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分课时学案
课题 数学活动：怎样摆放所需栅栏最少 单元 20 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.结合正多边形、圆的面积公式,用含a的代数式表示固定面积图形的周长,熟练运用二次根式化简周长表达式. 2.通过计算对比,感知面积一定时不同平面图形周长存在差异,初步认识面积定值下圆的周长最小. 3.探究全等图形拼接规律,理解重合公共边界可以缩短外围栅栏总长度. 4.经历“提出问题—建立模型—代数计算—归纳猜想”的探究流程,发展几何直观与代数建模意识.
重点 1.根据固定面积a,列式推导正多边形、圆的周长,利用二次根式完成周长大小比较; 2.掌握图形拼接规律:重合公共边界越长,外围栅栏总长越短.
难点 1.由正三角形、正六边形面积反求边长,正确建立周长代数式; 2.整合探究结论,归纳面积固定时周长变化规律,得到最优摆放猜想.
教学过程
导入新课 回顾提问: 1.提问1:用绳子围一块面积16平方米的区域,如果围成正方形,边长与周长分别是多少 2.提问2:同样面积16平方米,围成长8m、宽2m的长方形,周长是多少 3.递进设问:面积保持不变,长方形长宽变化,周长随之改变;如果换成三角形、圆形,周长还会变化吗 能否找到一种形状,让外围围栏最短
新知讲解 活动一:单一图形摆放 为了庆祝国庆,华阳中学准备在校门口摆放总面积为的盆栽花圃,花圃周围用白色栅栏围起来.假设花圃是由一些盆栽均匀摆放而成的,栅栏紧挨花圃周边的盆栽. 思考:(1)如果将花圃的形状摆放为正三角形,所需栅栏的长度为多少米 如果摆放为等腰直角三角形、正方形、正六边形、圆呢 (2)如果将花圃的形状摆放为两个全等的正三角形,所需栅栏的长度为多少米 如果摆放为两个全等的正方形、正六边形、圆呢 方法总结: 1.已知面积求周长步骤: 2.等面积单一图形规律: 3.根式比大小技巧: 活动二:组合图形摆放 思考:(3)如果将花圃按如图1和图2所示的形状摆放,所需栅栏的长度为多少米 (4)你还有其他摆放方案吗 你认为怎样摆放所需栅栏最少 方法总结: 1.拼接栅栏计算法: 2.拼接最优原则: 3.综合最优策略: 课堂小结 设问1:面积定值的单一封闭图形,从正三角形、正方形、正六边形到圆,周长呈现怎样变化趋势 设问2:两个全等图形拼接摆放,如何减少外围栅栏总长 设问3:探究活动用到哪些数学知识 设问4:本节课两条核心猜想是什么
巩固训练 1.面积固定的下列单一图形,周长最小的是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.圆 2.面积同为的正方形与正六边形对比,下列说法正确的是( ) A.正方形周长更大 B.正六边形周长更大 C.周长相等 D.无法比较 3.两个全等正方形拼接,想要栅栏总长最短,摆放方式为( ) A.顶点重合 B.一条边完全重合 C.仅有部分边重合 D.互不相交 4.面积一定的矩形,长宽满足什么条件周长最小( ) A.长远大于宽 B.长等于宽 C.长小于宽 D.任意长宽 5.两块相同圆形花圃相交摆放,相交区域越大,则外围栅栏总长( ) A.变大 B.变小 C.不变 D.无法判断 6.面积固定,正多边形边数越多,周长越 . 7.两个全等图形拼接,重合的公共边界越长,外围栅栏长度越 . 8.若正方形面积为,正方形边长为 . 9.一块花圃面积,摆成正方形,求栅栏周长;若摆成圆形,写出周长表达式. 10.两个完全相同正方形,面积均为4,分别独立摆放、一条边重合拼接摆放,计算两种方式外围栅栏总长.
作业布置 必做题: 1.面积为的花圃,分别求出正方形、圆形两种摆放方式对应的周长. 2.两个全等正方形,面积均为,一条边完全重合拼接,求外围栅栏总长度. 选做题: 1.面积固定为,对比正方形周长与圆形周长,判断哪种图形周长更小. 2.两个相同正六边形拼接,怎样摆放能让外围栅栏最短,请简要说明理由.
答案：
回顾提问:
1.提问1:用绳子围一块面积16平方米的区域,如果围成正方形,边长与周长分别是多少
边长4米,周长16米.
2.提问2:同样面积16平方米,围成长8m、宽2m的长方形,周长是多少
周长20米,周长大于同等面积的正方形.
3.递进设问:面积保持不变,长方形长宽变化,周长随之改变;如果换成三角形、圆形,周长还会变化吗 能否找到一种形状,让外围围栏最短
课堂小结：
设问1:面积定值的单一封闭图形,从正三角形、正方形、正六边形到圆,周长呈现怎样变化趋势
面积不变,正多边形边数越多,周长越小;同等面积条件下,圆的周长最小.
设问2:两个全等图形拼接摆放,如何减少外围栅栏总长
尽可能让两个图形拥有更长的重合公共边界,重合边界不再计入外围栅栏,重合线段越长,节省栅栏越多.
设问3:探究活动用到哪些数学知识
平面图形面积与周长公式、二次根式化简与大小比较、代数建模.
设问4:本节课两条核心猜想是什么
单个封闭图形,形状越接近圆形,周长越小;多个图形组合摆放,最大化重合公共边,外围栅栏总长最短.
课堂练习：
1.面积固定的下列单一图形,周长最小的是( )
A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.圆
答案:D
2.面积同为的正方形与正六边形对比,下列说法正确的是( )
A.正方形周长更大 B.正六边形周长更大
C.周长相等 D.无法比较
答案:A
3.两个全等正方形拼接,想要栅栏总长最短,摆放方式为( )
A.顶点重合 B.一条边完全重合
C.仅有部分边重合 D.互不相交
答案:B
4.面积一定的矩形,长宽满足什么条件周长最小( )
A.长远大于宽 B.长等于宽
C.长小于宽 D.任意长宽
答案:B
5.两块相同圆形花圃相交摆放,相交区域越大,则外围栅栏总长( )
A.变大B.变小C.不变D.无法判断
答案:B
6.面积固定,正多边形边数越多,周长越 .
答案:小
7.两个全等图形拼接,重合的公共边界越长,外围栅栏长度越 .
答案:短
8.若正方形面积为,正方形边长为 .
答案:
9.一块花圃面积,摆成正方形,求栅栏周长;若摆成圆形,写出周长表达式.
解:正方形边长,周长;设圆半径,周长.
10.两个完全相同正方形,面积均为4,分别独立摆放、一条边重合拼接摆放,计算两种方式外围栅栏总长.
解:单个正方形边长2;独立摆放总周长;拼接重合一条边,外围总长12.
作业设计：
必做题:
1.面积为的花圃,分别求出正方形、圆形两种摆放方式对应的周长.
若图形为正方形,则边长为,周长为,
若图形为圆形,则半径为,则周长为.
2.两个全等正方形,面积均为,一条边完全重合拼接,求外围栅栏总长度.
由题意知正方形的边长为,则图形的周长为.
选做题:
1.面积固定为,对比正方形周长与圆形周长,判断哪种图形周长更小.
只需比较与,圆形周长更小.
2.两个相同正六边形拼接,怎样摆放能让外围栅栏最短,请简要说明理由.
将一条完整边互相重合摆放;重合的边不再计入外围栅栏,重合边界最长,节省栅栏最多.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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