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高中物理模型盘点（一）斜面模型
物理模型盘点——斜面模型
［模型概述］
斜面模型是中学物理中最常见的模型之一，各级各类考题都会出现，设计的内容有力学、电学等。相关方法有整体与隔离法、极值法、极限法等，是属于考查学生分析、推理能力的模型之一。
［模型要点］
斜面固定时，对斜面上的物体受力分析，建立坐标系进行正交分解，选择利用三大定律列方程求解；对斜面不固定时，我们将斜面与斜面上的物体看成系统，仔细观察题中条件，采用整体法或动量定理甚至动量守恒定律处理。
［模型讲解］
一. 利用正交分解法处理斜面上的平衡问题
相距为20cm的平行金属导轨倾斜放置（见图），导轨所在平面与水平面的夹角为，现在导轨上放一质量为330g的金属棒ab，它与导轨间动摩擦系数为，整个装置处于磁感应强度B=2T的竖直向上的匀强磁场中，导轨所接电源电动势为15V，内阻不计，滑动变阻器的阻值可按要求进行调节，其他部分电阻不计，取，为保持金属棒ab处于静止状态，
求：（1）ab中通入的最大电流强度为多少？
（2）ab中通入的最小电流强度为多少？
评点：此例题考查的知识点有：（1）受力分析——平衡条件的确定；（2）临界条件分析的能力；（3）直流电路知识的应用；（4）正交分解法。
说明：正交分解法是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是用代数运算来解决矢量运算。正交分解法在求解不在一条直线上的多个力的合力时显示出了较大的优越性。建立坐标系时，一般选共点力作用线的交点为坐标轴的原点，并尽可能使较多的力落在坐标轴上，这样可以减少需要分解的数目，简化运算过程。
如图，在水平桌面上放置一斜面体P，两长方体物块a和b叠放在P的斜面上，整个系统处于静止状态。若将a和b、b与P、P与桌面之间摩擦力的大小分别用f1、f2和f3表示。则
A．f1=0，f2≠0，f3≠0
B．f1≠0，f2=0，f3=0
C．f1≠0，f2≠0，f3=0
D．f1≠0，f2≠0，f3≠0
【答案】C
【解析】整体受力如图所示，由平衡条件可知，，ab为整体受力如图，ab有整体下滑趋势，则，同理ab之间也有摩擦力，故选C
二．物体在斜面上自由运动的性质
1.斜面模型是高中物理中最常见的模型之一，斜面问题千变万化，斜面既可能光滑，也可能粗糙；既可能固定，也可能运动，运动又分匀速和变速；斜面上的物体既可以左右相连，也可以上下叠加。物体之间可以细绳相连，也可以弹簧相连。求解斜面问题，能否做好斜面上物体的受力分析，尤其是斜面对物体的作用力（弹力和摩擦力）是解决问题的关键。
对沿粗糙斜面自由下滑的物体做受力分析，物体受重力mg、支持力FN、动摩擦力f，由于支持力，则动摩擦力，而重力平行斜面向下的分力为，所以当时，物体沿斜面匀速下滑，由此得，亦即。
所以物体在斜面上自由运动的性质只取决于摩擦系数和斜面倾角的关系。
当时，物体沿斜面加速速下滑，加速度；
当时，物体沿斜面匀速下滑，或恰好静止；
当时，物体若无初速度将静止于斜面上；
三.“光滑斜面”模型常用结论
如图所示，质量为m的物体从倾角为θ、高度为h的光滑斜面顶端由静止下滑，则有如下规律：
(1)物体从斜面顶端滑到底端所用的时间t，由斜面的倾角θ与斜面的高度h共同决定，与物体的质量无关。
关系式为t＝ 。
(2)物体滑到斜面底端时的速度大小只由斜面的高度h决定，与斜面的倾角θ、斜面的长度、物体的质量无关。
关系式为v＝。
摩擦力做功：斜面上摩擦力做的功可以等效成在水平面上投影位移成水平方向摩擦力。
如图所示，一小物块在粗糙程度相同的两个固定斜面上从A经B滑动到C，若不考虑物块在经过B点时机械能的损失，则下列说法中正确的是
