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分课时学案
课题 20.2.2积的算术平方根 单元 20 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.由二次根式乘法法则逆向推导积的算术平方根性质,牢记公式成立条件。 2.熟练运用积的算术平方根拆分被开方数,分解并移出全部完全平方因数,将根式化为最简形式。 3.区分乘法法则正向运算、积的算术平方根逆向化简两种使用场景,规范书写化简完整步骤。 4.结合根式乘法与化简完成基础计算题,体会化繁为简的代数转化思想。
重点 1.积的算术平方根性质的理解与拆分运用; 2.利用该性质对含完全平方因数的二次根式标准化简。
难点 1.化简时完整找出全部完全平方因数,步骤书写规范; 2.牢记的使用前提,不能对负数乘积拆分根号。
教学过程
导入新课 复习回顾: 提问 1:写出二次根式乘法法则,计算 提问 2:拆分,计算,对比结果. 递进设问:无法直接开方,如何拆分简化计算
新知讲解 活动一:积的算术平方根与应用 前面得到的等式, 也可以写成:. 利用这个性质可以进行二次根式的化简. 例2:化简,使被开方数不含完全平方的因数. 这里,被开方数,含有这一完全平方的因数,通常可根据积的算术平方根的性质,并利用,将这个因数"开方"出来. 做一做:计算下列各式,并将所得的结果化简: (1); (2). 方法总结: 1.公式与前提: 2.公式作用: 3.标准化简四步: 4.符号处理技巧: 5.综合题型思路: 课堂小结 设问 1:积的算术平方根公式与成立条件是什么 设问 2:该性质与乘法法则是什么关系,用途分别是什么 设问 3:化简二次根式完整步骤 设问 4:使用公式两类高频错误
巩固训练 1.化简的结果是 ( ) A. B. C.4 D.5 2.= × 　 =　 　×　 　=30. 3.化简的结果为　 　. 4.在日常生活中,取款、上网都需要密码.为了增强密码的安全性,有人发明了“二次根式化简法”来产生密码,例如,于是就得到一个六位数的密码“500 105”,对于二次根式,用上述方法产生的六位数密码是 . 5.若是正整数,则下列符合要求的的值为 ( ) A.1 B.3 C.9 D.10 6.若,则的值为 . 7.自由落体公式为,若物体从高度为的高空落下,则下落的时间为 s.(g取10 m/s2) 8.化简: (1);(2); (3);(4). 9.已知m为正整数,若是整数,则根据可知m有最小值3×7=21.设n为正整数,若是大于1的整数,则n的最小值为 ,最大值为 .
必做题 1.化简 ; 2.化简. 选做题 1.计算并化简 2.已知,化简 3.已知=·成立,求实数的取值范围.
答案：
回顾提问:
提问 1:写出二次根式乘法法则,计算
。
提问 2:拆分,计算,对比结果.
,和数值相等。
递进设问:无法直接开方,如何拆分简化计算
是完全平方数,可拆分为简化运算.
课堂小结：
设问 1:积的算术平方根公式与成立条件是什么 ,要求;文字表述:两个非负数乘积的算术平方根,等于两数算术平方根的积。
设问 2:该性质与乘法法则是什么关系,用途分别是什么
二者互为逆变形;（正向）:两个根式相乘合并根号;（逆向）:单个根式拆分根号化简。
设问 3:化简二次根式完整步骤
①分解被开方数,分离全部完全平方因数;②逆用公式拆分根号;③,平方因数开方移出根号。
设问 4:使用公式两类高频错误
①取负数,违规拆分;②分解因数不全,根号内仍存在可开方数,未化到最简。
课堂练习：
1.化简的结果是 ( )
A. B. C.4 D.5
2.= × 　 =　 　×　 　=30.
3.化简的结果为　 　.
4.在日常生活中,取款、上网都需要密码.为了增强密码的安全性,有人发明了“二次根式化简法”来产生密码,例如,于是就得到一个六位数的密码“500 105”,对于二次根式,用上述方法产生的六位数密码是 .
5.若是正整数,则下列符合要求的的值为 ( )
A.1 B.3 C.9 D.10
6.若,则的值为 .
7.自由落体公式为,若物体从高度为的高空落下,则下落的时间为 s.(g取10 m/s2)
8.化简:
(1);(2);
(3);(4).
9.已知m为正整数,若是整数,则根据可知m有最小值3×7=21.设n为正整数,若是大于1的整数,则n的最小值为 ,最大值为 .
1.B;
2.,,5,6;
3.4;
4.800202;
5.B;
6.1;
7.12;
8.解:(1)原式.
(2)原式.
(3)原式=.
(4)原式.
9.3　75　
解:且为整数,
的最小值为.
是大于1的整数,
越小,越小,则越大,当时,,
.
作业设计：
必做题
1.化简 ;
解:原式.
2.化简.
解:原式.
选做题
1.计算并化简
解:原式.
2.已知,化简
解:原式.
3.已知=·成立,求实数的取值范围.
解：对于·，根据二次根式有意义的条件，被开方数须大于等于0，
可得到不等式组:，解得≥1.
对于，被开方数≥0，
因式分解可得()()≥0，
根据二次函数y=()()=的图象性质，
其与x轴交点为=－1和=1，且二次项系数大于0，图象开口上，
所以不等式的解为≤－1或≥1.
要使等式=·成立，需要同时满足等式两边的条件，
即≥1和≤－1或≥1的交集，得到≥1.
综上，实数x的取值范围是≥1.
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