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2025-2026学年广西南宁市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.集合，集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.设双曲线的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知，且为第二象限角，则的值等于( )
A. B. C. D.
6.秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知、、三个地区分别有、、的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是：：，现从这三个地区中任意选取人，则这人患了流感的概率为( )
A. B. C. D.
7.某工作室有名插画师和名建模师，两类人员完全不重叠，现将其分成个小队前往，，三个展会进行现场创作，要求每个小队必须同时包含至少名插画师和至少名建模师，则不同的人员派遣方案种数为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于直线对称，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列满足，，，则下列说法正确的有( )
A. 数列是等比数列 B.
C. 数列的前项和 D. 数列是递增数列
10.已知直线：，与圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 当直线与圆相切时，切线方程是
C. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于
D. 圆上的一点到直线的最大距离是
11.已知点为坐标原点，抛物线：的准线方程为，过焦点的直线交抛物线于，两点，则下列选项中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则直线的斜率为
C. D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，若，则 ．
13.若，，且函数在处有极值，则的最小值为 ．
14.已知正三棱台的下底面边长为，高为，其顶点都在表面积为的球面上，则该正三棱台的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角、、所对的边分别为、、，已知．
求；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
年，软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式”向“决策式”的全面跨越行业焦点已从“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力某公司进行知识竞赛从参赛者中随机选出人的成绩作为样本，将成绩分为，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值；
在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人的成绩在的人数为，求的分布列及数学期望；
假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取人，用表示其成绩在范围的人数，求的期望及方差．
17.本小题分
如图，三棱锥中，，，，为的中点．
证明：；
点满足，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，短轴长为．
求的方程；
过点的直线斜率存在且不为与交于、两点，关于轴的对称点为，已知．
求的取值范围；
证明：、、三点共线．
19.本小题分
已知函数，其中．
当时，求在处的切线方程；
若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围；
若，，对任意的，恒成立，求的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】
，
17.【答案】证明：因为，，
所以为等边三角形，则，
同理，因为，，
所以为等边三角形，则，所以，
因为为的中点，所以，
又因为，为的中点，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以
18.【答案】
；直线的方程为，
即，
其中
，
则直线的方程为，
故直线过定点，即、、三点共线
19.【答案】
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