A. 从A到B和从B到C，减少的机械能相等
B. 从A到B和从B到C，减少的重力势能相等
C. 从A到B和从B到C，因摩擦而产生的热量相等
D. 小物块在C点的动能一定最大
【答案】B
【解析】解：A、设任一斜面与水平面的夹角为，则斜面的长度：，物块受到的摩擦力大小：，物块下滑的过程中克服摩擦力做的功：，可知，物块下滑的过程中，克服摩擦力做功与水平位移的大小成正比，物块从A到B的水平位移小于从B到C的水平位移，所以物块在AB段克服摩擦力做功小于在BC段克服摩擦力做功，而物块减少的机械能等于克服摩擦力做的功，所以，物块从A到B减少的机械能比从B到C的少，故A错误；
B、物体从A到B和从B到C，AB段的高度与BC段的高度相等，重力对物体做的功相等，则减少的重力势能相等，故B正确；
C、因摩擦而产生的热量等于减少的机械能，所以，从A到B和从B到C，因摩擦而产生的热量不等，故C错误；
D、物体从B到C的过程中，重力对物体做正功，摩擦力对物体做负功，由于不知道二者的大小关系，所以C点的动能不一定大于物体在B点的动能，物块在C点的动能不一定最大，故D错误。
故选：B。
物块减少的机械能等于克服摩擦力做的功，对物体受力分析，根据功的计算公式分析摩擦力做功情况，从而分析出减少的机械能关系；根据下降的高度分析减少的重力势能关系；因摩擦而产生的热量等于减少的机械能，再由动能定理分析在C点的动能。
解决本题的关键要推导出克服摩擦力做功的表达式，要知道物块克服摩擦力做功与水平位移成正比，要能根据功能关系分析除重力以外其他力做功与机械能变化的关系。
如下图所示，两个完全相同的物体分别自斜面AC和BC顶端由静止开始下滑，物体与两斜面的动摩擦因数相同，物体滑至斜面底部C点时的动能分别为和，下滑过程中产生的热量分别为和，则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】先根据摩擦力做功的公式比较在两个斜面上物体克服摩擦力所做的功，再通过动能定理比较到达底部的动能。
解决本题的关键要掌握功的公式，以及灵活运用动能定理．对于滑动摩擦力做功，根据知道是水平位移的大小。
四、“等时圆”模型及其等时性的证明
1．三种模型(如图)
2．等时性的证明
设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d(如图)。根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsin α，位移为x＝dsin α，所以运动时间为t0＝＝＝。
即沿同一起点(圆的最高点)或终点(圆的最低点)的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
如图所示，竖直圆环中有多条起始于A点的光滑轨道，其中AB通过环心O并保持竖直，一质点分别自A点沿各条轨道下滑，初速度均为零，那么，质点沿各轨道下滑的时间相比较（　　）
A．质点沿着与AB夹角越大的轨道下滑，时间越短
B．质点沿着轨道AB下滑，时间最短
C．轨道与AB夹角越小（AB除外），质点沿其下滑的时间越短
D．无论沿图中哪条轨道下滑，所用的时间均相等
【解析】设半径为R，斜面与竖直方向夹角为θ，则物体运动的位移为x＝2Rcosθ，物体运动的加速度a＝＝gcosθ，
根据位移时间关系可得：x＝at2
解得：t＝，与θ角无关，即与弦长无关，无论沿图中哪条轨道下滑，所用的时间均相同。
五. 利用矢量三角形法处理斜面系统的变速运动
物体置于光滑的斜面上，当斜面固定时，物体沿斜面下滑的加速度为，斜面对物体的弹力为。斜面不固定，且地面也光滑时，物体下滑的加速度为，斜面对物体的弹力为，则下列关系正确的是：
