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分课时学案
课题 20.2.3二次根式的除法 单元 20 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.类比二次根式乘法的探究方法,自主推导二次根式除法法则与商的算术平方根性质,牢记公式对应的取值限制条件; 2.熟练运用除法法则完成根式除法计算,掌握分母有理化方法,能将含分母根号的式子化为最简二次根式; 3.明确最简二次根式两条判定标准,规范完成各类根式化简,区分乘除两类公式的使用场景; 4.体会类比推理、转化化简的数学思想,能用根式除法解决简单实际面积计算问题.
重点 1.二次根式除法法则与逆用公式的理解与基础计算； 2.分母有理化操作,掌握最简二次根式的化简方法。
难点 1.准确把握公式中b＞0的限制,区分积、商两类根式性质取值条件的差异； 2.灵活选择合适根式完成分母有理化,完整化简至最简二次根式。
教学过程
导入新课 回顾提问: 提问1:写出二次根式乘法及积的算术平方根公式,并计算. 提问2:类比乘法,计算与,对比结果. 递进设问:式子被开方数含有分母,直接书写不规范,如何去掉分母中的根号
新知讲解 活动一:二次根式的除法法则 两个二次根式相除,怎样进行运算呢 商的算术平方根又等于什么 试参考前面的研究,和同学讨论,提出你的见解. 概括:一般地,有. 思考:这里为什么要求 例3计算:(1);(2). 方法总结: 1.除法正向公式: 2.基础除法两步法: 3.简便运算技巧: 4.取值判断优先: 活动二:最简二次根式和分母有理化 上面"概括"中的等式,也可以写成: 利用这个性质可以进行二次根式的化简. 例4化简,使分母中不含二次根式,并且被开方数中不含分母. 这里,二次根式的被开方数中含有分母,通常可以利用分数(或分式)的基本性质,先将分母"配"成完全平方,再"开方"出来. 按照例2和例4的要求,化简后的二次根式被开方数中不含分母,并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2,像这样的二次根式称为最简二次根式. 二次根式的除法,要化去分母中的根号,只要将分子,分母都乘以一个恰当的二次根式就可以了.如例4,将分子,分母都乘以,得. 通常将这种化简过程称为分母有理化. 总结归纳: 1.逆用公式: 2.分母有理化通用步骤: 3.最简二次根式判定两条标准: 4.完整化简流程: 课堂小结： 设问1:写出二次根式除法法则与商的算术平方根公式,说明取值条件 设问2:什么是分母有理化,通用操作方法是什么 设问3:最简二次根式必须满足哪两个条件 设问4:积与商的算术平方根取值条件有什么不同
巩固训练 1.计算的结果是( ) A. B.3 C. D. 2.下列根式属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 3.化简的结果为( ) A. B. C. D. 4.对于两个实数,定义一种新运算“ ”:.例如,则=　. 5.计算:(1); (2). 6.已知,有下列各式:①,②,③.其中正确的是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 7.计算:=　　. 8.计算并把结果化为最简二次根式:=　　. 9.若,且为奇数,求的值.
作业布置 必做题 1.计算:. 2.化简:（1）；（2）. 选做题 1.计算并化为最简二次根式: 2.已知成立,求实数的取值范围.
答案：
回顾提问:
提问1:写出二次根式乘法及积的算术平方根公式,并计算.
乘法法则:,
逆用；
。
提问2:类比乘法,计算与,对比结果.
,两式结果相等。
递进设问:式子被开方数含有分母,直接书写不规范,如何去掉分母中的根号
分子分母同5,把分母化为完全平方数,再拆分根号化简.
课堂小结：
设问1:写出二次根式除法法则与商的算术平方根公式,说明取值条件
除法正向: ；逆向化简: ；要求。
设问2:什么是分母有理化,通用操作方法是什么
化去分母中根号的过程叫做分母有理化；给分子、分母同时乘以分母中的二次根式,利用消去分母根号。
设问3:最简二次根式必须满足哪两个条件
①被开方数不含分母；②被开方数中所有因式的指数都小于2,无完全平方因数。
设问4:积与商的算术平方根取值条件有什么不同
积的算术平方根只需；商的算术平方根分母b必须大于0,分母不能为0、负数。
课堂练习：
1.计算的结果是( )
A. B.3 C. D.
2.下列根式属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.化简的结果为( )
A. B. C. D.
4.对于两个实数,定义一种新运算“ ”:.例如,则=　.
5.计算:(1);
(2).
6.已知,有下列各式:①,②,③.其中正确的是()
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
7.计算:=　　.
8.计算并把结果化为最简二次根式:=　　.
9.若,且为奇数,求的值.
1.B;2.A;3.C;4.;
5.解:(1).
(2).
6.B;7.;
8.;
9.解:,
解得,
又为奇数,
.
,
当时,原式.
作业设计：
必做题
1.计算:.
解:（1）原式=
2.化简:（1）；（2）.
解:（1）原式=.
（2）原式=.
选做题
1.计算并化为最简二次根式:
解:原式.
2.已知成立,求实数的取值范围.
解：对于，根据二次根式有意义的条件，
被开方数须大于等于0，且分母不能为0，
可得到不等式组:，解得.
对于，被开方数≥0，且分母，
可得到不等式组:，
所以不等式的解为≤－1或1.
要使等式成立，需要同时满足等式两边的条件，
即1和≤－1或1的交集，得到1.
综上，实数x的取值范围是1.
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