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分课时学案
课题 3.2.1配方法第1课时 单元 三 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.理解直接开平方法的算理,掌握、两类方程的解法,能正确求出方程的根。 2.体会“降次”“化归”的数学思想,理解将一元二次方程转化为一元一次方程的本质。 3.规范书写解题步骤,养成检验、不漏根、不写错符号的良好运算习惯。 4.能解决简单的古代数学、面积等实际问题,提升方程应用意识。
重点 1.直接开平方法解形如和的方程。 2.理解开平方后必须写出正负两个根,不丢解。
难点 整体思想的运用：把看成一个整体开方,以及对条件的理解。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.若,则叫做的什么？ 2.平方根有几个？它们的关系是什么？ 探究问题 方程怎么解？你能利用平方根知识求出吗？
新知讲解 探究活动一:一元二次方程的解 思考：将本章3.1节“思考”栏目列出的方程整理得,如何求解此方程呢？ 归纳：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元二次方程的解. 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.和就是方程的根. 把一元二次方程的所有根都求出来,叫作解一元二次方程. 解一元二次方程,实质上是求x用哪个数代入,能够使得方程左边的值与右边的值相等. 探究活动二:用直接开平方法解一元二次方程 例1：解方程：. 说一说：如何解方程 例2：解方程：. 注意：通过“降次”,将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程. 做一做：解方程：. 方法总结:
课堂练习 课堂练习 1.下列是方程的解的是(　　) A.x=-1　　　　B.x=1 C.x=-2　　　　D.x=2 2.若a是的一个根,则的值是(　　) A.2020　　　　B.2021　　　　 C.2022　　　　D.2023 3.若一元二次方程的一个根与一次项系数的和为1,则　　　　. 4.(1)完成下列表格: -3-2-10123
(2)观察表格,直接写出方程和的根. 5.老师出示问题:“解方程”,四位同学给出了以下答案:小琪:;子航:;一帆:;萱萱:.其中答案正确的是(　　) A.小琪　　　　B.子航　　　　 C.一帆　　　　D.萱萱 6.一元二次方程可以转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程为,则另一个一元一次方程为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 7.若关于的方程有两个实数根,则的取值范围是(　　) A.　　　　B.　　　　 C.　　　　D. 8.解下列方程: (1);　　　　(2); (3). 9.已知三角形的两边长是4和6,第三边的长是方程的根,则此三角形的周长为(　　) A.17　　　　B.11　　　　 C.15　　　　D.11或15 10.已知为方程的根,那么的值为(　　) A.-2022　　　　B.0　　　　 C.2022　　　　D.4044 11.若关于x的一元二次方程有一个根为,则一元二次方程必有一根为　　　　.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
作业设计 基础达标: 1.一元二次方程的解为( ) A. B. C. D. 2.若代数式的值为,则x的值一定为( ) A.3B.±3C.-3D.± 3.一元二次方程的解是____. 4.若关于x的一元二次方程有一个根为0,求m的值. 5.关于x的方程有解的条件是( ) A.m为任意实数,b>0 B.m为任意实数,b≥0 C.m>0,b>0 D.m<0,b>0 6.如果一个一元二次方程的根是,那么这个方程是( ) A. B. C. D. 能力提升: 7.方程的根是____. 8.解方程：. 9.阅读下列解答过程,在横线上填入恰当内容. 解方程： 解：,　① ,　② .　③ 上述过程中有没有错误？若有,错在步骤________(填序号) 原因是______________________. 请写出正确的解答过程. 10.若方程的两根分别为a,b,且,则下列结论中正确的是( ) A.a是19的算术平方根 B.b是19的平方根 C.a-5是19的算术平方根 D.b＋5是19的平方根 11.若与互为倒数,则实数为( ) A.x=± B.x=±1 C.± D.± 12.规定运算：对于函数(n为正整数),规定.例如：对于函数,有.已知函数,满足的的值为( ) A. B. C. D. 拓展迁移: 13.若一元二次方程的两个根是与,则____. 14.若关于x的一元二次方的一个根为1,则方程的解为____. 15.解方程： (1). (2). 16.已知方程的一个根是3,求m的值及方程的另一个根.
参考答案：
复习回顾：
1.平方根。
2.正数有两个平方根,它们互为相反数；0的平方根是0。
3.移项得,开方得,即。
探究一：
移项,得.