A. B.
C. D.
评点：在运动学中巧取参考系；在动力学中运用整体法与隔离法；在研究重力势能时选取参考平面；在电学中善用等势面等往往能起到柳暗花明的效果。
一小物块沿斜面向上滑动，然后滑回到原处．物块初动能为，与斜面间的动摩擦因数不变，则该过程中，物块的动能与位移的关系图线是
【答案】C
【解析】向上滑动的过程中，根据动能定理：，同理，下滑过程中，由动能定理可得：，故C正确；ABD错误．
【考点定位】动能定理
【名师点睛】本题考查动能定理及学生的识图能力，根据动能定理写出Ek–x图象的函数关系，从而得出图象斜率描述的物理意义．
六．斜面上的综合问题
如图所示，足够长的粗糙斜面固定于竖直向下的匀强电场E中，两个带等量正电荷的物体A和B（不计A、B间的静电力作用）用质量不计的轻弹簧直接相连，A的质量是B的质量的2倍，在恒力F作用下沿斜面向上以2m/s的速度做匀速直线运动，A、B与斜面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2且μ1>μ2，物体所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力。某时刻轻弹簧突然断开，B在恒力F的作用下继续前进，A最后静止在斜面上，则（　　）
A．A静止时，B的速度的大小为6m/s
B．若考虑A、B间静电力作用，则弹簧断开后到A静止前，A和B组成系统动量不守恒
C．轻弹簧断开瞬间，A物体加速度为零
D．若轻弹簧断开后，再撤去恒力F，最终B有可能会静止在斜面上
【答案】AD
【详解】AB．若不考虑A、B间静电力作用，则弹簧断开后到A静止前，系统所受的外力（重力、摩擦力、电场力、拉力）均没有改变，则AB组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，则
解得vB=6m/s
选项A正确，B错误；
C．轻弹簧断开瞬时，A物体受重力、斜面支持力和摩擦力作用，合力不为零，加速度不为零，故C错误；
D．若轻弹簧断开后，再撤去恒力F，则物块B受向下的重力和电场力以及沿斜面向下的摩擦力作用而做减速运动，当速度减为零后，若满足
即
则B会静止在斜面上。选项D正确。
故选AD。
如图，一轻弹簧原长为，其一端固定在倾角为的固定直轨道的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态。直轨道与一半径为的光滑圆弧轨道相切于点，均在同一竖直平面内。质量为的小物块自点由静止开始下滑，最低到达点（未画出）随后沿轨道被弹回，最高到达点，。已知与直轨道间的动摩擦因数，重力加速度大小为。（取，）
(1)求第一次运动到点时速度的大小。
(2)求运动到点时弹簧的弹性势能。
(3)改变物块的质量，将推至点，从静止开始释放。已知自圆弧轨道的最高点处水平飞出后，恰好通过点。点在点的左下方，与点水平相距、竖直相距，求运动到点时速度的大小和改变后的质量。
【解析】（1）选为研究对象，受力分析如图：
设加速度为，其垂直于斜面方向受力平衡：
沿斜面方向，由牛顿第二定律得：
且，可得：
对段过程，由
代入数据得点速度：
（2）从点出发，最终静止在，分析整段过程；
由到，重力势能变化量： ①
减少的重力势能全部转化为内能。
设点离点的距离为，从到，产热： ②
由，联立①、②解得：；
研究从点运动到点过程
重力做功：
摩擦力做功：
动能变化量：
由动能定理：
代入得：
由，到点时弹性势能为。
（3）其几何关系如下图
可知：，
由几何关系可得，点在左下方，竖直高度差为，水平距离为。
设从点抛出时速度为，到点时间为
其水平位移：
竖直位移：
解得：
研究从点到点过程，设此时质量为，此过程中：
重力做功： ①
摩擦力做功： ②
弹力做功： ③
动能变化量： ④
由动能定理： ⑤
将①②③④代入⑤，可得：
七. 斜面的变换模型
