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广西 南宁市第三中学大学区2025—2026学年度春季学期期末质量监测 八年级 数学
一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．1，1，2 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，8，9
3．某体育用品专卖店在一段时间内销售了双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表，则这双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是（ ）
尺码
销售量/双 1 3 4 2
A． B． C． D．
4．如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图是小朋友们喜爱的跷跷板，横板绕其中点上下转动，当小朋友离地面的最大距离为时，跷跷板另一端点刚好接触地面，点是的中点，则立柱的高度为（ ）
A． B． C． D．
7．对于一次函数，下列结论中正确的是( )
A．函数的图象与x轴交点坐标是
B．函数值随自变量的增大而减小
C．函数的图象不经过第二象限
D．函数的图象向下平移2个单位长度得到函数的图象
8．已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　）

A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
9．小宇从家出发，骑自行车前往公里某景区，途中停车观光，其中（公里）是小宇离家的距离，（分钟）是小宇离家时间．与的函数图像如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．小宇从家到景区，小宇的路程为公里
B．小宇途中停车观光的时间为分钟
C．小宇到景区的整个过程中，平均速度是公里/小时
D．小宇全程一共用时分钟
10．如图，已知菱形的面积为，对角线与相交于点，对角线的长为，于点，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．一次函数与的图象如图，下列结论：①；②关于x的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
12．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，F在BC边上，且，连接EF，则BF的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题
13．若二次根式有意义，则x的取值范围是______．
14．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为_____．
15．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为．把这5名同学引体向上的个数分为两组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）．最恰当的分组是第__________种．
分组 分组情况 组内离差平方和
第一种 第一组；第二组 18.8
第二种 第一组；第二组 6.7
第三种 第一组；第二组 14.7
第四种 第一组；第二组 22.8
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线上有P，Q两个动点，且，已知点，当周长最小时，点P的坐标为________．
三、解答题
17．计算和化简求值
(1)；
(2)，其中．
18．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接，交于点H，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的度数．
19．某区举办科普知识竞赛，从甲、乙两校学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息：
乙校20名学生的竞赛成绩：63，63，65，71；72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98；99．
甲、乙两校20名学生成绩统计表
学校 甲校 乙校
平均数 82 82
中位数
方差
根据以上数据分析信息，解答下列问题：
(1)如果要从中选一个成绩稳定的学校去市里参加团体赛，请问选______校更合适（填“甲”或“乙”）；
(2)上述图表中：中位数______，下四分位数______；
(3)该区甲校有学生1120人，请估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？
20．端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五．民间有“赛龙舟”“吃粽子”等习俗．某商铺准备在端午节来临之际购进A，B两种粽子进行销售，若购进A种粽子100个，B种粽子200个，需要1800元；若购进A种粽子200个，B种粽子100个，需要2400元．
(1)求购进A，B两种粽子的单价．
(2)端午节前夕，粽子畅销，商铺决定购进这两种粽子共300个，其中A种粽子的数量不超过B种粽子数量的2倍，且每种粽子的进货单价不变，若A种粽子的销售单价在进价基础上提高40%，B种粽子的销售单价在进价基础上提高2元，试问购进A，B两种粽子各多少个时，全部售完后，获得的利润最大？最大利润是多少元？
21．【阅读材料】
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
【类比归纳】
(1)①（______）=（______）2；
②（_____+______）2；
(2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________；
【拓展提升】
(3)如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积．
