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湖南邵阳市第二中学2025-2026学年下学期期末考试高一数学
一、单选题
1．已知，，且，则，的值分别为（ ）
A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3
2．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面
C．圆心和圆上两点确定一个平面 D．两条相交直线确定一个平面
3．已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形，如图所示，那么在这个平面图形中（ ）．
A．3 B．2 C． D．1
4．若圆台上、下底的面积分别为，，高为2，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知样本数据的方差为3，若，则的方差为（ ）
A．31 B．27 C．13 D．9
7．已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
8．设是边长为1的正三角形，M是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值时，的值为（ ）
A． B．3 C． D．2
二、多选题
9．下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若||＝||，则＝ B．已知≠，且·＝·，则
C．若＝，＝，则＝ D．若＝，则||＝||且//
10．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．若，则
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称
11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为
B．异面直线与所成角的取值范围是
C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变
D．的最小值为
三、填空题
12．设，若，则_______．
13．在平行四边形中，、分别为边、的中点，连接、，交于点.若（），则___________.
14．的面积为.若，，则角等于____.
四、解答题
15．向量，，．
(1)求满足的实数m，n；
(2)若，求实数k．
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB的中点，F为AC与BD的交点.
(1)证明：平面PCD；
(2)求四棱锥的体积.
17．在中，角所对的边分别为，若．
(1)求A的大小；
(2)若，求的面积．
18．2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的值；
(2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数．
(3)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数；
19．在中，已知．
(1)求C．
(2)如图，若A，B在以C为圆心的单位圆上，D为此单位圆上的动点，线段交线段于点M（点M异于点C，B）．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）设（），记，求的最小值．
参考答案
1．C
解析：因为，，且，则，，解得.
故选：C
2．D
解析：对于A,空间中三个不共线的点确定唯一的平面，故A错误，
对于B，一条直线以及直线外一点可以确定一个平面,故B错误，
对于C，圆心和不与圆心在同一直线上的两个点才可以确定一个平面，故C错误，
对于D，两相交直线可以确定一个平面，故D正确.
故选:D
3．A
解析：如图，根据直观图还原平面图形OABC，，，且.
所以．
4．C
解析：因为圆台上、下底的面积分别为，，设上底半径为，下底半径为，
所以，，解得，(负根舍去)，
设圆台母线为，由勾股定理得，且设圆台侧面积为，
故，故C正确.
故选：C
5．D
解析：由正弦定理得，
所以．
故选：D．
6．B
解析：因为，所以．
7．D
解析：对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则或，或与相交，故B错误；
对于C，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；
对于D，不失一般性作下图，在空间中取一点，过点作，，则，
过相交直线 作平面 ，
设 ，，
因为 ，，所以 ，又 ，
且 都在平面 γ内，所以 ， 因为 ，
根据平行线的线面垂直性质，得 ， 又 ，
根据面面垂直的判定定理可得，因此D正确.
8．C
解析：如图，，，，
，得.
，，
设，则.
当，即，也就是时，取最小值.
故选:C.
9．AB
解析：两个向量相等即方向相同和长度相等，A错，C正确，D正确；
若≠，且·＝·，即（-）·=0，则，或=，B错误．
故选：AB．
10．AC
解析：利用辅助角公式化简：.
选项A，最小正周期， A正确；
选项B，若，则，即，
得：，即，
因此，B错误；
选项C，当时，令，
则在上单调递增，
因此在上单调递增，C正确；
选项D，若函数关于点中心对称，则满足，
则，D错误.
11．ACD
解析：对于A，取的中点，连接，
因为为中点，所以，
因为 ，所以，
所以过，，三点的平面截正方体所得的截面为梯形，
又，
所以梯形的高为，
所以，故A正确；
对于B，因为，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，
因为，所以当为的中点时，，
此时直线与所成角最大为，
当与点或重合时，直线与所成角最小，
因为，所以直线与所成角最小为，
所以异面直线与所成角的取值范围是，故B错误；
对于C，
因为，又平面，平面，
所以平面，所以上的点到平面的距离均相等，
所以到平面的距离为定值，又的面积固定，
所以当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，C正确；
对于D，将等腰直角三角形展开与矩形在同一个平面内，
，
当共线时取等号，故D正确.
12．
解析：由于，所以
故答案为：
13．/
解析：延长、相交于点，因为，，
所以是的中点，所以，
因为，所以，所以，
所以
，
又，
所以，故
故答案为：.
14．
解析：由正弦定理，可得，
所以.
因为为三角形内角，所以，所以，可得.
由余弦定理，，
由可得，
又，所以，
又为三角形内角，所以.
所以.
15．(1)
(2)
解析：（1）向量，，
若，则有，解得；
（2），，
由，则有，解得.
16．(1)证明：∵ 底面为正方形，对角线与交于点， ∴ 是的中点， 又∵ 为的中点，
∴ 在中，是中位线，可得 ，
∵ 平面，平面，
根据线面平行的判定定理，得 平面.
(2)
解析：（1）略
（2）由平面，得四棱锥的高； 底面是边长为2的正方形，底面积， 因此体积.
17．(1)
(2)
解析：（1）因为，
由正弦定理可得：，
即，在中，，
所以，因为，所以；
（2）由（1）知，，因为，，
由余弦定理，得：
即，得，所以的面积．
18．(1)
(2)
(3)中位数为，平均数为
解析：（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是，
各组对应的小长方形面积之和等于总频率1，所以，
化简得，即，即，即，
所以图中.
（2）由（1）知，
因此各组的频率分别为，
，
对应这名学生各组的人数分别为，
成绩在内的人数为，
成绩在内的人数为，
所以成绩在内的总人数为，
现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人，
则成绩在内被抽取的人数为，
所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为6.
（3）由（2）知，各组的人数分别为，
各组的组中值分别为，
则，
所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分.
由可得中位数位于中间，设为，
则.
19．(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）
解析：（1）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
因为，
所以，
即，
由正弦定理得，
所以，
又，所以．
（2）（ⅰ）设，则，，
，
所以，，
又，所以，则的取值范围为．
（ⅱ）设（），则，
因为（），
所以，
所以，
因为，所以，即，
化简得，，
所以，，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．

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