中国独有的文化魅力。在24的因数中，( )是合数，( )是奇数，把24分解质因数是( )。
解析：先用列乘法算式的方式找出24全部因数，再根据合数是大于1、除1和自身外还有别的因数、奇数是不能被2整除的整数这两个定义筛选对应数字，最后用短除法，从最小质数开始除至商为质数，完成24的质因数分解。
答案：4、6、8、12、24 1、3 24＝2×2×2×3
例3：解决下面的社团问题。
(1)张老师为国画社团买来一些长80厘米、宽60厘米的宣纸，同学们要把它们都裁剪成大小相同的正方形，且没有剩余，每个正方形的边长最大是多少厘米？
(2)老师将大家的作品装裱后长30厘米、宽25厘米，把这些作品密铺做成展板，至少需要多少幅这样的作品才能贴成一个正方形？
解析：（1）要把长80厘米、宽60厘米的长方形裁成大小相同且无剩余的正方形，说明正方形的边长必须同时整除80和60，也就是80和60的公因数；题目要求“最大”的边长，所以就是求80和60的最大公因数。
（2）要把长30厘米、宽25厘米的长方形作品密铺成正方形展板，说明正方形的边长必须同时是30和25的公倍数；题目要求“至少”需要多少幅，所以就是求30和25的最小公倍数。用分解质因数法求出最小公倍数，也就是最小正方形展板边长，用边长分别除以作品的长与宽，算出长方向、宽方向分别摆放的作品数量，最后把两个数量相乘，求出一共需要的作品幅数。
答案：（1）80＝2×2×2×2×5
60＝2×2×3×5
最大公因数：2×2×5＝20
答：每个正方形的边长最大是20厘米。
（2）30＝2×3×5
25＝5×5
最小公倍数：2×3×5×5＝150
正方形展板边长为150厘米。
长方向需要：150÷30＝5（幅）
宽方向需要：150÷25＝6（幅）
总数：5×6＝30（幅）
答：至少需要30幅作品。
一、填一填。
1.一个数的最小倍数是27，请写出这个数的所有因数：( )。
2．甲数＝2×2×3×5，乙数＝2×3×3×5，甲乙两个数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
3．既能同时被2、5整除，又能被3整除的最小两位数是( )，最大三位数是( )。
4．有两根绳子，一根长42dm，另一根长63dm，现在要把它们剪成同样长的小段，且都没有剩余，每段绳子最长是( )dm，一共剪了( )段。
5．一个三位数59□，如果它既是2的倍数，又是5的倍数，那么□里填( )；如果它是3的倍数，□里最小填( )。
二、选一选。
1．端午节到了，妈妈包了24个肉粽和32个蛋黄粽，分装成同样的小礼包，刚好分完，没有剩余。每个礼包里肉粽数量相同，蛋黄粽数量也相同。最多能装（ ）个小礼包。
A．7 B．8 C．24
2．下面各组数中，公因数只有1的一组是（ ）。
A．12和18 B．13和14 C．21和28
3．一个数既是3和5的倍数，又是7和10的倍数，这个数最小是（ ）。
A．105 B．150 C．210
4．小朋友们比赛说含有数字的成语，下列成语中都是合数的成语是（ ）。
A．九牛一毛 B．十拿九稳 C．七上八下
5．今年“五一”假期、小明一家准备坐火车去上海旅行。购票时小明发现从北京开往上海的车次用奇数表示，从上海开往北京的车次用偶数表示。下面的车次，有（ ）趟是从北京开往上海的。
G5 G103 G110 G152 T109 G143
A．6 B．5 C．4
三、解答题
1．阳光玫瑰葡萄是农科院高效特色林果示范园培育的优质品种，果粒饱满翠绿、果香浓郁。采摘园收获一批阳光玫瑰葡萄，每3串装一盒剩余2串，每4串装一盒剩余3串，每5串装一盒剩余4串。这批葡萄至少有多少串？
2．镇原东街小学香包手工社团下乡非遗展演，社团总人数在30~50人之间。分组排练时，每6人一组、每9人一组都能正好分完，没有剩余。这个手工社团一共有多少人？
3．王叔叔给自己的手机设置了一个四位数锁屏密码“5□7□”，已知这个四位数既有因数2，又是3和5的倍数。王叔叔的手机锁屏密码有几种可能？请你列举出来。（请写出思考过程）
4．AI编程社团要用长36厘米、宽24厘米的长方形木板制作正方形编程模块，要求裁出的正方形大小相同且没有剩余，正方形的边长最长是多少厘米？可以裁出多少个这样的正方形？
5．小轩家固定电话的号码有8位数字，用ABCDEFGH表示。其中，A是9以内最大的偶数；B是4的最小倍数；C是只有因数1和3的数；D是最小的质数；E是偶数但不是合数；F是最小的合数；G是6的最大因数；H既不是质数也不是合数。请问小轩家固定电话的号码具体是多少？
参考答案
一、
1. 1、3、9、27