22．项目化学习
项目背景：为推进中国足球职业联赛的数智化升级，中足联联合联想搭建全栈赛事总指挥中心，配套半自动越位识别系统（）．该系统内置甲、乙两款识别模型，需通过赛事样本数据训练测试，优化越位判定性能；其中核心评价指标为越位判定准确率，指标高低直接影响判罚效率与赛事公平性．
项目主题：探究两款模型的越位判定准确率与训练时长的关系．
研究步骤：
①选取相同的赛事数据样本，为甲、乙两款模型搭建一致的训练环境；
②从训练开始每两天记录一次两款模型的越位判定准确率数据；
③数据分析，为赛事技术部署提供决策依据．
模型训练时长天 0 2 4 6 8 10 …
甲模型准确率 46 50 54 58 62 66 …
乙模型准确率 60 62 64 66 68 70 …
初步分析：经数据分析可得，均是关于的一次函数，已知乙模型解析式：．
问题解决：请根据上述材料完成下列问题．
(1)平面直角坐标系中已画出与的函数图象，请根据表格数据，在同一坐标系中画出与的函数图象；
(2)求关于的函数解析式．训练至第15天时，请求出甲模型的越位判定准确率；
(3)根据赛事技术要求，当模型越位判定准确率达到时，方可满足实时判罚需求．请判断甲、乙哪款模型先达到该标准，并说明理由．
23．如图1，在矩形中，，，点P从点B出发，沿向点D运动，作关于直线的对称（点C、D的对称点分别为、）．
(1)如图2，当点在的延长线上时，则的长为______；
(2)如图3，当点P与点C重合时，连，、交分别于点E、F．
①求证：；
②求的长．
(3)当直线经过点B时，求的长．
参考答案
1．C
【详解】解：，被开方数含有能开得尽方的因数，故A不正确；
，被开方数含分母，故B不正确；
的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，故C正确；
，被开方数含有能开得尽方的因数，故D不正确．
2．B
【详解】解：A选项，，，
，不是勾股数，不符合题意；
B选项，，，
，且3，4，5均为正整数，是勾股数，符合题意；
C选项，，，
，不是勾股数，不符合题意；
D选项，，，
，不是勾股数，不符合题意．
3．D
【详解】解：由表格可知，尺码为的运动鞋销售量为双，是销售量最多的，
因此，这组数据的众数是，
故选：D．
4．B
【详解】解：∵是平行四边形，
∴，
故选B．
5．A
【详解】解：选项A：∵ 根据二次根式的性质，当时，，这里
∴ ，A正确；
选项B：∵ 与不是同类二次根式，不能直接合并相减∴ ，B错误；
选项C：∵ 与不是同类二次根式，不能合并，∴ ，C错误；
选项D：∵ ，∴ D错误.
6．D
【详解】解：依题意，
∴是的中位线，
∴，
故选：D．
7．C
【详解】解：A.对于一次函数，令，解得，则函数的图象与x轴交点坐标是，故该选项不正确，不符合题意；
B.对于一次函数，，函数值随自变量的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
C. 对于一次函数，，，故函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，故该选项正确，符合题意；
D一次函数，的图象向下平移2个单位长度得到函数的图象，故该选项不正确，不符合题意；
故选C．
8．C
【详解】解：在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
故选：C．
9．D
【详解】对于A，由函数图象可知，从家到景区，小宇的路程为公里，故A正确，不符合题意；
对于B，小宇途中停车观光的时间为分钟，故B正确，不符合题意；
对于C，小宇到景区的整个过程中，共花了分钟，即个小时，平均速度是公里/小时，故C正确，不符合题意；
对于D，小宇全程一共用时分钟，故D错误，符合题意.
10．C
．
【详解】解：∵菱形的面积为，且，
∴，
在菱形中，点为的中点，
又∵，
∴．
11．D
【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限，
∴，
∵直线与轴的交点在轴下方，
∴，
∴，故正确；
∵关于x的方程可变形为
又一次函数与的图象的交点的横坐标为，
∴关于的方程的解是，
∴关于x的方程的解是，故错误；
由图象可得，当时，，故③正确；
当时，函数，
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为，
∴关于的方程的解是，
∴，
∴，故正确；
综上所述，正确的是①③④。
故选：D．
12．A
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：
∴∠BAF＝∠DAG，AB=AG
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAF＋∠DAE＝∠DAG＋∠DAE=45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，
在△AFE和△AGE中，
AG＝AF，∠FAE＝∠EAG，AE＝AE，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF＝EG，
即：EF＝EG＝ED＋DG，
∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，
∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，
∴设BF＝x，则CF＝6 x，EF＝3＋x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：
EF2＝CE2＋CF2，
∴（3＋x）2＝32＋（6 x）2，
解得：x＝2，
即BF＝2，
故选：A．
13．
【详解】解：根据二次根式的意义，得，
解得．
故答案为：．
14．/120度
【详解】解：由题意可得，图中的六边形都是正六边形．
∵正六边形的内角和为，
∴每一个内角为
∴．
故答案为：
15．二
【详解】解：根据题意，最恰当的分组符合组内离差平方和最小原则，
将四种分法的组内离差平方和比较大小，得
，
第二种分组的组内离差平方和最小，因此最恰当的分组是第二种.
