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2025-2026学年北京市十一学校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. C. D. ，，
2.二次函数的顶点的横坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知点，都在直线上，则和的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
4.在平面直角坐标系中，抛物线向左平移个单位长度得到的抛物线为( )
A. B. C. D.
5.当前，人工智能新技术不断突破、新产业持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”“智谱清言”这种人工智能软件的分数分别为：，，，，，，则这组数据的中位数是( )
A. B. C. D.
6.如图，矩形绕点逆时针旋转得到矩形，连接交于点，为的中点，连接交于点，连接，给出下面四个结论：
；
；
；
．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
7.某手机两年前出厂时的待机时长为小时，由于运行负荷不断增加及电池老化等原因，现在该手机待机时长变为小时，设该手机待机时长的年平均下降率为，则满足的方程为( )
A. B.
C. D.
8.如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为，当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是( )
A. 一次函数关系，一次函数关系
B. 一次函数关系，二次函数关系
C. 二次函数关系，二次函数关系
D. 二次函数关系，一次函数关系
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知函数，则自变量的取值范围是 ．
10.某研发小组设计了甲、乙两款软件，邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分百分制，评分结果由维度和维度各占，维度和维度各占组成，评分如下：
维度
软件 维度 维度 维度 维度
甲
乙
若甲款软件的评分更高，则表中为整数的最小值为 ．
11.已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是 ．
12.如图，四边形是菱形，、交于点，于，连接，若，，则 ．
13.若是关于的方程的一个根，代数式的值为 ．
14.在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ．
15.如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接若，，则的面积为 ．
16.将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示实线部分，当直线与新函数的图象实线部分恰有个公共点时，则的取值范围为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：．
解一元二次方程：．
四、解答题：本题共9小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知，．
求的值；
若的小数部分是，的小数部分是，求的值．
19.本小题分
已知二次函数．
将化成的形式；
在平面直角坐标系中画出此函数的图象；
当时，结合图象，直接写出的取值范围．
20.本小题分
已知关于的一元二次方程．
若方程有实数根，求的取值范围；
若方程的两实数根分别为，，且满足求的值．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，．
求，的值；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，直接写出的取值范围．
22.本小题分
如图，在中，是上一点，，平分交于点，，．
求证：四边形是矩形；
若，，连接，求的长．
23.本小题分
为加强国家安全知识普及情况，某校八、九年级部分学生参加了安全教育知识竞赛活动现从八、九年级参赛学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析成绩用表示，单位：分分为，，，四个等级，分别是：；；；．
下面给出了部分信息：
九年级名学生的竞赛成绩为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
八年级等级的学生竞赛成绩为：，，，，，，，．
八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
九年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
上述图表中，______，______，______．
根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由写出一条理由即可．
该校八年级有名学生、九年级有名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为等的学生人数总共是多少？
24.本小题分
在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
求该抛物线的对称轴用含的式子表示；
若对于，，总有，同号，且，求的取值范围．
25.本小题分
点在正方形的边上不与点，重合，点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接．
求证：；
过点作交射线于点．
求的度数；
用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，对于点给出如下定义：若点在直线上，称点是点的“和谐点”已知，点．
在，，中，点的“和谐点”有______；
点在直线上，若点的“和谐点”也是点的“和谐点”，求点的坐标；
已知点和线段，点在以，，，为顶点的四边形上，且，若线段上总存在线段上任意一个点的“和谐点”，直接写出线段的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
，
18.【答案】

19.【答案】
函数图象如下；

20.【答案】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
实数的取值范围为．
，是关于的一元二次方程的两实数根，
，．
，
，
，
，
或，
当时，方程变为，无解舍去，
当时，方程变为，
，，
，
．
21.【答案】，
22.【答案】证明：平分，，
，即
，，
四边形是矩形；
解：如图所示，

，，，

四边形是矩形，
，
在中，，，
，
根据勾股定理，得，
在中，．

23.【答案】 我认为九年级学生的竞赛成绩较好，在八年级和九年级学生的竞赛成绩平均数均为的情况下，九年级学生竞赛成绩中位数大于八年级学生竞赛成绩中位数，所以九年级学生的竞赛成绩较好 估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为等的学生人数总共人
24.【答案】抛物线的对称轴为直线的取值范围为且
25.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，关于对称，
，
，，
；
解：如图，连接．
，关于对称，
，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
结论：．
理由：如图，过点作于点．
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，关于对称，
，
．
26.【答案】，
线段的最小值为
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