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学案：14.2 全等三角形的判定 第5课时 用HL判定直角三角形全等
人教版八年级上册 第十四章 全等三角形
班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版八年级上册
一、学习目标
1. 探索并掌握判定直角三角形全等的"斜边、直角边"（HL）定理，理解其探索过程与证明思路。
2. 能运用HL定理判定两个直角三角形全等，并能进行简单的推理证明。
二、知识梳理
1. HL定理
项目 内容
定理内容 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。
几何语言 在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，
∵ AB = A'B'（斜边相等），
BC = B'C'（直角边相等），
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（HL）。
注意事项 (1) "H"代表斜边（Hypotenuse），"L"代表直角边（Leg），顺序不要混淆。
(2) "HL"是判定直角三角形全等的特有方法，两个"△"前要加"Rt"。
(3) HL只适用于直角三角形，一般三角形不能使用。
2. 直角三角形全等判定方法汇总
已知条件 判定方法 说明
一锐角 + 一直角边（夹边） ASA 直角与已知锐角的夹边
一锐角 + 一直角边（对边） AAS 已知锐角（或直角）的对边
一锐角 + 斜边 AAS 已知边所对的锐角
两直角边 SAS 夹角为直角
斜边 + 一直角边 HL 直角三角形特有判定方法
3. HL证明步骤（叠合法）
步骤 说明
第一步 由 ∠C = ∠C' = 90°，将两直角三角形叠合，使点 C 与 C' 重合，两直角边分别重合。
第二步 由 BC = B'C'，可知点 B 与点 B' 重合。
第三步 在射线 CA 上，与点 B 连线长度等于 AB 的点唯一（由直角三角形中斜边大于直角边及外角性质可证）。
第四步 由 A'B' = AB，可知点 A' 与点 A 重合。
第五步 三个顶点分别重合，两个三角形完全重合，故 Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'。
三、课堂练习
练习1（针对训练 —— 添加条件）
如图，AC ⊥ BC，BD ⊥ AD，要证明 △ABC ≌ △BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由。
(1) _______________（___________）；
(2) _______________（___________）；
(3) _______________（___________）；
(4) _______________（___________）。






练习2（教材例6 —— 证明线段相等）
如图，AC ⊥ BC，BD ⊥ AD，垂足分别为 C，D，AC = BD。求证：BC = AD。










练习3（随堂演练1 —— 选择题）
如图，AB ⊥ CD，垂足为 O，要得到 Rt△AOC ≌ Rt△BOD，添加下列一组条件后，不能判定 Rt△AOC ≌ Rt△BOD 的是（ ）
A. AC = BD，OA = OB
B. OA = OD，∠A = ∠B
C. AC = BD，OC = OD
D. AC = BD，AC // BD




练习4（随堂演练2 —— 填空题）
如图，AE ⊥ BD，CD ⊥ BD，AB = BC，BE = CD，则 ∠ACB = __________。






练习5（随堂演练3 —— 教材P43练习1）
如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地，且 DA ⊥ AB，EB ⊥ AB。D，E 到路段 AB 的距离相等吗？为什么？










练习6（随堂演练4 —— 教材P43练习2）
如图，AB = CD，AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，垂足分别为 E，F，CE = BF。求证：AE = DF。










练习7（随堂演练5 —— 综合题）
如图，AD，AF 分别是两个钝角三角形 ABC 和 ABE 的高，AD = AF，AC = AE。求证：BC = BE。










练习8（综合题 —— HL + HL 双次证明）
如图，AD，AF 分别是两个钝角三角形 ABC 和 ABE 的高，AD = AF，AC = AE。
(1) 求证：Rt△ADC ≌ Rt△AFE；
(2) 求证：Rt△ABD ≌ Rt△ABF；
(3) 利用以上结论，求证：BC = BE。












四、参考答案
练习1 答案
(1) BC = AD（HL）：斜边 AB 公共，直角边 BC = AD。
(2) AC = BD（HL）：斜边 AB 公共，直角边 AC = BD。
(3) ∠CAB = ∠DBA（AAS）：∠C = ∠D = 90°，∠CAB = ∠DBA，AB = BA。
(4) ∠CBA = ∠DAB（AAS）：∠C = ∠D = 90°，∠CBA = ∠DAB，AB = BA。
练习2 答案
证明：∵ AC ⊥ BC，BD ⊥ AD，
∴ ∠C = ∠D = 90°.
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB = BA（公共边），
AC = BD（已知），
∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）.
∴ BC = AD（全等三角形的对应边相等）.
练习3 答案
答案：B
解析：A选项：AC = BD，OA = OB，满足HL，可以判定。
B选项：OA = OD，∠A = ∠B，两组条件不构成任何判定方法，不能判定。
C选项：AC = BD，OC = OD，满足HL，可以判定。
D选项：AC = BD，AC // BD，可得 ∠A = ∠B（内错角），又 ∠AOC = ∠BOD（对顶角），结合 AC = BD 可用 AAS 判定。
综上，只有B选项不能判定。
练习4 答案
答案：90°
解析：∵ AE ⊥ BD，CD ⊥ BD，
∴ ∠AEB = ∠CDB = 90°.
在 Rt△ABE 和 Rt△BCD 中，
AB = BC（已知），
BE = CD（已知），
∴ Rt△ABE ≌ Rt△BCD（HL）.
∴ ∠ABE = ∠BCD.
∵ 在 Rt△BCD 中，∠BCD + ∠CBD = 90°，
∴ ∠ABE + ∠CBD = 90°，即 ∠ABC = 90°.
又由图形可知，∠ACB 与 ∠ABC 为对顶角，
∴ ∠ACB = ∠ABC = 90°.
练习5 答案
解：D，E 到路段 AB 的距离相等。理由如下：
∵ C 是路段 AB 的中点，
∴ AC = BC.
又两人同时同速度出发，并同时到达 D，E 两地，
∴ CD = CE.
又 DA ⊥ AB，EB ⊥ AB，
∴ ∠A = ∠B = 90°.
在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中，
AC = BC，
CD = CE，
∴ Rt△ACD ≌ Rt△BCE（HL）.
∴ DA = EB.
即 D，E 到路段 AB 的距离相等。
练习6 答案
证明：∵ CE = BF，
∴ CE - EF = BF - EF，即 CF = BE.
又 AE ⊥ BC，DF ⊥ BC，
∴ ∠DFC = ∠AEB = 90°.
在 Rt△DFC 和 Rt△AEB 中，
DC = AB，
CF = BE，
∴ Rt△DFC ≌ Rt△AEB（HL）.
∴ AE = DF.
练习7 答案
证明：由题意知，△ADC 与 △AFE 均为直角三角形，
在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中，
AC = AE，
AD = AF，
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE（HL）.
∴ CD = EF.
在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中，
AB = AB（公共边），
AD = AF，
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ABF（HL）.
∴ BD = BF.
∴ BD - CD = BF - EF，即 BC = BE.
练习8 答案
(1) 证明：由题意知，△ADC 与 △AFE 均为直角三角形。
在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中，
AC = AE（已知），
AD = AF（已知），
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE（HL）.
(2) 证明：在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中，
AB = AB（公共边），
AD = AF（已知），
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ABF（HL）.
(3) 证明：由 (1) 得 CD = EF，由 (2) 得 BD = BF，
∴ BD - CD = BF - EF，即 BC = BE.
总结：本题通过两次 HL 判定，先证 Rt△ADC ≌ Rt△AFE 得 CD = EF，再证 Rt△ABD ≌ Rt△ABF 得 BD = BF，最后利用线段差证得 BC = BE。

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