16．
【详解】解：连接AP、AC交BD于点E，过A点作AD∥PQ，且AD=PQ，连接DQ、CD，如图
∴四边形ADQP是平行四边形
∴DQ=AP，AD=PQ=2
由菱形的对称性知：AP=CP
∴DQ=CP
当点Q在线段CD上时，CQ+DQ= CQ+CP最短，从而周长=CQ+CP+2最小
∵四边形OABC是菱形
∴OC=OA=，CE=AE，AC⊥BD
∵∠AOC=60°
∴△OAC是等边三角形
∴
∵AD∥PQ
∴AC⊥AD
由勾股定理得
∴∠ACD=30°
∵AP∥CD
∴∠PAC=∠ACD=30°
∴∠PAO=∠CAO+∠PAC=90°
即PA⊥OA
∵∠AOE=30°
∴OP=2AP
在Rt△PAO中，由勾股定理得：
解得：AP=2
则点P的坐标为
故答案为：
17．(1)
(2)；
【详解】（1）解：
（2）解：
当时，原式．
18．(1)见详解
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形，都是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
19．(1)乙
(2)83；72
(3)人
【详解】（1）解：∵，
∴甲校的方差大于乙校的方差，
∴乙的成绩更加稳定，
∴选乙校更合适；
（2）解：由题意得，，
（3）解：人，
答：估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有人．
20．(1)购进A，B两种粽子的单价分别为10元，4元
(2)A，B两种粽子分别购买200个，100个时，利润最大，最大利润为1000元
【详解】（1）解：设购进A，B两种粽子的单价分别为x元，y元，
由题意得：，
解得：，
答：购进A，B两种粽子的单价分别为10元，4元；
（2）解：设购进A种粽子a个，则B种粽子个，
根据不等关系得：，
解得：；
设两种粽子全部售完后的利润为W元，
由题意得：，
化简得：，其中，
当时，W取得最大值，且最大值为，
此时，
答：当A，B两种粽子分别购买200个，100个时，利润最大，最大利润为元．
21．(1)①， ；② ，
(2)，．
(3)45
【详解】（1）① ；
② ．
（2）解：
通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得：
，．
（3）解：根据题意，正方形的面积为 。
，
边长 (cm)。
正方形的面积为 ， 边长 (cm)。
由图可知，正方形 ABCD 的边长 ，
正方形 的面积为
22．(1)解：所画函数图象如图所示：
(2)；训练至第15天时，甲模型的越位判定准确率为 ；
(3)甲模型准确率先达到该标准；
理由：①甲模型准确率第十天为，乙模型准确率第十天为，甲模型准确率每两天增加，乙模型准确率每两天增加，经过天后甲，乙模型准确率都为，由图可知，甲模型准确率增长速度更快，所以甲模型准确率先达到该标准．
②设与函数关系式为
将点分别代入得
与的函数关系式为，
当时，，解得，
当时，，解得，
，
甲模型准确率先达到该标准．
【详解】（1）略
（2）解：由题可知与训练时长为一次函数关系，
设与函数关系式为，
将点分别代入得
与函数关系式为，
当时，，
答：训练至第15天时，甲模型的越位判定准确率为．
（3）略
23．(1)
(2)①证明见解析；②
(3)当直线经过点B时，的长或．
【详解】（1）解：在矩形中，，，
，
、关于直线对称，
，
.
（2）解：①如图，
、关于直线对称，
，，，，
，
，
，
，即；
②如图，
在矩形中，∵，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，，
即的长是.
（3）解：①当在边上时，如下图所示：
连接，
、关于直线对称，
，，，，，，
，
，即，当直线经过点B时，
在中，，，
在中，，
即，，
；
②当在边上时，如下图所示：
、关于直线对称，
，，，
，
，
当直线经过点B时，
在中，，
在矩形中，∵，
，
，
，
在和中，
，
，
；
综上所述，当直线经过点B时，的长或．

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