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2025-2026学年河北省NT20名校联合体高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为纯虚数，则为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，则数列的公比为( )
A. B. C. D.
4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.某房地产开发商为了促销举行抽奖活动若抽中一等奖，则抵扣房款万元，若抽中二等奖，则抵扣房款元已知每位顾客都有两次抽奖机会，且每次抽中一等奖和二等奖的概率分别为和，每次中奖情况相互独立现有甲顾客参与该抽奖活动，抽奖获得的抵扣房款总金额为万元，则的期望是( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上的零点个数为( )
A. B. C. D.
7.已知向量其中为坐标原点，把绕点逆时针旋转角得到向量若向量的坐标为，则( )
A. B. C. D.
8.已知指数函数满足，若不等式对成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在二项式的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 的系数是 B. 各项的系数和是
C. 第项二项式系数最大 D. 奇数项二项式系数和为
10.已知数列的前项和为，且，，则( )
A. B.
C. 当为偶数时， D.
11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列命题正确的是( )
A. 平面平面
B. 二面角的正切值为
C. 平面与平面间的距离为
D. 以为球心，为半径的球面与平面的交线落在内的长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线：与直线：垂直，则 ．
13.在中，内角，，所对的边分别是，，，且满足，，，则外接圆的面积为 ．
14.在平面直角坐标系中，，，，点满足，点的轨迹为曲线，直线：，直线与曲线交于不同的两点，，且，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，．
若，求的面积；
若的平分线交于，且，求边．
16.本小题分
为了迎接高考，某校举行模拟考试现随机抽取其中名考生的物理成绩进行统计，并将他们的成绩分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．
估计该校学生物理成绩的平均数和第百分位数；同一组中的数据用该组区间的中间值为代表
用分层随机抽样的方法在分数段内的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至多有人在分数段内的概率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，，，，是棱上的点．
若点为的中点，求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
若，证明：当时，．
19.本小题分
已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线交于，两点，且的中点为．
求双曲线的方程；
过向双曲线作两条切线，切点分别为，．
证明：直线的方程为；
设为双曲线的左焦点，证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】，

17.【答案】证明：如图，取的中点，连接，．
因为是棱的中点，所以且．
因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，则．
因为平面，平面，所以平面

18.【答案】当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减
要证，即证，其中．
因为，所以．
令，
则，令，则．
令，则．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
故在上单调递增，故，
故函数在上单调递增，故，
故，即
19.【答案】
证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
联立得，
则，化简得，
因为方程有两个相等实根，
所以，，则，
所以，即，
故直线的方程为，同理可得直线的方程为，
又直线，均过点，
所以，，故直线的方程为，即；由题可得，则，
，
，
不妨设点在第一象限，则，，所以，，
则，
，
故，故．

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