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(共54张PPT)
BY YUSHEN
专题复习
（三）数列专题
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
（一）等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及性质
等差数列 等比数列
定义 an＋1－an＝d
通项公式 an＝a1＋（n－1）d＝am＋（n－m）d an＝a1qn－1＝amqn－m
中项 a，A，b成等差数列 2A＝a＋ b A是a，b的等差中项
等差数列 等比数列
前n项和 公式
性质 ①若m，n，p，q∈N*，m＋n ＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，… 成等差数列 ①若m，n，p，q∈N*，m＋ n＝p＋q，则am an＝ap aq
②Sm，S2m－Sm，S3m－ S2m，…成等比数列（q≠－1）
　　（二）求数列通项公式的常用方法
　　1. 公式法：（1）等差数列通项公式.（2）等比数列通项公式.
【考法能力拓展】
思维导航与结构布局·深化理解
　　例1　根据下列数列前4项的值，写出数列的一个通项公式.
　　（1）1，11，111，1 111，…；
　　（2）1，－2，4，－8，….
　　【参考答案】（2）观察得第n项的绝对值为2n－1，偶数项是负数，奇数项是正数，所以用（－ 1）n＋1或（－1）n－1来调整，即an＝（－1）n＋1 2n－1或an＝（－1）n－1 2n－1＝（－2）n－1.
　　根据数列前几项的值写出数列的通项公式，体现了从特殊到一般的归纳思 想.解决这类问题的关键是观察数列每一项与项数之间的规律，最后归纳出第n 项an与项数n之间的关系，记住下列常见数列的通项公式有助于解题.
　　（1）1，－1，1，－1，…的通项公式为an＝（－1）n＋1或an＝（－1） n－1；
　　（2）－1，1，－1，1，…的通项公式为an＝（－1）n；
　　【参考答案】当n＝1时，a1＝S1＝4＋2＝6；
　　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（4n＋2）－（4n－1＋2）＝3 4n－1.
　　在已知数列前n项和的基础上求通项公式，一定要分两步进行讨论，即n＝ 1和n≥2；同时还要注意第一项是否适合从第二项起才成立的关系式an＝Sn－ Sn－1，若不适合，则应分段表示an.
　　如果一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列组成的，那么求和 时可以采用分组求和法.
　　例5　计算：Sn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n.
　　【参考答案】由题意可知：Sn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n ①，
　　①式两边同时乘3，则：3Sn＝1×32＋2×33＋…＋（n－1）×3n＋n×3n＋1②，
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可使用错位相减法求取.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
例6
　　如果一个数列的通项公式为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么可以通过累加将一些正负项互相抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和.
　　【参考答案】由等比数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即：7，56，S9－63成 等比数列.所以有562＝7×（S9－63），解得S9＝511.
　　在解决等差数列和等比数列的有关问题时，我们要学会积极发现题目所有条 件存在的内在联系，抓住关键，从而快速解决有关问题.
　　例9　一个物体从高空落下，第一秒下落4米，以后每秒多下落9米，经过10秒，该物体落到 地面，问物体原来离地面有多高？
　　遇到数列的实际问题时，首先要判断题目所属是等差数列还是等比数列；接 着找出数列中的首项、公差（公比）、通项、前n项和、项数等要素；最后依据 有关条件求解相关实际问题.
专题精练
A. 2 3n－1 B. 2 3n C. 3 2n D. 3 2n－1
【解析】因为an＋1＝3an（n∈N*），a1＝2，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，所以数列的通 项公式为an＝a1qn－1＝2 3n－1.
A. －10 B. －9 C. －8 D. －7
【解析】由等差数列性质可知：2a7＝a5＋a9＝－18，所以a7＝－9.
A
B
A. 23 B. 24 C. 25 D. 26
【解析】该数列是以2为首项，4为公差的等差数列，所以其通项公式为an＝a1＋（n－1）d＝4n－2.令 4n－2＝102，解得n＝26，故102是数列的第26项.
A. 64 B. －64 C. 32 D. －32
D
B
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
D
C
A. 22 B. 11 C. 2 D. 0
A. 2 B. －2 C. ±2 D. 3
【解析】由等比数列通项公式，可得：a5＝a3q2，即8＝2q2，解得q＝±2.