这表明是的平方根,根据平方根的意义,得或,
即.
探究二：
例1：解：原方程经过移项,左右两边同除以,得
.
根据平方根的意义,得
或,
因此,原方程的根为
.
说一说：根据平方根的意义得或,
即或.解得.
例2：解：根据平方根的意义,得或,
即.
做一做：解：把方程写成,
根据平方根的意义,得或,
即,
因此,原方程的根为,.
课堂练习：
1.A　A.当x=-1时,左边=3-1-2=0=右边,∴x=-1是原方程的解;B.当x=1时,左边=3+1-2=2≠右边,
∴x=1不是原方程的解;C.当x=-2时,左边=3×4-2-2=8≠右边,∴x=-2不是原方程的解;D.当x=2时,左边=3×4+2-2=12≠右边,∴x=2不是原方程的解.故选A.
2.D　∵a是x2-3x-2022=0的一个根,∴a2-3a-2022=0,
∴a2-3a=2022,∴a2-3a+1=2022+1=2023.故选D.
3.-2
解析　根据一元二次方程的定义,得a=2,∴方程的一般形式为x2-x+b=0,即一次项系数为-1.又∵方程的一个根与一次项系数的和为1,∴方程的一个根为1-(-1)=2.把x=2代入方程,得4=2-b,解得b=-2.
4.解析　(1)完成表格如下:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
x2-2x 15 8 3 0 -1 0 3
(2)方程x2-2x=0的两根为x1=0,x2=2.
方程x2-2x-3=0的两根为x1=-1,x2=3.
5.D　原方程可化为x2=16,根据平方根的意义,得x=±4.因此原方程的根为x1=4,x2=-4,故选D.
6.D　方程两边直接开平方,得x+6=3或x+6=-3.故选D.
7.B　∵(x+5)2≥0,∴m-1≥0,解得m≥1.故选B.
8.解析　(1)原方程可化为x2=4.
根据平方根的意义,得x=2或x=-2.
因此,原方程的根为x1=2,x2=-2.
(2)原方程可化为(y-5)2=36.
根据平方根的意义,得y-5=6或y-5=-6.
因此,原方程的根为y1=11,y2=-1.
(3)原方程可化为=.
根据平方根的意义,得1x=或1x=.
因此,原方程的根为x1=-2,x2=12.
9.C　解方程(x-3)2=4,得x1=5,x2=1.当x=5时,三角形的三边长分别为4,5,6,其周长为4+5+6=15;当x=1时,6-4=2>1,不能构成三角形,则此三角形的周长是15.故选C.
10.B　∵m为方程x2+3x-2022=0的根,∴m2+3m-2022=0,
∴m2+3m=2022,
∴原式=m3+3m2-m2-3m-2022m+2022=m(m2+3m)-(m2+3m)-2022m+
2022=2022m-2022-2022m+2022=0.故选B.
11.x=2022
解析　对于一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+2=0,设t=x-1,所以at2+bt+2=0,因为关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一个根为x=2021,所以at2+bt+2=0有一个根为t=2021,则x-1=2021,解得x=2022,所以一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)=-2必有一根为x=2022.
课后提升：
1.B;2.B;3.,
4.解:将代入方程,得,解得.
,
,
综上所述：m=2.
5.B;6.C;7.x1=1,x2=-3;
8.解:∵6(x-1)2-54=0,
∴6(x-1)2=54,
∴(x-1)2=9,
得x-1=3或x-1=-3,
解得x1=4,x2=-2.
9.解:有,错在步骤②,原因是正数的平方根有两个,它们互为相反数.
答案：②　正数的平方根有两个,它们互为相反数
正确的解答过程为(x-1)2=4,
x-1=±2,
x1=3,x2=-1.
10.C;11.C;12.C;13.49;14.x1=0,x2=2;
15.解:(1)由原方程,得x2=,则x=±.
所以x1=,x2=-.
(2)移项,得12(3-2x)2=3,
即(3-2x)2=.
∵3-2x是的平方根,
∴3-2x=±.
即3-2x=,3-2x=-,
∴x1=,x2=.
16.解:∵方程x2＋(m-1)x＋m-10=0的一个根是3,
∴9＋3(m-1)＋m-10=0,
即4m-4=0,解得m=1,
可得方程x2-9=0,
解得x=±3,
所以方程的另一个根为-3.
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