如图所示，在水平地面上有一辆运动的平板小车，车上固定一个盛水的杯子，杯子的直径为R。当小车作匀加速运动时，水面呈如图所示状态，左右液面的高度差为h，则小车的加速度方向指向如何？加速度的大小为多少？
点评：在本题中可以突出物体的受力特征，建立等效模型，用简捷的等效物理模型代替那些真实的、复杂的物理情景，从而使复杂问题的求解过程得到直观、优化，诸如此类的还有等时圆等等。
［误区点拨］
(1)要注意斜面上物体受到摩擦力的种类、方向判断，比较等；(2)在采用整体法处理斜面体与它上面的物体时要区分变速运动部分（合外力）与整体的质量；(3)在计算正压力时遗漏除重力以外的其他力产生的作用而导致摩擦力大小计算错误；(4)在分析电磁力时电荷或导体棒的极值问题而引起的弹力或摩擦力的变化；
如图所示为一传送带装置模型，斜面的倾角为θ=37 ，底端经一长度可忽略的光滑圆弧与足够长的水平传送带相连接，质量m＝2 kg的物体从高h＝30 cm的斜面上由静止开始下滑，它与斜面间的动摩擦因数μ1＝0.25，与水平传送带间的动摩擦因数μ2＝0.5，物体在传送带上运动一段时间以后，又回到了斜面上，如此反复多次后最终停在斜面底端．已知传送带的速度恒为v＝2.5 m/s，g取10 m/s2.求：
（1）从物体开始下滑到第一次回到斜面的过程中，物体与传送带间因摩擦产生的热量；
（2）从物体开始下滑到最终停在斜面底端，物体在斜面上通过的总路程。
【答案】（1）20 J；（2）1.5 m
【详解】（1）对物体从静止开始第一次到达底端的过程，由动能定理得：
代入数据解得：物体第一次滑到底端的速度 v0=2m/s
物体滑上传送带后向右做匀减速运动，所受的滑动摩擦力大小为f=μ2mg
加速度大小为a=μ2g=5m/s2
到最右端的时间t1==0.4s
物体返回到传送带左端时的时间也为t1，因为第一次物体滑上传送带的速度小于传送带的速度，故物体回到传送带左端时的速度大小也为v0．物体向右匀减速运动的位移为
该段时间内的传送带的位移为x2=vt1=2.5×0.4m=1m
则相对路程的大小为
返回的过程做匀加速直线运动，传送带的位移为：x3=vt1=2.5×0.4=1m
则相对位移大小为
相对总路程的大小为：
则由摩擦产生的热量为：
（2）在传送带上摩擦力先做负功，再做正功，在传送带上摩擦力做功为零，对全过程运用动能定理得
代入数据解得s=1.5m
【点睛】解决本题的关键理清物体在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律、运动学公式和动能定理进行求解，知道物体在传送带上运动的过程中，摩擦力做功的代数和为零。
（多选）如图所示，在一倾角为θ的粗糙斜面上置一根通电直导线，导线长度为L，电流方向垂直于纸面向外，电流大小为I，初始时，通电直导线恰好静止。现有一竖直向下的磁场从零开始不断增大，当磁感应强度为B0时，通电直导线恰要滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（　　）
A．斜面对通电直导线的支持力不断增大
B．斜面对通电直导线的静摩擦力不断增大
C．粗糙斜面的动摩擦因数
D．
【答案】ACD
【来源】河北省邢台市第一中学2021-2022学年高二（上）第三次月考物理试题
【详解】AB．加磁场后受力分析如图1所示
磁场从零开始不断增大，则有
可知，安培力F不断增大，斜面对通电直导线的支持力N不断增大。静摩擦力先是沿斜面向上不断减小到零，再沿斜面向下不断增大。故A正确；B错误；
C．没有加磁场时，恰好静止，对导线受力分析如图2所示
根据受力平衡，可得
整理可得
故C正确；
D．当通电导线刚要滑动时，有
联立，可得
故D正确。
故选ACD。

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