B
C
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】“a，b，c成等比数列”可以推出“b2＝ac”；但反之不一定可以，因为“b2＝ac”中的a， b，c均可以为零，与等比数列中任意一项均不为零矛盾.
A. 2 B. 1 C. 5 D. 0
A
B
B. lg 2，lg 4，lg 8
C. 1，3，9
【解析】lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 2，所以选项B属于等差数列，其他选项均不满足条件.
A. 8 B. －8 C. 9 D. －9
B
A
A. 2 C. －2
A. 1 B. －1 C. 0 D. ±1
D
C
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【解析】由题意可知：an＝a3＋（n－3）d＝2 000＋5（n－3）＝2 025，解得n＝8.
A. 2
C
B
A. 36 B. 37 C. 38 D. 39
【解析】由题意可得：a2＋a3＝（a1＋d）＋（a1＋2d）＝2＋3d＝11，解得d＝3，则a4＋a5＋a6＝ （a1＋3d）＋（a1＋4d）＋（a1＋5d）＝3a1＋12d＝39.
D
B
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
【解析】由等差数列性质，可知：S4，S8－S4，S12－S8也是等差数列，即：2，4，S12－6成等差数列，所 以S12－6＝6，所以S12＝12.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
D
C
B
A. 54 B. 55 C. 56 D. 57
【解析】由等差数列性质可知S3＝3a2＝18，则a2＝6，所以a1a2a3＝120可化为（a2－d）a2（a2＋d）＝ 120，即：（6－d）（6＋d）＝20，又因为d＞0，所以d＝4.所以a4＋a5＋a6＝（a2＋2d）＋（a2＋ 3d）＋（a2＋4d）＝3a2＋9d＝54.
A. 25 B. 50 C. 75 D. 100
【解析】S奇＝a1＋a3＋…＋a99，S偶＝a2＋a4＋…＋a100＝a1q＋a3q＋…＋a99q，S100＝S奇＋S偶＝（a1 ＋a3＋…＋a99）（1＋q）＝4S奇＝100，故S奇＝25.
A
A
C. 1
D
D
A. －1 B. 1 C. 2 D. 0
【解析】由等比数列性质可知：lg a3＋lg a4＝lg（a3a4）＝lg（a2a5）＝lg 10＝1.
A
B
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
C
A
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【解析】由等比数列性质，可得a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，所以此数列的前8项之积为24＝16.
C
C
D
B
C
A. 2n＋1 B. 2n－1 C. 3 2n－1 D. 3 2n＋1
A
A. 8 B. 5 C. 6 D. 7
【解析】由a7＋a9＜0可得：a1＋6d＋a1＋8d＜0，则a1＋7d＜0，即：a8＜0，又a7＋a8＞0，所以可 得：a7＞0，a9＜0，故Sn取最大值时n的值为7.
D
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 26 B. 28 C. 30 D. 32
【解析】由题意可得，b＝3a，c＝9a＝b＋12，d＝c＋12，解得a＝2，b＝6，c＝18，d＝30.　
A
C
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【解析】本题考查的是等差数列通项公式的实际应用，由题意可设：a1＝8，d＝2，an＝24.由等差数列通 项公式，可得：an＝8＋2（n－1）＝24，得n＝9.故刘大妈一共做了9天.
A. 12元 B. 24元 C. 36元 D. 48元
C
B
A. 1 012 B. 1 013 C. 1 014 D. 1 015
A. 80 B. 85 C. 90 D. 95
A
D
D
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
B
D
A. 1小时 B. 2小时 C. 3小时 D. 4小时
【解析】本题考查的是等比数列通项公式的实际应用，由题意可设：a1＝2，q＝2，an＝16.由等比数列通 项公式得：an＝2 2n－1＝16，解得n＝4，即这种细菌由1个变成16个需要进行4次分裂，共计需要2小时.
B
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
【解析】2022年比2021年多产出8吨水果，该8吨产量即为2021年乙地出产的水果数量，且乙地出产的水果 数量逐年成等比数列，设该等比数列a2 021＝8，公比q＝2，则：an＝a2 021qn－2 021＝8 2n－2 021（n＞2 021，n∈N*）；同时甲地出产的水果数量均保持90吨不变.由题意可知：8 2n－2 021＞90，则乙地出产水果 的数量第一次超过甲地出产的水果数量是在2025年.
C
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
A. 255 B. 256 C. 257 D. 258
A

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