解析：一个数最小倍数是它本身。若a×b＝c（a、b、c均为非0自然数），则a和b是c的因数，据此一对一对地写出这个数的所有因数。
2. 30 180
解析：（1）求两个数最大公因数的方法：如果两个数已经分解为质因数相乘的形式，那么取两个数共有的质因数相乘，就能得到最大公因数，依题意可知甲数与乙数的共同因数是：2、3、5，所以2、3、5相乘即可求得最大公因数；
（2）求两个数最小公倍数的方法：如果两个数已经分解为质因数相乘的形式，那么取两个数的共同的质因数相乘（2×3×5）再与这两个数的各自独有的质因数2、3相乘，就能得到最小公倍数。
3. 30 990
解析：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数。
4. 21 5
解析：把两根不同长度的绳子剪成同样长的小段且没有剩余，每段的最长长度就是42和63的最大公因数，每根的总长÷每段长度＝每根剪的段数，每根剪的段数相加得出总段数。
0 1
解析：既是2的倍数又是5的倍数的数，个位数字必须是0，因为2的倍数个位为偶数，5的倍数个位为0或5，两者的公共特征是个位为0。
是3的倍数的数，各位数字之和必须是3的倍数，所以需要先计算已知数位的和，再找能让总和成为3的倍数的最小数字。
二、
1.B
解析：根据题意，小礼包的数量必须同时整除肉粽的数量和蛋黄粽的数量，即小礼包的数量是24和32的公因数。要求“最多”能装多少个小礼包，即求24和32的最大公因数。用分解质因数法求出它们的最大公因数，最后对照选项得出答案。
2.B
解析：先分别求出每组数的公因数，再确定公因数只有1的选项。
3.C
解析：一个数既是3和5的倍数，又是7和10的倍数，这个数是3、5、7、10的公倍数，要求满足条件的最小数，实际是求3、5、7、10的最小公倍数。
4.B
解析：大于1的自然数中，只有1和本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有其他因数的数是合数；1既不是质数也不是合数。
5.C
解析：个位上是1、3、5、7、9的数是奇数，个位上是0、2、4、6、8的数是偶数；通过观察每个车次号码的个位数字来判断其奇偶性，进而统计出从北京开往上海的车次数量；对给出的车次号码逐一进行判断。
三、
1.3、4、5的最小公倍数：
葡萄总串数：（串）
答：这批葡萄至少有59串。
解析：对比每盒装的串数和剩余串数，发现总串数加1后能同时被3、4、5整除。要求最少的串数，先求出3、4、5的最小公倍数，再减1即可。
2．
6和9的最小公倍数是：3×2×3＝18
18的倍数有：18，36，54……
其中在30~50之间的数是36。
答：这个手工社团一共有36人。
解析：每6人一组、每9人一组都正好分完，说明社团总人数是6和9的公倍数，先找出6和9的最小公倍数，再找最小公倍数的倍数在30~50之间的数即可。
3．同时是2和5的倍数，个位必须是0，密码变成5□70。
是3的倍数，需要各位数字和能被3整除：5＋7＋0＝12，12是3的倍数，所以中间填的数也要是3的倍数（0、3、6、9）。
对应密码：5070、5370、5670、5970，共4种。
所以有4种可能，分别是5070、5370、5670、5970。
解析：2的倍数个位是偶数，5的倍数个位是0或5，3的倍数所有数位数字之和能被3整除；结合特征先确定末尾方框只能填0，再把中间方框0到9全部列举，逐个计算四位数各位数字之和，筛选出和可以被3整除的数字，得出全部符合条件的密码。
4．
36和24的最大公因数是，即正方形的边长最长是12厘米。
（个）
（个）
（个）
答：正方形的边长最长是12厘米，可以裁出6个这样的正方形。
解析：裁出的正方形大小相同且无剩余，说明边长既是36的因数也是24的因数，即边长是36和24的公因数，用短除法求出36和24的最大公因数，最长边长就是求这两个数的最大公因数；再用长、宽分别除以边长，得到的商相乘就是总个数。
5．9以内最大的偶数是8，因此A＝8；4的最小倍数是4，因此B＝4；只有因数1和3的数是3，因此C＝3；最小的质数是2，因此D＝2；非0自然数中，是偶数但不是合数的数是2，因此E＝2；最小的合数是4，因此F＝4；6的最大因数是6，因此G＝6；既不是质数也不是合数的数是1，因此H＝1。
答：小轩家固定电话的号码具体是84322461。
解析：是2的倍数的自然数是偶数；一个数的最小倍数和最大因数都是它本身；只有1和它本身两个因数的自然数是质数；除了1和它本身还有其他因数的自然数是合数，1既不是质数也不是合数。
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